1º Ejercicios para practicar:

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1 1º Ejercicios para practicar: 1) Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices: 2) Calcula A 2 3A I, siendo A = e I la matriz identidad de orden 2. 3) Realiza la operación B A + C A, sacando previamente factor común a la matriz A. 4) Realiza esta operación con matrices: 5) Dadas las matrices A y B comprueba que las dos operaciones dan luego se cumple. 6) Estudia si la matriz A + B es simétrica Sol No lo es 7) Dada la matriz A calcula A k : 8) Sea la matriz: A S calcula A 86 9) Halla la matriz inversa de las siguientes matrices

2 10) Halla los determinantes de las siguientes matrices: Sol : A =255 B =0 11) Halla los determinantes de las siguientes matrices 12) Comprueba la identidad A = A t siendo: Sol : A =-265 B =867 Sol : A = A t = ) Dadas las matrices A y B comprueba que A B = A B Sol A B = y A B = ) Dada la siguiente matriz A halla a) el menor complementario del elemento a21 b) el menor complementario del elemento a13: M 21 =24 M 13 =46 15) Dada la matriz A calcula a) el adjunto del elemento a12 b) el adjunto del elemento a31 A 12 = 35 A 12 =-63 16) Halla el rango de las siguientes matrices: Sol r(a) =3 pq A 0; rg(b) =2 17) Sea la matriz A Determina si es invertible y, en su caso, calcula la matriz inversa. 18) Calcular el rango de A Los determinantes de los 4 menores de orden 3 son cero y como existe un menor de orden 2 distinto de cero r(a)=2

3 2º Ejercicios de selectividad: 1) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son A = 1/2 y B = -2. Halla: (a) [0'5 puntos] A 3. 1/8 (b) [0'5 puntos] A -1.2 (c) [0'5 puntos] -2A.-4 (d) [0'5 puntos] AB t, siendo Bt la matriz traspuesta de B.-1 (e) [0'5 puntos] El rango de B. rg(b)=3 2) De la matriz A = se sabe que det(a) = 4. Se pide: (a) [1 25 puntos] Halla det( 3A t ) y det. Indica las propiedades que utilizas. (A t es la matriz traspuesta de A). 36, 24 (b) [0 75 puntos] Calcula det(a -1.A t ).1 (c) [0 5 puntos] Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det(b). 1 3) Sean F 1, F 2, F 3, las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) [0'5 puntos] El determinante de B /2 (b) [0'5 puntos] El determinante de (B t ) 4 (B t es la matriz traspuesta de B. 16 (c) [0'5 puntos] El determinante de 2B. -16 (d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F 1 - F 3, 3F 3, F ) Sabiendo que, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a) [1 punto] - 3A y A -1 (b) [0'75 puntos] (c) [0'75 puntos] (e) (f) a)1/2, b)-4, c)-2 e)30 f)-2 5) Calcular por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificandolos pasos, el determinante: 0 6). Sean C1,C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcular, indicando las propiedades utilizadas: a) El determinante de A 3. b) El determinante de A 1. c) El determinante de 2A. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 C3, 2C3 y C2.

4 7) Sea la matriz (a) [1 punto] Para qué valores del parámetro k no existe la matriz inversa de la matriz A? Justifica la respuesta. (b) [1 5 puntos] Para k = 0, resuelve la ecuación matricial (X + I).A = A t, donde I de nota la matriz identidad y A t la matriz traspuesta de A. a) La matriz A no tiene inversa si k = 1/2. B) 8) Dada la matriz (a) [0 5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A 3 = - I, siendo I la matriz identidad de orden 3. (b) [1 25 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa. (c) [0 75 puntos) Calcula razonadamente A 100. b) A 100. =- A 9) Consideramos la matriz 10) Sean A, B, C y X matrices que verifican AXB = C a) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es -1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices X y 2X -16 b) Calcula la matriz X 11)a) [1 puntos] Dadas las matrices Calcula, si existe, la matriz inversa de A b) [1 5 puntos] Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales XA = A + 2B y AY = A + 2B a) b) X= Y= 12) Dada la matriz (a) [1 25 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz A 2 + 3A no tiene inversa. λ = -1 y λ = -4. (b) [1 25 puntos] Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.

5 13) Sean las matrices (a) [1 25 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es (1/12).A. α = - 3. (b) [1 25 puntos] Para α = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación A t.x = B, siendo A t la matriz traspuesta de A. 14) Considera, siendo a un número real. (a) [1 punto] Calcula el valor de a para que A 2 A = Sol a=4 (b) [ 1 punto] Calcula, en función de a, los determinantes 2 A y A t, siendo A t la traspuesta de A. - 4a 2, - a 2 (c) [0 5 puntos] Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétrica? Razona la respuesta. No 15)Sean las matrices A =,B =, y C = (a) [1 punto] Tiene A inversa? En caso afirmativo, calcúlala (b) [1'5 puntos] Determina la matriz X que cumple que A.X + C.B t = B.B t, siendo B t la matriz transpuesta de B. a) b) 16)Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea A =. (a) [1 25 puntos] Determina el valor de b para el que A 2 2A + I = O. (b) [1 25 puntos] Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A X 2A t = O, donde A t denota la matriz transpuesta de A. a) la única solución que verifica las cuatro ecuaciones es b = 2. b) 17) Sea la matriz A =. (a) [1 25 puntos] Comprueba que se verifica 2A A 2 = I. (b) [1 25 puntos] Calcula A -1. (Sugerencia: Puedes utilizar la igualdad del apartado (a)). 18) Dadas las matrices A = (a) [1 75 puntos] Calcula el rango de dependiendo de los valores de α. Si α 1 y α -2, rg(a) = 3.Si Si α = 1 rg(a) =1 Si α = -2, rg(a)=-2 (b) [0 75 puntos] Para α = 2, resuelve la ecuación matricial A.X = B. 19) [2 5 puntos] Sea I la matriz identidad de orden 3 y. Calcula, si existe, el valor de k para el cual (A ki) 2 es la matriz nula. k = 1

6 20) Considera la matriz. (a) [1 punto] Determina la matriz B = A 2 2A (b) [0 75 puntos] Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa. λ -1 y λ 3 21)a) [1 punto] Calcula la matriz inversa de. (b) [1 5 puntos] Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A -1 hallada en el apartado anterior. a) b) (x,y,z) =(3,-2,0) 22)Sea A la matriz e I la matriz identidad de orden 3. (a) [1 25 puntos] Calcula los valores de λ para los que el determinante de A 2I es cero. λ = 2, λ = 1 y λ = - 1 (b) [1 25 puntos] Calcula la matriz inversa de A 2I para λ = 2. 23)Obtén un vector no nulo v =(a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2. A = B = v =(c, c/2, c) 24)Considera la matriz. (a) [1 punto] Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3 25)Dada la matriz (a) [1 25 puntos] Estudia el rango de A en función de los valores del parámetro k. (b) [1 25 puntos] Para k = 0, halla la matriz inversa de A. a)si rango(a) = 3 Si,rango(A) = 2 b)

7 Practicar 1)Discute los siguientes sistemas: a)scd b)si 2)-Resuelve por Cramer: Sol a)(1,3,5) b)(3,1-1) 3) Resuelve matricialmente los sistemas: a) b) a)x = 2, y = 1, z = 1 b) x = 3, y = 2, z = 1 4) Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss: a)scd x = 1, y = 2, z = 3; b)sistema incompatible c) SCI Soluciones: x = 3 + 2t, y = t, z = 2 + t 5) Estudia y resuelve por el método de Gauss: a)scd b) SCI c)scd Solución: (1, 1, 1) d)sci

8 Selectividad 1. (3/B/m4/2012)(junio)Considera el sistema de ecuaciones: x + y + z = λ+1 3y + 2z = 2λ+3 3x + (λ-1) y + z = λ (a) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 1. Solución (x,y,z) = (1/3 λ /3, 5/3 2λ /3, λ) con a R. (b) [1 punto] Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución.sol:el sistema tiene solución única si λ 1. (c) [0 5 puntos] Existe algún valor de λ para que el sistema admita la solución (- 1/2,0,1/2)?paraλ = (3/A/m6/2012)(Septiembre)Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas: kx + 2y = 2 2x + ky = k x - y = -1 (a) [0 5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k. (b) [1 punto] Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado. Si k 2 y k -2. SCD en el caso k=2 SCD y si k=-2 SCI (c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso Solución (x,y) = (0,1),para determinado par k = -2, (x,y) = (-1+λ,λ), 3. (3/A/m5/2012)Considera el sistema de ecuaciones: x + ky + 2z = k + 1 x + 2y + kz = 3(k+1) x + y + z = k + 2 (a) [1'25 puntos] Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución. Sik 0, k -3 y k 2 SCD;Si k = -3 SCI;K=2 SCI, K=0 SCI (b) [0'5 puntos] Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución? No (c) [0'75 puntos] Resuelve el sistema para k = 0.(x,y,z) = (a, 3/2 a, 1/2 a ) con a R. 4. (3/junio/2011/A)Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: -λx + y + z = 1 x + λy + z = 2 λx + y + z = 1 (a) [1,75 puntos] Clasifica el sistema segun los valores del parametroλ.λ 1 y λ 0 rg(a)=3 SCD, Si λ = 1 SI, si Siλ = 0 SCI (b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para λ = 0.(x, y, z)= (2- λ, 1- λ, λ) 5. (3/m4/2011/A)Sea el sistema de ecuaciones 2x 2y + 4z = 4 2x + z = a 3x 3y + 3z = 3 (a) [1 75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro a.si a = 3SCI, Si Si a 3 SI (b) [0 75 puntos] Resuélvelo cuando sea posible.(x,y,z) = (3/2 - λ/2, -1/2+3λ/2, λ), con λ número real. 6. (3B/M6/2009)Sea el sistema de ecuaciones x+y=m+1 x+my+z=1 mx+y-z=m a) [1,5 puntos] Determina los valores de m para los que el sistema es compatible m= 0m = -1 b) [1 punto] Resuelve el sistema en el caso m = -1 (-λ, λ,1+2λ)

9 7. (Opción B, Modelo especifico2 de Junio de 2011)Dadas las matrices a) [1'75 puntos] Calcula el rango de A según los diferentes valores de t. (b) [0'75 puntos] Razona para qué valores de t el sistema homogéneo AX = O tiene más de una solución a)si t 1 y t 2, rango(a) = 3. Si t = 1, rango(a) = 2. Si t = 2 rango(a) = 2b)t=1,t=2 8. (m1/a3/2010)considera el sistema 3x 2y + z = 5 2x 3y + z = 4 (a) [1 5 puntos] Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la ecuación x + y + λz = 9 sea compatible indeterminado. Si λ 0 SCD Si λ = 1 SCI (b) [1 punto] Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución? No 9. (Ejercicio 3 de la Opción B de Junio de 2010 (Colisiones)) Considera el siguiente sistema de ecuaciones (m + 2)x y z = 1 x y + z = 1 x + my z = m (a) [1 75 puntos] Discútelo según los valores de m.para m 1 y m - 1 SCD m=1 SI m=-1 SCI (b) [1 punto] Resuelve para el caso m = 1. (x,y,z) = (1/2+(1/2)t, 1/2+(1/2)t, t) con t nº real. 10. (2009/M5/B3)a) Resuelve el sistema de ecuaciones b) Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado a. a) (x,y,z) = (2 m, 2 3m, m) con m nº real. B)(Apartado difícil) Hay que calcular para λ 3.No existe ningún valor que sea común a los dos sistemas. 11. (2008/Septiembre/A3) Discute según los valores de λel siguiente sistema: b) [0 75 puntos] Resuélvelo para. λ=0 a)si, λ=0sci, Si, λ=6 SI Resto SCD. b) 12. (3A/2008/m1)Dado el sistema de ecuaciones lineales: x + λy = z 2x + λz = -y x + 5y λz = λ +1 Si λ -1 y λ 3 SCD Para Si λ= -1,SCI, Si l = 3,SI

10 13. (3A/2008/m2)Sabemos que el sistema de ecuaciones Tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación ax + y + 7z = 7 (a) [1 25 puntos] Determina el valor de a..sol: a = 8 (b) [1 25 puntos] Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad. RecomendacionCramer: (x,y,z) = (6/5,1/5,-2/5). 14. (3A/2008/m6) (a) [1 punto] Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución: 2x + y + z = mx x +2y + z = my x +2y +4z = mz (b) [1 5 puntos] Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1. a) Sistema homogéneo. Para m = 1, una solución b) (x,y,z) = (λ, -2λ, λ ) con λ R el sistema tiene más de 15. (3A/2007/septiembre)Considera el sistema de ecuaciones: ax + y + z = 4 x ay + z = 1 x + y + z = a + 2 a) [1 5 puntos] Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. (b) [1 punto] Resuelve el sistema que se obtiene para a = 2. a)sia 1 y a -1 SCD Para a=1 SI Para a=-1 SCI. (x, y, z)= ( -3/2, 5/2 - λ, λ ) con λ R b) (x,y,z) = (1, 0, 3) cuando λ = 2.(Resuelvelo por Kramer y Gauss para practicar) 16. (3A/2007/m4)Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a, x + y + z = 0 (a + 1)y + 2z = y x 2y + (2 a)z = 2z Si a = 2 y a = - 3 el sistema es compatible e indeterminado.(sistema homogéneo) a=2solución (x, y, z) = (0, -m, m) con m R, a=-3 (x, y, z) = ( (-5/3)m, (2/3)m, m) con m R 17. (3B/2007/m5)Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo hacen compatible: x+ my = m mx+ y = m mx+ my = 1 Si m = 1 SCI (x,y) = (1 - λ, λ ) con λ R, m = -1/2 (x,y) = (- 1,-1) 18. (2006/septiembre/A3)Considera el sistema de ecuaciones lineales λx y z = - 1 x + λy + z = 4 x + y + z = λ + 2 (a) [1 5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ Si λ 1 y λ -1 SC Si λ = 1,SI.siSi λ = -1 SCI (b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2. (Resuelvelo por kramer y gauus para practicar)(x,y,z) = (1, 0, 3) cuando λ = 2.

11 19. (2005/m4/B3)Considera el sistema de ecuaciones 5x + 2y z = 0 x + y + (m + 4)z = my 2x 3y + z = 0 (a) [1 punto] Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución Sistema homogeneom -7 el sistema tiene solución única.. (b) [1 5 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en la que z = 19. (x, y, z) = (t/19, 7t/19, t) con z = t R. Nos piden una solución con z = 19, luego t = 19 y la solución es (x,y,z) = (1, 7, 19). 20. (2004/Septiembre/B3) [2'5 puntos] Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y + z = 1 - x + y + 2z = - 1 ax + by + z = 4 tiene al menos dos soluciones distintas. a = -1 y b = -1/3 21. (3A/2009/m1)Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A,B y C En el caso de m = 0, solo tiene la solución trivial (x,y,z) = (0,0,0) Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros Pista 2: Si compramos n unidades de A, n+3 de B y tres de C gastamos 390 euros a) Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? n=3 b) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto SOL :(23,13,69) 22. (3B/2009/Junio)[2'5 puntos] Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30 % de las cajas. (13500 euros, euros, euros) 23. (3A/2008/Junio)Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros (a) [1 25 puntos] Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?No SI (b) [1 25 puntos] Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuantos billetes hay de cada tipo.sol:hay 80 billetes de 10 euroshay 10 billetes de 20 euroshay 40 billetes de 50 euros 24. (3A/2005/m5)[2 5 puntos] Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.solucióndinero de Álvaro = x = 35 euros Dinero de Marta = y = 21 euros Dinero de Guillermo = z = 28 euros