2 t, y t = 2 sin 2t, z t = 3e 3t. ( 2 sin 2t) + z. t = 0. = f u (2, 3)u s (1, 0) + f v (2, 3)v s (1, 0) = ( 1)( 2) + (10)(5) = 52

Transcripción

1 TALLER : Regla de la cadena, derivadas direccionales y vector gradiente Cálculo en varias variables Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín Escuela de matemáticas 1. Use la regla de la cadena para calcular dw dt, donde w x y + y z, x t, y cos(t) y z e 3t. w t w x x t + w y y t + w z z t w x 1 y, w y x y + 1 z, w z y z, x t 1 t, y t sin t, z t 3e 3t dw dt ( ) ( ) ( 1 1 y + x t y + 1 ) ( sin t) + ( y ) ( 3e 3t ) z z. Sea w(s, t) f(u(s, t), v(s, t)) donde u(1, 0), u s (1, 0), u t (1, 0) 6, v(1, 0) 3, v s (1, 0) 5, v t (1, 0), f u (, 3) 1 y f v (, 3) 10. Encuentre w s (1, 0) y w t (1, 0). f v (u(1, 0), v(1, 0)) f v (, 3) 10 f u (u(1, 0), v(1, 0)) f u (, 3) 1 w s (1, 0) f u u s + f v v s s 1 f u (, 3)u s (1, 0) + f v (, 3)v s (1, 0) ( 1)( ) + (10)(5) 5 Similarmente: t 0 w t (1, 0) f u u t + f v v t s 1 t 0 ( 1)(6) + (10)(0) 3 3. Sean z x y, x rest, y rse t. Emplee la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales z r, z s, z t cuando r 1, s y t 0. z r z r + z r z xx r + z y y r z s z xx s + z y y s z t z xx t + z y y t

2 z x 1 y, z y x y x s re st t, x s (1,, 0) (1)e ()(0) (0) 0 y s re t, y s (1,, 0) (1)e 0 1 x r e st, x r (1,, 0) e 0 1 y r se t, y r (1,, 0) ()e 0 x t re st s, x t (1,, 0) ()e 0 () y t rse t, y t (1,, 0) (1)()e 0 x(1,, 0) (1)e ()(0) 1, y(1,, 0) (1)()e 0 Luego sustituyendo z r 1 ( (1) + 1 ) () 0 de igual forma z s, z t. Sea T (x, y) la temperatura en el punto (x, y), medida en grados Celsius. Un gusano se arrastra de tal forma que, su posición (x, y) en cierto tiempo t (medido en segundos), viene dada por las ecuaciones paramétricas x 1 + t, y + 1 t, donde x y y son medidas en centímetros. La función de la temperatura satisface 3 además las condiciones T x (, 3) y T y (, 3) 3. Cuán rápido aumenta la temperatura en la senda del gusano después de 3 segundos? Nos piden dt dt (3) dt dt T xx t + T y y t x t 1 (1 + t) 1 ; x t (3) 1 y t 1 3 ; y t(3) 1 3 x(3) ; y(3) 3 T t (, 3) La producción de trigo en un año determinado W, depende de la temperatura promedio T y de la precipitación pluvial anual R. Los científicos estiman que la temperatura promedio aumenta a razón de 0,15 o C al año y que la precipitación pluvial disminuye a razón de 0,1cm al año. También estiman que para los actuales niveles de producción W/ T y W/ R 8. a) Qué significan los signos de estas derivadas parciales? b) Calcule la razón actual de cambio de la producción de trigo dw/dt.

3 6. Si z f(x, y), donde x r cos θ, y r sin θ, demuestre que + 7. Si z f(x, y), donde x s + t y y s t, demuestre que z s z s z xx s + z y y s, x s 1, x t 1, z s z + z z t z t z xx t + z y y t, y s 1, y t 1 ; z t z z Así 8. Sea f(x, y) un función diferenciable tal que + 1 r r z z s t. ( z z z s t + z ) ( z z ) ( ) f + Suponga que x u v y y uv. Demostrar que ( ) f + u ( ) f 0. ( ) f 0. v θ 9. Sean f(x, y, z) xy + yz + xz 3, P (, 0, 3) y u ( /3, 1/3, /3). a) Halle el vector gradiente de f. b) Evalue el vector gradiente de f en el punto P. c) Determine la tasa de cambio de f en P en la dirección del vector u. a) f(x, y, z) (f x, f y, f z ) (y + z 3, x + z, yz + 3xz ). b) f(, 0, 3) ( , + 3, ()(0)(3) + (3)()3 ) (7, 11, 5) c) u así D u f(, 0, 3) f(, 0, 3) u (7, 11, 5) ( 3, 1 3, 3) Encuentre la derivada direccional de g(x, y, z) z 3 x y, en el punto (1,6,), en la dirección del vector v 3 i + j + 1 k. 3

4 v ; sea u Nos piden D u g(1, 6, ) g(1, 6, ) u v v. g(x, y, z) ( xy, x, 3z ), g(1, 6, ) ( 1, 1, 1) luego D u g(1, 6, ) ( 1, 1, 1) ( 3 13, 13, 1 ) Sea f(x, y, z) x y + y. Determine la razón máxima de cambio de f en el punto (,, 1) y halle la dirección z en la cual ocurre. La razón máxima de cambio de f en el punto (,, 1) es f(,, 1) y ocurre en la dirección esto es: ( ) f(x, y, z) 1 y, x + 1 y z, y z f(,, 1) ( 1, + 1, ) ( 1, 0, ) 1 f(,, 1) ( ) u (1/,0, ) 17/ 1 17, 0, 17 f(,,1) f(,,1), 1. Sea f una función de dos variables con derivadas parciales continuas. Consideremos los puntos A (1, 3), B (3, 3), C (1, 7) y D (6, 15). La derivada direccional de f en A en la dirección del vector AB es igual a 3 y la derivada direccional de f en A en dirección del vector AC es igual a 6. Encuentre la derivada direccional de f en A en la dirección del vector AD. Sean AB u 1 AB (, 0) (1, 0), AC u AC (0, ) (0, 1). Nos dicen que D u1 f(1, 3) 3 y que D u f(1, 3) 6. Es decir, f x (1, 3) 3 y f y (1, 3) 6 Sea AD (5, 1) (5, 1) u ( 5 AD , 1 13). Nos piden D u f(1, 3). Esto es: D u f(1, 3) f(1, 3) u (3, 6) ( ) Sea S la superficie dada por la ecuación xe yz 1. Determine una ecuación para el plano tangente y una ecuación para la recta normal a S en el punto (1,0,5). Observemos que S es la superficie de nivel con k 1 de f(x, y, z) xe yz, luego el f(1, 0, 5) es ortogonal a S en (1, 0, 5) y por tanto la ecuación del plano tangente en (1, 0, 5) esta dada por tenemos: f x (1, 0, 5)(x 1) + f y (1, 0, 5)(y 0) + f z (1, 0, 5)(z 5) 0.

5 f(x, y, z) (e yz, xze yz, xye yz ), f(1, 0, 5) (f x (1, 0, 5), f y (1, 0, 5), f z (1, 0, 5)) (1, 5, 0). Luego sustituyendo se tiene que: La ecuación del plano en (1, 0, 5) es x + 5y 1 y las ecuaciones paramétricas de la recta normal esta dada por x 1 + t y 5t z 5 t R 1. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva de intersección del paraboloide z x + y y del elipsoide x + y + z 9 en el punto ( 1, 1, ). En primer lugar se verifica que el punto dado pertenece a ambas superficies. Sean T la recta tangente a la curva de intersección del paraboloide y el elipsoide en el punto ( 1, 1, ); f(x, y, z) x + y z y g(x, y, z) x + y + z, así f( 1, 1, ) es a T y g( 1, 1, ) es también a T por tanto un vector director de T es f( 1, 1, ) g( 1, 1, ). Tenemos f(x, y, z) (x, y, 1), f( 1, 1, ) (,, ) g(x, y, z) (8x, y, z), g( 1, 1, ) ( 8,, ) f( 1, 1, ) g( 1, 1, ) Luego las ecuaciones parametricas de T estan dadas por i j k 8 1 i + j +1 k x 1 + 1t y 1 + t z + 1t t R 5

6 15. Muestre que el elipsoide 3x + y + z 9 y la esfera x + y + z 8x 6y 8z + 0 son tangentes en el punto (1, 1, ) (Esto significa que tienen un plano tangente común en el punto). PAra comenzar se verifica que el punto pertenezca a las dos superfiecies. Luego se comprueba que dos vectores normales a las superficies son paralelos. 6