I. Métodos directos para resolución de SEL. Se dice que una matriz A admite una factorización LU indirecta A = LU

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Adrián Flores Gómez
hace 7 años
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1 I. Métodos directos para resolución de SEL 1. Factorización LU Se dice que una matriz A admite una factorización LU si dicha matriz puede escribirse como el producto de una matriz triangular inferior, L, cuyos elementos en la diagonal sean iguales a la unidad y una matriz triangular superior U: A = LU Se dice que una matriz A admite una factorización LU indirecta si existe una matrix de permutación P tal que la matriz P A admita una factorización LU: P A = LU Observaciones: Se denomina matriz de permutación a toda matriz cuadrada tal que cada fila y cada columna de la matriz tiene un y sólo un elemento distinto de cero y éste toma además el valor 1. Toda matriz de permutación es regular y además se verifica: P 1 = P t Toda matriz A regular admite una factorización LU indirecta (pero no necesariamente una factorización LU). Cálculo de factorizaciones LU con MATLAB >> [L U]=lu(A) Si la matriz A admite una factorización LU, la función lu devuelve en L la matriz triangular inferior y en U la matriz triangular superior >> [L U P]=lu(A) Si la matriz A admite una factorización LU indirecta, la función lu devuelve en L la matriz triangular inferior, en U la matriz triangular superior y en P la matriz de permutación

2 2. Factorización de Cholesky Se dice que una matriz A real admite una factorización de Cholesky si dicha matriz puede escribirse como el producto de una matriz triangular inferior, L, cuyos elementos en la diagonal son positivos por la matriz traspuesta de ésta, L t : Observación: A = LL t Una matriz A real admite factorización de Cholesky si y sólo si es definida positiva (esto es, simétrica y tal que x t Ax > 0 si x 0). Cálculo de factorizaciones de Cholesky con MATLAB >> [U]=chol(A) Si la matriz A admite una factorización de Cholesky, la función chol devuelve en U la matriz triangular superior L t 3. Factorización QR de Householder Se dice que una matriz A admite una factorización QR de Householder si dicha matriz puede escribirse como el producto de una matriz ortogonal, Q, y una matriz triangular superior R: Observaciones: A = QR Se dice que una matriz (real) Q es ortogonal si Q 1 = Q t Toda matriz A admite una factorización QR de Householder (que es única si la matriz es regular). Cálculo de factorizaciones QR de Householder con MATLAB >> [Q R]=qr(A) Para una matriz A real, la función qr devuelve en Q la matriz ortogonal y en R la matriz triangular superior para una cierta factorización QR de Householder. 2

3 II. Métodos iterativos clásicos para SEL Dada una matriz cuadrada A se considera su descomposición de la forma donde: A = D E F D es una matriz diagonal: d ij = a ij δ ij E es una matriz triangular inferior (con elementos nulos en la diagonal): e ij = a ij si i > j y e ij = 0 si i j F es una matriz triangular superior (con elementos nulos en la diagonal): f ij = a ij si i < j y f ij = 0 si i j 1. Método de Jacobi Se denomina método de Jacobi para la resolución del sistema de ecuaciones Ax = b al método iterativo siguiente: Dx k+1 = (E + F )x k + b 2. Método de Gauss-Seidel Se denomina método de Gauss-Seidel para la resolución del sistema de ecuaciones Ax = b al método iterativo siguiente: (D E)x k+1 = F x k + b Condición suficiente de convergencia (Jacobi y Gauss-Seidel) Si la matriz A es de diagonal (estrictamente) dominante, esto es: a ii > n j=1, j i a ij para 1 i n, entonces tanto el método de Jacobi como el de Gauss-Seidel convergen a la (única) solución del sistema de ecuaciones para cualquier iterante inicial x 0 3

4 3. Método de relajación Se denomina método de relajación para la resolución del sistema de ecuaciones Ax = b a todo método iterativo de la forma siguiente: ( 1 ω D E)xk+1 = ( 1 ω ω D + F )xk + b con 0 < ω < 2 (en otro caso el método no podría converger) Condición suficiente de convergencia (relajación) Si la matriz A es definida positiva y 0 < ω < 2 el método de relajación converge a la (única) solución del sistema de ecuaciones para cualquier iterante inicial x 0 Convergencia para sistemas con matrices tridiagonales Los métodos iterativos anteriores pueden escribirse de la forma x k+1 = Bx k + c para una cierta elección de B (que denotaremos por B J, B GS y B ω ). En ese caso ρ(b) determinará si el método converge (si ρ(b) < 1) o no (si ρ(b) 1) y, en caso afirmativo, la velocidad de convergencia de éste. Convergencia de los métodos y comparación de radios espectrales Si la matriz A es tridiagonal se tiene: todos los métodos descritos convergen o divergen simultáneamente ρ(b GS ) = (ρ(b J )) 2 Si la matriz A es tridiagonal y definida positiva se tiene: todos los métodos descritos convergen existe un parámetro ω óptimo, que notaremos ω 0, de modo que este valor viene dado por ρ(b ω0 ) = ω 0 = y para él se tiene ρ(b ω0 ) = ω 0 1 inf ρ(b ω) 0<ω< ρ(b GS ) 4

5 III. Métodos iterativos de tipo gradiente para SEL Dada una matriz cuadrada A simétrica y definida positiva, la resolución del sistema de ecuaciones Ax = b es equivalente a la minimización del funcional J(y) = 1 2 yt Ay y t b Esquema general de los métodos de tipo gradiente Dado un iterante inicial x 0, procede para k = 0, 1, 2... a) Elige una dirección de descenso d k b) Elige un paso t k en la dirección de descenso, tal que J(x k + t k d k ) < J(x k ) c) Toma x k+1 = x k + t k d k b) Si se verifica un cierto criterio de convergencia, termina Transformación de sistemas con matriz cualquiera Dado un sistema de ecuaciones Ax = b donde A no es simétrica y definida positiva (pero sí es regular), puede transformarse el sistema en A t Ax = A t b donde la nueva matriz A t A sí es simétrica y definida positiva. Norma asociada a una matriz simétrica y definida positiva Dada A una matriz simétrica y definida positiva, la aplicación define una norma sobre R n. x A = x t Ax 5

6 1. Método de máximo descenso Se denomina método de máximo descenso para la resolución del sistema de ecuaciones Ax = b al método que elige: d k = J(x k ) (dirección de máximo descenso) t k = dt kd k d t kad k (máximo descenso en dirección d k ) Obsérvese que J(x k ) = r k = Ax k b (residuo). Convergencia del método de máximo descenso Sea A simétrica y definida positiva, con número de condición κ. Entonces, la sucesion {x k } generada por el método de máximo descenso verifica ( ) κ 1 k x x k A x x 0 A κ Método de gradiente conjugado Se denomina método de gradiente conjugado para la resolución del sistema de ecuaciones Ax = b al método que elige: d k = s k d k 1 + r k rt kr k t k = d t kad k donde s k = r k 2 / r k 1 2 y se toma d 0 = r 0. Convergencia del método de gradiente conjugado Sea A simétrica y definida positiva, con número de condición κ. Entonces, la sucesión {x k } generada por el método de gradiente conjugado verifica k x x k A 2 κ 1 x x 0 A κ + 1 En todo caso, el método devuelve la solución exacta en, como mucho, n iteraciones. 6

7 IV. Método de gradiente conjugado precondicionado Dada una matriz cuadrada A simétrica y definida positiva, se considera la resolución del sistema de ecuaciones Ax = b mediante el método de gradiente conjugado en un caso mal condicionado. Sistema precondicionado Se toma M 1 (simétrica y definida positiva) tal que M 1 A resulte bien condicionada y se resuelve M 1 Ax = M 1 b Sin embargo M 1 A puede NO ser simétrica y definida positiva. Sistema precondicionado modificado Si se escribe M = EE t (al ser M simétrica y definida positiva se asegura que existen factorizaciones simétricas) puede resolverse el sistema E 1 AE t y = E 1 b con E t x = y donde E 1 AE t es simétrica y definida positiva y tiene los mismos autovalores que M 1 A (mismo condicionamiento). Implementación efectiva del sistema precondicionado Debe evitarse el (costoso) cálculo explícito del factor E, para lo cual se reformula el algoritmo 7

8 Método de gradiente conjugado precondicionado Se denomina método de gradiente conjugado precondicionado para la resolución del sistema de ecuaciones Ax = b con matriz de precondicionamiento M 1 al método que elige: d k = s k d k 1 h k t k = rt kh k d t kad k donde s k = (r t kh k )/(r t k 1h k 1 ) y h k se obtiene resolviendo el sistema Mh k = r k. Para el iterante inicial se toma d 0 = h 0 con h 0 solución de Mh 0 = r 0. Elección de precondicionadores La matriz M debe elegirse con las siguientes condiciones - M debe ser simétrica y definida positiva - M debe parecerse a la matriz A (de modo que M 1 A esté bien condicionada) - M debe ser fácilmente invertible (esto es, los sistemas de ecuaciones lineales asociados a M deben ser resueltos con un bajo coste computacional) Algunos precondicionadores habituales Se considera (de nuevo) la descomposición A = D E F en parte diagonal, triangular inferior y triangular superior. - Jacobi: M = D - Gauss-Seidel simétrico: M = (D E)D 1 (D F ) - Sobrerelalación simétrica (SSOR): M = ( 1 ω D E) ω 2 ω D 1 ( 1 ω D F ) - Factorización de Cholesky incompleta: M = RR t Debe almacenarse la factorización de M (en factores triangulares) para ser empleada dentro del algoritmo en la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. 8

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