1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES

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1 1 1. DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. DERIVADAS DIRECCIONALES Y PARCIALES Definición 1.1. Sea f : R n R, ā R n y v R n. Se define la derivada direccional de f en ā y en la dirección de v como: Si v es unitario, tenemos ( ) f ā + h v v f D v f lím h 0 h D v f lím h 0 f (ā + h v) f h Definición 1.2. Derivadas parciales. Sea f : R n R y ā R n. Entonces se define la derivada parcial i-ésima en ā como f f(ā + hē i ) f D ei f lím h 0 h lím h 0 f(a 1,..., a i + h,..., a n ) f(a 1,..., a n ) h siendo ē i (0,..., }{{} 1,..., 0) el vector canónico i-ésimo ( ē i 1). i) Denotamos a las derivadas de segundo orden por x j ( ) f x j Se ha derivado primero con respecto a x j y luego con respecto a x i. x 2 i 2 f Se ha derivado dos veces con respecto a x i. ( ) f Teorema 1.1. Derivadas parciales mixtas. Teorema de Schwarz. Sea f : R n R tal que f f,,, son continuas en un x j x j x j entorno de ā. Entonces x j 2 f x j

2 2 1 DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.2. GRADIENTES Y DIFERENCIABILIDAD Definición 1.3. Sea f : R n R y ā R n. Entonces se define el gradiente de f en ā como ( f f,..., f ) x 1 x n Para que exista f deben existir todas las derivadas parciales en ā. Definición 1.4. Sea f : R n R y ā R n. Se dice que f es diferenciable en ā si se verifica que: 1. f f(ā + para todo i 1,..., n 2. lím h) f f h 0 h 0 h f( x) f f( x ā) La propiedad 2. también se escribe como lím x ā x ā 0 En tal caso, la diferencial de f en ā se define como la aplicación lineal Df : R n R tal que Df( x) f x. Propiedades. Sea f : R n R con ā R n. 1. Si f es diferenciable en ā, f es continua en ā. El recíproco es falso (f(x, y) xy es continua en ā (0, 0) pero no diferenciable). 2. Si existe v R n tal que D v f, entonces f no es diferenciable en ā. 3. Si f ( x) son continuas en un entorno de ā, entonces f es diferenciable en ā (el recíproco es falso). 4. Sean f, g : R n R diferenciables en ā R n. Entonces 4.1. D(f + g) Df + Dg 4.2. D(fg) gdf + fdg ( ) 4.3. D f g g(a)df(a) f(a)dg(a) g(a) 2 En la regla del cociente se supone que g(a) 0. Teorema 1.2. Sea f : R n R diferenciable en ā R n y sea ū R n un vector unitario. Entonces Si ū no es unitario, Dūf fū (producto escalar) Dūf f ū ū

3 1.2 GRADIENTES Y DIFERENCIABILIDAD 3 Como corolario de este resultado, se tiene que el valor máximo de las derivadas direccionales de f en ā se alcanza en la dirección del vector gradiente f, y el valor absoluto de esa derivada direccional es Dū,máx f f Otro hecho destacable es que, dada f : R 2 R, el vector gradiente f, que supondremos no nulo, es perpendicular a la curva de nivel de z f(x, y) que pasa por ā. De igual modo, dada f : R 3 R, el vector gradiente f es perpendicular a la superficie de nivel de t f(x, y, z) que pasa por ā. Definición 1.5. Sea f : R n R m con ā R n y f (f 1,..., f m ). Entonces se dice que f es diferenciable en ā si f i es diferenciable ā para todo i 1,..., m. En tal caso, la diferencial de f en ā se define como la aplicación lineal Df : R n R m Df( x) f 1 x 1.. f m x 1 f 1 x n. f m x n x A la matriz anterior se le llama matriz jacobiana de f en ā y se denota por Jf. Regla de la cadena. Sean f : R n R m y g : R m R p tales que g f está definida, f es diferenciable en ā y g es diferenciable en f. Entonces g f es diferenciable en ā y D(g f) Dg(f)Df. Casos particulares de la regla de la cadena. Caso 1. Sea z f(x, y) una función diferenciable de variables x e y, con x g(t), y h(t) funciones diferenciables de variable t. Entonces z es una función diferenciable de t con dz dt f dx x dt + f dy dt o, de modo equivalente, dz dt dx x dt + dy dt Escrito matricialmente, se tiene dz dt ( x ) ( dx dt dy dt Caso 2. Sea z f(x, y) una función diferenciable de variables x e y, con x g(s, t), y h(s, t) funciones diferenciables de variables s y t. Entonces, s x x s + s )

4 4 1 DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES Escrito matricialmente, queda ( s t t x x t + t ) ( x ) ( x Teorema 1.3. Teorema de la función implícita. Supongamos que F : R n+1 R tiene derivadas parciales continuas y que el punto ( x 0, z 0 ) R n+1 (con x 0 R n y z 0 R) cumple que F ( x 0, z 0 ) 0 y ( x 0, z 0 ) 0. Entonces, la ecuación F ( x, z) 0 define, en un entorno del punto ( x 0, z 0 ), a z como función implícita de x, esto es, se puede encontrar una función (única y diferenciable) f( x) z definida en un entorno V de x 0 que cumple F ( x, f( x)) 0 x V. La función f tendrá derivadas parciales: s s x t t ) f con i 1,..., n y x (x 1,..., x n ) Teorema 1.4. Teorema de la función inversa. Sea f (f 1,..., f n ) : R n R n tal que f i tiene derivadas parciales continuas para todo i 1,..., n y sea f( x 0 ) ȳ 0. Si el determinante jacobiano Jf( x 0 ) es distinto de cero, entonces la función f admite inversa f 1 en un entorno de ȳ 0 f( x 0 ). La función f 1 tiene derivadas parciales continuas APLICACIONES Derivadas direccionales máximas Para una función diferenciable f : R n R el valor máximo de las derivadas direccionales de f en ā se alcanza en la dirección del vector gradiente f y el valor absoluto de ésta es Dū,máx f f Estimación por incremento y diferencial total Definición 1.6. Diferencial total de y f(x 1,..., x n ). Si y f(x 1,..., x n ) y x 1,..., x n son incrementos de x 1,..., x n, las diferenciales de las variables independientes x 1,..., x n son dx 1 x 1,..., dx n x n y la diferencial total de f se define como: df f x 1 dx f x n dx n Se verifica que si x 1,..., x n son pequeños, entonces y f x 1 x f x n x n

5 1.3 APLICACIONES Geometría diferencial 1. Planos tangentes y rectas normales a una superficie. Sea S una superficie definida en R 3 por la ecuación F (x, y, z) 0 y sea ā (a 1, a 2, a 3 ) S (F 0). Entonces, si F es diferenciable en ā, el plano tangente a S en ā es: π {(x a 1 ) x + (y a 2) + (z a 3) 0} Observación 1.1. Un vector normal al plano tangente a S en ā es F, y la recta normal a S en ā es con λ R. r x a 1 + λ x y a 2 + λ z a 3 + λ 2. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la intersección de dos superficies C { F (x, y, z) 0 G(x, y, z) 0 y sea p (p 1, p 2, p 3 ) C (F ( p) G( p) 0) con f y G diferenciables en p. Entonces, el vector tangente a C en p es ū (u 1, u 2, u 3 ) ū F ( p) G( p) i j k ( p) ( p) ( p) ( p) ( ( p) ( p) ( p) ( p), ( p) ( p), ( p) ( p) )

6 6 1 DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES La recta tangente a C en p es con λ R. x p 1 + λu 1 r y p 2 + λu 2 z p 3 + λu 3 El plano normal a C en p es Extremos relativos π {(x p 1 )u 1 + (y p 2 )u 2 + (z p 3 )u 3 0} Definición 1.7. Sea f : R n R y ā R n. Entonces se dice que f alcanza en ā: 1. Un máximo local si existe una bola B(ā, ɛ) centrada en ā y de radio ɛ > 0 tal que f( x) f para todo x B(ā, ɛ). 2. Un mínimo local si B(ā, ɛ) tal que f( x) f para todo x B(ā, ɛ).

7 1.3 APLICACIONES 7 3. Un punto de ensilladura si para todo ɛ > 0 existen x, ȳ B(ā, ɛ) tales que f( x) > f y f(ȳ) < f. Definición 1.8. Sea f : R n R. Se dice que f tiene un punto crítico en ā si f 0 o no existe alguna de las derivadas parciales f. Observación 1.2. Dada la superficie S de ecuación z f(x, y) (implícitamente F (x, y, z) 0 con F (x, y, z) f(x, y) z) y dado ā (a 1, a 2 ), el plano tangente en p (a 1, a 2, f(a 1, a 2 )) S es π {(x a 1 ) f x + (y a 2) f (z f) 0} Si f tiene un punto crítico en ā, el plano tangente será z a 3 f (plano horizontal), ya que f f x 0. Por tanto, una condición necesaria para que f tenga en ā un extremo relativo es que ā sea un punto crítico de f. Análisis de los puntos críticos Definición 1.9. Sea f : R n R y ā R n tal que existen y son continuas las derivadas de segundo orden 2 f x j para todo i, j 1,..., n en B(ā, ɛ). Entonces se define la matriz hessiana de f en ā como H f x 2 1 x n x 1 x 1 x n..... x 2 n ( 2 ) f. x j Por el teorema de Schwarz, la matriz hessiana es simétrica. Llamaremos hessiano de f en ā al determinante de la matriz hessiana. Teorema 1.5. En las condiciones de la definición anterior, sea ā un punto crítico de f. Entonces: 1. Si H f es definida positiva, f tiene un mínimo local en ā.

8 8 1 DIFERENCIABILIDAD EN VARIAS VARIABLES 2. Si H f es definida negativa, f tiene un máximo local en ā. 3. Si H f es indefinida, f tiene un punto de ensilladura en ā. Corolario 1.1. Sea f : R 2 R en las condiciones de la última definición y sea ā un punto crítico de f con ( ) A B H f B C y H f D. Entonces: 1. Si D < 0, f tiene un punto de ensilladura en ā. 2. Si D > 0 y A > 0, f tiene un mínimo local en ā. 3. Si D > 0 y A < 0, f tiene un máximo local en ā. 4. Si D 0 no se concluye nada. Multiplicadores de Lagrange Cuando se intenta resolver un problema de máximos y mínimos sometido a ligaduras, se suele hacer uso de los multiplicadores de Lagrange. Si deseamos encontrar los extremos relativos de la función f( x) sometida a las ligaduras {g 1 ( x) 0,..., g r ( x) 0}, con f, g 1,..., g r derivables y con derivadas parciales continuas, se considera F ( x) f( x) + λ 1 g 1 ( x) + + λ r g r ( x), donde los λ i son constantes denominadas multiplicadores de Lagrange. Los extremos condicionados de f serán puntos críticos de F. Teorema 1.6. Teorema de Lagrange. Sean f(x, y) y g(x, y) con primeras derivadas parciales continuas y tales que f tiene un extremo en el punto (x 0, y 0 ) sobre la curva de ligadura {g(x, y) 0}. Si g(x 0, y 0 ) 0, existe un número real λ tal que f(x 0, y 0 ) λ g(x 0, y 0 ). Corolario 1.2. Método de los multiplicadores de Lagrange. Supongamos que f(x, y), sujeta a la ligadura {g(x, y) 0}, tiene un extremo, donde f y g están en las condiciones del teorema de Lagrange. Para detectar los extremos de f basta resolver el sistema { f(x, y) λ g(x, y), g(x, y) 0} y evaluar f en cada uno de los puntos solución. El mayor y el menor de los valores obtenidos serán el máximo y el mínimo de f(x, y) sometida a la ligadura {g(x, y) 0}.