MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales reciben el nombre de filas y las verticales el de columnas El conjunto de matrices reales de orden m n se denota por M m n (R) En una matriz genérica el elemento situado en la fila i y en la columna j se denota por a ij Las matrices con el mismo número de filas que columnas (m = n) reciben el nombre de matrices cuadradas de orden n y en ellas los elementos a 11, a 22,, a nn forman la diagonal principal Las matrices de orden m 1 reciben el nombre de matrices columna o vectores y las de orden 1 n el de matrices fila Definición (Suma de matrices) Sean A = (a ij ), B = (b ij ) M m n (R) (matrices reales de orden m n) La matriz suma de A y B es la matriz real de orden m n: La suma de matrices de ordenes distintos no está definida A + B = (a ij + b ij ) m,n i,j=1 Definición (Producto de un escalar por una matriz) Sean A = (a ij ) M m n (R) (matriz real de orden m n) y α R (número real o escalar) La matriz producto de α por A es la matriz real de orden m n: α A = αa = (αa ij ) m,n i,j=1 Las propiedades de la suma de matrices y las de su producto por escalares son las que le dan a las matrices la estructura de espacio vectorial Definición (Producto de matrices) Sean A = (a ij ) m,n i,j=1 (matriz real de orden m n) y B = (b kl) p,q k,l=1 (matriz real de orden p q) con n = p (número de columnas de A igual a número de filas de B) El producto de A por B es la matriz de orden m q A B = (c il ) m,q i,l=1 donde cada elemento c il es el producto de la fila i de A por la columna l de B ( ) a i1 a in b 1j b nj = a i1b 1l + a i2 b 2l + + a in b nl AB tiene tantas filas como A y tantas columnas como B (si está definida) El producto de matrices de órdenes apropiados tiene las propiedades asociativa y distributiva pero no posee la propiedad conmutativa Su elemento neutro para matrices cuadradas es la matriz inversa de orden n n con unos en la diagonal principal y ceros en el resto La matriz traspuesta de A es la matriz que se obtiene al intercambiar filas por columnas y si A es de orden m n su traspuesta es de orden n m y se denota A t

2 DETERMINANTES DE MATRICES CUADRADAS El determinante de una matriz cuadrada A de orden n, con n > 1, se puede calcular multiplicando los elementos de la fila i por sus adjuntos det(a) = A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in con A ij = ( 1) i+j M ij donde M ij es el determinante de la submatriz de orden n 1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j que recibe el nombre de menor complementario de a ij y al asignarle signo, A ij, el de adjunto de a ij El resultado no depende de la fila elegida y como los resultados sobre determinantes son válidos intercambiando el papel de filas y columnas también se puede calcular por los adjuntos de una columna det(a) = det(a t ) Para n = 1 es el propio número det(a) = A = a 11 Para n = 2 es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria: det a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 Para n = 3 sigue la regla de Sarrus: a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 31 a 32 a 33 Utilizando las siguientes propiedades se puede transformar una matriz cuadrada en otra cuyo determinante coincida y sea más sencillo de calcular: a) Si B se obtiene de A multiplicando una fila por α R entonces B = α A b) Si B se obtiene de A por intercambio de dos filas entonces B = A c) Si B se obtiene de A sumando a una fila otra fila distinta multiplicada por un escalar entonces B = A d) Si A tiene una fila cero, dos filas iguales o una fila es múltiplo de otra entonces A = 0 Definición que cumple La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n, denotada por A 1 es, si existe, la matriz A A 1 = A 1 A = I n Proposición A tiene inversa si y sólo si det(a) 0 En este caso se obtiene utilizando su matriz adjunta, Adj(A), formada por los adjuntos de los elementos de A A 1 = 1 det(a) Adj(A)t

3 RANGO DE UNA MATRIZ Definición El determinante de la submatriz cuadrada de una matriz A de orden n m que resulta de suprimir m h filas y n h columnas recibe el nombre de menor de orden h de A Definición Una matriz A de orden n m tiene rango h, rg(a) = h, si existe un menor de orden h distinto de cero tal que todos los menores de orden superior a h son cero (menor principal de A) Si A es cuadrada de orden n con det(a) 0 entonces rg(a) = n Definición Dado un menor M de A de orden h se dice que el menor de orden h + 1 cuyas filas son las de M junto con la fila p de A y cuyas columnas son las de M junto con la columna q de A se ha obtenido al orlar M con la fila p y la columna q Proposición Si al orlar un menor no nulo M de orden h son nulos todos los menores de orden h + 1 que pueden formarse con una fila y cada una de las columnas que no figuran en él entonces esta fila es combinación lineal de las filas que forman M El rango de A es el número de filas linealmente independientes y si M es un menor principal de A estas filas son las que forman parte de M (las que no forman parte de M son combinación lineal de éstas) El rango no cambia si se agrega o suprime una fila que sea combinación lineal de las demás Los resultados son válidos intercambiando el papel de filas y columnas (rg(a) = rg(a t )) Calculo del rango de una matriz A determinando un menor principal: Se considera un menor de orden h distinto de 0, M Se considera una fila de A que no esté en M Se orla M con esta fila y con cada una de las columnas de A que no esté en M Op1 Si alguno de estos menores es distinto de 0 tenemos un menor de orden h + 1 con el que se repite el procedimiento desde el principio (el rango será al menos h + 1) Op2 Si todos estos menores son 0 se suprime la fila y se repite el procedimiento con la siguiente fila de la matriz (la fila suprimida es combinación lineal de las que forman el menor M) Se termina el proceso cuando no se pueda seguir

4 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición Sea ( ) el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 ( ) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m El sistema es compatible si tiene solución e incompatible si no la tiene El sistema es compatible determinado si tiene una única solución y compatible indeterminado si tiene solución pero ésta no es única (en este caso tiene infinitas soluciones) La expresión matricial del sistema ( ) es A X = b: A { }} { X {}} { b { }} { ( ) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n x 1 x 2 = b 1 b 2 = Ā = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn x n b m a m1 a m2 a mn b m donde A recibe el nombre de matriz de coeficientes, X el de vector de incógnitas, b el de vector de términos independientes y la información se resume en la matriz ampliada del sistema Ā Proposición (Teorema de Rouché-Frobenius) El sistema ( ) es compatible si y sólo si rag(a) = rag(ā) Si rag(a) = rag(ā) = n es compatible determinado (n es el número de incógnitas) Si rag(a) = rag(ā) = r < n es compatible indeterminado y su solución depende de n r parámetros Si rag(a) rag(ā) es incompatible Un sistema ( ) es homogéneo si todos los términos independientes son cero (b = θ) y siempre es compatible con solución trivial todas las variables iguales a cero Si rag(a) = n es compatible determinado con la única solución la trivial pero si rag(a) = r < n es compatible indeterminado existen infinitas soluciones distintas que dependen de n r parámetros Resolución de un sistema compatible (tanto determinado como indeterminado): Se determina el menor principal de la matriz de coeficientes (de orden r) Se suprimen todas las ecuaciones (filas) que quedan fuera del menor principal Se transforman en parámetros todas las incógnitas (columnas) que quedan fuera del menor principal Se resuelve el sistema que queda (r ecuaciones, r incógnitas y dependiente de n r parámetros)

5 EL ESPACIO VECTORIAL R n Definición El espacio vectorial n-dimensional, cuyos elementos reciben el nombre de vectores, es el conjunto de matrices columna de orden n, que por comodidad se denotan como listas ordenadas R n = {(u 1, u 2,, u n )/u 1, u 2,, u n R} El vector suma de dos vectores u = (u 1, u 2,, u n ) R n y v = (v 1, v 2,, v n ) R n es el vector: u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,, u n + v n ) R n El producto de un escalar α R por un vector u = (u 1, u 2,, u n ) R n es el vector: α u = (α u 1, α u 2,, α u n ) R n En un sistema de coordenadas cartesianas podemos interpretar el vector u = (u 1, u 2,, u n ) como un segmento orientado cuyo punto final es el punto de coordenadas (u 1, u 2,, u n ) y cuyo punto inicial es el origen de coordenadas (cada vector queda determinado por su longitud, dirección y sentido) Definición Una combinación lineal de u 1, u 2,, u k R n es cualquier expresión de la forma α 1 u 1 + α 2 u α k u k con α 1, α 2,, α k R {u 1, u 2,, u k } es linealmente independiente (li) si: α 1 u 1 + α 2 u α k u k = θ = α 1 = α 2 = = α k = 0 {u 1, u 2,, u k } es linealmente dependiente (ld) en caso contrario, es decir, si: α 1, α 2,, α k no todos nulos /α 1 u 1 + α 2 u α k u k = θ El conjunto es linealmente dependiente si y sólo si algún vector es combinación lineal de los restantes Si a cada conjunto de vectores {u 1, u 2,, u k } R n le asociamos la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores el rango de esta matriz U nosda el número de vectores (columnas) linealmente independientes U = u 1 u 2 u k El conjunto es linealmente independiente si y sólo si el rango es igual al número de vectores (rg(u) = k) Si el conjunto de vectores contiene al vector θ es linealmente dependiente Un conjunto formado por un único vector no nulo siempre es linealmente independiente En un conjunto de vectores de R n linealmente independiente hay como máximo n vectores Definición {u 1, u 2,, u k } es un sistema generador de R n si cualquier v R n se puede obtener como combinación lineal de u 1, u 2,, u k, es decir, si: v R n α 1, α 2,, α k R / α 1 u 1 + α 2 u α k u k = v El rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores (U) nos da el número máximo de coordenadas que se pueden generar de manera independiente Es un sistema generador de R n si el rango de la matriz es igual al número de coordenadas (rg(u) = n) Si un conjunto es un sistema generador de R n cualquier conjunto que lo contenga también lo es En un sistema generador de R n hay como mínimo n vectores

6 Definición El conjunto de vectores {u 1, u 2,, u k } de R n es una base de R n si es un sistema generador de R n linealmente independiente La dimensión de R n (dim(r n )) es el número de vectores de cualquier base (siempre es el mismo) {u 1, u 2,, u k } R n es una base de R n si y sólo si el rango de la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores es igual al número de vectores y coordenadas (rg(u) = n = k con U 0) Todas las bases de R n están formadas por n vectores y, por tanto, la dimensión de R n es n, dim(r n ) = n C = {e 1, e 2,, e n }, con e i = (0,, (i) 1,, 0) el vector con todas sus componentes iguales a 0 excepto la i-ésima que es igual a 1, es una base de R n que recibe el nombre de base canónica de R n Un conjunto de n vectores de R n linealmente independiente siempre es una base de R n y al eliminar de un sistema generador de R n los vectores que dependen de otros siempre se obtiene una base de R n Las coordenadas de un vector v R n son los coeficientes que aparecen en su única expresión como combinación de la base (las coordenadas de un vector respecto a la base canónica coinciden con las normales) Definición v = α 1 u 1 + α 2 u α n u n v = (α 1, α 2,, α n ) B Un subconjunto no vacío es un subespacio vectorial de R n si tiene estructura de espacio vectorial (cumple las propiedades adecuadas) La condición necesaria y suficiente es α u+β v E α, β R u, v E (Condición necesaria) Todos los subespacios vectoriales contienen al origen y en R 3 son: el origen (dimensión 0), las rectas (dimensión 1), los planos (dimensión 2) y el espacio tridimensional R 3 (dimensión 3) Definición El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de u 1, u 2,, u k L(u 1, u 2,, u k ) = {α 1 u 1 + α 2 u α k u k / α 1, α 2,, α k R} es un subespacio vectorial de R n que recibe el nombre de variedad lineal generada por u 1, u 2,, u k Las ecuaciones paramétricas de la variedad lineal generada con α 1, α 2,, α k R son u 1 u 2 u k u 1 = (u 11, u 12,, u 1n ) C u 2 = (u 21, u 22,, u 2n ) C u k = (u k1, u k2,, u kn ) C = x 1 = u 11 α 1 + u 21 α u k1 α k x 2 = u 12 α 1 + u 22 α u k2 α k x n = u 1n α 1 + u 2n α u kn α k Definición Sean E R n un subespacio vectorial de R n y {u 1, u 2,, u k } E {u 1, u 2,, u k } es un sistema generador del subespacio E si E = L(u 1, u 2,, u k ), es decir, si: v E α 1, α 2,, α k R / v = α 1 u 1 + α 2 u α k u k {u 1, u 2,, u k } es una base del subespacio E si además es linealmente independiente La dimensión del subespacio E, dim(e), es el número de vectores de cualquier base de E Las ecuaciones implícitas del subespacio E son las ecuaciones de un sistema lineal homogéneo que lo representa (las soluciones de un sistema lineal homogéneo forman un subespacio vectorial) y verifica que: número de ecuaciones implícitas linealmente independientes = dim(r n ) dim(e)

7 Obtención de una base conocidas las ecuaciones implícitas del subespacio: Una base de E, {u 1, u 2,, u k }, se obtiene resolviendo el sistema ( ), ya que sus soluciones son las ecuaciones paramétricas del subespacio (α 1, α 2,, α k R): ( ) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 = u 1 u 2 u k x 1 = u 11 α 1 + u 21 α u k1 α k x 2 = u 12 α 1 + u 22 α u k2 α k x n = u 1n α 1 + u 2n α u kn α k Si {u 1, u 2,, u k } no es linealmente independiente se eliminan los vectores que dependen de los demás para obtener la base, cuya dimensión es dim(e) = dim(r n ) número de ecuaciones implícitas linealmente independientes Obtención de las ecuaciones implícitas conocida una base del subespacio: Si {u 1, u 2,, u k } es una base de E las ecuaciones implícitas de E se obtienen al imponer rg u 1 u 2 u k u 11 u 21 u k1 x 1 u 12 u 22 u k2 x 2 u 1n u 2n u kn x n = dim(e), donde el número de ecuaciones linealmente independientes del sistema lineal homogéneo obtenido es: número de ecuaciones implícitas linealmente independientes = dim(r n ) dim(e)

8 FORMAS CUADRÁTICAS SOBRE R n Definición Sean q : R n R una aplicación y C = {e 1, e 2,, e n } una base de R n q es una forma cuadrática si la expresión explícita de q(x) con x = (x 1,, x n ) C, que recibe el nombre de expresión analítica de q con respecto a C, es una combinación lineal de productos del tipo x i x j q(x 1,, x n ) = a 11 x 1 x 1 + a 12 x 1 x a 1n x 1 x n + + a n1 x n x 1 + a n2 x n x a nn x n x n Esta forma cuadrática se puede expresar de la forma q(x) = XC ta X C, con A = (a ij ) una matriz en la que el elemento a ij es el coeficiente del producto x i y j en su expresión analítica y donde X C = (x 1, x 2,, x n ) C son las coordenadas de x R n respecto a C: a 11 a 12 a 1n ( ) a q(x 1,, x n ) = x 1 x 2 x 21 a 22 a 2n n C a n1 a n2 a nn x 1 x 2 x n C Una forma cuadrática siempre se expresa con una matriz simétrica (A t = A) que recibe el nombre de matriz asociada a la forma cuadrática Si q está expresada con A no simétrica, la matriz asociada a la forma cuadrática q es A s = 1 (A + 2 At ) Definición Sea A una matriz simétrica Se denomina menor principal de orden i a D i = det a 11 a 1i a i1 a ii Se denomina menor primario de orden i, H i, a cada menor obtenido al eliminar n i filas y columnas del mismo índice Los menores primarios de orden 1 son los elementos de la diagonal principal Los menores primarios de orden 2 de una matriz 3 3 son (eliminando las filas y columnas 3, 2 y 1): H2 12 = a 11 a 12 H2 13 = a 11 a 13 a 21 a 22 a 31 a 33 Definición Clasificación de una forma cuadrática q : R n R: H 23 2 = q es definida positiva si q(x) 0 x R n y q(u) > 0 u θ q es semidefinida positiva si q(x) 0 x R n y u θ/q(u) = 0 q es definida negativa si q(x) 0 x R n y q(u) < 0 u θ q es semidefinida negativa si q(x) 0 x R n y u θ/q(u) = 0 q es indefinida si u, v R n /q(u) > 0 y q(v) < 0 a 22 a 23 a 32 a 33 (ley de inercia de Sylvester) Cualquier expresión de una forma cuadrática es del mismo tipo (todas tiene el mismo número de elementos positivos, negativos y nulos)

9 Proposición (forma diagonal de Jacobi) Si los r primeros menores principales de A s son distintos de cero (D 1, D 2,, D r 0) con r = rg(a s ) existe una base con respecto a la cual q es la suma de cuadrados: q(x) = D 1 x D 2 x D r x 2 r con x = (x 1, x 2,, x n ) B, D 1 D r 1 Proposición Sean D i : 1 i n los menores principales y r = rg(a s ) Caso 1 (Criterio de los menores principales) det(a s ) 0 (nunca es semidefinida y r = n): Si D 1 > 0, D 2 > 0,, D n > 0 entonces q es definida positiva Si D 1 < 0, D 2 > 0,, con sig(d i ) = sig( 1) i entonces q es definida negativa Indefinida en otro caso Caso 2 (Criterio de los menores primarios) det(a s ) = 0 (nunca es definida y r < n): Proposición Si todos los menores primarios no nulos son positivos q es semidefinida positiva Si todos los menores primarios no nulos cumplen sig(h i ) = sig( 1) i q es semidefinida negativa Indefinida en otro caso (forma diagonal de autovalores) Toda matriz simétrica es diagonalizable y para toda forma cuadrática existe una base de R n en la que la expresión analítica de q es la suma de cuadrados: Proposición q(x) = λ 1 x λ 2 x λ n x 2 n con x = (x 1, x 2,, x n ) B (Criterio de los autovalores) Sean λ i : 1 i n los autovalores de la matriz asociada Si λ i > 0, i : 1 i n, entonces q es definida positiva Si λ i 0 i : 1 i n y i : λ i = 0, entonces q es semidefinida positiva Si λ i < 0, i : 1 i n, entonces q es definida negativa Si λ i 0 i : 1 i n y i : λ i = 0, entonces q es semidefinida negativa Si i : λ i > 0 y j : λ j < 0 entonces q es indefinida (regla de los signos de Descartes) El número de raíces positivas del polinomio característico de una forma cuadrática coincide con el número de cambios de signo entre coeficientes consecutivos no nulos (en las múltiples se cuenta su multiplicidad) Para clasificar una forma cuadrática considerando sólo vectores de un subespacio se sustituyen las ecuaciones paramétricas del subespacio en la expresión analítica de la forma cuadrática y se clasifica la forma cuadrática obtenida q E (α 1, α 2,, α k ) que recibe el nombre de forma cuadrática restringida Clasificación de una forma cuadrática restringida Se obtienen las ecuaciones paramétricas del subespacio Se sustituyen las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática Se clasifica la forma cuadrática restringida

10 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Definición Una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz no singular P M n n (R), que recibe el nombre de matriz de paso, tal que P 1 AP = D con D diagonal Definición Un escalar λ R es un autovalor de A si existe un vector no nulo u R n tal que f(u) = λ u [A u = λ u] Cada vector no nulo u R n que cumple A u = λ u es un autovector asociado al autovalor λ R Proposición A es diagonalizable si y sólo si existe una base formada por autovectores de A B = {u 1, u 2,, u n } si y sólo si u 1, u 2,, u n son las columnas de la matriz de paso P Los autovalores de A son las soluciones del polinomio de grado n A λ I = 0, que recibe el nombre de ecuación característica (o polinomio característico) de A, que por trazas es λ n trz 1 (A)λ n 1 + trz 2 (A)λ n 2 + ( 1) n trz n (A) = 0 donde la traza generalizada de orden k, trz k (A), es la suma de todos los menores primarios de orden k El número de veces que aparece un autovalor recibe el nombre de multiplicidad del autovalor Los autovectores de A asociados a un autovalor λ i R son las soluciones no nulas del sistema (A λ i I)X = θ El subespacio de autovectores de A asociado a un autovalor λ está formado por los autovectores asociados a λ y el vector θ (que no es un autovector) H(λ) = {u R n /A u = λ u} = {u R n /(A λ I) = 0} Proposición Los autovectores asociados a autovalores distintos forman un conjunto linealmente independiente (sus subespacios de autovectores sólo tienen al vector cero en común) Si λ i R es un autovalor de A con multiplicidad m i N entonces 1 dim(h(λ i )) m i Proposición A es diagonalizable si y sólo si dim(h(λ i )) = m i i : 1 i k Si λ i es un autovalor simple (m i = 1) se tiene que dim(h(λ i )) = 1 = m i, por lo que para determinar si A es diagonalizable sólo hay que analizar los autovalores múltiples (si todos son simples es diagonalizable) Obtención de la base de autovectores y de la matriz de paso: Se obtienen los autovalores λ i junto con su multiplicidad m i resolviendo la ecuación característica A λ i I, Para cada autovalor obtenemos una base de H(λ i ) formada por m i vectores resolviendo el sistema (A λ i I)X = θ Se obtiene la base B = {u 1, u 2,, u n } uniendo todas las bases (con n = m 1 +m 2 + +m k autovectores) La matriz de paso tiene como columnas estos autovectores (en el mismo orden que en la base La matriz diagonal está formada por los autovalores en la diagonal principal (en el mismo orden que los autovectores en la base y repetidos tantas veces como indica su multiplicidad)

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