EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com

Transcripción

1 MATRICES Y DETERMINANTES 1- Sea m un número real y considere la matriz: a) Determine todos los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Determine, si existe, la inversa de A cuando m = 0. c) Determine, si existe, la inversa de A 2 cuando m = 0. Aragón 2014 Opción A - Junio 2- Considere las matrices de orden 2x2 siguientes: a) Determine dos matrices M y N de orden 2x2 tales que: b) Se considera una matriz G de orden 3x3, cuyas columnas se representan por C 1, C 2, C 3 y cuyo determinante vale 2. Considere ahora la matriz H cuyas columnas son C 3, C 3 +C 2, 3C 1, cuál es el determinante de esta nueva matriz H? Aragón 2014 Opción B - Junio 3- a) Sean A y B matrices 2x2. Determine dichas matrices sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones: b) Sean C y D las matrices: , Determine el determinante: 5, donde es la inversa de la matriz. Aragón 2014 Opción A Septiembre 2

2 4- a) Determine el rango de la matriz A, que aparece a continuación, según los diferentes valores de a: b) Determine, si existe, una matriz A, 2x2, que verifique la siguiente ecuación matricial: Cuál es el rango de la matriz A? Aragón 2013 Opción B Junio 5- Sean A y B las dos matrices siguientes: , a) Para qué valores de a existe la inversa de AB? Y la de BA? b) Encuentre la inversa de la matriz: Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por C, se obtiene la identidad. Aragón 2013 Opción B Septiembre 6- a) Compruebe que la matriz M es invertible y calcule su inversa, donde b) Encuentre las matrices A y B que cumplen las siguientes ecuaciones , Aragón 2012 Opción B Junio 3

3 7- a) El determinante de la matriz A que aparece a continuación es Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuanto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las propiedades que utilice): b) Sea C la siguiente matriz: "#$% &'"% 0! &'"% "#$% 0( 1 "#$% % Determine los valores de x para los que la matriz C tiene inversa y calcúlela cuando sea posible. Aragón 2012 Opción A Septiembre a) Estudiar para qué valores de α la matriz )1 1 )2 1 )1 2 máximo. tiene rango b) Siendo A -1 la inversa de la matriz A, calcular (A -1 ) 2 para α=-1. Aragón 2011 Opción A Junio &'") 0 "#$) &'") "#$) 9- a) Sean las matrices "#$) &'") y 0 * 0 "#$) 0 &'") Determinar qué valores de α y β hacen que sea cierta la igualdad. +,#-. / 2,#-,#-10 b) Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de con,1,&,, 3. Aragón 2011 Opción B Junio &3,4 4

4 10- Sea la matriz ) 1 0 ). a) Calcular el determinante de la matriz 4 con A T la traspuesta de A. b) Estudiar para qué valores del parámetro α se satisface la ecuación 4 / 2 4 2) / 0 &'$,#- c) Obtener la inversa de A cuando sea posible. Aragón 2011 Opción A Septiembre a) Estudiar para qué valores de a el determinante de la matriz es no nulo. Para a = 3 obtener el determinante de la matriz 2ª., 1 1 b) Sean las matrices: y Calcular el rango de (AB)T. Aragón 2010 Opción A Junio 12- a) Sean las matrices 2 0,5 1 de orden 2. Hallar la relación entre los 1 & 0 1 parámetros a, b y c para que se verifique A -1 =2I-A. b) Calcular, en función de los valores del parámetro k, el rango de la matriz Aragón 2009 Opción A Septiembre 13- a) Resolver el siguiente determinante sin utilizar la regla de Sarrus 1 & 0& 1 &10 & 1 &1 1/2 3/4 b) Para 7 1 1/2 9, calcular Mn con $ :. Aragón 2009 Opción B Septiembre 5

5 14- a) Sean A, B, I las matrices , , Estudiar si existe algún valor de ; 3 para el que se satisfaga ;5 /. % = > % 1/4 4 b) Teniendo en cuenta que < 1 0 2<1, determinar el valor de 0= > 1/2 12 Aragón 2008 Opción A Junio 15- Hallar una matriz? 1 &, de orden 2 tal que A-1 XA=B siendo Aragón 2008 Opción A Septiembre = Dadas las matrices 3 1 0, a) Comprobar que de(a 2 )=(det(a)) 2 b) Estudiar si para cualquier matriz 1 de orden 2 se cumple que &, det(m 2 )=(det(m)) 2. c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen det(m+i)=det(m)+det(i) Aragón 2007 Opción A Septiembre 0 ) * 17- Sean 0 0 ) = a) Estudiar para que valores de α y β la matriz A tiene inversa. b) Calcular A 5. c) Hallar la matriz inversa de B. Aragón 2007 Opción B - Septiembre 18- Sea la matriz / / 1 / 1 1 / / a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz. b) Estudiar el rango de A en el caso en que b=-a. Aragón 2006 Opción B Junio 6

6 19- Teniendo en cuenta que 1 & 0@ A B0 7 % = > Calcular el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo & 1A &B 0 % =1 >& Aragón 2006 Opción B Septiembre 7