ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L

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1 ÁLGEBRA SELECTIVIDAD C y L JUNIO Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son respectivamente C1, C2 y C3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son - C2, C3 + C2, 3C1. Calcúlese razonadamente el determinante de A -1 en caso de que exista esa matriz. (Solución: 6, 1/6) 2. Se considera el sistema x + y + z = λ x + y + λz = 1. x + λy + z = 1 a) Discútase según los valores del parámetro λ. (1,5 puntos) b) Resuélvase para λ = 3. (0,75 puntos) c) Resuélvase para λ = 1. (0,75 puntos) (Solución: ) 1., 1 ) (1,1,1) ) (+1,,)) 3. Dada la matriz B = hállese una matriz X que verifique la ecuación -1 XB+B=B. (Solución: ) SEPTIEMBRE Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz B = 3A. Calcúlese el determinante de la matriz B. (Solución: 9) (1 punto) x + 2y + 3z = 1 5. Se considera el sistema de ecuaciones lineales x + ay + 3z = 2. 2x + ( 2 + a) y + 6z = 3 a) Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea incompatible? (1 punto) b) Existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado? (1 punto) c) Resuélvase el sistema para a0. (1 punto) (Solución: ) 2, 2 ) ) 23,, ) Dadas las matrices P = y A = 0 1 0, hállese la matriz B sabiendo que P BP = A. (1 punto) (Solución: 1 1 2, 1 0 1)

2 JUNIO 2005 x + ay z = 2 7. a) Discútase el sistema 2x + y + az = 0, en función del valor de a. (2,25 puntos) 3x + ( a + 1) y z = a 1 b) Para el valor a = 1, hállese, si procede, la solución del sistema. (0,75 puntos) (Solución: ) 0, 0, ) (6, 10,2) ) 8. Sea A una matriz 2 2 de columnas C 1,C2 y determinante 4. Sea B otra matriz 2 2de determinante 2. Si C es la matriz de columnas C 1 + C2 y 3C 2, calcúlese el determinante de la matriz 1 B C. (Solución: 1/6) (1 punto) 9. Dadas las matrices XC A = 1 0 0, C = A = C A. (Solución: X I) (1 punto) , hállense las matrices X que satisfacen 2 SEPTIEMBRE 2005 a b Sea la matriz A =. Calcúlese el determinante de A sabiendo que A 2A + Id = 0, donde 0 c Id es la matriz identidad y 0 es la matriz nula. (1 punto) (Solución: 1 0 1) Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz (1 punto) 0 1 a (Solución: ()3, ()2) Sea k un número real. Considérese el sistema de ecuaciones lineales++ ++ a) Discútase según los valores de k e interprétese geométricamente el resultado. (2,25 puntos) b) Resuélvase el sistema para k = 2. (0,75 puntos) (Solución: a) k -2 y k1 S.C.D (los tres planos se cortan en un punto), k -2 S.I (los tres planos se cortan dos a dos en una recta), k1 S.C.I (son el mismo plano) ),, ) Sea A =. Determínense los valores de m para los cuales A + mid no es invertible (donde 2 3 Id denota la matriz identidad). (Solución: 2 5) (1 punto)

3 JUNIO Hállense las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad: A = A. (Solución: x + 2y + z = Se considera el sistema de ecuaciones lineales (1 + a) y + z = 4. x + 2y + az = 4 a) Discútase el sistema según el valor del parámetro real a. (2 puntos) b) Resuélvase el sistema para a2. (1 punto) (Solución: ) 1.., 1., 1. ) (0,1,1)) 16. Dadas las matrices P = y sabiendo que BP = A. (1 punto) (Solución: ) SEPTIEMBRE A = 0 1 0, hállese razonadamente la matriz B Sea m un número real. Discútase, en función de m, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es 1 (1 punto) (Solución: m 1 S.C.D., m1 S.C.I.) 18. Discútase, en función del parámetro real k, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Resuélvase el sistema cuando sea posible. 3+0 (Solución: k 0 y k 3 S.I., k 0 S.C.D. (0,0), k 3 S.C.D. (3, -3), k -3 S.C.D. (-3/5, -3/5)) Dada la matriz determínense los valores del número real a para los cuales existe la matriz inversa de P. (Solución: la matriz tiene inversa para cualquier valor de a) JUNIO Hallar para qué valores de a es invertible la matriz y calcular la inversa para 1 a 0. (1 punto) (Solución: /4 0 )

4 Sean las matrices 2, 2, 0 1 0, 2, a) Hallar la matriz AB t donde B t indica la matriz traspuesta de B. Es inversible? b) Hallar el rango de la matriz A t D c) Calcular que verifique ( +) /7 (Solución: a) ) (10) 1,) 1 ) Discutir en función de a el sistema + 1 (Solución: a 0 y a -1 S.C.D., a 0 S.C.I., a -1 S.I.) SEPTIEMBRE Se considera el sistema x + y + az = 4 ax + y z = 0, donde a es un parámetro real. 2x + 2y z = 2 a) Discutir el sistema en función del valor de a. (2 puntos) b) Resolver el sistema para a = 1. (1 punto) (Solución: a) 1..., 1...,.. ) (2,,2)) Sean X una matriz 2 2, I la matriz identidad 2 2 y B =. Hallar X sabiendo que BX + B = B + I. (1 punto) (Solución: ) Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz (Solución: 4 1 ()3, 4 ()2, 1 ()2) JUNIO Sean las matrices Calcular la matriz A, sabiendo que A2 B y A 3 C. (Solución: )

5 Se considera el sistema +2 donde a es un parámetro real. +2 a) Discutir el sistema en función del valor de a. (1,5 puntos) b) Resolver el sistema para a 0. (0,5 puntos) c) Resolver el sistema para a 1. (1 punto) (Solución: a) a 1 S.C.I., a 1 S.I. b) S.I. c) (1-2t, 2-t, t)) Calcular el rango de la matriz (Solución: rango (A) 2) SEPTIEMBRE Sea a un parámetro real. Se considera el sistema (1) a) Discutir el sistema en función del valor de a. (2 puntos) b) Resolver el sistema para a 0. (0,5 puntos) c) Resolver el sistema para a 1. (0,5 puntos) (Sol: ) , 0..., 1.., ) (2,1,), ) (,2,)) 30. Sea A una matriz 3x3 de columnas C1, C2 y C3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C1 C2, 2C1 3C3 y C2 (en ese orden). Calcular el determinante de B en función del de A. (Solución: 3 ) 31. Sea a un número real. Discutir el sistema de ecuaciones siguiente, según los valores de a: +0 (1 punto) 2+(1)0 (Solución: , 2..., 1...) JUNIO Sea A una matriz cuadrada tal que det(a) - 1 y det((-2) A) 32. Calcular el tamaño de la matriz A. (1 punto) (Solución: n 5) 33. Calcular la matriz X que verifica AX B B t, donde , siendo Bt la matriz transpuesta de B. (1 punto) (Solución: )

6 5 34. Sea el sistema de ecuaciones lineales: + Se pide: 23 a) Discutirlo en función del parámetro.(2 puntos) b) Resolverlo cuando sea compatible. (1 punto) (Solución: )...,.. ),, ) Resolver la ecuación +1 0 (Solución: x -1/3) +1 SEPTIEMBRE Resolver la ecuación 2 10 (Solución: x 1) a) Discutir, según el valor del parámetro real a, el siguiente sistema de ecuaciones: (2,5 puntos) 3+25 b) Interpretar la discusión realizada en a) en términos de la posición relativa de los planos dados por cada una de las tres ecuaciones del sistema. (0,5 puntos) (Solución: 1...( ), 1...( ) Estudiar, en función del parámetro real, el rango de la matriz (Solución: 3, 1 2 () 3, 3,1,2 rango (A) 2) (1 punto) JUNIO a) Sea B una matriz cuadrada de tamaño 3x3 que verifica que B 2 16 I, siendo I la matriz unidad. Calcular el determinante de B. (1,5 puntos) b) Hallar todas las matrices X que satisfacen la ecuación (Solución: a) 64 b) X ) Consideramos el sistema de ecuaciones lineales: (1 punto)

7 a) Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro a. (2 puntos) b) Resolver el sistema para a 1. (0,5 puntos) (Solución: a) , 0.., 5.. ) (1,0,0)) Dadas las matrices 0 1 0, a) Para qué valores de m existe B -1? Para m1, calcular B -1. (1,5 puntos) b) Para m 1, hallar la matriz X tal que X. B + C D. (1 punto) (Solución: a) 0, ) ) Discutir según los valores del parámetro, y resolver cuando sea posible, el sistema: +1 +(1)0 +(1)+ (Solución: ,, 1..., 2..) SEPTIEMBRE Discutir, y resolver en los casos que sea posible, el sistema: (2,5 puntos) (Solución:...,,..) a) Si se sabe que el determinante vale 5, calcular razonadamente y (1,5 puntos) b) Si A es una matriz cuadrada de tamaño 2x2 para la cual se cumple que A -1 A t (A t traspuesta de la matriz A), puede ser el determinante de A igual a 3? (1 punto) (Solución: a) 30, -5 b) No, det (A) 1) 45. a) Sea A una matriz cuadrada tal que A 2-3A -2 I (siendo I la matriz identidad). Probar que A admite inversa y utilizar la igualdad dada para expresar A -1 en función de A. (1,5 puntos)

8 1 2 b) Sea 2 0 1la matriz de coeficientes de un sistema lineal. Hallar razonadamente los 1 2 valores de m para los que el sistema es compatible determinado. (1 punto) (Solución: a) Existe A -1 porque , A -1 (3) b) m 9/4) Sean las matrices y a) Calcular A -1 (1 punto) b) Resolver la ecuación matricial AX + 2 AB B. (1,5 puntos) 1/3 2/3 0 4 (Solución: a) ) JUNIO a) Calcular el rango de la matriz (1,5 puntos) b) Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B 2. (1 punto) (Solución: a) rango (A) 2 b) ) 48. Discutir, y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores del ++1 parámetro m: (2,5 puntos) (Solución: 1...,1,, 1... (,, )) SEPTIEMBRE a) Averiguar para qué valores de m la matriz 1 1 no tiene inversa. (0,5 puntos) 0 2 b) Calcula la matriz inversa de A para m 0. (1 punto) c) Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada A vale 1 y que el determinante de la matriz 2 A vale 16 Cuál es el orden de la matriz A? (Solución: 2 1 ) 2 2 1, ) 4) 0 0 1

9 50. Discutir según los valores de m y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales +2 + (2,5 puntos) +2 (Solución: m 1 S.I., m 0 S.C.D., m 0 y m 1 S.I.) JUNIO (1)(+2) 51. Se considera el sistema de ecuaciones ++ (1) (+2) ++(1) (+2) a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. (1,5 puntos) b) Resolver el sistema para a 1. (0,5 puntos) c) Resolver el sistema para a -2. (0,5 puntos) (Sol: ) , 1..., 2... ) (,,) ) (,,)) 52. Sea M una matriz cuadrada que cumple la ecuación M 2-2M 3I, donde I denota la matriz identidad. a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo expresar M -1 en términos de M e I. (1,25 puntos) b) Hallar todas las matrices M de la forma que cumplen la ecuación M 2-2M 3I (1,25 puntos) (Solución: a) Existe A -1 porque , M -1 2 (2) b) 1 2 1, , 3, ) SEPTIEMBRE Se considera el sistema 2++0, donde a es un parámetro real. Se pide: ++1 a) Discutir el sistema en función del valor de a. (1,75 puntos) b) Hallar la solución del sistema para 1a, si procede. (0,75 puntos) (Solución: a) , 1..., 2.. b) (2,2+3,)) a) Determinar, en función del valor del parámetro real a, el rango de la matriz b) Sea C una matriz 2x2 de columnas C1 y C2 y de determinante 5, y sea B una matriz 2x2 de determinante 2. Si D es la matriz de columnas 4C2 y C1 C2, calcular el determinante de la matriz BD -1. (1 punto) (Solución: 0 3 () 3, 0 3 rango (A) 2). (1,5puntos)

10 JUNIO Sean las matrices, 1, 1, a) Calcular, cuando sea posible, las matrices.,.,., ( 0,75 puntos) b) Hallar a para que el sistema +4 de tres ecuaciones y dos incógnitas x e y, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de a (1,75 puntos) (Solución: a) (3), BC no se puede b) a = -1,, ) Sea la matriz a) Para qué valores de la matriz es inversible? (0,5 puntos) b) Estudiar el rango según los valores de. (0,5 puntos) c) Hallar para que se cumpla. (1,5 puntos) (Solución: a) 0 b) a =0 rango A = 1, 0 rango A = 3 c) a = 2 ) SEPTIEMBRE a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro m: + + (2 puntos) + b) Resolverlo para m 0 (0,5 puntos) (Solución: a) , 1..., 2... b) (0,0,)) Sea la matriz a) Calcular M -1 (1,5 puntos) b) Calcular la matriz que cumple +2. (1 punto) (Solución: a) b) JUNIO Discutir y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores +1 del parámetro m :

11 (Solución: a) 1.., 1...(1,)) Sea la matriz a. Discutir su rango en función de los valores de a 0 b. Para a= 1, resolver la ecuación matricial 0, siendo la matriz traspuesta de A 0 (Solución: a), () 2, ) (,, ) (, 2, )) SEPTIEMBRE a) Resolver la siguiente ecuación matricial. siendo 5 2, (1,5 puntos) b) Sean,, las filas de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz cuyas filas son respectivamente 3, 2 (1 punto) (Solución: a) 5 8 b) 30) Sea el sistema de ecuaciones lineales 12 a) Discutir el sistema según los valores de m. (1,5 puntos) b) Hallar los valores de m para los que el sistema tenga alguna solución en la que x 2. (1 punto) (Solución: a) 1..., 1..., 1.. b), 1) JUNIO Dada la matriz se pide: a) Hallar los valores de m para que la matriz A 10 tenga inversa. (1,25 puntos) b) Para m 0, calcular, si es posible, la matriz inversa de A. (1,25 puntos) 1/2 0 0 (Solución: a) 2 1b) ) 1/2 0 1

12 1 64. Dado el sistema de ecuaciones lineales (12) se pide: a) Discutir el sistema según los valores del parámetro m. (1,25 puntos) b) Resolver el sistema en los casos en que la solución no sea única. (0,75 puntos) c) Calcular los valores de m para que x -3, y 2 sea solución. (0,5 puntos) (Solución: a) 1 1/2..., 1..., 1/2.. b) (1,)) SEPTIEMBRE Consideremos el sistema (3)0 (2)1 a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. (1,25 puntos) b) Resolverlo cuando sea posible. (1,25 puntos) (Solución: a) , 3..., 2.. b) 3 2,0,, 3(72,,1) ) (4) Consideremos la matriz. 4 (4 a) Calcular el rango de M en función del parámetro a. (1,5 puntos) b) Para a 1, resolver la ecuación 6. (1 punto) (Solución: a) 1 1, 4 0, b) 1 (,) )