Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange

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Óscar Ramos Rico
hace 7 años
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1 Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange C.J. Vanegas 7 de abril de Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Estamos interesados en maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas restricciones o condiciones adicionales. (Método de multiplicadores de Lagrange, nos da una condición necesaria para que exista un extremo condicionado) Teorema 1. Sean f, g : U R n R funciones C 1, x 0 U g(x 0 ) = x y {x R n : g(x 0 ) = c} Notese que x 0 S. Suponga que g(x 0 ) 0 si f S alcanza un máximo o un mínimo local en x 0 entonces existe un número real tal que: f(x 0 ) = λ g(x 0 ). (A x 0 lo llamaremos punto crítico de f S ) Demostración : Similarmente al caso n = 3, para n arbitrario se puede definir el espacio tangente a S en x 0 como el espacío ortogonal a g(x 0 ), en el sentido siguiente: g(x 0 )es ortogonal ac (0) = vector tangente a S en x 0, c(t) = trayectoria en S y c(0) = x 0, es decir g(x 0 ) c (0) = 0. Por otro lado si f S tiene un máximo en x 0 entonces f(c(t) tiene un máximo en t = 0 (f(c(0) = f(x 0 ))) lo que implica que:0 = d dt f(c(t)) t=0 = f(c(t)) c (t t=0 = f(x 0 ) c (0) f(x 0 ) es perpendicular al espacio tangente e S en x 0. Como es espacio perpendicular a este espacio tangente es una recta, f(x 0 ) y g(x 0 ) son paralelos. Como g(x 0 ) = 0 entonces f(x 0 ) es un multiplo de g(x 0 ). 1

2 Corolario 1. Si el restringir f a una superficie S, tiene un máximo o un mínimo. en x 0 entonces. f(x 0 ) a S en x 0. Llamaremos a λ multiplicador de Lagrange. Para encontrar los puntos x 0 tales que f(x 0 ) = λ g(x 0 ) debemos resolver simultáneamente las siguientes ecuaciones en x 1,..x n, λ: con x = (x 1,.., x n ) f (x) = λ g (x), x 1 x 1. f (x) = λ f (x) x 1 x n g(x) = c o equivalentemente si definimos: h(x 1,..x n, λ) = f(x 1,..x n ) λ[g(x 1,..x n ) c], resolver : h (x, λ) = f (x) λ g (x) x 1 x 1 x 1. h (x, λ) = f (x) λ g (x) x n x n x n 0 = h (x, λ) = g(x) c λ Ejemplo 1. Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para obtener el máximo de f(x, y) = 9 x y sujeta a x + y = 3. ver figura 1 Solución 1. f(x, y) = 9 x y g(x, y) := x + y = 3; S = {(x, y) : x + y 3 = 0}, luego x = λ f = λ g, x = (x, y) x = y 3 = 0 y = λ Resolviendo el sistema obtenemos x + y 3 = 0 que λ = 3, x = 3, y = 3 ( 3 por lo que el punto críticos es, 3 ) ( 3, f, 3 ) = 9, esto significa que a las curvas de nivel de f : 9 x y = c para c creciente corresponden valores también crecientes de f. c = 9 Así el valor máximo de f (o de c) sujeta a la restricción, ocurre donde la curva de nivel es tangente a la recta x + y = 3.

3 Figura 1: f(x, y) = 9 x y y x + y = 3 Ejemplo. Calcular los máximos y mínimos de f(x, y) = xy para (x, y) restringido a la elipse 4x + y = 4. ver figura Solución. f(x, y) = xy; g(x, y) = 4x + y 4 = 0 S = {x R : g(x) = 0} { f(x) = λ g(x) y = λ8x x = λy Resolviendo el sistema : g(x) = 0 4x + y 4 = 0 Si x = 0, entonces y = ± Si λ = ± 1 4, entonces y = ± Así los puntos críticos son : (0, ), (0, ), ( Valores de f en los puntos críticos:, ), (, )(, ), (, ) f(0, ) = 0 f(0, ) = 0 f(, ) = 1 Valor máximo f(, ) = 1 Valor mínimo f(, ) = 1 Valor mínimo f(, ) = 1 Valor máximo Ejemplo 3. Determinar los extremos de f(x, y, z) = x + y + z sujeta a la restricción x y z = 1 3

4 Figura : f(x, y) = xy y 4x + y = 4 Solución 3. f(x) = x + y + z, g(x) = x y z 1, S = {x : g(x) = 0} y = λ y { f(x) = λ g(x) x = λx Resolviendo el sistema, obtenemos: g(x) = 0 z = λ z 9 x y z 1 = 0 x λx = 0 x(1 λ) = 0 x = 0 o λ = 1 si x = y z 1 = 0. si λ = 1 y 1 y = 0 3 y = 0 y = z = 1 z = 9 z = ±3 si λ = 1 z 9 z = z = 0 z = 0 ahora x = 0 = y = z no puede ser. x = z = y = 1 y = ± y = z = 0 x = 1 x = ±1. Luego los puntos críticos son: (0, 0, ±3), (0, ±, 0), (±1, 0, 0). Como la restricción es un elipsoide, superficie acotada entonces entre los puntos críticos tiene que haber un máximo y un mínimo. f(±1, 0, 0) = 1 mínimo. f(0, ±, 0) = 4. f(0, 0, ±3) = 9 máximo. 4

5 Observación 1. Acerca de la geomtría de este problema: La función f(x, y, z) = x + y + z mide el cuadrado de la distancia del punto (x, y, z) al origen. La superficie S de la restricción es un elipsoide con centro en el origen. Lo que hicimos entonces fue obtener los puntos del elipsoide que estaban más cerca y mas lejos del origen Varias Restricciones Si una superficie S está definida por varias restricciones, a saber: g 1 (x 1,..., x n ) = c 1. g k (x 1,..., x n ) = c k entonces el teorema de los multiplicadores de Lagrange se puede generalizar en la siguiente forma: Si f tiene un máximo o un mínimo sobre S en x 0, entonces deben existir constantes λ 1,..., λ k tales que: f(x 0 ) = λ 1 g 1 (x 0 ) λ k g k (x 0 ) (adicionalmente suponemos que los vectores g 1 (x 0 ),..., g k (x 0 ) son l.i. ) Ejemplo 4. Hallar los extremos de la función f(x, y, z) = xyz sujeta a las restricciones g 1 (x, y, z) := x + y + z 1 = 0 y g (x, y, z) := x + y + z = 0 Solución 4. Consideramos el siguiente sistema: yz = λ 1 x + λ f(x) = λ 1 g 1 (x) + λ g (x) g 1 (x) = 0 g (x) = 0 xz = λ 1 y + λ xy = λ 1 z + λ x + y + z 1 = 0 x + y + z = 0 si z = y se sigue que: x + y = 0, entonces y = ± 1 ( ) ( 1 1,, y P 1 =, 1, 1 ). Donde la solución esta dada por: ( x = ± 1 ), así: P 1 = Por otro lado si x = λ 1, entonces y = x ó z = x, de donde: Si y = x z = x x = ± 1 z = así P 3 = ( 1, 1, ) y P 4 = 5

6 ( 1, 1 ), Si z = x y = x x + 4x = 1 x = ± 1 y = así P 5 = ( 1 y P =,, 1 ) finalmente evaluando en la función P 1,..., P tenemos: f(p 1 ) = f(p 3 ) = f(p 5 ) = 1 3 mínimo f(p ) = f(p 4 ) = f(p ) = 1 3 máximo 1.. Máximos y Minímos globales ( 1,, ) 1 Definición 1. Sea U una región abierta en R n con frontera U. Decimos que U es suave si U es el conjunto de nivel de una función suave y cuyo gradiente g nunca se anula. Estrategia usando multiplicadores de Lagrange para encontrar máximos y mínimos absolutos en regiones con frontera. Sea f una función diferenciable sobre una región cerrada y acotada D = U U, U-abierto en R n con U suave. Para hallar el máximo y mínimo absoluto de f en D: i Encontrar todos los puntos críticos de f en U. ii Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para localizar todos los puntos críticos de f\ U. iii Calcular el valor de f en todos los puntos críticos iv Comparar todos estos valores y seleccionar el mayor y el menor. Ejemplo 5. Determinar los extremos absolutos de f(x, y) = x + 3y en la región K = {(x, y) : x x + y 3 0} Solución 5. Sea K = {(x, y) : x x + y 3 0} = {(x, y) : (x 1) + y 4} = Disco de centro (0, 1) y de radio. Puntos críticos de f en R f x Extremos de f en K = x = 0 ; f y = y = 0 luego P 1 = (0, 0).

7 { f(x) = λ g(x) x x + y 3 = 0 P = ( 1, 0), P 3 = ( 3 15, ), p 4 = ( 3, obtenemos: f(p 1 ) = 0 mínimo absoluto. f(p 1 ) = 1 f(p 3 ) = f(p 4 ) = 54 máximo absoluto. 4 Por otro lado, cuando consideramos: Resolviendo el sistema, obtenemos: y = λy 3y λy = 0 y(3 λ) = 0 y = 0 o λ = ), finalmente evaluando en f(x, y) = x + 3y Si y = 0 x x 3 = 0 x = 4 y x = 1 así ( 1, 0), (4, 0) C Si λ = 3 x = x 4x = x = 3 y = 9 4 = y = ± así ( ) ( ) ,,, 7

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