Métodos directos de resolución de sistemas lineales

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1 3 Versión: Métodos directos de resolución de sistemas lineales 2 de abril de Introducción Una ecuación lineal (sistema de orden ) es de la forma: ax = b, donde a y b son números reales dados y x es la incógnita a determinar Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que comparten las mismas incógnitas Un sistema de ecuaciones de orden 2 es de la forma: { ax + by = c dx + ey = f, donde a, b, c, d, e, f son números dados y x e y son las incógnitas Cuando hay más de 3 o 4 ecuaciones y/o incógnitas, se suele utilizar una notación con subíndices para designar tanto las incógnitas como los coeficientes Así, un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas se representa, de forma general: a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m (3) donde a ij y b j son números reales dados y x i son las incógnitas Este sistema se puede escribir de forma equivalente utilizando notación matricial, que es, en general, más fácil de escribir: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn x x 2 x n = Llamando A a la matriz m n de los coeficientes del sistema, x al vector columna de longitud n de las incógnitas y b al vector columna de longitud m del segundo miembro, el sistema de ecuaciones anterior se puede finalmente escribir en la forma más resumida: b b 2 b m, Ax = b (32) Una solución del sistema (3) es un conjunto de n valores (ordenados) tales que, al sustituir las incógnitas por estos valores, las ecuaciones se convierten en identidades Colocando estos valores en forma de vector columna, x de longitud n, se tiene, obviamente, una solución del sistema escrito en forma matricial (32) Por ello se suele hablar de vector solución, tanto de (3) como de (32)

2 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 2 Los sistemas lineales no siempre tienen solución En relación con el número de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones, sólo pueden darse los tres casos siguientes: No tener ninguna solución: se dice que el sistema es incompatible 2 Tener una única solución: el sistema es compatible determinado 3 Tener infinitas soluciones: el sistema es compatible indeterminado Ejemplo 3 El siguiente sistema es incompatible (no tiene solución): { x + x 2 = x + x 2 = 2 El siguiente sistema tiene una única solución: { x x 2 = 0 x + x 2 = 2 El siguiente sistema tiene infinitas soluciones: { x + x 2 = 2 x + 2 x 2 = 2 ( x x 2 ) = ( ( ) ( x α = x 2 α ) ), α R En el caso particular en que un sistema lineal tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, la matriz del sistema es cuadrada, a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn x x 2 x n b = b 2 b n (33) Se recuerda que una matriz cuadrada es regular si su determinante, det(a), es distinto de cero, lo cual es equivalente a la existencia de la matriz inversa A Proposición 32 El sistema de ecuaciones lineales Ax = b, con A matriz cuadrada de orden n de coeficientes reales posee una única solución para todo b R n si y sólo si la matriz A es regular Demostración: Si A es regular, entonces existe la inversa A, luego la solución es única y viene dada por Ax = b A Ax = A b x = A b Recíprocamente, supongamos que para todo b R n existe una única solución de Ax = b Sean {e,, e n } los vectores de la base canónica de R n y consideramos n sistemas lineales de la forma Ac k = e k, k =,, n Por hipótesis, existe una única solución c k para cada k =,, n Sea C una matriz, cuyas columnas están formadas por los c k, es decir C = [c c 2 c n ] Entonces, es decir A es regular AC = [Ac Ac 2 Ac n ] = [e e 2 e n ] = I AC = I C = A, En lo que sigue, vamos a suponer que A es una matriz cuadrada regular de coeficientes reales Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

3 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 3 Los métodos de reducción, sustitución e igualación que se estudian en la enseñanza secundaria están diseñados principalmente para sistemas de pocas ecuaciones e incógnitas (2 ó 3) Por otra parte, la conocida regla de Cramer proporciona fórmulas para las soluciones de sistemas compatibles determinados: si en (33), la matriz A es tal que det(a) 0, entonces el sistema posee una única solución, que es el vector columna x de componentes: x i = det(a i), i =,, n, det(a) donde A i es la matriz obtenida a partir de A reemplazando su i-ésima columna por el vector b En la práctica, es necesario resolver sistemas lineales con un número elevado de ecuaciones e incógnitas y la resolución de tales sistemas por la regla de Cramer es inviable, incluso para un ordenador, a causa de la enorme cantidad de operaciones que exige: aproximadamente 2(n+)! si se usa la regla recursiva de Laplace para calcular los determinantes (ver [4]) Como es habitual, por operación queremos decir una suma, una resta, un producto o una división Por ejemplo, con un ordenador capaz de realizar 0 9 operaciones por segundo, se necesitarían en torno a 2 horas para resolver un sistema de dimensión n = (aprox operaciones) por este método, y en torno a 3240 años para un sistema de dimensión n = 20 (aprox 0 20 operaciones) Más adecuados para la resolución de sistemas lineales son dos familias de métodos alternativos: los llamados métodos directos que dan la solución del sistema en un número finito de pasos, o los métodos iterativos que requieren (en principio) un número infinito de pasos Los métodos iterativos se analizarán en la asignatura «Cálculo Numérico II» En este curso, vamos a estudiar los métodos directos Dichos métodos están basados en la construcción de un sistema equivalente al dado, es decir, con la misma solución (ver la Sección 33), pero que sea más fácil de resolver, concretamente que tenga una matriz triangular (ver la Sección 32) Estos métodos, en general, requieren del orden de 2n 3 /3 operaciones para resolver el sistema lineal (33), es decir aprox 2250 operaciones para n = y 5300 para n = 20 Observemos que la elección entre métodos directos e iterativos puede depender de varios factores: en primer lugar de la eficiencia teórica del algoritmo, pero también del tipo particular de la matriz, la memoria de almacenamiento requerido y, finalmente del la estructura del ordenador (véase [4]) A continuación presentamos el procedimiento para resolver sistemas lineales con matriz triangular 32 Resolución de sistemas triangulares Cuando la matriz del sistema lineal (33) es triangular inferior (resp superior) dicho sistema se puede resolver fácilmente, ya que las incógnitas se pueden ir despejando de una en una y sustituyendo en las demás ecuaciones, como se muestra en el siguiente ejemplo de dimensión 3: a 0 0 a 2 a 22 0 a 3 a 32 a 33 x x 2 x 3 = b b 2 b 3, que se escribe en forma desarrollada: a x = b a 2 x + a 22 x 2 = b 2 a 3 x + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Este sistema tendrá solución única si y sólo si det(a) 0, y puesto que, en este caso, det(a) = a a 22 a 33, el sistema tiene solución si y sólo si a ii 0 para todo i =, 2, 3 Suponiendo, pues, que éste es el caso, una simple inspección del sistema muestra que se pueden calcular las incógnitas de forma sucesiva, comenzando por x : x = b /a, x 2 = (b 2 a 2 x )/a 22, x 3 = (b 3 a 3 x a 32 x 2 )/a 33 Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

4 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 4 Ejemplo 33 Resolución de un sistema triangular inferior 4x = 8 x + 2y = 6 x + y 2z = 2 En la primera ecuación sólo aparece la incógnita x y por lo tanto se puede resolver independientemente: 4x = 8 x = 2 2 Una vez resuelta la primera ecuación, ya se sabe que, necesariamente, tiene que ser x = 2 Se puede ahora sustituir su valor en la segunda ecuación, en la que quedará y como única incógnita: x + 2y = 6 2y = 6 x = 6 2 = 4 y = 2 3 Conocidas x = 2 e y = 2, se sustituyen en la tercera ecuación: 4 Resumiendo, la única solución del sistema es 2z = 2 + x y = = 2 z = 6 x = 2, y = 2, z = 6 Este procedimiento se denomina algoritmo de bajada, ya que las incógnitas se van obteniendo por recurrencia, desde arriba hacia abajo En general, un sistema de dimensión n n con matriz triangular inferior a 0 0 a 2 a 22 0 a n a n2 a nn x x 2 x n b = b 2 que tiene todos sus elementos diagonales no nulos, es decir a ii 0, i =, 2,, n, el proceso anterior siempre puede llevarse a cabo, y se puede describir de forma general como sigue: b n Algoritmo 34 (de bajada) n = dimensión de A Para cada i =, 2, n x i = i b i a ij x j a ii Fin j= Se observa que para calcular cada x i, i =, 2, n se necesitan: división i productos i 2 + = i sumas Sumando para i =, 2, n, obtenemos que para la resolución de un sistema triangular inferior hacen falta: n n n n n n(n + ) + 2 (i ) = + 2 i 2 = 2 n = n 2 + n n = n 2 operaciones 2 i= i= i= i= i= Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

5 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 5 Para un sistema lineal con matriz triangular superior a a 2 a n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn x x 2 x n = b b 2 b n, se puede utilizar un procedimiento análogo, pero comenzando desde abajo hacia arriba, por lo cual se denomina algoritmo de subida: Algoritmo 35 (de subida) n = dimensión de A Para cada i = n,, 2, x i = n b i a ij x j a ii Fin j=i+ Haciendo el recuento de operaciones de manera análoga al algoritmo de bajada, se puede comprobar que la resolución del sistema lineal con la matriz triangular superior de dimensión n por algoritmo de subida requiere n 2 operaciones Ejemplo 36 Resolución de un sistema triangular superior x + 3y + z = 6 x = 6 3y z = = y + z = y = z = ( ) = 2 2z = 2 z = x y z = 2 33 Sistemas equivalentes Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones Determinadas operaciones pueden transformar un sistema en otro equivalente, por ejemplo: Cambiar el orden de las ecuaciones de un sistema 2 Multiplicar los dos miembros de una de las ecuaciones por el mismo número (distinto de cero) 3 Suprimir una ecuación que sea combinación lineal de las demás 4 Sustituir una ecuación por una combinación lineal de ella misma y alguna/s otra/s El método siguiente hace uso de estas propiedades para transformar un sistema dado en otro equivalente de matriz triangular superior que, como se ha visto, es «fácil» de resolver Una combinación lineal de dos ecuaciones es otra ecuación obtenida multiplicando cada una de ellas por un número y luego sumándolas Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

6 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 6 34 Método de Gauss El método de Gauss el el método más sencillo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales Consta de dos partes bien diferenciadas: Transformación del sistema lineal en otro equivalente (es decir con la misma solución) en el que la matriz sea triangular superior Para ello se realizan dos operaciones elementales: (a) Sumar a una ecuación otra multiplicándola por un número: en cada etapa del método se trata de «sustituir» por cero uno de los coeficientes por debajo de la diagonal Para ello, y mediante las transformaciones elementales, se sustituye la ecuación correspondiente por otra que haga el sistema equivalente y que tenga nulo dicho coeficiente (b) Intercambiar dos ecuaciones 2 Resolución del sistema triangular por el algoritmo de subida Si sólo usamos la opción (a) hablaremos del método de Gauss sin pivote; y con pivote parcial si también realizamos las operaciones (b), cuando la elección de las filas que se conmutan sea muy particular Otra posibilidad es intercambiar columnas, que corresponde a reordenar las incógnitas En este caso se habla del método de Gauss con pivote total Desde el punto de vista práctico, es más fácil llevar las transformaciones sobre la forma matricial del sistema Para ello se procede como sigue: Se escribe el sistema en su forma matricial, Ax = b, donde A es una matriz, x es el vector de las incógnitas y b es el vector de los términos independientes 2 Se construye la matriz ampliada correspondiente, que es una matriz que denotamos [A b] que se forma añadiendo el vector b como última columna de la matriz A 3 Se aplican operaciones elementales con las ecuaciones del sistema a las filas de la matriz ampliada 34 Primeros ejemplos Antes de hacer una descripción general del método de Gauss (que es bastante engorroso de escribir), vamos a presentar un ejemplo en un caso particular Usaremos una notación abreviada para indicar las operaciones efectuadas Por ejemplo: F 2 2F + F 2 indica que se sustituye la segunda fila de la matriz ampliada (F 2 ) por la suma de la primera fila multiplicada por 2 más la segunda ( 2F + F 2 ) Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

7 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 7 Ejemplo 37 Resolución por el método de Gauss x y 2z = 2x 3y + 4z = 4 5x y + 3z = 6 Se comienza escribir el sistema de forma matricial Ax = b: 2 x y = 4 [A b] = 5 3 z A continuación se procede a aplicar las transformaciones adecuadas para anular el elemento a 2 de la matriz: se sustituye la segunda fila por la suma de la primera multiplicada por 2 más la segunda: F 2 2F + F Para anular el elemento a 3 se sustituye la tercera fila por ella misma más la primera multiplicada por 5: F 3 5F + F Una vez anulados todos los elementos sub-diagonales de la primera columna se pasa a hacer lo mismo con la segunda Es preciso a partir de ahora no utilizar la primera fila en las transformaciones, ya que eso modificaría los ceros ya conseguidos en la primera columna Para anular el elemento a 32 se sustituye la tercera fila por ella misma más la segunda multiplicada por 4: F 3 4F 2 + F Con esto el sistema ya está en forma triangular, ya que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos Se resuelve, pues, despejando las incógnitas mediante el algoritmo de subida: x y 2z = y + 8z = 6 45z = 45 x = y + 2z = = 3 y = 8z 6 = 8 6 = 2 z = x y z = 3 2 El procedimiento anterior puede llevarse a cabo siempre y cuando el elemento diagonal de la columna sobre la que se está actuando no valga cero, ya que en este caso no es posible convertir en ceros los elementos de dicha columna que están por debajo de él Lo que hay que hacer en este caso es permutar la fila del elemento nulo con otra de más abajo que no tenga cero en esa columna Intercambiar dos filas de la matriz ampliada es equivalente a intercambiar la posición de dos ecuaciones del sistema, y esto no cambia la solución El siguiente ejemplo muestra ese caso La notación F i F j indica que se intercambian la fila i con la fila j Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

8 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 8 Ejemplo 38 Resolución por el método de Gauss 2x y + 3z = 6 4x 2y + 6z = 9 x y + z = 3 Se comienza por trasformar en ceros los elementos sub-diagonales de la primera columna: F 2 2F F 2 F 3 05F + F Para hacer las transformaciones necesarias en la segunda columna, se necesitaría que a 22 fuera distinto de cero Como no lo es, se permutan las filas 2 y 3: F 2 F El sistema ya está en forma triangular, luego no es necesario seguir aplicando transformaciones: 2x y + 3z = 6 05y 05z = 0 0z = 3 4 La última ecuación de este sistema es 0 z = 3, lo que es imposible En consecuencia, el sistema no tiene solución: es incompatible Ejemplo 39 Resolución por el método de Gauss x 3y + z = 4 x 2y + 3z = 6 2x 6y + 2z = F 2 F + F F 3 2F + F El sistema ya está en forma triangular, por lo que no es necesario continuar el procedimiento La última ecuación es 0 z = 0 lo que significa que z puede tomar cualquier valor: z = α para cualquier α R La segunda ecuación es y + 2z = 2, de donde se deduce qye y = 2 2z = 2 2α Por último, de la primera ecuación se deduce x = 4 z + 3y = 4 α + 3(2 2α) = 0 7α Así pues, el sistema tiene infinitas soluciones (una para cada valor de α), que son de la forma: x = 0 7α, y = 2 2α, z = α, α R En este último ejemplo se muestra un caso de sistema que resulta indeterminado, ya que aparece una ecuación de la forma 0 z = 0: esta ecuación se cumple siempre, es decir, para cualquier valor de z Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

9 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 9 Ejemplo 30 Resolución por el método de Gauss 3x 2 + 2x 3 = 2 5x 6x 2 + 2x 3 = 4x + 2x 2 + x 3 = 3 Se comienza por escribir el sistema de forma matricial Ax = b: x x 2 = [A b] = 4 2 x Se intercambian la primera fila con la segunda y se comienza por trasformar en ceros los elementos sub-diagonales de la primera columna: F F F F + F Se anulan los elementos por debajo de a 22 : F 3 4 F 2 + F El sistema ya está en forma triangular, luego no es necesario seguir aplicando transformaciones Se resuelve, pues, despejando las incógnitas mediante el algoritmo de subida: 5x 6x 2 + 2x 3 = 3x 2 + 2x 3 = 2 67 x 3 = 67 5 x = ( + 2 6) = 5 x 2 = (2 6) = 2 3 x 3 = 3 x x 2 x 3 = 2 3 Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

10 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 0 Ejemplo 3 Resolución por el método de Gauss x x 2 x 3 x 4 = Se intercambian la primera fila con la segunda: F F Se transforman en ceros los elementos sub-diagonales de la primera columna: Se anulan los elementos por debajo de a 22 : Se anulan los elementos por debajo de a 33 : / /2 2 F 3 2F + F 3 F 4 3F + F 4 F 3 7/2F 2 + F 3 F 4 5/2F 2 + F 4 F 4 /6F 3 + F / / / /4 39/2 5 El sistema ya está en forma triangular, luego no es necesario seguir aplicando transformaciones Se resuelve, pues, despejando las incógnitas mediante el algoritmo de subida: x = 2 ( 2 2x 4 3x 3 2x 2 ) = 2 ( ) = 2 x 2 = 2 ( x 4) = x 3 = 6 ( 3 2 x 4) = 6 ( 3 + ) = 3 x 4 = 2 x x 2 x 3 x 4 = /2 /3 3 Desde el punto de vista teórico y con vistas a formalizar el método de Gauss, observemos que podemos realizar los pasos de una etapa a la siguiente mediante multiplicaciones por «matrices de paso», como muestran los ejemplos que siguen Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

11 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales Ejemplo 32 Resolución del sistema del Ejemplo 30 usando «matrices de paso» x x 2 = 4 2 x 3 3 Etapa : Sean A = A, b = b [A b ] = (a) Intercambio de filas en A y b : F F P A P b = 2 3 = (b) Anulación en la primera columna de P A y P b : F F + F 3 Etapa 2: Tenemos A 2 y b 2 A 2 := E P A b 2 := E P b = = 2 / (a) No hay que intercambiar filas: P 2 = I, P 2 A 2 = A 2, P 2 b 2 = b 2 (b) Anulación en la segunda columna de P 2 A 2 y P 2 b 2 : F 3 4 F 2 + F 3 A 3 := E 2 P 2 A 2 b 3 := E 2 P 2 b / = = / /5 A 3 es una matriz triangular superior Se resuelve el sistema resultante A 3 x = b 3 mediante el algoritmo de subida como en el Ejemplo 30 Observaciones: Después de haber aplicado el método, resulta que A 3 = E 2 P 2 E P A = E 2 P 2 E P A A 3 = MA, M = E 2 P 2 E P En particular, el método de Gauss permite calcular el determinante de la matriz A: det(a 3 ) = det(e 2 ) det(p 2 ) det(e ) det(p ) det(a) = () () ( ) det(a) = det(a) det(a) = det(a 3 ) = = 67 Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

12 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 2 Ejemplo 33 Resolución del sistema del Ejemplo 3 usando «matrices de paso» x x x 3 = x 4 6 Etapa : Sean A = A, b = b (a) Intercambio de filas en A y b : F F P A P b = = (b) Anulación en la primera columna de P A y P b : F 3 2F + F 3 y F 4 3F + F A 2 := E P A = b 2 := E P b = Etapa 2: Tenemos A 2 y b 2 (a) No hay que intercambiar filas: P 2 = I, P 2 A 2 = A 2, P 2 b 2 = b 2 (b) Anulación en la segunda columna de P 2 A 2 y P 2 b 2 : F 3 7/2F 2 + F 3 y F 4 5/2F 2 + F A 3 := E 2 P 2 A / /2 0 b 3 := E 2 P 2 b 2 ( 2, 0, 3, 2) t = / /2 Etapa 3: Tenemos A 3 y b 3 (a) No hay que intercambiar filas: P 3 = I, P 3 A 3 = A 3, P 3 b 3 = b 3 (b) Anulación en la tercera columna de P 3 A 3 y P 3 b 3 : F 4 /6F 3 + F A 4 := E 3 P 3 A /6 b 4 := E 3 P 3 b 3 ( 2, 0, 3, 39/2) t / /2 = / /4 A 4 es una matriz triangular superior Se resuelve el sistema resultante A 4 x = b 4 mediante el algoritmo de subida como en el Ejemplo 3 Observación: Tenemos A 4 = MA, siendo M = E 3 P 3 E 2 P 2 E P Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

13 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales Matrices de permutación y «matrices de paso» Se observa que las matrices P, P 2 y P 3 que han aparecido en los ejemplos de la sección anterior son casos particulares de matrices de permutación de las filas i y j: P ij = i) j) 0 0 i) j) Dada una matriz A, se puede comprobar que la matriz P ij A es una matriz idéntica a A salvo que la filas i y j están permutadas entre sí Además, det(p ij ) = { si i = j si i j y (P ij ) = P ij En particular, la matriz P del Ejemplo 33 es P ij para i = y j = 2, es decir P = P 2 = ) 2) ) 2) Las matrices E, E 2 y E 3 son casos particulares de «matrices de paso» del tipo E k = Estas matrices son invertibles, pues det(e k ) = l k+,k l nk En particular, la matriz E del Ejemplo 33, es la matiz E k para k = : E = , P A = , E (P A ) = Se observa que l 2 = 0, l 3 = 2 y l 4 = 3 son los números por los que hay que multiplicar la primera fila de P A para que después de haberle sumado la correspondiente fila (dos, tres o cuatro) se obtengan ceros en la primera columna por debajo del primer elemento De manera general, en cada E k el elemento l ik, i = k+, k+2,, n es el número por el que hay que multiplicar, en el paso k, la fila i-ésima para que al sumarle k-ésima, el elemento que ocupa la fila i y la columna k tome el valor cero Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

14 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales Estudio general del método de Gauss Sea A = (a ij ) matriz cuadrada de orden n regular, es decir con det(a) 0 (después veremos el caso en el que det(a) = 0) Etapa : Pongamos A = A, b = b Vamos a generar A 2 y b 2 como sigue (a) Intercambio de filas Si a = 0, como det(a) 0, existe un índice i {2,, n} tal que a i 0 (ver la Sección 344 para sus posibles elecciones) Este elemento no nulo se denomina primer pivote Intercambiamos la fila i del pivote a i con la primera fila, lo que equivale a multiplicar la matriz A por la izquierda por la matriz de permutación P P i definida en la sección anterior De la matriz A pasamos a tener, la matriz P A, cuyos elementos vamos a detonar por (α ij )n i,j=, con α = a i 0, y de b obtenemos P b, lo que esquemáticamente escribimos: α α2 αn α2 α22 α 2n (A b ) (P A P b ), P A =, det(p ) = αn αn2 αnn Si a 0, P = I, det(p ) = (b) Anulación en la primera columna de P A por debajo de α = a i 0 Como hemos visto, esto equivale a multiplicar P A por la izquierda por E : (P A P b ) (A 2 b 2 ) = (E P A E P b ), E = 0 0 α 2 α α n α 0 0, det(e ) = Así obtenemos la matriz A 2, cuya primera fila coincide con la de A, y cuyos otros elementos vamos a denotar por a 2 ij : A 2 = E P A = α α2 αn 0 a 2 22 a 2 2n 0 a 2 n2 a 2 nn Se observa que det(a 2 ) = det(e ) det(p ) det(a ) = ± det(a ) = ± det(a) 0 y que por otra parte, det(a 2 ) = α det a 2 22 a 2 2n a 2 n2 a 2 nn 0, ya que α 0 Luego la submatriz que aparece en el determinante de A 2 es regular Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

15 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales Etapa k: Dados A k = E k P k E P A y b k = E k P k E P b, siendo A k de la forma A k = α α 2 α,k α k α n 0 α 2 22 α 2,k α 2 k α 2 n 0 0 α k k,k α k k,k α k k,n a k kk a k kn, con det a k kk a k kn a k nk a k nn a k nk a k nn Vamos a generar A k+ y b k+ como sigue (a) Intercambio de filas Si a k kk = 0, existe un índice i {k +,, n} tal que ak ik 0, es el k-ésimo pivote Intercambiamos la fila i del pivote a k ik con la k-ésima fila de A k, lo que equivale a multiplicar la matriz A k por la izquierda por la matriz de permutación P k P ik De la matriz A k pasamos a la matriz P k A k, cuyos elementos vamos a detonar por (α k ij )n i,j=, con α k kk = ak ik 0, lo que esquemáticamente escribimos (A k b k ) (P k A k P k b k ), siendo α α2 α,k α,k α,k+ α n 0 α22 2 α,k 2 αk 2 α,k+ 2 α 2 n 0 0 α k k,k α k k,k α k k,k+ α k k,n P k A k = αkk k αk,k+ k αkn k αk+,k k αk+,k+ k αk+,n k αnk k αn,k+ k αnn r Si a k kk 0, P k = I, det(p k ) = (b) Anulación en la k-ésima columna de P k A k por debajo de α k kk = ak ik 0 equivale a multiplicar P ka k por la izquierda por E k : (P k A k P k b k ) (A k+ b k+ ) = (E k P k A k E k P k b k ), E k = 0 0 αk k+,k α k kk αk n,k α k kk Así, obtenemos la matriz A k+ = E k P k A k de la forma Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

16 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 6 α α2 α,k α,k α,k+ α n 0 α 22 2 α,k 2 αk 2 α,k+ 2 α 2 n 0 0 α k k,k α k k,k α k k,k+ α k k,n A k+ = αkk k αk,k+ k αkn k a k+ k+,k+ a k+ k+,n a k+ n,k+ a k+ nn Como det(e k ) = 0 y det(p k ) = ±, tenemos det(a k+ ) = det(e k ) det(p k ) det(a k ) = ± det(a ) = ± det(a) 0 Por otra parte, det(a k+ ) = αα 22 2 αkk k det a k+ k+,k+ a k+ k+,n a k+ n,k+ a k+ nn Luego la submatriz que aparece en el determinante de A k+ es regular 0 Etapa n : Si este proceso se lleva a cabo en n pasos, se obtiene que la matriz A n = E n P n E P A = MA, con M = E n P n E P es triangular superior La matriz M es invertible, ya que { si γ es par det(m) = si γ es impar, donde γ es el número de matrices de permutación distintas de la identidad En consecuencia, Ax = b MAx = Mb, siendo M A matriz triangular superior Veamos que el método de Gauss es aplicable a matrices arbitrarias Teorema 34 Sea A una matriz de orden n (regular o no) Entonces existe una matriz regular M de orden n tal que la matriz M A es triangular superior Demostración: El resultado ya está demostrado si A es regular Observemos que sólo hemos usado que det(a) 0 para asegurar que, en cada etapa k del método, la existencia de algún a k ik 0 con i {k, k+,, n} En el caso de que todos estos elementos fueran nulos, la matriz A k ya tendría la forma de A k+ Por tanto, bastaría tomar P k = E k = I y continuar el proceso Para resolver el sistema lineal Ax = b, con A = a ij y b i, i, j =,, n dados, el algoritmo de Gauss sin pivote consiste en lo siguiente: Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

17 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 7 Algoritmo 3 (de Gauss sin pivote - pseudocódigo) para resolver un sistema lineal Ax = b, n = dimensión de A Tomar A = A, b = b, es decir a ij = a ij 2 Dados A k, b k, a k ij Para k =, 2,, n Fin Para i = k +, k + 2,, n α ik = ak ik a k kk Para j = k +, k + 2,, n Fin a k+ ij b k+ = b k α ik b i Fin = a k ij α ika k kj Para i = n, n 2,, x i = n b i a ii a ij x j Fin j=i+ Se puede comprobar que el número de operaciones elementales efectuadas en el método de Gauss es del orden de 2n 3 /3 En la tabla que sigue se compara el número de operaciones necesarias para resolver un sistema lineal de orden n usando el método de Gauss y la regla de Cramer: n operaciones (Gauss) operaciones (Cramer) Estrategia de elección del pivote Hasta ahora hemos considerado como pivotes elementos cualesquiera siempre y cuando sean no nulos Si en la etapa k-ésima en la descripción general del método de Gauss a k kk 0, pero es pequeño en relación a ak ik para algún i, la división puede producir grandes errores de redondeo En [2] se pueden encontrar ejemplos que muestran este hecho Por tanto, no es aconsejable elegir como pivotes números «muy pequeños» En la práctica se utiliza una de las estrategias siguientes al comienzo de la etapa k-ésima del método de Gauss: Estrategia del pivote parcial o pivote máximo de columna: se toma como pivote el elemento de mayor valor absoluto de entre los n k últimos elementos de la columna k-ésima, es decir se elige a k ik, k i n, de la forma a k ik = máx k p n ak pk A continuación, se intercambian las filas i y k Este procedimiento suele ser suficiente para la mayoría de sistemas lineales y es el que más se aplica en la práctica Estrategia del pivote total: se toma como pivote el elemento de mayor valor absoluto de la submatriz correspondiente a la matriz A k, es decir en cada etapa k se elige el elemento a k ij que en valor absoluto es el mayor de entre los que están en la fila k o por debajo de ella y en la columna k o a la derecha de ella: Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

18 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 8 a k ij = máx k p,q n ak pq Si el pivote así elegido no está situado en la k-ésima columna, hay que efectuar un cambio de columnas, lo que equivale a multiplicar por la derecha la matriz A k por una matriz P kj de permutación y significa que hay que cambiar el orden de las incógnitas, lo que habrá que tener en cuenta a la hora de escribir en el orden adecuado el resultado Esta dificultad añadida hace que, en general, en el método de Gauss se utilice habitualmente la estrategia del pivote parcial 35 Método de Gauss-Jordan Se trata de una variante del método de Gauss que consiste en transformación del sistema lineal en otro equivalente en el que la matriz del sistema sea diagonal No es difícil adaptar la descripción general del método de Gauss para conseguir una matriz diagonal en vez de la triangular superior (ver [2]) En cada etapa k, además se harían ceros los elementos extradiagonales en la columna k Para ello harían falta n etapas, frente a n etapas del método de Gauss Ejemplo 36 Resolución por el método de Gauss-Jordan 2x + x 2 3x 3 = x + 3x 2 + 2x 3 = 2 3x + x 2 3x 3 = 0 Se comienza por trasformar en ceros los elementos sub-diagonales de la primera columna, como en el método de Gauss: F 2 2 F + F 2 0 7/2 /2 23/2 F F + F 3 0 /2 3/2 3/2 2 En la segunda columna, hay que anular los elementos por debajo de a 22 y los encima de él: /2 /2 23/2 0 /2 3/2 3/ /7 30/7 F 3 7 F 2 + F 3 0 7/2 /2 23/2 F 2 7 F 2 + F 0 0 /7 22/7 3 En la tercera columna, se anulan los elementos por encima de a 33 : /7 30/7 0 7/2 /2 23/2 0 0 /7 22/7 F 2F 3 + F F F 3 + F /2 0 2/2 0 0 /7 22/7 4 El sistema ya está en la forma diagonal y las incógnitas se calculan despejando: x =, x 2 = 3, x 3 = 2 Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

19 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 9 Observaciones: En el método de Gauss-Jordan, también se pueden aplicar las estrategias del pivote parcial o total 2 Aunque el sistema que queda por resolver después de haber aplicado el método de Gauss-Jordan es más sencillo que en el método de Gauss (sólo hay que hacer divisiones para despejar las incógnitas), el número de operaciones que hay que realizar es mayor que en el de Gauss y en general no compensa 3 Si A no es regular, no se puede asegurar la obtención de una matriz diagonal, es decir aplicar el método de Gauss-Jordan En efecto, si todos los elementos a partir de k-ésimo son cero en una columna, no se puede seguir el proceso 35 Aplicación al cálculo de la inversa de una matriz Como hemos dicho, el método de Gauss-Jordan no presenta ventajas sobre el método de Gauss para resolver un sistema lineal, en cambio puede tener interés en el cálculo de la inversa de una matriz Se procede como sigue Sea A = [c c 2 c n ] la matriz inversa de A, cuyas columnas hemos llamado c i, i =,, n Hallar la inversa de A equivale a calcular los n vectores-columna c i tales que Ac i = e i, i =,, n, siendo {e, e 2,, e n } los vectores de la base canónica de R n Así, calcular A equivale a resolver n sistemas lineales, todos con la misma matriz A de coeficientes Esto permite hacer una resolución conjunta de los n sistemas lineales por el método de Gauss-Jordan Se escribe [A I] y tras n + etapas del método de Gauss- Jordan se llega a [I C], siendo C = A Ejemplo 37 Usando el método de Gauss-Jordan, calcular la inversa de la matriz A = 2 3 (34) 4 7 Se escribe la matriz [A I] y se aplica el método de Gauss-Jordan hasta obtener una matriz de la forma [I C] Entonces C = A [A I] = F 2 2F + F F 3F 2 + F /2 3/2 0 2 F = [I A ] A 7/2 3/2 = 2 F Observemos que para calcular A podíamos haber resuelto los n sistemas lineales (34) por el método de Gauss, obteniendo así n sistemas con una matiz triangular superior No obstante, el método de Gauss-Jordan el más ventajoso en este caso: la diagonalización de la matriz es algo más laboriosa que la triangularización, pero merece la pena, pues la resolución de n sistemas triangulares es más larga que de n diagonales Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

20 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales Método de factorización LU Sea A una matriz cuadrada regular de orden n y b R n y consideramos el sistema lineal Ax = b El método LU para resolver el sistema lineal Ax = b consta de dos etapas: Factorización: Escribimos, si es posible, la matriz A como producto de dos matrices A = LU con L triangular inferior con unos en la diagonal principal y U una matriz triangular superior Esta descomposición se llama factorización LU de A (L viene de «lower» en inglés y U de «upper») Resolución del sistema: Una vez obtenida la factorización A = LU, escribimos Ax = b LUx = b Pongamos Ux = v y resolvemos el sistema lineal Lv = b por el algoritmo de bajada, obteniendo v Dado v, resolvemos el sistema lineal Ux = v por el algoritmo de subida, obteniendo x, la solución del sistema original La cuestión que tenemos que responder ahora es cuándo es posible obtener la factorización LU de una matriz Se observa que si en el método de Gauss no es necesario intercambiar filas, ni tampoco aplicar la estrategia del pivote, tal factorización existe (ver el Ejemplo 38) En efecto, si A es regular y al aplicar el método de Gauss no es necesario intercambiar filas, porque en cada etapa k, a k kk 0 para todo k, se tiene que P = P 2 = = P n = I En este caso, hemos visto que en la etapa n del método de Gauss A n = (E n E )A, siendo A n triangular superior y (E n E ) triangular inferior con diagonal de unos Luego A = (E n E ) A n := LU, con L = (E n E ) triangular inferior con en la diagonal y U = A n triangular superior Aquí, hemos usado las siguientes propiedades de matrices triangulares, que son fáciles de comprobar: Si A = (a ij ) y B = (b ij ), i, j =,, n son matrices triangulares superiores (resp inferiores), entonces la matriz AB (el producto de A por B) es también triangular superior (resp inferior) y los elementos diagonales de la matriz AB son de la forma (AB) ii = a ii b ii, i =,, n Si A es triangular superior (resp inferior) y a ii 0 para todo i, luego det(a) = a a 22 a nn 0 y existe A que también es triangular superior (resp inferior) y los elementos diagonales de A son de la forma (A ) ii = a ii i Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

21 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 2 Ejemplo 38 Resolver por el método LU el sistema lineal 5 2 x x 2 = x 3 Factorización: Si aplicamos el método de Gauss sin intercambiar filas, obtendremos A = LU En efecto, sean A = A y P = I, luego E = 0, A 2 = E A = 0 8 4/ /5 9/5 Tenemos ahora P 2 = I y E 2 = /20, A 3 = E 2 A 2 = /4 En consecuencia, A 3 = E 2 A 2 = E 2 E A, luego A = (E 2 E ) A 3 = E E 2 A 3 = / / /4 A = /5 9/ /4 LU Resolución del sistema: Pongamos Ux = b y resolvemos Lv = b usando el algoritmo de bajada: v = 2 v + v 2 = 4 5 v 9 20 v 2 + v 3 = 3 v = 2 v 2 = v = 2 = 3 v 3 = ( 3) (2) = 27 4 v v 2 v 3 = Resolvemos ahora Ux = v por el algoritmo de subida 5x + 2x 2 + x 3 = 2 8x 2 + x 3 = 3 9/4x 3 = 27/4 x = (2 2x 2 x 3 )/5 = x 2 = (3 + x 3 )/8 = 2 x 3 = 3 x x 2 x 3 = 2 3 Queda establecer cuándo no es necesario permutar filas al aplicar el método de Gauss (es decir tomar P k = I, k) para asegurar la descomposición LU de A A continuación vamos a dar una condición suficiente para que se pueda llevar a cabo el método de Gauss sin permutar filas, es decir realizar la factorización LU Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

22 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales Condición suficiente de existencia y unicidad de la factorización LU Submatrices principales y menores principales Sea A una matriz cuadrada de orden n Se llaman submatrices principales de orden k, k n de A a las matrices formadas por las primeras k filas y columnas de A Los determinantes de estas matrices se denominan menores principales o determinantes principales: a a k k := det, a k a kk k =,, n Teorema 39 Factorización LU Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que todos los menores principales de orden k, k, k =,, n sean no nulos Entonces existe una matriz L = (l ij ) triangular inferior, con l ii =, i =,, n y existe una matriz U triangular superior tales que A = LU Además, dicha factorización es única Demostración: Existencia: Basta demostrar que bajo las hipótesis del teorema, al aplicar el método de Gauss no es necesario intercambiar filas, es decir a k kk 0 k Vamos a razonar por inducción sobre la dimensión de la matriz Para k =, = a 0, luego P = I Supongamos que k 0, k y que hemos podido elegir P = P 2 = = P k = I Veamos que también podemos tomar P k = I En efecto, como P = P 2 = = P k = I, obtenemos A k = (E k E )A, siendo E k E k 2 E una matriz triangular inferior con en la diagonal principal La igualdad A k = (E k E )A se escribe en forma matricial como sigue: a a k a,k+ a n 0 a k kk a k k,k+ a k kn A k = 0 a k k+,k a k k+,k+ a k kn 0 a k nk a k n,k+ a k nn a a k a,k+ a n l k 0 0 a k a kk a k,k+ a kn = l k+, l k+,k 0 a k+, a k+,k a k+,k+ a k+,n l n l nk l n,k+ a n a nk a n,k+ a nn Haciendo la multiplicación de matrices por bloques, el primer bloque queda: Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

23 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 23 a a k 0 a k kk = 0 l k a a k a k a kk, de donde, tomando determinantes, tenemos a a k k a i ii = det = k 0 a i ii 0, i =, 2 k i= a k a kk En particular, a k kk 0, luego podemos elegir ak kk como pivote y, en consecuencia P k = I Unicidad: Supongamos que existen L, L 2 triangulares inferiores con (L ) ii = (L 2 ) ii =, i =,, n y U, U 2 triangulares superiores tales que L U = A = L 2 U 2 Como det(l ) = det(l 2 ) = y det(u ) = det(u 2 ) = det(a) = n 0, entonces existen L i, U i =, 2 Por otra parte, L U = L 2 U 2, luego L 2 L U U = L 2 L 2U 2 U L 2 L = U 2 U L 2 L = U 2 U = I, pues L 2 L es triangular inferior con diagonal de unos y U 2 U es triangular superior Luego, necesariamente L 2 = L y U = U 2 Esto termina la demostración Observación: La factorización LU de matrices invertibles es siempre posible Si la condición del Teorema 39 no se verifica, pero A es invertible, se puede comprobar (ver [2]) que se pueden efectuar permutaciones de filas para que los menores principales de matrices resultantes sean distintos de cero, es decir existe P tal que P A = LU (ver Ejemplo 320) i, Ejemplo 320 Comprobar que la matriz A no cumple las condiciones del Teorema 39 Comprobar que permutando las filas de A, se puede obtener una matriz que cumple las condiciones del dicho teorema 2 A = Tenemos =, 2 = 2 2 = = 0, det(a) = 3 Por tanto al ser 2 = 0, no se cumplen las hipótesis del Teorema 39 y, en consecuencia, no podemos asegurar la existencia de la factorización LU de A Observemos que permutando la primera fila de A con la tercera, obtenemos P A que sí admite factorización LU: P A = = 2 2 3, =, 2 = 6, 3 = Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

24 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales Caso particular: matrices con la diagonal dominante Matriz con la diagonal estrictamente dominante Sea A una matriz cuadrada de orden n Se dice que A es de diagonal estrictamente dominante si n a ii > a ij, i =,, n j=,i j Ejemplo 32 La siguiente matriz es de diagonal estrictamente dominante: 4 2 A = , puesto que 4 > + 2 = 3 7 > = 5 0 > = 7 Teorema 322 Sea A una matriz cuadrada de orden n de diagonal estrictamente dominante Entonces A es regular Además, existe una única factorización LU de A Demostración: Para probar que A es invertible (regular) veamos que la única solución del sistema lineal homogéneo Az = 0 es z = 0 Por reducción al absurdo, supongamos que A es singular, es decir existe z R n, z 0 tal que Az = 0 Sea p {, 2,, n} tal que z p = máx i n z i z i z p, i =, 2,, n Como z 0, tenemos z p 0 y el hecho que Az = 0 se escribe n a pj z j = 0, p =, 2,, n a pp z p + j= Luego, como z j, se tiene z p a pp z p n j=,j p n j=,j p a pj z j a pp a pj z j = 0, a pp z p = n j=,j p a pj z j z p n j=,j p a pj, n j=,j p a pj z j lo que está en contradicción con que A es de diagonal estrictamente dominante Por tanto, z = 0 y A es regular Como A es de diagonal estrictamente dominante, entonces todas las submatrices principales son estrictamente diagonal dominantes y, por tanto regulares, es decir sus determinantes (que son menores principales) son distintos de cero En consecuencia, gracias al Teorema 39 existe una única factorización LU de tal matriz Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

25 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales Cálculo efectivo de la factorización LU Los elementos del las matrices L y U pueden calcularse, directamente, a partir de los elementos de la matriz A Para ello, basta considerar la igualdad A = LU, elemento a elemento, teniendo en cuenta que L es triangular inferior tal que l ii = y que U es triangular superior Ejemplo 323 Calcular la factorización LU de la matriz 2 0 A = Escribimos LU = 0 0 l 2 0 l 3 l 32 u u 2 u 3 0 u 22 u u 33 = u u 2 u 3 l 2 u l 2 u 2 + u 22 l 2 u 3 + u 23 l 3 u l 3 u 2 + l 32 u 22 l 3 u 3 + l 32 u 23 + u 33 Comparando lo obtenido con los elementos de A, vamos calculando las filas de U y las columnas de L: 2 0 u u 2 u 3 A = LU 2 = l 2 u l 2 u 2 + u 22 l 2 u 3 + u l 3 u l 3 u 2 + l 32 u 22 l 3 u 3 + l 32 u 23 + u 33 u = 2, u 2 =, u 3 = 0 = l 2 u l 2 = = u 2 0 = l 3 u l 3 = 0 2 = l 2 u 2 + u 22 u 22 = 2 l 2 u 2 = 2 ( 2 )( ) = 2 2 = 3 2 = l 2 u 3 + u 23 u 23 = = l 3 u 2 + l 32 u 22 l 32 = ( l 3 u 2 ) = 2 u = l 3 u 3 + l 32 u 23 + u 22 u 33 = (2 l 3 u 3 + l 32 u 23 ) = = 4 3 Por tanto, A = LU = 0 0 / / / /3 Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

26 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 26 Para una matriz de orden n, se razona de forma similar: se calculan los elementos de L y U directamente, elemento a elemento a a 2 a,n a n a 2 a 22 a 2,n a 2n a n a n2 a n,n a nn = l l n l n2 l n,n u u 2 u,n u n 0 u 22 u 2,n u 2,n u nn Haciendo las multiplicaciones de las matrices de la derecha y comparando e igualando con las filas de A, vamos obteniendo las filas de U y las columnas de L Multiplicamos la a fila de L por las columnas de U obtenemos a fila de A: u j = a j, j =,, n Multiplicamos todas las filas de L (salvo la a ) por la a columna de U, obtenemos la a columna de A (salvo el er elemento): a i = l i u, i = 2,, n l i = a i u, i = 2,, n Multiplicamos la 2 a fila de L por las columnas de U (salvo la a ), obtenemos la 2 a fila de A (salvo el er elemento): a 2j = l 2 u j + u 2j, j = 2,, n u 2j = a 2j l 2 u j, j = 2,, n Multiplicamos las filas de L (salvo las 2 primeras) por la 2 a columna de U, obtenemos 2 a columna de A: a i2 = l i u 2 + l i2 u 22, i = 3,, n l i2 = u 22 (a i2 l i u 2 ), i = 3,, n Supongamos conocidas (k ) primeras filas de U y las (k ) primeras columnas de L Multiplicamos la k a fila de L por las columnas de U (salvo las (k ) primeras), obtenemos k a fila de A: teniendo en cuenta que l kp = 0, para p = k +,, n y l kk = a kj = n k k l kp u pj = l kp u pj + u kj, j = k,, n u kj = a kj l kp u pj, p= p= p= j = k,, n Multiplicamos las filas de L (salvo las primeras k) por la columna k de U, obtenemos la k a columna de A: teniendo en cuenta que u kp = 0, para p = k +,, n a ik = n k l ip u pk = l ip u pk + l ik u kk, l ik = k (a ik l ip u pk ), u kk p= p= p= i = k +,, n Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

27 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 27 Algoritmo 324 (de factorización LU) n = dimensión de A Para cada k =, 2, n Fin k u kj = a kj l kp u pj, p= k l ik = u kk (a ik l ip u pk ), p= j = k, k +,, n i = k +, k + 2, n Observaciones: La factorización LU obtenida, se conoce también como factorización LU de Doolittle 2 Si en el cálculo efectivo de la factorización LU de una matriz A obtenemos u ii = 0 para algún i, entonces podemos concluir que A no admite tal factorización 3 Se puede comprobar, haciendo el recuento de operaciones de método LU (factorización LU junto con la resolución por subida y bajada de dos sistemas lineales) que, el número de operaciones es aproximadamente del mismo orden que en el método de Gauss (que suele ser más conveniente para matrices cualesquiera) Cuando se quieren resolver varios sistemas lineales con la misma matriz, es mejor usar el método LU, para obtener un considerable ahorro en el tiempo de cálculo 4 Por otra parte, es posible demostrar que la factorización LU conserva la estructura de matrices «banda», es decir si a ij = 0 para i j p, entonces l ij = 0 para i j p y u ij = 0 para j i p En particular, las matrices tridiagonales (p = 2) poseen esta propiedad, de hecho su factorización es particularmente simple (ver los Ejemplos 323 y 326) Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

28 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales Factorización LU de Crout Es posible también descomponer A en la forma A = LÛ, con L triangular inferior (con la diagonal general) y Û triangular superior con la diagonal de unos Dicha factoriazación se conoce como factorización LU de Crout Ejemplo 325 Calcular la factorización de Crout de la matriz 2 3 A = l 0 0 u 2 u = l 2 l u l 3 l 32 l Multiplicando las matrices de la derecha y comparando con los elementos de A, obtenemos: l =, l 2 = 4, l 3 = 5 2 = l u 2 u 2 = 2 l = 2 3 = l u 3 u 3 = 3 l = 3 6 = l 2 u 2 + l 22 l 22 = 6 l 2 u 2 = = 2 6 = l 3 u 2 + l 32 l 32 = 6 l 3 u 2 = 6 ( 5)( 2) = 6 0 = 4 0 = l 2 u 3 + l 22 u 23 u 23 = ( l 2 u 3 ) = 2 l 22 2 = 6 = l 3 u 3 + l 32 u 23 + l 33 l 33 = ( l 3 u 3 l 32 u 23 ) = + 24 = A = LÛ = Observaciones: Se observa que la factorización de Crout puede obtenerse también a partir de la factorización LU de Doolittle y recíprocamente En efecto, dada A = LU, con u ii 0, i =,, n, sea D = diag(u, u 22,, u nn ) la matriz diagonal de los elementos u ii, i =,, n Podemos escribir: A = LU = LDD U LÛ, donde L = LD, Û = D U, D = diag(u, u 22,, u nn ) Recíprocamente, dada A = LÛ, con l ii 0, i =,, n (los elementos diagonales de L), consideramos D = diag(l, l 22,, l nn ) la matriz diagonal de los elementos l ii, i =,, n Podemos escribir A = LÛ = LD DÛ LU, donde L = LD, U = DÛ, D = diag(l, l 22,, l nn ) 2 Si A es simétrica y A = LU, entonces A = A t = (LU) t = U t L t LÛ, puesto que U t := L es triangular inferior con la diagonal general y L t := Û es triangular superior con la diagonal de unos Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

29 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 29 Ejemplo 326 Obtener la factorización de Crout de la matriz A A partir de ella obtener la factorización LU de Doolittle a /a 0 0 A = 0 a 0, a R \ {0} 0 0 4/a a a l u /a 0 0 l 2 l u a 0 = 0 l 32 l u /a 0 0 l 43 l u a l 54 l Multiplicando las matrices de la derecha y comparando con los elementos de A, obtenemos: l = a, l 2 = = l u 2 u 2 = = /a l 4/a = l 2 u 2 + l 22 l 22 = 4/a l 2 u 2 = 4/a ( )( /a) = 3/a = l 22 u 23 u 23 = a/3 a = l 32 u 23 + l 33 l 33 = a a/3 = 2a/3 = l 33 u 34 u 34 = 3/(2a) = l 43 l 43 = 4/a = l 43 u 34 + l 44 l 44 = 5/(2a) = l 44 u 45 l 45 = 2a/5 l 54 =, l 55 = a a /a /a a/3 0 0 A = LÛ = 0 2a/ /(2a) /(2a) a/ a Como A es simétrica y A = LÛ, entonces A = A t = ( LÛ)t = Û t Lt LU, ya que Û t := L es triangular inferior de diagonal de unos y L t := U es triangular superior de diagonal general Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla

30 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales Método de Cholesky Consideramos el sistema lineal Ax = b, donde A es una matriz simétrica y definida positiva (ver la Sección 37) El método de Cholesky para resolver el sistema lineal Ax = b con A matriz simétrica y definida positiva, consta de dos etapas: Factorización: Escribimos la matriz A como producto de dos matrices A = BB t, B triangular inferior Esta descomposición se llama factorización de Cholesky de A Resolución del sistema: Una vez obtenida la factorización A = BB t, escribimos Ax = b BB t x = b Pongamos B t x = v y resolvemos el sistema lineal Bv = b por el algoritmo de bajada, obteniendo v Dado v, resolvemos el sistema lineal B t x = v por el algoritmo de subida, obteniendo x, la solución del sistema original En lo que sigue, hablaremos de las matrices definidas positivas y justificaremos la existencia de la factorización de Cholesky 37 Matrices definidas y sus propiedades Matriz definida positiva Sea A una matriz cuadrada de orden n de coeficientes reales Se dice que A es de definida positiva si v t A v > 0 para todo v R n \ {0} n n a ij v i v j > 0 v R n \ {0} (35) i= j= En efecto, la relación v t A v > 0 se escribe por componentes como sigue: a a n v t A v = (v,, v n ) a n a nn n = v a j v j + + v n n a nj v j = v v n j= j= i= j= = (v,, v n ) n n a ij v i v j n a j v j j= n a nj v j j= Anna Doubova - Dpto EDAN - U de Sevilla