Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas

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1 1.- CONCEPTO DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. ECUACIÓN MATRICIAL Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. Por ejemplo, x 3y 2z 2 3x 4z 2x 2y 3z 1 es un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas En general, un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas, x, y, z, tiene la forma donde a, b, c, a, b, c, a, b y c son los coeficientes y d, d y d los términos independientes Podemos generalizar y hablar de sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Aunque en este curso sólo vamos a estudiar sistemas de, como máximo, 3 incógnitas ax by cz d a x b y c z d a x b y c z d En este tema cuando hablemos de un sistema nos estamos refiriendo a un sistema de ecuaciones lineales Resolver un sistema consiste en encontrar el valor o valores de las incógnitas para que se cumplan todas las ecuaciones a la vez. Para resolver un sistema se pueden usar las siguientes reglas, llamadas reglas de equivalencia: 1) Cambiar de orden dos ecuaciones 2) Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de cero 3) Sumarle o restarle a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número 4) Eliminar una ecuación que sea igual o proporcional a otra 5) Eliminar una ecuación del tipo = Podemos clasificar los sistemas de acuerdo con el número de soluciones: det er min ados ( tienen solución única) sistemas compatibles indeter min ados ( tienen inf initas soluciones) sistemas incompatibles ( no tienen solución) Consideremos un sistema, por ejemplo: Si tomamos A = x y z x y z X = x y z la columna de las incógnitas y b = x y z 1 Ecuación matricial de un sistema x 3y 2z 2 3x 4z 2x 2y 3z 1 la matriz de los coeficientes del sistema 2 1 la columna de términos independientes, al efectuar e igualar los elementos resultan las ecuaciones del sistema ( Compruébalo!) Abreviadamente el sistema lo podemos escribir mediante la ecuación matricial A X = b Matriz de un sistema Es la que se obtiene al añadirle a la matriz de coeficientes A, la columna de términos independientes, b. La representaremos por A * ó A En el ejemplo que hemos visto, la matriz del sistema es A * = (A b) = - Página 1 - x y z b

2 2.- MÉTODO DE GAUSS Es un método que sirve para resolver sistemas y para clasificarlos. Consiste en transformar el sistema en un sistema escalonado. Un sistema escalonado es aquel en el que cada ecuación tiene al menos una incógnita menos que la ecuación anterior Para llegar a un sistema escalonado usamos las siguientes reglas con el objeto de conseguir ceros por debajo de los elementos diagonales de la matriz del sistema. 1) Cambiar de orden dos filas o columnas de las incógnitas 2) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero 3) Sumarle o restarle a una fila otra fila multiplicada por un número 4) Eliminar una fila que sea igual o proporcional a otra 5) Eliminar una fila con todo ceros El sistema escalonado resultante se resuelve de forma más sencilla empezando a despejar por la ecuación que tiene menos incógnitas. Los sistemas escalonados, una vez eliminadas las ecuaciones triviales ( = ), son muy fáciles de clasificar: - Compatible determinado: Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas - Compatible indeterminado: Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas - Incompatible: Si contiene alguna ecuación del tipo = nº distinto de ACTIVIDADES 1 Clasifica y resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss: x y z 4 a) 2x y 3z 9 b) x 2y 2z 1 2x 5y 3z 4 d) x 2y z 3 5x y 7z 11 3x 2y 2z 3 x z 1 2y z x y z e) 2x y z 5 x 2y z 3 3x y 2z 1 c) 6x 2y 4z 2 9x 3y 6z 3 x 2y f) 3x y 5 x y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS USANDO LA ECUACIÓN MATRICIAL Si partimos de la ecuación matricial de un sistema cuadrado (igual número de ecuaciones que de incógnitas) A X = b, con A, podemos despejar X: X = A 1 b Esta fórmula nos sirve para resolver el sistema ACTIVIDADES 2 Resuelve los siguientes sistemas, usando la ecuación matricial: x 3y 2x 5y 3z 4 a) x 2y 4 b) x 2y z 3 5x y 7z 11 x y 1 z c) 2x z 2 y y z 3 Considera las matrices a) Calcula, si existe, A 1. b) Resuelve el sistema AX = 3X - Página 2 -

3 4.- REGLA DE CRAMER Es un método que sirve para resolver sistemas compatibles. Si el sistema es de 3 ecuaciones con 3 incógnitas x, y, z, las incógnitas las podemos calcular usando las siguientes fórmulas: x = A x A, y = A y, z = A z A A A es la matriz de coeficientes del sistema A x es la matriz que se obtiene al cambiar la columna de la x por la columna de términos independientes A y es la matriz que se obtiene al cambiar la columna de la y por la columna de términos independientes A z es la matriz que se obtiene al cambiar la columna de la z por la columna de términos independientes ACTIVIDADES 4 Resuelve por la regla de Cramer los sistemas de la actividad 2 Es un teorema que sirve para clasificar sistemas. 5.- TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. Sea un sistema en forma matricial AX = b y sea A* = (A b), la matriz del sistema. Entonces: - Si rg(a) = rg(a * ) = nº de incógnitas, entonces el sistema es compatible determinado - Si rg(a) = rg(a * ) < nº de incógnitas, entonces el sistema es compatible indeterminado - Si rg(a) rg(a * ), entonces el sistema es incompatible Como consecuencia, si el sistema es homogéneo (b = ) entonces siempre es compatible pues rg (A b) = rg A y cuando el sistema homogéneo sea compatible determinado la única solución es la trivial (,, ) ACTIVIDADES 5 Usando el teorema de Rouché-Fröbenius, clasifica los siguientes sistemas: 2x 5y 3z 4 3x 2y 4z 6 x y z a) x 2y z 3 b) 2x 4y z 3 c) 5x y 7z 11 x 2y 3z 1 2x 3y z 17 4x 5y z 17 x 2y z 4 d) x z 3 e) x 2y 3x y 5 x y 1 f) x y z 4x y 5z 2x y 2z 3x 2y 6z g) 3x 2y z x z 2 x y 3 x y z SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS ACTIVIDADES 6 Se considera el sistema de ecuaciones lineales a) Discútelo según los valores del parámetro α b) Resuélvelo para α = 1 y determina en dicho caso, si existe, alguna solución donde x = 4. 7 Considera el siguiente sistema de ecuaciones αx + y + 3z = 4 x + y 2z = 2 x + 2y + (3 + α)z = 4 + α a) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema dado tiene solución única. b) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos. - Página 3 -

4 8 Considera el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo αx + αy + αz = αx + 2y + 2z = αx + 2y + z = a) Discute el sistema según los valores de α. b) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene alguna solución en la que z. 9 Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a, x + y + z = (a + 1)y + 2z = y x 2y + (2 a)z = 2z 1 Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales tiene más de una solución. ax + y + (a + 1) z = a+ 2 x + y + z = (1 a) x ay = (a) Calcula, en dicho caso, el valor de la constante a. (b) Halla todas las soluciones del sistema. 11 Considera el sistema de ecuaciones lineales mx + y z = 1 x + my + z = m x + y + mz = m 2 (a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro m. (b) Resuélvelo para m = Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales x + 2y 3z = 3 2x + 3y + z = 5 a) Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma αx + y 7z = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original. b) Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea Sabemos que el sistema de ecuaciones 2x y + 3z = 1 x + 2y z = 2 tiene las mismas soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación ax + y + 7z = 7 (a) Determina el valor de a. (b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a la unidad 14 Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y + z = 1 x + y + 2z = 1 ax + by + z = 4 tiene al menos dos soluciones distintas. 15 Considera el sistema de ecuaciones mx + 2y + z = 2 x + my = m 2x + mz = (a) Determina los valores de m para los que x =, y = 1 y z = es solución del sistema. (b) Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible. (c) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. 16 Sean Determina α, si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial) AX = b, BX = c tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos). - Página 4 -

5 7.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON SISTEMAS 17 Un estudiante ha gastado 57 en una papelera por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. (a) Es posible determinar de forma única el precio del libro? Y el de la calculadora? Razona las respuestas. (b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 5%, un 2% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habrá pagado un total de 34. Calcula el precio de cada artículo. 18 Un cajero automático contiene sólo billetes de 1, 2 y 5. En total hay 13 billetes con un importe de 3. (a) Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 1 que de 5? (b) Suponiendo que el número de billetes de 1 es el doble que el número de billetes de 5, calcula cuantos billetes hay de cada tipo. 19 Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 72 y el número total de espectadores fue de 2. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 2 más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas. 21 Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros Pista 2: Si compramos n unidades de A, n+3 de B y tres de C gastamos 39 euros a) Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? b) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto ACTIVIDADES PROPUESTAS 2.- MÉTODO DE GAUSS 1 Clasifica y resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss: a) x y z 2x 3y z 17 4x 5y z 17 b) 3x 5y + z 4 2x y 2z 1 3x 2y z 2x y +3z 9 c) 5x 4y 3z 9 d) x z 2 4x 7y+ z 5 4x 3y 4z 1 x y 3 x y z RESOLUCIÓN DE SISTEMAS USANDO LA ECUACIÓN MATRICIAL 2x 6y 4z 12 e) 3x 9y 6z 18 2 Considera las matrices (a) Para qué valores de m existe la matriz A 1? (b) Siendo m = 2, calcula A 1 y resuelve el sistema A.X = B. (c) Resuelve el sistema A.X = B para m = REGLA DE CRAMER 3 Resuelve por la regla de Cramer los sistemas determinados de las actividades 1 y TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. 4 Usando el teorema de Rouché-Fröbenius, clasifica los siguientes sistemas: x - 2 y + z = 2 3x y 2z 1 x 2y z 1 2x y 15z 3 a) 6x 2y 4z 2 b) 2 x + y - z = 1 9x 3y 6z y 2z 5 c) x 3y 2z 7 d) 3 2 x - y = 2x 3y 3z 3 x 8y 21z 11 - x + 2 y - z = - 2 3x z 4 e) y 3x 2 - Página 5 -

6 6.- SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS 5 Considera el siguiente sistema de ecuaciones x + αz = 2 2x + αy = α + 4 3x + y + (α + 4)z = 7 a) Discute el sistema según los valores de α b) Resuelve el sistema para α = 2. 6 Considera el sistema de ecuaciones 5x + 2y z = x + y + (m + 4)z = my 2x - 3y + z = (a) Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. (b) Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en la que z = Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales x + (m + 1)y + 2z = 1 mx + y + z = m (1 m)x + 2y + z = m 1 a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo para m = 2. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z = 2. 8 Considera el sistema 3x 2y + z = 5 2x 3y + z = 4 (a) Calcula razonadamente un valor de para que el sistema resultante al añadirle la ecuación x + y + az = 9 sea compatible indeterminado. (b) Existe algún valor de a para el cual el sistema resultante no tiene solución? 9 Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas x, y, z, by + (b + 1)z = b bx + z = b x + bz = b a) Discute el sistema según los valores del parámetro b. b) Resuelve el sistema para b = 1. c) Para b =, si es posible, da tres soluciones distintas. 1 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales x y + z = 2x + 3y z = 3. a) Determina el valor de m para el que al añadir la ecuación x +my + 4z = 3 al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones. b) Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea Considera el sistema de ecuaciones x + y + z = a + 1 3y + 2z = 2a + 3 3x + (a 1)y + z = a (a) Resuelve el sistema para a = 1. (b) Halla los valores de a para los que el sistema tiene una única solución. (c) Existe algún valor de a para el que el sistema admite la solución ( 1/2,, 1/2)? 12 Considera el sistema de ecuaciones x + my + z = x + y + mz = 2 mx + y + z = m (a) Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones? (b) Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1? 13 Considera el sistema de ecuaciones x + 3y + z = 2x - 13y + 2z = (a + 2)x - 12y + 12z = Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor de a. - Página 6 -

7 14 Considera el sistema de ecuaciones mx y = 1 x my = 2m 1 (a) Clasifica el sistema según los valores de m. (b) Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = Considera la matriz (a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3 (b) Estudia si el sistema tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior. 16 Considera el sistema dado por AX = B, a) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene solución única. b) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema no tiene solución. c) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos. 7.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON SISTEMAS 17 En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 3 gramos. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 9 gramos. El peso de un objeto deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo. 18 Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que si vende a 1 las botellas del tipo A, a 3 las del tipo B y a 4 las del tipo C, entonces obtiene un total de 2. Pero si vende a 1 las del tipo A, a 3 las del B y a 6 las del C, entonces obtiene un total de 25. (a) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el tendero. (b) Resuelve dicho sistema. (c) Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? (Ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo). 19 Un autobús transporta 9 viajeros con 3 tarifas diferentes: 1ª: Viajeros que pagan el billete entero, que vale.7 euros. 2ª: Estudiantes, con descuento del 5%. 3ª: Jubilados, con descuento del 8%. Se sabe que el número de estudiantes es 1 veces el de jubilados y que la recaudación total ha sido de euros. Plantea, sin resolver, el sistema de ecuaciones necesario para determinar el número de viajeros, de cada tarifa, que va en el autobús. 2 En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones: - El precio de la empresa A es,6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C. - El precio dado por B es la media de los precios de A y C. - El precio de la empresa C es igual a 2 euros más 2/5 del precio dado por A más 1/3 del precio dado por B. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS 1 Clasifica y resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss: x y 2z 5 x 3y 7z 1 a) 3x y 4z 1 b) 5x y z 8 x 4y 1z 11 2x 2y 6z 7 x 3y 2z 2 c) 3x 4y 4z 1 2x 2y 3z 1 2 Sean las matrices. Resuelve, para α = 1, el sistema de ecuaciones AX = B. - Página 7 -

8 3 Calcula la matriz inversa de Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A 1 hallada anteriormente x + y = 1 y + z = 2 x + z = 3 4 Considera (a) Para qué valores de m tiene inversa la matriz A? (b) Resuelve, para m = 2, el sistema de ecuaciones AX = C. 5 Resuelve por la regla de Cramer los sistemas de las actividades 2, 3 y 4 6 Usando el teorema de Rouché-Fröbenius, clasifica los siguientes sistemas: a) 5x 2y 6 1x 4y 12 x 3y z 4 b) x 4y 5 2x 6y 2z 3 x y 1 z c) 2x z 2 y y z 5x 3y 4z d) 1x 8y 9z 15x y 2z 7 Considera el siguiente sistema de ecuaciones 2x + y + (α 1)z = α 1 x αy 3z = 1 x + y + 2z = 2α 2 a) Resuelve el sistema para α = 1. b) Determina, si existe, el valor de α para el que (x, y, z) = (1, 3, α) es la única solución del sistema dado. 8 Considera el siguiente sistema de ecuaciones αx + y z = 1 αx + αz = α x + y αz = a) Discute el sistema según los valores de α. b) Resuelve el sistema para α =. 3x 2y 2z 3 e) x z 1 2y z 9 Considera el sistema de ecuaciones x + y + z = 2 ax + 3y + z = 7 x + 2y + (a + 2)z = 5 (a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro a. (b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. 1 Discute, según los valores del parámetro k, el siguiente sistema de ecuaciones x + ky + z = k kx + 2y + (k + 2)z = 4 x + 3y + 2z = 6 k Resuelve el sistema anterior para k =. 11 Considera el sistema de ecuaciones x + y + z = 2x + ay + z = 2 x + y + az = a 1 (a) Determina el valor de a para que el sistema sea incompatible. (b) Resuelve el sistema para a = Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo hacen compatible: x + my = m mx + y = m mx + my = 1 13 Considera el sistema de ecuaciones x + y + mz = 1 my z = 1 x + 2my = (a) Clasifica el sistema según los valores de m. (b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. - Página 8 -

9 14 Considera el sistema de ecuaciones lineales ax y z = 1 x + ay + z = 4 x + y + z = a + 2 (a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro a. (b) Resuelve el sistema para a = 2 15 Considera el sistema de ecuaciones lineales x y + z = 2 x + ky + z = 8 kx + y + kz = 1 (a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro k. (b) Resuelve el sistema para k = 2 16 Considera el sistema de ecuaciones lineales x + y z = 4 3x + ay + z = a 1 2x + ay = 2 (a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro a. (b) Resuelve el sistema para a = 1 17 Considera el sistema de ecuaciones x + 3y + z = 5 mx + 2z = my z = m (a) Determina los valores de m para los que el sistema tiene una única solución. Calcula dicha solución para m = 1. (b) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcula dichas soluciones. (c) Hay algún valor de m para el que el sistema no tiene solución? 18 Considera el sistema de ecuaciones (b + 1)x + y + z = 2 x + (b + 1)y + z = 2 x + y + (b + 1)z = -4 (a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro b. (b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. 19 Sea el sistema de ecuaciones x + y = m + 1 x +my + z = 1 mx + y z = m a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible b) Resuelve el sistema en el caso m = 1 2 Dado el sistema de ecuaciones lineales x + ny z = 2x + y + nz = x + 5y nz = n + 1 (a) Clasifícalo según los valores del parámetro n. (b) Resuélvelo para n = Considera el siguiente sistema de ecuaciones x + y + z = a 1 2x + y + az = a x + ay + z = 1 (a) Discútelo según los valores del parámetro a. (b) Resuelve el caso a = Considera el sistema de ecuaciones cx + 2y + 6z = 2x + cy + 4z = 2 2x + cy + 6z = c 2 (a) Discútelo según los valores del parámetro c. (b) Resuélvelo para c = Considera el siguiente sistema de ecuaciones x y + mz = mx + 2y + z = x + y + 2mz = a) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. b) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula. c) Resuelve el sistema para m = 2. - Página 9 -

10 24 Considera el siguiente sistema de ecuaciones mx 2y + z = 1 x 2my + z = 2 x 2y + mz = 1 a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) Si es posible, resuelve el sistema para m = Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, 2x 4y + 6z = 6 my + 2z = m + 1 3x + 6y 3mz = 9 a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuélvelo para m = 3. Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que y =. 26 Dado el sistema de ecuaciones kx + 2y = 3 x + 2kz = 1 3x y 7z = k + 1 (a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k. (b) Resuélvelo para k = Considera el sistema de ecuaciones x + (k + 1)y + 2z = -1 kx + y + z = 2 x - 2y - z = k + 1 (a) Clasifícalo según los distintos valores de k. (b) Resuélvelo para el caso k = Dado el siguiente sistema de ecuaciones x + y = 1 ky + z = x +(k + 1)y + kz = k +1 (a) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. (b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z = Sean a) Determina el rango de A según los valores del parámetro m. b) Discute el sistema AX = B según los valores del parámetro m. c) Resuelve el sistema AX = B para m = 1. 3 Dadas las matrices (a) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t. (b) Razona para qué valores de t el sistema homogéneo AX = tiene más de una solución. 31 Determina dos números sabiendo que al dividir el mayor por el menor obtenemos 7 de cociente y 2 de resto, y que la diferencia entre el triple del mayor y el menor es Plantea, sin resolver, un sistema de ecuaciones asociado al siguiente problema: Un monedero contiene 1 euro en monedas de 2, 5 y 1 céntimos; en total hay 22 monedas. Sabiendo que el número de monedas de 5 y 1 céntimos juntas excede en 2 unidades al número de monedas de 2 céntimos, obtén el número de monedas de cada tipo que hay en el monedero. 33 Sabemos que el precio del kilo de tomates es la mitad que el del kilo de carne. Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne. Si pagamos 18 euros por 3 kilos de tomates, 1 kilo de carne y 25 gramos de gambas, cuánto pagaríamos por 2 kilos de carne, 1 kilo de tomates y 5 gramos de gambas? 34 Tres amigos, Marcos, Luis y Miguel, son aficionados a la música. Entre los tres poseen un total de discos compactos (CD), comprendidos entre 16 y 22. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luis presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CD a Luis, con lo cual los tres amigos tienen ahora el mismo número de CD. Cuántos CD pueden tener en total? - Página 1 -