Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices

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1 Dpto de MATEMÁTICA APLICADA A LOS RECURSOS NATURALES Sección departamental en la ETSI de Montes Algebra Sistemas de ecuaciones lineales Matrices Sistemas lineales Solución de un sistema lineal Sistemas homogéneos Sistemas equivalentes Operaciones elementales Método de Gauss Definición de matriz Operaciones con matrices Matriz elemental Inversa de una matriz - Sistemas lineales Solución de sistemas lineales Definición - Llamamos sistema de n ecuaciones con m incógnitas (x, x 2, x 3, x m ) a: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + +a m x m = b a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 + +a 2m x m = b 2 S a n x + a n2 x 2 + a n3 x 3 + +a nm x m = b n Donde a ij R con i {,, n}, j {,, m} reciben el nombre de coeficientes y b i R con i {,, n} el de términos independientes Normalmente, por comodidad, expresaremos el sistema S como E (x, x 2,, x m ) = b E 2 (x, x 2,, x m ) = b 2 S Definición 2- Decimos que (s, s 2,, s m ) con s i R i {, 2 m} es una solución del sistema S si verifica las n ecuaciones de S, es decir, si al sustituir en el sistema x i por s i las igualdades se convierten en identidades numéricas Definición 3- Atendiendo al número de soluciones los sistemas se clasifican en

2 Sistemas incompatibles No admiten ninguna solución { x y = 4 x + y = 0 Sistemas compatibles Sistemas compatibles determinados Admiten una única solución { x y = 4 x + y = 0 Sistemas compatibles indeterminados Admiten más de una solución { x y = 4 2- Sistemas homogéneos x + y = 4 Definición 2- Un sistema lineal que tiene todos sus términos independientes igual a cero, es decir, b i = 0 i {, 2 n} recibe el nombre de sistema homogéneo Todo sistema lineal a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + +a m x m = b a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 + +a 2m x m = b 2 S a n x + a n2 x 2 + a n3 x 3 + +a nm x m = b n tiene asociado el sistema homogéneo a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + +a m x m = 0 a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 + +a 2m x m = 0 S a n x + a n2 x 2 + a n3 x 3 + +a nm x m = 0 Un sistema homogéneo es siempre compatible puesto que (0, 0,, 0) es siempre solución del sistema, nos referiremos a dicha solución como solución trivial Proposición 22-Si un sistema homogéneo tiene una solución distinta de cero = tiene infinitas soluciones Dem- Si (s, s 2,, s m ) es solución del sistema homogéneo entonces (λs, λs 2,, λs m ) es solución de SH para todo λ R

3 Proposición 22-Si (s, s 2,, s m ) es una solución de un sistema lineal y (h, h 2,, h m ) una solución del sistema homogéneo asociado = (s + h, s 2 + h 2,, s m + h m ) es también solución del sistema lineal Dem- Si E (s, s 2,, s m ) = b E 2 (s, s 2,, s m ) = b 2 E n (s, s 2,, s m ) = b n E (h, h 2,, h m ) = 0 E 2 (h, h 2,, h m ) = 0 E n (h, h 2,, h m ) = 0 se sigue entonces E (s + h, s 2 + h 2,, s m + h m ) = b E 2 (s + h, s 2 + h 2,, s m + h m ) = b 2 E n (s + h, s 2 + h 2,, s m + h m ) = b n Proposición 23-Si un sistema lineal tiene dos soluciones distintas = tiene infinitas soluciones Dem- Sean s = (s, s 2,, s m ) y s = (s, s 2,, s m) dos soluciones de un sistema lineal S, se sigue entonces que s s = (s s, s 2 s 2,, s m s m) es solución del sistema homogéneo asociado a S Además como s s 0 entonces el sistema homogéneo tiene infinitas soluciones y aplicando la proposición anterior(22) llegamos a que el sistema lineal tiene infinitas soluciones Proposición 24-Si un sistema lineal tiene una única solución = su sistema homogéneo asociado sólo tiene la solución trivial Dem- Por reducción al absurdo si el sistema homogéneo asociado tuviese al menos dos soluciones entonces el sistema lineal por la proposición 22 tendría al menos dos Observar que el recíproco de esta proposición no es cierto como se puede comprobar en el siguiente ejemplo { x y = 0 x + y = 4

4 3- Sistemas equivalentes Definición 3- Sean S, S dos sistema lineal compatibles Diremos que S es equivalente a S, denotado por S S, si S y S tienen el mismo conjunto de soluciones Proposición 32- Las siguientes operaciones transforman un sistema en otro equivalente Permutar dos ecuaciones Multiplicar una ecuación por λ R, λ 0 Sumar una ecuación a otra Sumar una ecuación una combinación lineal de las restantes Dem- () Si s = (s, s 2,, s m ) es solución del sistema E (x, x 2,, x m ) = b E i (x, x 2,, x m ) = b i S E j (x, x 2,, x m ) = b j es fácil ver que también es solución del sistema E (x, x 2,, x m ) = b S E j (x, x 2,, x m ) = b j E i (x, x 2,, x m ) = b i Así pues S S como queríamos (2) Si s = (s, s 2,, s m ) es solución del sistema E (x, x 2,, x m ) = b S E i (x, x 2,, x m ) = b i

5 es fácil ver que también es solución del sistema E (x, x 2,, x m ) = b S S λe i (x, x 2,, x m ) = λb i Así pues S S como queríamos (3) Si s = (s, s 2,, s m ) es solución del sistema E (x, x 2,, x m ) = b E i (x, x 2,, x m ) = b i S E j (x, x 2,, x m ) = b j es fácil ver que también es solución del sistema E (x, x 2,, x m ) = b E i + E j (x, x 2,, x m ) = b i + b j E j (x, x 2,, x m ) = b j E n (x, x 2,, x m ) = b n Así pues S S como queríamos (4) Es una combinación de las dos anteriores Observaciones Si en un sistema aparece una ecuación de la forma 0x + 0x x m = 0 el sistema es equivalente al que se obtiene al suprimir esa ecuación Si en un sistema aparece una ecuación de la forma 0x + 0x x m = b m 0 el sistema es incompatible 4- Método de Gauss

6 Caso n=m Dado el sistema a x + +a n x n = b S a n x + +a nn x n = b n () Como el sistema tiene n incógnitas algún a i 0 lo que nos permite suponer que a 0 (sino cambiaríamos la primera ecuación por la ecuación iésima ) (2) multiplicamos la primer ecuación (en adelante E ) por λ = /a, llegando así al siguiente sistema equivalente S x + +a n /a x n = b /a a n x + +a nn x n = b n (3) A las filas E i con i = 2,, n les sumamos ( a i )E y obtenemos S x + a 2x 2 +a nx n = b 0+ a 22x 2 + +a 2nx n = b 2 0+ a n2x 2 + +a nnx n = b n (a) Si aparece una ecuación de la forma 0x + 0x x m = 0 se suprime y pasamos al caso n < m (b) Si aparece una ecuación de la forma 0x + 0x x m = b 0 ya hemos acabado pues el sistema es incompatible (c) Si todos los coeficientes de una misma incógnita son cero se suprime y pasamos al caso n > m (d) Si a i2 = 0 i = 2,, n pasamos al caso n > m (e) Si algún a i2 0 volvemos a repetir el proceso al sistema a 22x 2 +a 2nx n = b 2 a 32x 2 + +a 3nx n = b 3 S 2 a n2x 2 + +a nnx n = b n Caso n < m Hacemos ceros como antes, si no hay incompatibilidades la matriz resultante será

7 x + λ 2 x 2 +λ n x n +λ m x m = β 0+ x 2 + +λ 2n x n +λ 2m x m = β x n + +λnmx m = β n consideramos x n+ = µ, x n+2 = µ 2,, x m = µ m n como parámetros y resolvemos llegando de este modo a un sistema compatible indeterminado Caso n > m Hacemos ceros como en el primer caso, si no hay incompatibilidades obtenemos n m filas cero y nos hayamos en el caso n = m 3- Ejemplos () Discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2x + y + z = 0 x + 2z = 2 F 2 F F 2 +2F, F 3 +F x + 2z = 2 2x + y + z = 0 x + y + z = x + y + z = x + 2z = 2 x + 2z = 2 F 3 +F 2 y z = 8 y z = 8 y + 3z = 3 2z = (2) Discutir y resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: x 2 + x 4 2x 5 = x x 3 = 2x 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 2x 5 = 4 x + x 2 = 2 4x + 4x 3 + x 4 x 5 = 0 x + x 2 + x 3 + x 4 = 5- Definición de Matriz Operaciones con matrices x 2 + x 3 = 3 2x + x 2 x 3 = definición 5- Una matriz A de orden m n es un conjunto de mn elementos pertenecientes a un cuerpo K, dispuestos en m filas y n columnas a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = = (a ij) i=,2,,m j=,2,,n a m a m2 a mn Al conjunto de las matrices de tamaño m n con coeficientes sobre K lo denotaremos por M m n (K) definición 52- Operaciones con matrices

8 Igualdad Dos matrices A, B M m n (K) con A = (a ij ) i=,2,,m, j=,2,,n B = (b ij ) i=,2,,m son iguales si (a ij ) = (b ij ) j=,2,,n forall i =, 2,, m j =, 2,, n Suma Sean A, B M m n (K) con A = (a ij ) i=,2,,m, B = (b ij ) i=,2,,m j=,2,,n j=,2,,n Se define la matriz suma C = A + B como la matriz de orden m n tal que A + B = (a ij + b ij ) i=,2,,m j=,2,,n Propiedades de la suma Sean A, B y C M m n (K) () Conmutativa: A + B = B + A (2) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C (3) Elemento neutro: O M m n (K) \ A + O = O + A = A (4) Elemento simétrico: A M m n (K) B M m n (K) \A + B = O b) Producto por un escalar Sea A M m n (K) con A = (a ij ) i=,2,,m j=,2,,n y λ K Se define λa = (λa ij ) i=,2,,m j=,2,,n Propiedades Sean A, B M m n (K) y α, β K () α(a + B) = αa + αb (2) α(βa) = (αβ)a (3) (α + β)a = αa + βa (4) A = A c) Producto de matrices Sea A M m n (K) con A = (a ij ) i=,2,,m j=,2,,n B M n p (K) con B = (b jh ) j=,2,,n Se define su producto h=,2,,p y AB = (c ij ) i=,2,,m j=,2,,p = n k= (a ik b kj ) i=,2,,m j=,2,,p Propiedades del Producto Sean A M m n (K), B M n p (K), C M p h (K), () Asociativa: A(BC) = (AB)C El producto no es conmutativo d) Trasposición Dada una matriz a A M m n (K) con A = (a ij ) i=,2,,m j=,2,,n se define su traspuesta, que se denota por A t, como la matriz de tamaño n m

9 A t = (a ij) i=,2,,n j=,2,,m con a ij = a ji Propiedades Sean A, B M m n (K) y α, β K () (λa) t = λa t (2) (A + B) t = A t + B t (3) (A t ) t = A (4) (AB) t = B t A t definición 53-a) Diremos que una matriz es simétrica si A = A t b) Llamamos matriz nula a aquella matriz tal que a ij = 0 i =, 2,, m j =, 2,, n c) Una matriz n m es cuadrada si n = m A los elementos de la forma a ii, i =, 2,, n son la diagonal de la matriz y su traza es la suma de todos ellos T r = i= na ii 6- Matriz elemental Inversa de una matriz Definición 6- Llamamos operaciones elementales de tipo fila: Permutación de la fila i y j El producto de la fila i por una constante λ = 0 Sumar a la fila i la j multiplicada por un número λ De manera análoga se definen las operaciones por columnas Definición 62- Las matrices elementales son () cambio de filas F ij A o de columnas AC ij i j 0 F ij = C ij = 0 i j (2) producto de una fila por un escalar F i (k)a o de una columna AC i i

10 F i (K) = C i (K) = k i (3) sumar a la fila i K-veces la fila j F ij (k) = k i j

11 (4) sumar a la columna i k-veces la columna j C ij (k) = k Definición 63-Una matriz A cuadrada de orden n se dice que es invertible o que tiene inversa si existe una matriz B de orden n tal que AB = BA = I Proposición 64- la inversa de una matriz si existe es única Proposición 65- Podemos calcular la inversa de una matriz por medio de operaciones elementales, es decir: i j F r F 2 F A = I = A = F r F 2 F I Proposición 66- Resolución de sistemas matriciales (vectoriales) Ejemplo Resolver el siguiente sistema matricial X =