Sistemas de Ecuaciones. Lineales III

Transcripción

1 Sistemas de Ecuaciones Lineales III Pivoteo: Estrategia de pivoteo parcial Adaptación a matrices con estructuras particulares: Matrices banda y tridiagonales Método de holesky DIM Universidad de oncepción

2 Necesidad del pivoteo Para k = 1,, n 1 para i = k + 1,, n m ik = a (k) ik /a(k) kk para j = k + 1,, n a (k+1) ij = a (k) ij m ik a (k) kj El algoritmo de eliminación gaussiana (o el de factorización LU) sólo puede llevarse a cabo si todos los pivotes son no nulos: a (k) kk Ejemplo El sistema de ecuaciones siguiente tiene matriz no singular pues su determinante es 1: x 1 x 2 x 3 = 2 4 Sin embargo el algoritmo anterior no puede aplicarse pues a 11 = y, por lo tanto, m 21 = a (1) 21 /a(1) 11 y m 31 = a (1) 31 /a(1) 11 no están definidos DIM Universidad de oncepción

3 Necesidad del pivoteo (cont) Para poder resolver el sistema, debe intercambiarse la primera ecuación con cualquiera de las otras de manera de evitar el pivote cero Por ejemplo, asi: x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 = 4 2 Por otra parte, puede demostrarse que la estabilidad del método de eliminación gaussiana en cuanto a propagación de errores de redondeo se deteriora si los multiplicadores m ij son números muy grandes en módulo Una forma de evitar ambos inconvenientes, pivotes nulos y multiplicadores grandes en módulo, es realizar en cada paso el intercambio de ecuaciones que produzca el pivote mayor posible en módulo Esto estrategia se denomina pivoteo parcial DIM Universidad de oncepción

4 Estrategia de pivoteo parcial 12 a (1) 1n a (2) 22 a (2) 2n a (k) kk a (k) kn a (k) nk a (k) nn a (1) 11 a (1) En el paso k-ésimo se revisa el vector a (k) kk a (k) nk y se busca la fila l en la que aparece la entrada mayor en módulo: k l n : Luego, si l k, se intercambia esa fila con la k-ésima a (k) lk = max k i n { a (k) ik Si la matriz es no singular, siempre habrá una entrada no nula en ese vector, por lo que así se evitan los pivotes nulos Además, despues del intercambio, a (k) kk a (k) ik multiplicadores no pueden pasar de 1 en módulo: m ik = a (k) ik / a (k) kk, i = k,, n Por lo tanto, los 1, i = k,, n DIM Universidad de oncepción }

5 Matrices de permutación Si hay intercambios de filas, las matrices triangulares L y U que se obtienen por el método de eliminación gaussiana con estrategia de pivoteo parcial, ya no factorizan a A, sino que factorizan a la matriz que se obtiene después de aplicar a A todos los intercambios de filas que tuvieron lugar Se llama matriz de permutación a toda matriz que se obtenga intercambiado filas de I Por ejemplo, las siguientes son todas las matrices de permutación 3 3: Los intercambios de filas de una matriz se obtienen multiplicando a izquierda por una matriz de permutación Por ejemplo: = DIM Universidad de oncepción

6 Factorización LU con estrategia de pivoteo parcial Teorema Si A es una matriz no singular, entonces existen matrices no singulares L triangular inferior y U triangular superior y una matriz de permutación P, tales que LU = P A Estas matrices pueden obtenerse mediante el método de eliminación gaussiana con estrategia de pivoteo parcial Si se debe resolver un sistema Ax = b, se procede así: Ax = b P Ax = P b L(Ux) = P b Ly = P b, Ux = y El método de eliminación gaussiana con estrategia de pivoteo parcial resulta estable respecto a la propagación de errores de redondeo DIM Universidad de oncepción

7 Factorización LU con pivoteo en MATLA >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 ]; >> [L,U]=lu(A) omando: [L,U]=lu(A) L es una matriz psicológicamente triangular inferior U es una matriz triangular superior L*U = A L = U = >> L*U ans = DIM Universidad de oncepción

8 Factorización LU con pivoteo en MATLA (cont) >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 ]; >> [L,U,P]=lu(A) omando: [L,U,P]=lu(A) L es una matriz triangular inferior U es una matriz triangular superior P es una matriz de permutación L*U = P*A L = U = P = DIM Universidad de oncepción

9 Factorización LU con pivoteo en MATLA (cont) >> L*U omando: [L,U,P]=lu(A) L es una matriz triangular inferior U es una matriz triangular superior P es una matriz de permutación L*U = P*A ans = >> P*A ans = DIM Universidad de oncepción

10 Matrices banda Se dice que A = (a ij ) R n n es una matriz banda si a ij = cuando i j l, con l n Al número l se lo llama el ancho de banda de la matriz l l Las matrices banda son un caso especial de matrices dispersas y, como tales, deben almacenarse como sparse en MATLA a fin de reducir el costo de almacenamiento Estas matrices aparecen muy habitualmente en las aplicaciones; especialmente en la resolución de problemas de valores de contorno para ecuaciones diferenciales DIM Universidad de oncepción

11 Factorización LU de matrices banda Si una matriz banda A puede factorizarse LU sin necesidad de pivoteo, entonces las matrices triangulares L y U también son banda con el mismo ancho de banda que A A 1 A L 1 A U l Por eso se dice que la factorización LU sin pivoteo preserva la estructura banda de las matrices DIM Universidad de oncepción

12 Matrices tridiagonales Un caso extremo de matrices banda es el de las matrices tridiagonales (l = 2): b 1 c 1 a 2 A = R n n c n 1 a n b n Estas matrices aparecen también muy habitualmente, por ejemplo, al interpolar por splines o al resolver problemas de valores de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias DIM Universidad de oncepción

13 Factorización LU de matrices tridiagonales uando se cumplen las siguientes desigualdades, b 1 > c 1, b i a i + c i, i = 2,, n 1, b n > a n, las matrices tridiagonales pueden factorizarse LU sin necesidad de pivoteo y este procedimiento resulta estable respecto a la propagación de errores de redondeo: A 1 α 2 α n 1 1 A@ β 1 γ 1 γ n 1 β n 1 A L U DIM Universidad de oncepción

14 Las entradas α i, β i y γ i de las matrices L y U pueden calcularse muy fácilmente: b 1 c 1 a 2 b 2 c a n b n c n β 1 γ 1 α 2 1 β 2 γ 2 = β n 1 γ n 1 A α n 1 β n 1β 1 = b 1 = β 1 = b 1 1γ 1 = c 1 = γ 1 = c 1 α 2 β 1 = a 2 = α 2 = a 2 /β 1 α 2 γ 1 + 1β 2 = b 2 = β 2 = b 2 α 2 γ 1 1γ 2 = c 2 = γ 2 = c 2 α n β n 1 = a n = α n = a n /β n 1 α n γ n 1 + 1β n = b n = β n = b n α n γ n DIM Universidad de oncepción

15 Factorización LU de matrices tridiagonales (cont) Así obtenemos el siguiente algoritmo (Algoritmo de Thomas): 1β 1 = b 1 = β 1 = b 1 1γ 1 = c 1 = γ 1 = c 1 α 2 β 1 = a 2 = α 2 = a 2 /β 1 α 2 γ 1 + 1β 2 = b 2 = β 2 = b 2 α 2 γ 1 1γ 2 = c 2 = γ 2 = c 2 β 1 = b 1 Para i = 2,, n γ i 1 = c i 1 α i = a i /β i 1 β i = b i α i γ i 1 osto operacional: α n β n 1 = a n = α n = a n /β n 1 α n γ n 1 + 1β n = b n = β n = b n α n γ n 1 n 3 = 3(n 1) flop i= DIM Universidad de oncepción

16 Solución de sistemas con matrices tridiagonales Al resolver un sistema Ax = d con matriz A tridiagonal, a partir de su factorización LU, Ly = d, Ax = d L(Ux) = d Ux = y, los sistemas triangulares también pueden resolverse muy fácilmente: 1 1 α 2 α n 1 y 1 y 2 y n 1 y n 1 A d 1 d 2 d n 1 d n 1 A y 1 = d 1 Para i = 2,, n y i = d i α i y i 1 osto operacional: n 2 = 2(n 1) flop i= DIM Universidad de oncepción

17 Solución de sistemas con matrices tridiagonales (cont) β 1 γ β n βn 1 γ n 1 1 x 1 x 2 x n 1 x n 1 A y 1 y 2 y n 1 y n 1 A x n = y n /β n Para i = n 1,, 1 x i = (y i γ i x i+1 ) /β i osto operacional: n = 1+3(n 1) flop i=1 El costo total de resolver un sistema de ecuaciomes con matriz tridiagonal mediante el algortimo de Thomas es de 3(n 1) + 2(n 1) n 2 = 8n 7 flop ompárese este costo con el del método de eliminación gaussiana aplicado a ciegas sin sacar provecho de la estructura tridiagonal de la matriz: 2 3 n3 Por ejemplo, un sistema 1 1 cuesta aproximadamente flop por MEG y aproximadamente 8 flop mediante este algoritmo DIM Universidad de oncepción

18 Matrices definidas positivas Una matriz simétrica A R n n se dice definida positiva si x t Ax > x R n : x Estas matrices también aparecen muy habitualmente, por ejemplo, al ajustar parámetros de un modelo por cuadrados mínimos o al resolver problemas de valores de contorno para ecuaciones diferenciales Teorema Sea A R n n una matriz simétrica A es definida positiva si y sólo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones: 1 los valores propios de A son todos positivos; 2 los determinantes de las submatrices principales de A son todos positivos; 3 existe una matriz L, triangular inferior y no singular, tal que A = LL t Esta última propiedad nos dice que si la matriz es simétrica y definida positiva, siempre puede obtenerse una factorización en matrices triangulares sin necesidad de pivoteo Además, no hace falta calcular la matriz triangular superior, pues es la transpuesta de la triangular inferior Veremos que esto reduce el costo operacional a la mitad DIM Universidad de oncepción

19 Método de holesky Se aplica solamente a matrices simétricas y definidas positivas Se basa en calcular directamente la matriz L tal que A = LL t Se procede como en el caso de matrices tridiagonales y se obtiene el siguiente algoritmo: Para j = 1,, n j 1 l jj = ajj k=1 para i = j + 1,, n ( l ij = 1 a ij l jj l 2 jk j 1 k=1 l ik l jk ) El costo operacional es: n j j=1 k=1 1 3 n3 flop, n i=j+1 + n raíces cuadradas ( 1 + j 1 k=1 2) DIM Universidad de oncepción

20 Método de holesky (cont) Para resolver un sistema de ecuaciones Ax = b con matriz simétrica y definida positiva por el método de holesky, una vez calculada L, se tiene: Ax = b L(L t x) = b Ly = b, L t x = y Para resolver los sistemas Ly = b y L t x = y, se utiliza el algoritmo que ya conocemos para matrices triangulares, cuyo costo operacional es de 2n 2 Por lo tanto el costo operacional total del método de holesky es de 1 3 n3 Vale decir, aproximadamente la mitad que el del MEG Además, se demuestra que si la matriz es simétrica y definida positiva, los métodos de factorización son estables respecto a la propagación de errores de redondeo sin necesidad de estrategia de pivoteo En particular, el método de holesky es estable respecto a la propagación de errores de redondeo DIM Universidad de oncepción

21 Factorización de holesky en MATLA omando: R=chol(A) R es una matriz triangular superior R t *R = A A = >> R=chol(A) R = >> =R *R = DIM Universidad de oncepción