BLOQUE 1 : ÁLGEBRA. EJERCICIO 1 Resuelve la ecuación : EJERCICIO 4 Dado el sistema de ecuaciones :

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1 EJERCICIO 1 Resuelve la ecuación : BLOQUE 1 : ÁLGEBRA = 0 EJERCICIO 2 Dado el sistema de ecuaciones : a) Discutirlo según los distintos valores de k. b) Resolverlo en los casos en que sea posible. EJERCICIO 3 El sistema AX = B, donde A = B = Tiene diferentes soluciones según sea la matriz B. a) Determina para qué valores de a el sistema es compatible determinado independientemente del valor de B. b) Si a = 4 y B =, determina para qué valores de b el sistema es incompatible. c) Si a = 4 y B =, determina para qué valores de c el sistema es compatible indeterminado y resolver el sistema. EJERCICIO 4 Dado el sistema de ecuaciones : a) Discutirlo según los valores de k. b) Resolverlo para k = 0 EJERCICIO 5 Si A = (C 1, C 2, C 3 ) es una matriz cuadrada de orden 3 con columnas C 1, C 2 y C 3 y se sabe que deta = 4, se pide: a) Calcula det A 3 y det 3A.

2 b) Calcula detb y detb 1 siendo B la matriz cuyas columnas son: B = ( 2C 3, C 1 C 2, 5C 1 ) EJERCICIO 6 Dada la matriz : M = a) Determina para qué valores de m M es invertible. b) Determina para qué valores de M la matriz M 25 es invertible. c) Para m = 1, calcula, si es posible, la matriz inversa M 1 de M. EJERCICIO 7 Comprueba que el determinante desarrollarlo. Justifica el proceso. es nulo sin EJERCICIO 8 Considera la matriz A =. Prueba que las matrices de la forma B = ka + ri 2, donde k y r son números reales e I 2 es la matriz identidad de orden 2, conmutan con A, es decir, AB = BA. EJERCICIO 9 Dada la matriz A =, se pide: a) Halla el valor de a para que se cumpla la igualdad A 2 + 2A + I 3 = O 3, siendo I 3 la matriz identidad de orden 3 y O 3 la matriz nula de orden 3. b) Halla en estos casos la matriz inversa de A. EJERCICIO 10 Dada la matriz, a) Estudia si existen valores de α y β para los cuales la matriz sea simétrica. Será la matriz B = igual a la matriz identidad en algún caso? b) Razona cuál es la relación entre el determinante de A y el de B. c) Discute y resuelve cuando sea posible el sistema : = EJERCICIO 11 a) Estudia para qué valores de x, la matriz inversa de coincide con su opuesta.

3 b) Dos hermanos de tercero y cuarto de Primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros, todos del mismo peso. Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: De qué te quejas?. Si yo te cogiera un libro, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te diera un libro, tu carga sería igual a la mía. Cuántos libros llevaba cada hermano? EJERCICIO 12 La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos ganados valen 3 puntos, los empatados valen 1 punto y los perdidos valen 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta elaño pasado, los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el equipo campeón hubiera obtenido 50 puntos. Cuántos partidos ganó, empató y perdió el equipo campeón? EJERCICIO 13 Dada la matriz A = /, calcula: a) La potencia n sima A n. b) La inversa A 1. EJERCICIO 14 Discute el sistema según los valores del parámetro a y resuelvelo en el caso de que admita infinitas soluciones. EJERCICIO 15 Determina a, b y c para que la matriz A = / / verifique que su traspuesta A t coincida con su inversa A 1. Calcula en todos los casos la matriz traspuesta A t. EJERCICIO 16 Sea A una matriz 4 x 4 cuyas filas, de arriba hacia abajo, son F 1, F 2, F 3 y F 4 y cuyo determinante vale 2. Sea B =. Calcula razonadamente: a) El determinante de la matriz. b) El determinante de la matriz 3A. c) El determinante de la matriz cuyas filas, de arriba hacia abajo, son: 2F 1 + F 2, F 2, 3F 4, F 3 + F 1 EJERCICIO 17 Busca una matriz cuadrada X tal que x 11 = 2 ( elemento en primera fila y primera columna) y tal que la suma sea la matriz nula.

4 EJERCICIO 18 Dado el sistema: Discutirlo según valores de a y resolverlo cuando sea compatible. EJERCICIO 19 a) Discute y resuelve en función del parámetro m el sistema: b) Teniendo en cuenta que = 2,halla el valor de EJERCICIO 20 Encuentra todas las matrices A tal que EJERCICIO 21 Discute el siguiente sistema según los valores de a y resuelve cuando sea posible: EJERCICIO 22 Calcula sin desarrollar el siguiente determinante enumerando las propiedades utilizadas: EJERCICIO 23 Sea U una matriz cuadrada n x n con todos sus elementos iguales a 1, sea I n la matriz identidad n x n y sea α un número real. Escribe la matriz y calcula su determinante. EJERCICIO 24 Sin desarrollar, calcula razonadamente el determinante de la matriz: A = EJERCICIO 25 Halla el valor o valores de a para que el sistema:

5 Sea compatible indeterminado. Resuelvelo en estos casos. EJERCICIO 26 Sean : A =, B = y O 2 la matriz nula 2 X 2. Se pide: a) Encuentra todas las matrices X tal que b) Encuentra todas las matrices Y tal que EJERCICIO 27 Halla el rango de la matriz A = según los valores del parámetro a. EJERCICIO 28 Sean las matrices A =, I 2 =. Halla la relación entre los parámetroa a, b y c para que se verifique. EJERCICIO 29 Halla, si existe, una matriz cuadrada de orden 2 que cumpla las siguientes condiciones: 1) Coincide con su traspuesta 2) Verifica la ecuación matricial = 3) Su determinante vale 9. EJERCICIO 30 Las matrices X e Y son soluciones del sistema matricial: Se pide hallar X e Y y calcular si tiene sentido X 1 e Y 1 (razona la posible respuesta negativa). EJERCICIO 31 Sea M =,, a) Prueba que si A y B є M, también A + B y están en M. b) Determina las matrices C de M tal que C 2 = 2C EJERCICIO 32 Luis, Juan y Óscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: si te doy la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno de ellos si entre los tres reunen 60 euros.

6 EJERCICIO 33 Discute el siguiente sistema según valores del parámetro a: Halla, si existe, solución para a = 4. EJERCICIO 34 Determina una matriz cuadrada X que verifique siendo A = Analiza si la matriz X es inversible y en caso afirmativo, calcula su inversa. EJERCICIO 35 Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote durante el verano. Cada una, por separado y en función del tiempo disponible, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta, 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra dos semanas antes que Marta y ésta, 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina. EJERCICIO 36 La terna (0, 0, 0) es siempre solución del sistema independientemente del valor del parámetro a. Se pide: a) Indica para qué valores de a la citada terna es la única solución del sistema. b) Indica algún valor del parámetro a, si existe, para el cual el sistema tenga solución distinta de la nula y mostrar estas soluciones. EJERCICIO 37 Las matrices A = y B = tienen rango 2. Determina los valores c tales que la matriz A + cb ya no tenga rango 2. EJERCICIO 38 Dadas las matrices A = e I 2 =, a) Comprueba que det( A 2 ) = (deta) 2. b) Estudia si para cualquier matriz cuadrada M de orden 2 se cumple detm 2 =(detm) 2. c) Encuentra la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que verifiquen det( M + I 2 ) = detm + deti 2. EJERCICIO 39 Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un total almacenado de 2000 euros. Si el número de billetes de 10 euros es el dobe que el número de billetes de 20 euros, averigua cuántos billetes hay de cada clase.

7 EJERCICIO 40 Sea la matriz A =. Se pide: a) Utilizando las propiedades de los determanates, halla deta. b) Estudia el rango de A en el caso b = a. EJERCICIO 41 Teniendo en cuenta que = 7, halla el valor de : EJERCICIO 42 Considera el sistema lineal de ecuaciones: a) Determina los valores del parámetro m para que el sistema tenga solución única y calcula dicha solución para m = 1. b) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones y calcula dichas soluciones. c) Estudia si existe algún valor m para el que el sistema no tenga solución. EJERCICIO 43 Encuentra todas las matrices A tal que:. EJERCICIO 44 Se dice que una matriz n x n es ortogonal si, donde A t es la traspuesta de A e I n es la matriz identidad de orden n.se pide: a) Estudia si la matriz traspuesta y la matiz inversa de una matriz ortogonal son también ortogonales. b) Si A es ortogonal, halla deta. EJERCICIO 45 Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro a y resuelvelo cuando sea posible: EJERCICIO 46 a) Dada la matriz A =, calcula la matriz inversa de A n.

8 b) Estudia para qué valor del parámetro real α, existe un único polinomio P(x)= ax 2 +bx + c que satisface P( 0 ) = α, P( 1) = 0 y P( 1) = 0. EJERCICIO 47 a) Prueba que b) Halla la solución del sistema de ecuaciones que además satisface que la suma de valores correspondientes a cada una de las incógnitas es 4. EJERCICIO 48 Para M = / / /, calcula Mn con nє N. EJERCICIO 49 Halla el rango de la matriz A = según el valor del parámetro a e indica cuándo existe la inversa de A. EJERCICIO 50 Se consideren las matrices A = y B = donde α es un número real. a) Encuentra los valores de α para los que. tiene inversa. b) Dados a y b números reales cualesquiera, puede ser el sistema. siendo A la matriz del enunciado? NOTA: Todos los ejercicios corresponden a exámenes de Selectividad.

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