Tema 3 Resolución de Sistemas deecuaciones Lineales
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- Juan Luis Rodríguez Cuenca
- hace 7 años
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1 Tema 3 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales E.T.S.I. Informática
2 Indice 1 Introducción 2 Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss 3 Pivote parcial Pivote total 4 5 Factorización LU Método de Cholesky 6 Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación
3 Introducción El objetivo de este tema es la resolución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:
4 Introducción El objetivo de este tema es la resolución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11x 1 + a 12x a 1nx n = b 1, a 21x 1 + a 22x a 2nx n = b 2,... a n1x 1 + a n2x a nnx n = b n,
5 Introducción El objetivo de este tema es la resolución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11x 1 + a 12x a 1nx n = b 1, a 21x 1 + a 22x a 2nx n = b 2,... a n1x 1 + a n2x a nnx n = b n, donde son conocidos la matriz de coecientes a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn
6 Introducción y el vector de términos independientes b = b 1 b 2. b n
7 Introducción y el vector de términos independientes b = En notación matricial, el sistema de ecuaciones lineales se escribe: b 1 b 2. b n
8 Introducción y el vector de términos independientes b = En notación matricial, el sistema de ecuaciones lineales se escribe: b 1 b 2. b n Ax = b.
9 Introducción y el vector de términos independientes b = En notación matricial, el sistema de ecuaciones lineales se escribe: b 1 b 2. b n Ax = b. y se puede resolver por dos tipos de métodos:
10 Introducción y el vector de términos independientes b = En notación matricial, el sistema de ecuaciones lineales se escribe: b 1 b 2. b n Ax = b. y se puede resolver por dos tipos de métodos: Métodos directos:
11 Introducción y el vector de términos independientes b = En notación matricial, el sistema de ecuaciones lineales se escribe: b 1 b 2. b n Ax = b. y se puede resolver por dos tipos de métodos: Métodos directos:son métodos que, en un número nito de operacions, obtienen la solución exacta.
12 Introducción y el vector de términos independientes b = En notación matricial, el sistema de ecuaciones lineales se escribe: b 1 b 2. b n Ax = b. y se puede resolver por dos tipos de métodos: Métodos directos:son métodos que, en un número nito de operacions, obtienen la solución exacta. Métodos iterativos:
13 Introducción y el vector de términos independientes b = En notación matricial, el sistema de ecuaciones lineales se escribe: b 1 b 2. b n Ax = b. y se puede resolver por dos tipos de métodos: Métodos directos:son métodos que, en un número nito de operacions, obtienen la solución exacta. Métodos iterativos:son métodos que generan una sucesión de aproximaciones {x (m) } que converge a la solución del sistema: x = A 1 b.
14 Introducción Recordemos que el Método de Cramer para la resolución de un sistema de n con n incógnitas x 1,..., x n consiste en calcular las incógnitas mediante la fórmula
15 Introducción Recordemos que el Método de Cramer para la resolución de un sistema de n con n incógnitas x 1,..., x n consiste en calcular las incógnitas mediante la fórmula x i = det A i, i = 1,..., n, det A
16 Introducción Recordemos que el Método de Cramer para la resolución de un sistema de n con n incógnitas x 1,..., x n consiste en calcular las incógnitas mediante la fórmula x i = det A i, i = 1,..., n, det A siendo A la matriz de coecientes y A i la matriz que resulta de sustituir la columna i-ésima de la matriz de coecientes por le vector de términos independientes.
17 Introducción Recordemos que el Método de Cramer para la resolución de un sistema de n con n incógnitas x 1,..., x n consiste en calcular las incógnitas mediante la fórmula x i = det A i, i = 1,..., n, det A siendo A la matriz de coecientes y A i la matriz que resulta de sustituir la columna i-ésima de la matriz de coecientes por le vector de términos independientes. Teniendo en cuenta que el coste de un proceso de cálculo se puede estimar mediante el número total de operaciones aritméticas necesarias, entonces el coste de un determinante de orden n es n!n 1 y, por tanto, el coste del Método de Cramer es (n + 1)n! 1.
18 Introducción A continuación aparece una tabla con el tiempo estimado para resolver con el método de Cramer un sistema de orden n, para distintos valores de n, con una máquina que realice unas 10 6 operaciones por segundo:
19 Introducción A continuación aparece una tabla con el tiempo estimado para resolver con el método de Cramer un sistema de orden n, para distintos valores de n, con una máquina que realice unas 10 6 operaciones por segundo: Algunos costes del método de Cramer n Coste del Método de Cramer Tiempo (10 6 oper/s) ,6 milisegundos minutos 39 segundos 20 1, ,4 millones de años
20 Introducción Por último, recordemos algunas deniciones sobre matrices
21 Introducción Por último, recordemos algunas deniciones sobre matrices A n n = (a ij ) se dice Ortogonal Simétrica si verica A T = A 1 A T = A Diagonal si i j entonces a ij = 0 Tridiagonal si i j > 1 entonces a ij = 0 Triangular superior si i > j entonces a ij = 0 Hessenberg superior si i > j + 1 entonces a ij = 0 (Semi)Denida positiva x t Ax( ) > 0, x 0 (Estrictamente)Diagonalmente dominante a ij (<) a ii, i j i
22 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Sea Ux = b un sistema de3 ecuaciones lineales con solución única (det U 0) en el que la matriz de coecientes U n n es triangular superior.
23 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Sea Ux = b un sistema de3 ecuaciones lineales con solución única (det U 0) en el que la matriz de coecientes U n n es triangular superior. Entonces las componentes de la solución se pueden calular mediante el método de sustitución regresiva, es decir, se despeja la última incógnita de la última ecuación,
24 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Sea Ux = b un sistema de3 ecuaciones lineales con solución única (det U 0) en el que la matriz de coecientes U n n es triangular superior. Entonces las componentes de la solución se pueden calular mediante el método de sustitución regresiva, es decir, se despeja la última incógnita de la última ecuación, se sustituye en la penúltima ecuación;
25 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Sea Ux = b un sistema de3 ecuaciones lineales con solución única (det U 0) en el que la matriz de coecientes U n n es triangular superior. Entonces las componentes de la solución se pueden calular mediante el método de sustitución regresiva, es decir, se despeja la última incógnita de la última ecuación, se sustituye en la penúltima ecuación; después se despeja de esta ecuación la penúltima incóngnita
26 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Sea Ux = b un sistema de3 ecuaciones lineales con solución única (det U 0) en el que la matriz de coecientes U n n es triangular superior. Entonces las componentes de la solución se pueden calular mediante el método de sustitución regresiva, es decir, se despeja la última incógnita de la última ecuación, se sustituye en la penúltima ecuación; después se despeja de esta ecuación la penúltima incóngnita y se repite el proceso hacia arriba hasta calcular el valor de la primera incógnita.
27 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Sea Ux = b un sistema de3 ecuaciones lineales con solución única (det U 0) en el que la matriz de coecientes U n n es triangular superior. Entonces las componentes de la solución se pueden calular mediante el método de sustitución regresiva, es decir, se despeja la última incógnita de la última ecuación, se sustituye en la penúltima ecuación; después se despeja de esta ecuación la penúltima incóngnita y se repite el proceso hacia arriba hasta calcular el valor de la primera incógnita. : Algoritmo del Método de Sustitución Regresiva n b i u ij x j x i = j=i+1 u ii, i = n, n 1,..., 1.
28 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Ejemplo: Consideremos el sistema de ecuaciones lineales
29 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Ejemplo: Consideremos el sistema de ecuaciones lineales 3x 1 + 2x 2 2x 3 + 4x 4 = 5, 3x 2 5x 3 3x 4 = 0, 4x 3 + x 4 = 3, 2x 4 = 6.
30 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Ejemplo: Consideremos el sistema de ecuaciones lineales 3x 1 + 2x 2 2x 3 + 4x 4 = 5, 3x 2 5x 3 3x 4 = 0, 4x 3 + x 4 = 3, 2x 4 = 6. Entonces, aplicando el método de sustitución regresiva se tiene:
31 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Ejemplo: Consideremos el sistema de ecuaciones lineales 3x 1 + 2x 2 2x 3 + 4x 4 = 5, 3x 2 5x 3 3x 4 = 0, 4x 3 + x 4 = 3, 2x 4 = 6. Entonces, aplicando el método de sustitución regresiva se tiene: x 4 = 6 2 = 3,
32 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Ejemplo: Consideremos el sistema de ecuaciones lineales 3x 1 + 2x 2 2x 3 + 4x 4 = 5, 3x 2 5x 3 3x 4 = 0, 4x 3 + x 4 = 3, 2x 4 = 6. Entonces, aplicando el método de sustitución regresiva se tiene: x 4 = 6 2 = 3, x 3 = 3 x4 4 = 3 2,
33 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Ejemplo: Consideremos el sistema de ecuaciones lineales 3x 1 + 2x 2 2x 3 + 4x 4 = 5, 3x 2 5x 3 3x 4 = 0, 4x 3 + x 4 = 3, 2x 4 = 6. Entonces, aplicando el método de sustitución regresiva se tiene: x 4 = 6 2 = 3, x 3 = x 2 = 3 x4 4 5x3 + 3x4 3 = 3 2, = 1 2,
34 Resolución de Sistemas Triangulares Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Ejemplo: Consideremos el sistema de ecuaciones lineales 3x 1 + 2x 2 2x 3 + 4x 4 = 5, 3x 2 5x 3 3x 4 = 0, 4x 3 + x 4 = 3, 2x 4 = 6. Entonces, aplicando el método de sustitución regresiva se tiene: x 4 = 6 2 = 3, x 3 = 3 x4 4 5x3 + 3x4 = 3 2, x 2 = = 1 3 2, 5 2x2 + 2x3 4x4 x 1 = 3 = 7.
35 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Se trata de transformar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y otro equivalente Ux = c que sea triangular superior.
36 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Se trata de transformar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y otro equivalente Ux = c que sea triangular superior. El método se realiza por etapas:
37 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Se trata de transformar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y otro equivalente Ux = c que sea triangular superior. El método se realiza por etapas: 1ª etapa: Transformar a 21, a 31,..., a n1 en ceros.
38 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Se trata de transformar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y otro equivalente Ux = c que sea triangular superior. El método se realiza por etapas: 1ª etapa: Transformar a 21, a 31,..., a n1 en ceros. 2ª etapa: Transformar a (2) 32,..., a(2) n2 en ceros.
39 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Se trata de transformar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y otro equivalente Ux = c que sea triangular superior. El método se realiza por etapas: 1ª etapa: Transformar a 21, a 31,..., a n1 en ceros. 2ª etapa: Transformar a (2) 32,..., a(2) n2 en ceros. 3ª etapa: Transformar a (3) 43,..., a(3) n3 en ceros
40 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Se trata de transformar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y otro equivalente Ux = c que sea triangular superior. El método se realiza por etapas: 1ª etapa: Transformar a 21, a 31,..., a n1 en ceros. 2ª etapa: Transformar a (2) 32,..., a(2) n2 en ceros. 3ª etapa: Transformar a (3) 43,..., a(3) n3 en ceros.
41 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Se trata de transformar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b y otro equivalente Ux = c que sea triangular superior. El método se realiza por etapas: 1ª etapa: Transformar a 21, a 31,..., a n1 en ceros. 2ª etapa: Transformar a (2) 32,..., a(2) n2 en ceros. 3ª etapa: Transformar a (3) 43,..., a(3) n3 en ceros. etapa n-1: Transformar a (n 1) n,n 1 en cero.
42 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Las transformaciones en cero de cada etapa se relizarán mediante operaciones elementales:
43 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Las transformaciones en cero de cada etapa se relizarán mediante operaciones elementales: para transformar a (k) ik en cero usado como pivote a (k), se kk multiplica la ecuación número k por a(k) ik a (k) kk y se le suma la ecuación número i.
44 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Las transformaciones en cero de cada etapa se relizarán mediante operaciones elementales: para transformar a (k) ik en cero usado como pivote a (k), se kk multiplica la ecuación número k por a(k) ik a (k) kk y se le suma la ecuación número i. Para evitar pivotes nulos se permite permutar las ecuaciones desde la número k hasta la n.
45 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Las transformaciones en cero de cada etapa se relizarán mediante operaciones elementales: para transformar a (k) ik en cero usado como pivote a (k), se kk multiplica la ecuación número k por a(k) ik a (k) kk y se le suma la ecuación número i. Para evitar pivotes nulos se permite permutar las ecuaciones desde la número k hasta la n. Ejemplo: A continuación resolvemos por el método de Gauss el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es
46 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Las transformaciones en cero de cada etapa se relizarán mediante operaciones elementales: para transformar a (k) ik en cero usado como pivote a (k), se kk multiplica la ecuación número k por a(k) ik a (k) kk y se le suma la ecuación número i. Para evitar pivotes nulos se permite permutar las ecuaciones desde la número k hasta la n. Ejemplo: A continuación resolvemos por el método de Gauss el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es
47 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss 1ª etapa:
48 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss 1ª etapa: ª etapa:
49 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss 3ª etapa:
50 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss 3ª etapa: Solución:
51 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss El coste del método de Gauss (fase de triangulación) es
52 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss El coste del método de Gauss (fase de triangulación) es c(gauss n) = 4n3 + 3n 2 7n 6 ( 2n 3 = O 3 ).
53 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss El coste del método de Gauss (fase de triangulación) es c(gauss n) = 4n3 + 3n 2 7n 6 Faltaría añadirle el coste de la sustitución regresiva. ( 2n 3 = O 3 ).
54 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss El coste del método de Gauss (fase de triangulación) es c(gauss n) = 4n3 + 3n 2 7n 6 Faltaría añadirle el coste de la sustitución regresiva. ( 2n 3 = O 3 En la siguiente tabla se calculan algunos costes y tiempos de triangulación con el método de Gauss en una máquina que realice 10 6 operaciones por segundo. ).
55 Triangulación por el Método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss El coste del método de Gauss (fase de triangulación) es c(gauss n) = 4n3 + 3n 2 7n 6 Faltaría añadirle el coste de la sustitución regresiva. ( 2n 3 = O 3 En la siguiente tabla se calculan algunos costes y tiempos de triangulación con el método de Gauss en una máquina que realice 10 6 operaciones por segundo. Algunos costes con el método de Gauss n Coste del Método de Gauss Tiempo (10 6 oper/s) microsegundos ,7 milisegundos ,5 milisegundos ,67 segundos millones 11 minutos ).
56 Variante de Gauss-Jordan Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Se trata de transformar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b en un sistema equivalente Dx = c, con D una matriz diagonal.
57 Variante de Gauss-Jordan Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Se trata de transformar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b en un sistema equivalente Dx = c, con D una matriz diagonal. En cada etapa k se deben hacer cero las posiciones a (k),..., 1k a(k), k 1,k a(k),..., k+1,k a(k) nk, donde k = 1,..., n (n etapas).
58 Variante de Gauss-Jordan Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Se trata de transformar el sistema de ecuaciones lineales Ax = b en un sistema equivalente Dx = c, con D una matriz diagonal. En cada etapa k se deben hacer cero las posiciones a (k),..., 1k a(k), k 1,k a(k),..., k+1,k a(k) nk, donde k = 1,..., n (n etapas). El coste del método de Gauss-Jordan es n 3 + n 2 2n, a falta de añadir n divisiones para calcular las incógnitas.
59 Comentarios al método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Aplicaciones del método de Gauss
60 Comentarios al método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Aplicaciones del método de Gauss Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con solución única (det A 0).
61 Comentarios al método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Aplicaciones del método de Gauss Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con solución única (det A 0). Resolución de sistemas de ecuaciones lineales sin saber si det A 0.
62 Comentarios al método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Aplicaciones del método de Gauss Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con solución única (det A 0). Resolución de sistemas de ecuaciones lineales sin saber si det A 0. Discusión general de sistemas de ecuaciones lineales.
63 Comentarios al método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Aplicaciones del método de Gauss Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con solución única (det A 0). Resolución de sistemas de ecuaciones lineales sin saber si det A 0. Discusión general de sistemas de ecuaciones lineales. Resolución simultánea de sistemas de ecuaciones lineales.
64 Comentarios al método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Aplicaciones del método de Gauss Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con solución única (det A 0). Resolución de sistemas de ecuaciones lineales sin saber si det A 0. Discusión general de sistemas de ecuaciones lineales. Resolución simultánea de sistemas de ecuaciones lineales. Cálculo eciente de determinantes.
65 Comentarios al método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Aplicaciones del método de Gauss Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con solución única (det A 0). Resolución de sistemas de ecuaciones lineales sin saber si det A 0. Discusión general de sistemas de ecuaciones lineales. Resolución simultánea de sistemas de ecuaciones lineales. Cálculo eciente de determinantes. Cálculo eciente de inversas.
66 Comentarios al método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Inconvenientes del método de Gauss
67 Comentarios al método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Inconvenientes del método de Gauss No adecuado para sistemas muy grandes (dispersos).
68 Comentarios al método de Gauss Resolución de Sistemas Triangulares Triangulación por el Método de Gauss Variante de Gauss-Jordan Comentarios al método de Gauss Inconvenientes del método de Gauss No adecuado para sistemas muy grandes (dispersos). Inestable.
69 Pivote parcial Pivote total Consideremos el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada
70 Pivote parcial Pivote total Consideremos el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada ( 0, ) 1 1 2
71 Pivote parcial Pivote total Consideremos el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada ( 0, ) cuya solución exacta es ( 1, , ).
72 Pivote parcial Pivote total Consideremos el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada ( 0, ) cuya solución exacta es ( 1, , ). Si aplicamos el método de Gauss con una máquina que admite solo 3 decimales se tiene la siguiente triangulación:
73 Pivote parcial Pivote total Consideremos el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada ( 0, ) cuya solución exacta es ( 1, , ). Si aplicamos el método de Gauss con una máquina que admite solo 3 decimales se tiene la siguiente triangulación: ( 0, )
74 Pivote parcial Pivote total Consideremos el sistema de ecuaciones lineales de matriz ampliada ( 0, ) cuya solución exacta es ( 1, , ). Si aplicamos el método de Gauss con una máquina que admite solo 3 decimales se tiene la siguiente triangulación: ( 0, ) y se obtiene como solución ( 0 1 ).
75 Pivote parcial Pivote parcial Pivote total Pivote Parcial Se busca la ecuación i > k tal que a ik = max a rk y se permuta con la k r n ecuación k. ( 0, ) exacta ( 1, ,99990 )
76 Pivote parcial Pivote parcial Pivote total Pivote Parcial Se busca la ecuación i > k tal que a ik = max a rk y se permuta con la k r n ecuación k. ( 0, Efectuando un cambio de la ) exacta ( 1, ,99990 )
77 Pivote parcial Pivote parcial Pivote total Pivote Parcial Se busca la ecuación i > k tal que a ik = max a rk y se permuta con la k r n ecuación k. ( 0, Efectuando un cambio de la ( , ) ) exacta ( ( 1, ,99990 ) ) ( p.p. 1 1 ).
78 Pivote parcial Pivote parcial Pivote total Pivote Parcial Se busca la ecuación i > k tal que a ik = max a rk y se permuta con la k r n ecuación k. ( 0, Efectuando un cambio de la ( , ) ) exacta ( Pero ( 0, ,0001 0,0001 0,0002 ( 1, ,99990 ) ) ) ( p.p. 1 1 ( p.p. 0 1 ). ).
79 Pivote parcial Pivote parcial Pivote total Pivote parcial con escalado Igual que el pivote parcial, reescalando las ecuaciones antes del pivotaje para que max a (1) ij = max a (2) 2j = = max a(n) nj.
80 Pivote Total Pivote parcial Pivote total Pivote Total Se toma (i, j) tal que a (k) ij = max k r n k s n a (k) rs, y se permutan las ecuaciones i y k, y las incógnitas j y k.
81 Para entender el concepto de condicionamiento, consideremos el siguiente ejemplo de R.S. Wilson:
82 Para entender el concepto de condicionamiento, consideremos el siguiente ejemplo de R.S. Wilson:Se trata del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada y solución exacta son:
83 Para entender el concepto de condicionamiento, consideremos el siguiente ejemplo de R.S. Wilson:Se trata del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada y solución exacta son:
84 Para entender el concepto de condicionamiento, consideremos el siguiente ejemplo de R.S. Wilson:Se trata del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada y solución exacta son: sol.exacta ,
85 Para entender el concepto de condicionamiento, consideremos el siguiente ejemplo de R.S. Wilson:Se trata del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada y solución exacta son: sol.exacta , mientras que si se produce una pequeña variación en los términos independentes (datos) se produce una gran modicación en la solución (resultados):
86 Para entender el concepto de condicionamiento, consideremos el siguiente ejemplo de R.S. Wilson:Se trata del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada y solución exacta son: sol.exacta , mientras que si se produce una pequeña variación en los términos independentes (datos) se produce una gran modicación en la solución (resultados): , , , ,9
87 Para entender el concepto de condicionamiento, consideremos el siguiente ejemplo de R.S. Wilson:Se trata del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada y solución exacta son: sol.exacta , mientras que si se produce una pequeña variación en los términos independentes (datos) se produce una gran modicación en la solución (resultados): ,1 9, , ,1 sol.exacta 12,6 4, ,9 1,1
88 Para entender el concepto de condicionamiento, consideremos el siguiente ejemplo de R.S. Wilson:Se trata del sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada y solución exacta son: sol.exacta , mientras que si se produce una pequeña variación en los términos independentes (datos) se produce una gran modicación en la solución (resultados): ,1 9, , ,1 sol.exacta 12,6 4, ,9 1,1 Esto indica que el método de resolución de sistemas de ecuaciones empleado (Gauss) están mal condicionado.
89 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Resolución de un sistema factorizado en LU Si A = LU, con L una matriz triangular inferior (low) y U una matriz triangular superior (upper), entonces el sistema de ecuaciones lineales Ax = b se puede resover en dos fases:
90 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Resolución de un sistema factorizado en LU Si A = LU, con L una matriz triangular inferior (low) y U una matriz triangular superior (upper), entonces el sistema de ecuaciones lineales Ax = b se puede resover en dos fases: a) Ly = b,
91 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Resolución de un sistema factorizado en LU Si A = LU, con L una matriz triangular inferior (low) y U una matriz triangular superior (upper), entonces el sistema de ecuaciones lineales Ax = b se puede resover en dos fases: a) Ly = b, b) Ux = y,
92 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Resolución de un sistema factorizado en LU Si A = LU, con L una matriz triangular inferior (low) y U una matriz triangular superior (upper), entonces el sistema de ecuaciones lineales Ax = b se puede resover en dos fases: a) Ly = b, b) Ux = y, con un coste de 2n 2 operaciones. Ejemplo Consideremos el sistema de ecuaciones lineales:
93 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Resolución de un sistema factorizado en LU Si A = LU, con L una matriz triangular inferior (low) y U una matriz triangular superior (upper), entonces el sistema de ecuaciones lineales Ax = b se puede resover en dos fases: a) Ly = b, b) Ux = y, con un coste de 2n 2 operaciones. Ejemplo Consideremos el sistema de ecuaciones lineales: x =
94 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky... Aplicando el algoritmo de resolución de un sistema factorizado en LU, obtenemos
95 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky... Aplicando el algoritmo de resolución de un sistema factorizado en LU, obtenemos
96 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky... Aplicando el algoritmo de resolución de un sistema factorizado en LU, obtenemos = y =
97 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky... Aplicando el algoritmo de resolución de un sistema factorizado en LU, obtenemos = y =
98 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky... Aplicando el algoritmo de resolución de un sistema factorizado en LU, obtenemos = y = = x =
99 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Algoritmo del la Factorización LU Para k = 1,..., n,
100 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Algoritmo del la Factorización LU Para k = 1,..., n, l kk u kk k 1 = a kk l kr u rk ; r=1
101 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Algoritmo del la Factorización LU Para k = 1,..., n, l kk u kk l ik = k 1 = a kk l kr u rk ; r=1 k 1 a ik l ir u rk r=1 u kk, i = k + 1,..., n;
102 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Algoritmo del la Factorización LU Para k = 1,..., n, l kk u kk l ik = u kj = k 1 = a kk l kr u rk ; r=1 k 1 a ik l ir u rk r=1 u kk, i = k + 1,..., n; k 1 a kj l kr u rj r=1 l kk, j = k + 1,..., n.
103 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Coste general de la factorización: 4n3 + 2n 6 n 2 + n 2 ). = O( 2n3 ), (a falta de añadir 3
104 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Coste general de la factorización: 4n3 + 2n 6 n 2 + n 2 ). = O( 2n3 ), (a falta de añadir 3 Algunas variantes:
105 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Coste general de la factorización: 4n3 + 2n 6 n 2 + n 2 ). = O( 2n3 ), (a falta de añadir 3 Algunas variantes: Variante de Doolittle: L tiene diagonal de 1.
106 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Coste general de la factorización: 4n3 + 2n 6 n 2 + n 2 ). = O( 2n3 ), (a falta de añadir 3 Algunas variantes: Variante de Doolittle: L tiene diagonal de 1. Variante de Crout: U tiene diagonal de 1.
107 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Factorización LU para matrices tridiagonales Si A = LU es tridiagonal (a ij = 0 si i j > 1), entonces L y U también lo son y, para k = 1,..., n,
108 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Factorización LU para matrices tridiagonales Si A = LU es tridiagonal (a ij = 0 si i j > 1), entonces L y U también lo son y, para k = 1,..., n, l kk u kk = a kk l k,k 1 u k 1,k ;
109 Factorización LU Factorización LU Método de Cholesky Factorización LU para matrices tridiagonales Si A = LU es tridiagonal (a ij = 0 si i j > 1), entonces L y U también lo son y, para k = 1,..., n, l kk u kk = a kk l k,k 1 u k 1,k ; l k+1,k u k,k+1 = a k+1,k u kk ; = a k,k+1 l kk. Coste: 4n 3 para factorizar y 2(3n 2) para resolver.
110 Método de Cholesky Factorización LU Método de Cholesky Se trata de un método de descomposición LU en el caso en que la matriz A sea simétrica y denida positiva.
111 Método de Cholesky Factorización LU Método de Cholesky Se trata de un método de descomposición LU en el caso en que la matriz A sea simétrica y denida positiva. Basta con tomar U = L T y, por tanto,
112 Método de Cholesky Factorización LU Método de Cholesky Se trata de un método de descomposición LU en el caso en que la matriz A sea simétrica y denida positiva. Basta con tomar U = L T y, por tanto, A = LL t.
113 Método de Cholesky Factorización LU Método de Cholesky Se trata de un método de descomposición LU en el caso en que la matriz A sea simétrica y denida positiva. Basta con tomar U = L T y, por tanto, A = LL t. Método de Cholesky Para k = 1,..., n,
114 Método de Cholesky Factorización LU Método de Cholesky Se trata de un método de descomposición LU en el caso en que la matriz A sea simétrica y denida positiva. Basta con tomar U = L T y, por tanto, A = LL t. Método de Cholesky Para k = 1,..., n, k 1 l kk = akk l 2 ; k,r r=1
115 Método de Cholesky Factorización LU Método de Cholesky Se trata de un método de descomposición LU en el caso en que la matriz A sea simétrica y denida positiva. Basta con tomar U = L T y, por tanto, A = LL t. Método de Cholesky Para k = 1,..., n, k 1 l kk = akk l 2 ; k,r l i,k = r=1 k 1 a i,k l ir l kr r=1 l kk, i = k + 1,..., n.
116 Método de Cholesky Factorización LU Método de Cholesky Coste: O( n3 3 ).
117 Método de Cholesky Factorización LU Método de Cholesky Coste: O( n3 3 ). Propiedades
118 Método de Cholesky Factorización LU Método de Cholesky Coste: O( n3 3 ). Propiedades Sirve para saber si una matriz simétrica es denida postiva
119 Método de Cholesky Factorización LU Método de Cholesky Coste: O( n3 3 ). Propiedades Sirve para saber si una matriz simétrica es denida postiva Es estable.
120 Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación Consisten en descomponer la matriz de coecientes A en la forma A = D L U, donde D = diag(a), L es triangular inferior con l ij = a ij, para i > j, y U es triangular superior, con u ij = a ij, para i < j.
121 Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación Consisten en descomponer la matriz de coecientes A en la forma A = D L U, donde D = diag(a), L es triangular inferior con l ij = a ij, para i > j, y U es triangular superior, con u ij = a ij, para i < j. Suponemos que A y D son invertibles.
122 Método de Jacobi Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que y, por tanto, (D L U)x = b
123 Método de Jacobi Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que y, por tanto, (D L U)x = b Dx = (L + U)x + b.
124 Método de Jacobi Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que y, por tanto, Luego (D L U)x = b Dx = (L + U)x + b. x = D 1 (L + U)x + D 1 b.
125 Método de Jacobi Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que (D L U)x = b y, por tanto, Dx = (L + U)x + b. Luego x = D 1 (L + U)x + D 1 b. Teniendo en cuenta la anterior igualdad se deduce el siguiente método iterativo
126 Método de Jacobi Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que (D L U)x = b y, por tanto, Dx = (L + U)x + b. Luego x = D 1 (L + U)x + D 1 b. Teniendo en cuenta la anterior igualdad se deduce el siguiente método iterativo x (m+1) = B J x (m) + c J,
127 Método de Jacobi Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que y, por tanto, Luego (D L U)x = b Dx = (L + U)x + b. x = D 1 (L + U)x + D 1 b. Teniendo en cuenta la anterior igualdad se deduce el siguiente método iterativo siendo B J = D 1 (L + U) = x (m+1) = B J x (m) + c J, a21 0 a12 a1n a 11 a 11 0 a2n a 22 a an1 an2 0 a nn a nn,
128 Método de Jacobi Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación c J = D 1 b = b 1 a 11 b 2 a b n. a nn
129 Método de Jacobi Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación c J = D 1 b = b 1 a 11 b 2 a b n. Por tanto, el valor de cada incógnita en cada paso del método m es a nn
130 Método de Jacobi Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación c J = D 1 b = b 1 a 11 b 2 a b n. Por tanto, el valor de cada incógnita en cada paso del método m es a nn b i a ij x (m) j x (m+1) j i i =, i = 1,..., n. a ii
131 Método de Gauss-Seidel Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que y, por tanto, (D L U)x = b
132 Método de Gauss-Seidel Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que y, por tanto, (D L U)x = b (D L)x = Ux + b.
133 Método de Gauss-Seidel Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que (D L U)x = b y, por tanto, (D L)x = Ux + b. Luego x = (D L) 1 Ux + (D L) 1 b.
134 Método de Gauss-Seidel Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que y, por tanto, Luego (D L U)x = b (D L)x = Ux + b. x = (D L) 1 Ux + (D L) 1 b. Teniendo en cuenta la anterior igualdad se deduce el siguiente método interativo (D L)x (m+1) = Ux (m) + b,
135 Método de Gauss-Seidel Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación De Ax = b se tiene que y, por tanto, Luego (D L U)x = b (D L)x = Ux + b. x = (D L) 1 Ux + (D L) 1 b. Teniendo en cuenta la anterior igualdad se deduce el siguiente método interativo (D L)x (m+1) = Ux (m) + b, que se trata de un sistema triangular inferior en cada paso, que se resuelve por sustitución progresiva.
136 Método de Gauss-Seidel Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación Por tanto, el valor de cada incógnita en cada paso del método m es
137 Método de Gauss-Seidel Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación Por tanto, el valor de cada incógnita en cada paso del método m es x (m+1) i = b i j<i a ij x (m+1) j a ij x (m) j j>i, i = 1,..., n. a ii
138 Método de relajación Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación En este caso, dado ω R, se considera la descomposición de la matriz de coecientes en la forma:
139 Método de relajación Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación En este caso, dado ω R, se considera la descomposición de la matriz de coecientes en la forma: A = 1 ω D 1 ω ω D L U
140 Método de relajación Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación En este caso, dado ω R, se considera la descomposición de la matriz de coecientes en la forma: y, por tanto, A = 1 ω D 1 ω ω D L U
141 Método de relajación Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación En este caso, dado ω R, se considera la descomposición de la matriz de coecientes en la forma: y, por tanto, A = 1 ω D 1 ω ω D L U (D ωl)x = ((1 ω)d + ωu)x + ωb. Teniendo en cuenta la anterior igualdad se deduce el siguiente método interativo:
142 Método de relajación Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación En este caso, dado ω R, se considera la descomposición de la matriz de coecientes en la forma: y, por tanto, A = 1 ω D 1 ω ω D L U (D ωl)x = ((1 ω)d + ωu)x + ωb. Teniendo en cuenta la anterior igualdad se deduce el siguiente método interativo: (D ωl)x (m+1) = ((1 ω)d + ωu)x (m) + ωb.
143 Método de relajación Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación Por tanto, el valor de la incógnita i-ésima en cada paso m es
144 Método de relajación Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación Por tanto, el valor de la incógnita i-ésima en cada paso m es x (m+1) i = ω b i j<i a ij x (m+1) j a ii j>i a ij x (m) j + (1 ω)x (m) i, i = 1,..., n.
145 Método de relajación Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación Por tanto, el valor de la incógnita i-ésima en cada paso m es x (m+1) i = ω b i j<i a ij x (m+1) j a ii j>i a ij x (m) j + (1 ω)x (m) i, i = 1,..., n. Se pueden demostrar los sisguientes resultados de convergencia:
146 Método de relajación Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación Por tanto, el valor de la incógnita i-ésima en cada paso m es x (m+1) i = ω b i j<i a ij x (m+1) j a ii j>i a ij x (m) j + (1 ω)x (m) i, i = 1,..., n. Se pueden demostrar los sisguientes resultados de convergencia: Teorema Si A es estrictamente diagonalmente dominante entonces los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen.
147 Método de relajación Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de relajación Por tanto, el valor de la incógnita i-ésima en cada paso m es x (m+1) i = ω b i j<i a ij x (m+1) j a ii j>i a ij x (m) j + (1 ω)x (m) i, i = 1,..., n. Se pueden demostrar los sisguientes resultados de convergencia: Teorema Si A es estrictamente diagonalmente dominante entonces los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen. Teorema Si el método de relajación converge entonces ω [0, 2].
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