RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

Transcripción

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2 Contenido 1 Métodos de Solución

3 Contenido Métodos de Solución 1 Métodos de Solución

4 Desarrollamos el algoritmo de sustitución regresiva, con el que podremos resolver un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes sea triangular superior. Este algoritmo será luego incorporado al algoritmo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales general en la siguiente sección.

5 Desarrollamos el algoritmo de sustitución regresiva, con el que podremos resolver un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes sea triangular superior. Este algoritmo será luego incorporado al algoritmo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales general en la siguiente sección.

6 Definición Se dice que una matriz A = [ a ij ] de orden N x N es triangular superior cuando sus elementos verifican a ij = 0 siempre que i > j. Se dice que una matriz A = [ a ij ] de orden N x N es triangular inferior cuando sus elementos verifican a ij = 0 siempre que i < j.

7 Si A es una matriz triangular superior, entonces se dice que el sistema de ecuaciones AX = B es un sistema triangular superior de ecuaciones lineales, sistema que tiene la siguiente forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1N 1 x N 1 + a 1N x N = b 1 a 22 x 2 + a 23 x a 2N 1 x N 1 + a 2N x N = b 2 a 33 x a 3N 1 x N 1 + a 3N x N = b a N 1N 1 x N 1 a N 1N x N = b N 1 a NN x N = b N

8 Teorema: Sustitución Regresiva Supongamos que AX = B es un sistema triangular superior. Si a kk 0; k = 1, 2,..., N, entonces existe una solución única del sistema.

9 De la última ecuación: x N = b N a NN. Usando x N en la penúltima ecuación: x N 1 = b N 1 a N 1N x N a N 1N 1.

10 De la última ecuación: x N = b N a NN. Usando x N en la penúltima ecuación: x N 1 = b N 1 a N 1N x N a N 1N 1.

11 Usando x N y x N 1 para hallar x N 2 : x N 2 = b N 2 a N 2N 1 x N 1 a N 2N x N a N 2N 2. Calculados los valores x N, x N 1,..., x k+1, el paso general es x k = b k N j=k+1 a kjx j a kk ; k = N 1, N 2,..., 1.

12 Usando x N y x N 1 para hallar x N 2 : x N 2 = b N 2 a N 2N 1 x N 1 a N 2N x N a N 2N 2. Calculados los valores x N, x N 1,..., x k+1, el paso general es x k = b k N j=k+1 a kjx j a kk ; k = N 1, N 2,..., 1.

13 La condición a kk 0 es esencial porque en la fórmula anterior hay que dividir entre a kk. Si este requisito no se cumple, entonces o bien no hay solución o bien hay infinitas soluciones. Un Teorema de Álgebra Lineal establece que un sistema lineal AX = B, siendo A una matriz de orden N x N, tiene solución única sii det (A) 0.

14 La condición a kk 0 es esencial porque en la fórmula anterior hay que dividir entre a kk. Si este requisito no se cumple, entonces o bien no hay solución o bien hay infinitas soluciones. Un Teorema de Álgebra Lineal establece que un sistema lineal AX = B, siendo A una matriz de orden N x N, tiene solución única sii det (A) 0.

15 El siguiente Teorema establece que si un elemento de la diagonal principal de una matriz triangular, superior o inferior, es cero, entonces det (A) = 0. Teorema Si una matriz A = [ a ij ] de orden N x N es triangular superior o inferior, entonces det (A) = a 11 a 22...a NN = N a ii. i=1

16 El siguiente Teorema establece que si un elemento de la diagonal principal de una matriz triangular, superior o inferior, es cero, entonces det (A) = 0. Teorema Si una matriz A = [ a ij ] de orden N x N es triangular superior o inferior, entonces det (A) = a 11 a 22...a NN = N a ii. i=1

17 Contenido Métodos de Solución 1 Métodos de Solución

18 Desarrollamos un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales general AX = B de N ecuaciones con N incógnitas. El objetivo es construir un sistema triangular superior equivalente UX = Y que podamos resolver usando el método de la sección anterior.

19 Desarrollamos un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales general AX = B de N ecuaciones con N incógnitas. El objetivo es construir un sistema triangular superior equivalente UX = Y que podamos resolver usando el método de la sección anterior.

20 Definición Una forma eficaz de trabajar es almacenar todas las constantes del sistema lineal AX = B en una matriz de orden N x (N+1) que se obtiene añadiendo a la matriz A una columna, la (N+1)-ésima, en la que se almacenan los términos de B (es decir, a kn+1 = b k ). Esta matriz se llama matriz ampliada del sistema y se denota por [A B] : [A B] = a 11 a a 1N b 1 a 21 a a 2N b a N1 a N2... a NN b N.

21 Definición Se dice que dos sistemas de orden N x N son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución (o de soluciones).

22 Teorema: Operaciones elementales con las filas. Cualquiera de las siguientes operaciones aplicada a la matriz ampliada produce un sistema lineal equivalente. 1. Intercambio: el orden de las filas puede cambiarse. 2. Escalado: multiplicar una fila por una constante no nula. 3. Sustitución: una fila puede ser reemplazada por la suma de esa fila más un múltiplo de cualquier otra fila; o sea, fila r = fila r m rq fila q.

23 Eliminación Gassiana y Pivoteo Las operaciones descritas en el anterior Teorema permiten obtener un sistema triangular superior UX = Y equivalente a un sistema lineal AX = B en el que A es una matriz de orden N x N.

24 Eliminación Gassiana y Pivoteo Definición (Pivotes y multiplicadores). El elemento a qq de la matriz de los coeficientes en el paso q + 1 que se usará en la eliminación de a rq, para r = q + 1, q + 2,..., N, se llama q-ésimo pivote y la fila q-ésima se llama fila pivote. Los números m rq = a rq a qq ; r = q + 1, q + 2,..., N por los que se multiplica la fila pivote para restarla de las correspondientes filas posteriores se llaman multiplicadores de la eliminación.

25 Eliminación Gassiana y Pivoteo Definición (Pivotes y multiplicadores). El elemento a qq de la matriz de los coeficientes en el paso q + 1 que se usará en la eliminación de a rq, para r = q + 1, q + 2,..., N, se llama q-ésimo pivote y la fila q-ésima se llama fila pivote. Los números m rq = a rq a qq ; r = q + 1, q + 2,..., N por los que se multiplica la fila pivote para restarla de las correspondientes filas posteriores se llaman multiplicadores de la eliminación.

26 Teorema: Eliminación gaussiana con sustitución regresiva. Si A es una matriz invertible de orden N x N, entonces existe un sistema lineal UX = Y, equivalente al sistema AX = B, en el que U es una matriz triangular superior con elementos diagonales u kk 0. Una vez construidos U e Y, se usa el algoritmo de sustitución regresiva para resolver UX = Y y, así, calcular la solución X.

27 Paso 1. Se almacenan todos los coeficientes en la matriz ampliada. El superíndice (1) indica que esta es la primera vez que se almacena un número en la posición (r,c): N 1N N 2N N N1 N2 N3... NN 3N+1 a(1) NN+1

28 Paso 2. Si es necesario, se intercambia la fila que ocupa el lugar 1 con alguna posterior para que 11 0; entonces se elimina la incógnita x 1 en todas las filas desde la 2a hasta la última. En este proceso, m r1 es el número por el que hay que multiplicar la 1a fila para restarla de la fila r-ésima.

29 Los nuevos elementos a (2) rc se superindizan con un (2) para señalar que esta es la 2a vez que se almacena un número en la posición (r,c) de la matriz. El resultado tras el paso 2 es: N 1N+1 0 a (2) 22 a (2) a (2) 2N a (2) 2N+1 0 a (2) 32 a (2) a (2) 3N a (2) a (2) N2 a (2) N3... a (2) NN 3N+1 a(2) NN+1

30 Paso q+1. (Paso general). Si es necesario, se intercambia la fila que ocupa el lugar q-ésimo con alguna posterior para que a (q) qq 0; entonces se elimina la incógnita x q en todas las filas desde la (q+1)-ésima hasta la última. En este proceso, m rq es el número por el que hay que multiplicar la q-ésima fila para restarla de la fila r-ésima.

31 El resultado final, una vez eliminada la incógnita x N 1 en la última fila es: N 1N+1 0 a (2) 22 a (2) a (2) 2N a (2) 2N a (3) a (3) 3N a (3) a (N) NN 3N+1 a (N) NN+1 Y el proceso de triangularización está terminado.

32 Puesto que A es invertible, cuando se realizan las operaciones con las filas, las matrices que se van obteniendo sucesivamente son también invertibles. Esto garantiza que a (k) kk 0 para todo k a lo largo del proceso. Por tanto, podemos usar el algoritmo de sustitución regresiva para resolver UX = Y.

33 Si a (k) kk = 0, entonces no podemos usar la fila k-ésima para eliminar los elementos de la columna k-ésima que están por debajo de la diagonal principal. Lo que hacemos es intercambiar la fila k-ésima con alguna fila posterior para conseguir un elemento pivote que no sea cero; si esto no puede hacerse, entonces la matriz de los coeficientes del sistema es singular y el sistema no tiene solución única.

34 Contenido Métodos de Solución 1 Métodos de Solución

35 Definición Se dice que una matriz invertible A admite una factorización triangular o factorización LU si puede expresarse como el producto de una matriz triangular inferior L, cuyos elementos diagonales son todos iguales a 1, por una matriz triangular superior U: A = LU.

36 Ejemplo: Matriz 4 x a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a = m m 31 m m 41 m 42 m u 11 u 12 u 13 u 14 0 u 22 u 23 u u 33 u u La condición de que A sea invertible implica que u kk 0 para todo k.

37 Teorema: Factorización directa A = LU sin intercambio de filas. Supongamos que podemos llevar a cabo hasta el final el proceso de eliminación gaussiana, sin intercambios de filas, para resolver un sistema de ecuaciones lineales AX = B. Entonces la matriz A admite factorización LU.

38 Una vez halladas Ly U, la solución X puede calcularse en dos pasos: 1 Hallar Y resolviendo LY = B con el método de sustitución progresiva. 1 Hallar X resolviendo UX = Y con el método de sustitución regresiva.

39 Una vez halladas Ly U, la solución X puede calcularse en dos pasos: 1 Hallar Y resolviendo LY = B con el método de sustitución progresiva. 1 Hallar X resolviendo UX = Y con el método de sustitución regresiva.

40 Paso 1. Se almacenan todos los coeficientes en la matriz ampliada. El superíndice (1) indica que esta es la primera vez que se almacena un número en la posición (r,c): N 1N N 2N N N1 N2 N3... NN 3N+1 a(1) NN+1

41 Paso 2. Se elimina la incógnita x 1 en todas las filas desde la 2a hasta la última y, en la posición (r,1) de la matriz, almacenamos el multiplicador m r1 usado para eliminar x 1 en la fila r-ésima.

42 Los nuevos elementos a (2) rc se superindizan con un (2) para señalar que esta es la 2a vez que se almacena un número en la posición (r,c) de la matriz. El resultado tras el paso 2 es N 1N+1 m a (2) a (2) 3N a (2) m N1 a (2) N2 a (2) N3... a (2) NN m 21 a (2) 22 a (2) a (2) 2N a (2) 2N+1 3N+1 a(2) NN+1

43 Paso q+1. (Paso general). Se elimina la incógnita x q en todas las filas desde la (q+1)-ésima hasta la última y, en la posición (r,q) de la matriz, almacenamos el multiplicador m rq usado para eliminar x q en la fila r-ésima.

44 El resultado final, tras haber eliminado x N 1 de la última fila es N 1N+1 m 21 a (2) 22 a (2) a (2) 2N a (2) 2N+1 m 31 m 32 a (3) a (3) 3N a (3) 3N m N1 m N2 m N3... a (N) NN a (N) NN+1

45 Por lo tanto, 2 L = m m 31 m m N1 m N2 m N , U = El proceso de triangularización ya está completo N 0 a (2) 22 a (2) a (2) 2N 0 0 a (3) a (3) 3N a (N) NN 3 7 5

46 Sólo hemos necesitado una matriz para almacenar los elementos de L y U: no se guardan los unos de la diagonal de L ni los ceros que hay en L y U por encima y por debajo de la diagonal principal, respectivamente; sólo se almacenan los coeficientes esenciales para reconstruir L y U.

47 Apéndice Razón para elegir el método de factorización triangular antes que el método de eliminación de Gauss: Si debemos resolver varios sistemas que tienen la misma matriz de coeficientes A pero diferentes columnas B de términos independientes, sólo se hace la factorización la primera vez y se almacenan los factores. Si sólo hay que resolver un sistema de ecuaciones, los dos métodos son iguales, salvo que en la factorización triangular se guardan los multiplicadores.

48 Apéndice Bibliografía MATHEWS, John; KURTIS, Fink. Métodos Numéricos con MATLAB. Prentice Hall, 2000.