SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DEL COLEGIO DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA DE MATEMÁTICAS II CURSO

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1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DEL COLEGIO DE ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA DE MATEMÁTICAS II CURSO Ejercicio 1º.- Dada la matriz: A 1 1 a) (1,5 puntos) Determina los valores de λ para los que la matriz A + 3A no tiene inversa. b) (1,5 puntos) Para λ = 0, halla la matriz X que verifica A.X + A = I, siendo I la matriz identidad de orden. SOLUC: a) Si λ = -1 ó λ = -4 la matriz A + 3A no tiene inversa. b) 1 0 X Ejercicio º.- Sea la matriz A a) (0,5 puntos) Demuestra que se cumple que A 3 = -I. Siendo I la matriz identidad de orden 3. b) (0,75 puntos) Calcula razonadamente A 100. c) (1,5 puntos) Justifica que la matriz A es invertible y calcula su inversa SOLUC: b) A 100 = -A = c) 1 A Ejercicio 3º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente: ax y z 1 x ay z ax y z 1 a) (1,5 puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema en función de los valores del parámetro a. b) (1 punto) Resuelve el sistema para a = 0. SOLUC: a) Si a 0 y a 1 rango A = rango A = 3 = nº de incógnitas SCD Se trata de tres planos que se cortan en un mismo punto. Si a = 0 rango A = rango A = < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta. Si a = 1 rango A = rango A = 3 SI No hay ningún punto en común a los tres planos. b) ( - λ, 1 λ, λ) Ejercicio 4º.- Sean F 1, F y F 3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -. Calcula indicando las propiedades que utilices: a) (0,5 punto) El determinante de B 1 t 4 b) (0,5 puntos) El determinante de ( B ) c) (0,5 puntos) El determinante de B d) (1 punto) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente: 5F 1 F 3, 3F 3 y F SOLUC: a) 1 1 B b) T 4 (B ) 1 6 B d) c) F F F 3 0 F 3

2 Ejercicio 5º.- Considera los puntos A = (-1, k, 3), B = (k+1, 0, ), C = (1,, 0) y D = (, 0, 1). a) (1,5 puntos) Existe algún valor de K para el que los vectores AB BC y CD sean linealmente independientes. b) (1,5 puntos) Para k = 1, calcula el volumen del tetraedro que tiene por vértices los puntos A, B, C y D. SOLUC: a) Sea cual sea el valor que le demos a k, los vectores AB B C y C D serán LI. b) u Ejercicio 6º.- Considera el sistema de ecuaciones homogéneo siguiente: x y 0 x (t 1)y (t 1)z 0 ( t 1)x ( t 3)z 0 a) (1,5 puntos) Existe algún valor de t para el que el sistema anterior tenga soluciones distinta de la trivial? b) (1 punto) Resuelve el sistema para t =. SOLUC: a) Sí, para t = 1 ó t = rango A = rango A = < nº de incógnitas es un SCI (el sistema tiene infinitas soluciones, además de la trivial) b) (λ, -λ, λ) 3 0 Ejercicio 7º.- Sea la matriz A a) (1 punto) Hay algún valor (o valores) de λ para el que la matriz A I tiene inversa, siendo I la matriz identidad de orden 3? b) (1,5 puntos) Para λ = - resuelve la ecuación matricial AX = X + I SOLUC: a) Sí, siempre que λ -1 y λ 1 y λ la matriz A I tendrá inversa / 3 0 / 3 b) 1 X / 1 1 / 4 15 / / / 3 Ejercicio 8º.- (,5 puntos) Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 0 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de euros. Calcular cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30% de las cajas. SOLUC: euros en el primer mercado, euros en el segundo mercado y 1000 en el tercero.

3 a b c Ejercicio 9º.- Sabiendo que A d e f siguientes determinantes: a) (1 punto) 3A y 1 A b) (0,75 puntos), calcula, indicando las propiedades que utilices, los g h i c b a f e d i h g c) (0,75 puntos) a b a c d e d f g h g i SOLUC: a) A 5 4 A b) c b a f e d i h g 4 c) a b a c d e d f g h g i Ejercicio 10º.- Considera los puntos A = (-1, 1, 1), B = (-1,, 0), C = (, 1, ) y D = (a, -, ). a) (1,5 puntos) Determina el valor de a para que los puntos A, B, C y D sean coplanarios. b) (1,5 puntos) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C. SOLUC: a) Si a = -7 los puntos A, B, C y D son coplanarios b) 19 Área u Ejercicio 11º.- (,5 puntos) Dadas las matrices: A 0 1 B C T Calcula, si existe, la matriz X que verifica: AXB C 3 1 SOLUC: X Ejercicio 1º.- a) (1 punto) Calcula la matriz inversa de A b) (1,5 puntos) Escribe en forma matricial el siguiente sistema, y resuélvelo utilizando la matriz A -1. x y 1 y z x z SOLUC: a) 1 1 A x 3 AX B siendo A ; B ; X y ; X z 0 b)

4 kx y 3 Ejercicio 13º.- Considera el sistema de ecuaciones x kz 1 3x y 7z k 1 a) (1,75 puntos) Clasifica e interpreta el sistema según los valores del parámetro k. b) (0,75 puntos) Resuelve el sistema para k = 1. SOLUC: a) Si k 1 y k -7 rango A = rango A = 3 = nº de incógnitas SCD Se trata de tres planos que se cortan en un mismo punto. Si k = 1 rango A = rango A = < nº de incógnitas SCI Se trata de tres planos que se cortan en una recta. Si k = -7 rango A = rango A = 3 SI No hay ningún punto en común a los tres planos. b) (1 + λ, 1 λ, λ) Ejercicio 14º.- Sean C 1, C y C 3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz M de orden 3, cuyo determinante vale -1. Calcula indicando las propiedades que utilices: e) (0,5 punto) El determinante de M 1 t 4 f) (0,5 puntos) El determinante de ( M ) g) (0,5 puntos) El determinante de 3M h) (1 punto) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente: C 1 C 3, C 3 y 4C SOLUC: a) 1 M 1 b) T 4 (M ) 1 c) 3 M 7 d) C 1 C 3 C 3 C 4 8 Ejercicio 15º.- Considera los puntos A=(-1,k,3) B=(k+1,0,) C=(1,,0) y D=(,0,1). a) (1 punto) Comprueba si hay algún valor del parámetro k para los que los vectores AB, BC y CD son LD. b) (1 punto) Para k=1 calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. c) (0,5 puntos) Para k=1, calcula un vector perpendicular a los vectores AB yac que sea unitario. SOLUC: a) No hay ningún valor de k que haga que los vectores AB c) i j i ó i j i B C y C D san LD. b) u a b A c d se sabe que det (A) = 4 b a c) (1 punto) Halla razonadamente det (-3A T ) y det 3d 3c d) (0,75 puntos) Calcula det (A -1.A T ). e) (0,75 puntos) Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 = I, siendo I la matriz identidad. Halla det (B). Ejercicio 16º.- De la matriz: SOLUC: a) a b det (-3A)=36 4 3d 3c b) 1 T 4 det (A.A ) 1 c) d e t (B ) 1

5 Ejercicio 17º.- Considera el segmento de extremos A = (1,, 1) y B = (-1, 0, 3) a) (1,5 puntos) Halla los dos puntos que dividen al segmento en tres partes iguales. b) (1,5 puntos) Halla la ecuación del plano que es perpendicular al segmento AB y pasa por su punto medio. SOLUC: a) (,, ); (-,, ) b) x y z Ejercicio 18º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente: ax y z 4 x ay z 1 x y z a a) (1,5 puntos) Resuelve el sistema para el valor de a que lo hace compatible indeterminado. b) (1 punto) Resuelve el sistema para a = -. SOLUC: a) Si a = -1 rango A = rango A = < nº de incógnitas SCI Soluciones: 3 5 (- ),, b) Si a = - rango A = rango A = 3 SCD Solución: (-4/3, 1, 1/3) Ejercicio 19º.- Sean r y s las rectas definidas por: x y k z r: s: x y 1 z i) (1,5 puntos) Halla el valor de k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto. j) (1,5 puntos) Halla la ecuación implícita del plano que contiene a ambas rectas. SOLUC: a) k = -4/7 b) x 7y + 5z 6 = 0 x y 5 Ejercicio 0º.- Considera el punto P = (1, 0, -) y la recta r de ecuaciones: x y 4z 7 c) (1,5 puntos) Determina la recta perpendicular a r que pasa por P. d) (1 punto) Halla la distancia entre el punto P y su simétrico P respecto a la recta r. SOLUC: a) x 1 y z b) S 3 u Ejercicio 1º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales: x y z 0 x my z x y mz m1 a) (1,5 puntos) Calcula el valor de m para que el sistema sea incompatible. b) (1 puntos) Resuélvelo para m = 1 SOLUC: a) Si m = rango A = rango A = 3 SI b) Si m = 1 rango A = = rango A < nº de incógnitas SCI Solución: (,, )

6 1 0 0 Ejercicio º.- Considera las matrices A 0 a a y B c) (1 punto) Hay algún valor de a para el que la matriz A no tiene inversa. d) (1,5 puntos) Para a = 1 resuelve la ecuación matricial A -1.X.A = B SOLUC: a) NO, A = a + 1 que es distinto de cero para cualquier valor de a. b) 0 1 / 1 / 1 X A.B.A 1 1 / 1 / 1 1 / 1 / x 1 y z 1 Ejercicio 3º.- Considera la recta r definida por: 4 x y z 0. Determina los valores de α y β en cada uno de los siguientes casos: a) (1 punto) La recta r es perpendicular al plano π. b) (1,5 puntos) La recta r está contenida en plano π. SOLUC: a) α = -8 β = -1/ b) α = 4 β = - y el plano π de ecuación: Ejercicio 4º.- Considera el plano π de ecuación: x y z 6 0 y la recta r definida por: x 1 y 1 z 1 a) (1,5 puntos) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano π con los ejes de coordenadas. b) (1,5 puntos) Calcula razonadamente la distancia del origen de coordenadas a la recta r. SOLUC: a) 7/ u b) 1 u Ejercicio 5º.- Considera el triángulo de vértices los puntos A = (0, 3, -1), B = (0, 1, 5) y C = (x, 4, 3). a) (1,5 puntos) Determina los valores de x sabiendo que el triángulo tiene un ángulo recto en C: b) (1,5 puntos) Halla la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos (0, 1, 5) y (3, 4, 3) y x y z 0 es paralelo a la recta r de ecuaciones. x y 3 SOLUC: a) x 5, es decir, existen dos posibles soluciones para el vértice C: b) 13x 7y + 9z 38 =0 C ( 5, 4, 3) y C (- 5, 4, 3) 1 Ejercicio 6º.- Se sabe que los planos de ecuaciones x y bz 1 x y bz 0 3x 3 y z 1 se cortan en una recta r. f) (1,5 puntos) Halla razonadamente el valor de b. g) (1,5 puntos) Calcula unas ecuaciones paramétricas para la recta r.

7 x SOLUC: a) b = -1 b) y z x Ejercicio 7º.- Se considera la recta r definida por: a 0 y z x 4 z y 1 4 y (a 0) y la recta s definida por: a) (1,5 puntos) Halla el valor de a para el que r y s son perpendiculares. b) (1,5 puntos) Deduce razonadamente si existe algún valor de a para el que r y s sean paralelas. SOLUC: a) a = -4/3 b) NO hay Ejercicio 8º.- (,5 puntos) Dadas las matrices: A B Calcula la matriz P que verifica A.P B = C T 3 0 SOLUC: 1 T P A ( C B ) 0 3 y 0 1 C x 1 y 1 Ejercicio 9º.- Dada la recta r definida por: z 3 k) (1,5 puntos) Halla la ecuación implícita del plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene a r. l) (1 punto) Halla la ecuación implícita del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a r. SOLUC: a) 7x 3y 5z = 0 b) x + 3y + z = 0