Matrices 1 (Problemas). c

Transcripción

1 º Bachillerato Matrices 1 (Problemas) 1.- Efectúa las siguientes operaciones con matrices: a) b) c). 4 d) g) a 0 b 0. 0 b c c Siendo A = 1, halla A y A b. c e) ( ). f) ( a b c).- Siendo A = a b c 0 y B = 0 a. b c Halla: a) (A+B) b) A + AB + B c) A - B d) (A+B).(A-B) Siendo A = 0 b 0, calcula A, A y deduce el valor de A n. 0 0 c Dadas las matrices A = 1 1, B = 0 1, C =, efectúa las operaciones siguientes: a) A + B b) A + B.C c) A.C + B d) A + B e) A - B f) A.B + B.C 6.- Sea A = 1. Prueba que las matrices del tipo: B = λ.a + µ.i / λ, µ R, son permutables 1 1 para el producto. 7.- Demuestra las siguientes propiedades de la transposición de matrices: a) (A + B) = A + B b) (λ.a) = λ.a c) (A.B) = B.A

2 º Bachillerato Matrices (Problemas) 8.- Halla las matrices que permutan con A = Sea la matriz A =. 1 a) Demuestra que A es invertible y calcula A -1. b) Halla las matrices X e Y de M (R) tales que: X.A = ; A.Y = Dadas las matrices: A = ; = Demuestra que = 0, y deduce el valor de A n para n natural (obsérvese que A = I + y que I permuta con ). cosθ 11.- Calcula A n con n natural, siendo A = senθ calcula A -1 y también A n siendo n entero. senθ. Demuestra que A es invertible y cosθ 1.- Halla el rango de las matrices siguientes: a) b) r q 0 b d) r 0 p e) b a 0 q p 0 0 b a c) f) b b a b a b a 1.- En el conjunto M (C) (matrices cuadradas de orden con números complejos), se consideran i 1 0 las matrices: X =, Y =, Z = 1 0 i 0 0 Calcula: a) YZ - ZY b) ZX - XZ c) XY - YX d) X + Y + Z 14.- Se dice que una matriz A de M n (R) es nilpotente de índice p si existe un natural p > 1 tal que A p-1 0 y A p = 0. Demuestra que si A es nilpotente de índice p, entonces I n -A es invertible y tiene como inversa la matriz I n +A+A +...+A p Las exportaciones (en cientos de toneladas) de agrios, trigo y abono de un país a las naciones A, B y C se han repetido en los años 1988 y 1989, viniendo expresadas por la matriz E, mientras que la matriz P refleja los precios los precios de cada producto en dichos años:

3 º Bachillerato Agrio E: rigo 6 Abonos 5 Matrices (Problemas) A B C Ag. r. Ab. P: Encuentra el valor de lo exportado a cada uno de los países en los dos años Sean las matrices A 6 8 y B = 5 7. Efectuar las siguientes operaciones: ; ( ) ( ) A B A B ; ( A ) A ; B B ; ( A B) ( A B) 17.- Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones?: a) ( ) A + B = A + AB + B a) ( ) ( ) A + B A B = A B 18.- Es cierto que el producto de dos matrices no nulas es siempre una matriz no nula? Sean A, B y C matrices no nulas tales que A B = A C, podemos asegurar que B = C? Y si existe A? 0.- Encontrar las matrices X e Y que verifican los siguientes sistemas matriciales: X a) X + Y = 1 0 Y = b) 1 X + Y = X Y = 0 1 c) 8 X + Y = 1 8 X + Y = Encuentra todas las matrices de orden que cumplan: a) A = A b) A = O. Ídem si la matriz A es simétrica..- Calcular A n siendo: a a) A = 1 0 a b) A = cosα senα c) senα cosα

4 º Bachillerato Matrices 4 (Problemas).- Demostrar que la matriz A = 1 1 n n satisface la relación A = 1 A Si A es una matriz cuadrada de orden n, tal que A = A, e I es la matriz unidad de orden n, qué matriz es B p q r, si B = A I?. Calcula A B A siendo p, q y r entero positivos. 5.- Sea A una matriz cuadrada de orden n que verifica: A A I = 0. Encuentra A Sea la matriz A = 1 0 1, comprueba que A A I = 0. eniendo en cuenta la igualdad anterior, encuentra A y resuelve la ecuación: A X = Dada la matriz A = 1 4 5, se pide: 4 a) Comprobar que A verifica la siguiente igualdad: A + I = 0. 1 b) Justifica que A es invertible y encuentra A. Resuelve: X A = c) Calcula razonadamente A 10. d) Estudia cuántos resultados distintos tienen las potencia naturales A n. 8.- Dada la matriz A = 1 1, encuentra todas las matrices que conmutan con ella. De todas la 1 encontradas, cuál es A? Dada la matriz A = 0, encuentra la matriz B de forma que AB = A + I. 0.- Define matriz inversa. Supuesto que dada la matriz A existe A, es cierto que la inversa de A 1 = A?. Justifica la respuesta. A es ( A )?. Y que ( ) ( ) 1.- Sea A una matriz cuadrada, demostrar que matriz antisimétrica. A + A es una matriz simétrica y que A A es una.- Sea A una matriz antisimétrica, demostrar que A y A 4 son matrices simétricas y que A y A 5 son matrices antisimétricas.

5 º Bachillerato Matrices 5 (Problemas).- Demostrar que si A es una matriz simétrica, A n es una matriz simétrica n ℵ. 6.- Demostrar que el producto de una matriz arbitraria por su transpuesta es una matriz simétrica. cosα 7.- Comprobar que la matriz A = senα senα cosα es ortogonal. 8.- Demostrar que el producto de dos matrices ortogonales es otra matriz ortogonal. 9.- Define matriz transpuesta y matriz inversa de una matriz cuadrada. Se puede deducir de estas 1 dos definiciones que ( A ) = ( A )?. Probar que si A es una matriz simétrica, A también lo es Demostrar que si A y B tienen inversa, A B también la tiene, siendo ( A B) = B A CUESIONES PROPUESAS EN SELECIVIDAD 0 1. Dada la matriz A =, qué relación deben guardar las constantes a y b para que se 1 b verifique la igualdad A = A?.. Siendo A = a b, calcula a y b para que se verifique la igualdad: A = A 1 y 1 x 5 0. Determina x, y, z para que se verifique la igualdad: = x z y z Demostrar que para las matrices de la forma es conmutativo. 1 0 x A = 0 1 0, siendo x un número real, el producto Dada 1 A = , encuentra 1 n A para n ℵ.

6 º Bachillerato Si A =, calcula 1 1 Matrices 6 (Problemas) 50 0 A + A. y Determina y en Z = para que se verifique la ecuación matricial: Z Z + I = O, 0 siendo I la matriz identidad y O la matriz nula de orden. Expresa Z en función de Z. 8. Si A es una matriz tal que A = A, determina R λ y 0 λ que verifique: ( A I ) = I 9. Sea A una matriz cuadrada que verifica A + A + I = 0. Demuestra que A es invertible Sea A = 6 Probar que ( A + I ) = O, siendo I la matriz identidad y O la matriz 0 5 nula. Justifica que A es invertible y obtén su matriz inversa A. Recordando que A + I =, expresa A y A como combinación lineal de A e I. ( ) O λ