Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios

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1 , Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas de Potencia Noviembre de 2008, espacios propios

2 Contenido Independencia Lineal 2 Bases y Dimensión 3 Subespacios asociados a matrices 4 Teorema fundamental del álgebra lineal 3 Valores y vectores propios 1 Diagonalización 2 Solución de ecuaciones diferenciales lineales, espacios propios

3 Introducción El álgebra trata con conjuntos de diversos tipos de objetos, tales como: números, arreglos numéricos vectoriales, matrices y funciones, así como también con operaciones bien de nidas como la suma y el producto entre cada uno de estos objetos. Todos estos conjuntos poseen una cierta Estructura, que está dada por esa suma y ese producto., espacios propios

4 Dependiendo del conjunto de objetos tratados, las operaciones de nidas y las propiedades generadas se establece una estructura algebraica que puede ir desde la más sencilla que es un Grupo, hasta una de las más completas que es el Espacio Vectorial., espacios propios

5 Grupos Anillos Cuerpos Las estructuras algebraicas son conjuntos en los cuales se han de nido Operaciones entre elementos de los conjuntos., espacios propios

6 Grupos Anillos Cuerpos Grupos De nición de Grupo Un Grupo es un Conjunto G en el cual se ha de nido una operación + con las siguientes propiedades: 1 + es Asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z 8x, y, z 2 G 2 Neutro: Existe el elemento neutro denotado 0 2 G tal que x + 0 = 0 + x = x 8x 2 G 3 Inverso: 8x 2 G existe el inverso de x, denotado x 0 2 G tal que x + x 0 = x 0 + x = 0, espacios propios

7 Grupos Anillos Cuerpos De nition Si además la operación es Conmutativa, es decir, 8x, y 2 G se cumple que x + y = y + x, entonces el Grupo se dice Conmutativo o Abeliano, espacios propios

8 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo, espacios propios

9 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo Los Números pares Z 2 con la operación de suma son un grupo, espacios propios

10 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo Los Números pares Z 2 con la operación de suma son un grupo Los múltiplos de k 2 Z denotados Z k con también son un grupo con la operación suma., espacios propios

11 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo Los Números pares Z 2 con la operación de suma son un grupo Los múltiplos de k 2 Z denotados Z k con también son un grupo con la operación suma. Los Enteros con la operación multiplicación no son un grupo, pues no se pueden de nir inversos., espacios propios

12 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo Los Números pares Z 2 con la operación de suma son un grupo Los múltiplos de k 2 Z denotados Z k con también son un grupo con la operación suma. Los Enteros con la operación multiplicación no son un grupo, pues no se pueden de nir inversos. Los racionales Q f0g con la multiplicación sí forman un grupo, lo mismo pasa con R f0g, C f0g., espacios propios

13 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los Enteros Z con la operación de suma son un grupo Los Números pares Z 2 con la operación de suma son un grupo Los múltiplos de k 2 Z denotados Z k con también son un grupo con la operación suma. Los Enteros con la operación multiplicación no son un grupo, pues no se pueden de nir inversos. Los racionales Q f0g con la multiplicación sí forman un grupo, lo mismo pasa con R f0g, C f0g. El conjunto de los polinomios de grado n con coe cientes reales, denotados R n [x] forman un grupo con la suma., espacios propios

14 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplo El conjunto R nn de Matrices cuadradas invertibles forma un grupo no abeliano con la operación producto matricial., espacios propios

15 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplo El conjunto R nn de Matrices cuadradas invertibles forma un grupo no abeliano con la operación producto matricial. [Z] k denota al conjunto de los enteros módulo k que son los residuos de dividir un entero entre el entero k, es decir, [Z] k = fz 2 Z jz=x mod k, para algún x 2 Zg es un grupo abeliano con la suma usual:, espacios propios

16 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplo El conjunto R nn de Matrices cuadradas invertibles forma un grupo no abeliano con la operación producto matricial. [Z] k denota al conjunto de los enteros módulo k que son los residuos de dividir un entero entre el entero k, es decir, [Z] k = fz 2 Z jz=x mod k, para algún x 2 Zg es un grupo abeliano con la suma usual: Por ejemplo, [Z] 5 = f0, 1, 2, 3, 4g. En este conjunto por ejemplo 2+2=4, pero 2+3=0, espacios propios

17 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplo: Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotada f : A! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A uno y solo un elemento f (x) 2 B. Al conjunto A se le llama Dominio de la función y al conjunto B se le llama Rango o codominio. Al elemento f (x) se le llama imagen de x bajo f., espacios propios

18 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplo: Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotada f : A! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A uno y solo un elemento f (x) 2 B. Al conjunto A se le llama Dominio de la función y al conjunto B se le llama Rango o codominio. Al elemento f (x) se le llama imagen de x bajo f. Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x 1 ) 6= f (x 2 ) 8 x 1 6= x 2., espacios propios

19 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplo: Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotada f : A! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A uno y solo un elemento f (x) 2 B. Al conjunto A se le llama Dominio de la función y al conjunto B se le llama Rango o codominio. Al elemento f (x) se le llama imagen de x bajo f. Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x 1 ) 6= f (x 2 ) 8 x 1 6= x 2. Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existe x 2 A tal que y = f (x)., espacios propios

20 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplo: Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotada f : A! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A uno y solo un elemento f (x) 2 B. Al conjunto A se le llama Dominio de la función y al conjunto B se le llama Rango o codominio. Al elemento f (x) se le llama imagen de x bajo f. Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x 1 ) 6= f (x 2 ) 8 x 1 6= x 2. Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existe x 2 A tal que y = f (x). Una función se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. También se dice que f de ne un isomor smo de A en B., espacios propios

21 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplo: Una Función de un conjunto A en un conjunto B denotada f : A! B es una regla que asigna a cada elemento x 2 A uno y solo un elemento f (x) 2 B. Al conjunto A se le llama Dominio de la función y al conjunto B se le llama Rango o codominio. Al elemento f (x) se le llama imagen de x bajo f. Una Función se dice inyectiva o uno a uno si f (x 1 ) 6= f (x 2 ) 8 x 1 6= x 2. Una función se dice suprayectiva o sobre si 8y 2 B existe x 2 A tal que y = f (x). Una función se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. También se dice que f de ne un isomor smo de A en B. El conjunto de funciones biyectivas de variable real S R = ff : R! R, g con la operación (composición de funciones) forman un grupo abeliano., espacios propios

22 Grupos Anillos Cuerpos Tarea: 1) Cual es el elemento neutro para el grupo S R y cual para el grupo R 3 [x]? 2) Son las siguientes funciones de variable real inyectivas, suprayectivas o biyectivas? Cual es su Dominio y su Rango para cada una de ellas? Si alguna de ellas es biyectiva pertenece a S R por lo tanto tiene un inverso, encuentra el inverso. a) f (x) = sen(x) b) g(x) = x 2 c) h(x) = e x d) i(x) = x 3, espacios propios

23 Grupos Anillos Cuerpos Tarea: 3) Sea C un conjunto cualquiera y sea el conjunto de subconjuntos de C fs(c ) = S j S C g. Se de ne la operación llamada diferencia simétrica de conjuntos como: A B = (A [ B) (A \ B). Es S(C ) un grupo con esta operación? Es Abeliano?, Cual es el neutro si lo hay?, dado un A 2 S(C ), cual es el inverso de A? 4) Cuales son los elementos del conjunto [Z] 7? cuál es el neutro?, cuál es el inverso de cada uno de sus elementos?, espacios propios

24 Grupos Anillos Cuerpos Anillos De nición de Anillo Un Anillo es un conjunto R en el cual se han de nido dos operaciones: + y con las siguientes propiedades: 1 R es un grupo abeliano con la operación + 2 La operación es asociativa y tiene elemento neutro denotado 1. 3 La operación es Distributiva sobre la operación +, es decir, 8x, y, z 2 R: 4 x (y + z) = x y + x z y también (x + y) z = x z + y z. 5 Si además la operación es conmutativa se dice que R es un Anillo conmutativo, espacios propios

25 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales., espacios propios

26 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales. El conjunto Z k es un anillo conmutativo con las mismas operaciones., espacios propios

27 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales. El conjunto Z k es un anillo conmutativo con las mismas operaciones. R n [x] también es un anillo con la suma y multiplicación de polinomios., espacios propios

28 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales. El conjunto Z k es un anillo conmutativo con las mismas operaciones. R n [x] también es un anillo con la suma y multiplicación de polinomios. El conjunto de funciones continuas de variable real ff : R! R, g con la suma y producto usuales es un anillo conmutativo., espacios propios

29 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales. El conjunto Z k es un anillo conmutativo con las mismas operaciones. R n [x] también es un anillo con la suma y multiplicación de polinomios. El conjunto de funciones continuas de variable real ff : R! R, g con la suma y producto usuales es un anillo conmutativo. El conjunto R nn de Matrices cuadradas forma un anillo no conmutativo con las operaciones de suma y producto matricial., espacios propios

30 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos: Los conjuntos Z, Q, R, y C son Anillos conmutativos con las operaciones de suma y producto usuales. El conjunto Z k es un anillo conmutativo con las mismas operaciones. R n [x] también es un anillo con la suma y multiplicación de polinomios. El conjunto de funciones continuas de variable real ff : R! R, g con la suma y producto usuales es un anillo conmutativo. El conjunto R nn de Matrices cuadradas forma un anillo no conmutativo con las operaciones de suma y producto matricial. El conjunto [Z] k de los enteros módulo k es un anillo conmutativo con la suma y producto usuales., espacios propios

31 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos En un anillo no necesariamente se cumple la ley de cancelación, es decir si x, y son elementos de un anillo y x y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0,, espacios propios

32 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos En un anillo no necesariamente se cumple la ley de cancelación, es decir si x, y son elementos de un anillo y x y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0, Por ejemplo en el anillo [Z] 4 = f0, 1, 2, 3, 4g, espacios propios

33 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos En un anillo no necesariamente se cumple la ley de cancelación, es decir si x, y son elementos de un anillo y x y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0, Por ejemplo en el anillo [Z] 4 = f0, 1, 2, 3, 4g en este conjunto, por ejemplo: 22=0, espacios propios

34 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos En un anillo no necesariamente se cumple la ley de cancelación, es decir si x, y son elementos de un anillo y x y = 0, no necesariamente x = 0 o y = 0, Por ejemplo en el anillo [Z] 4 = f0, 1, 2, 3, 4g en este conjunto, por ejemplo: 22=0 En el anillo de las matrices R 22, por ejemplo = , espacios propios

35 Grupos Anillos Cuerpos Tarea: 5) Es un anillo S(C ), el conjunto de subconjuntos de S con las operaciones y \? es conmutativo? Cual es el neutro de la operación \? 6) Para los anillos R 22 y [Z] 7 cuales son los neutros de la suma y del producto?, espacios propios

36 Grupos Anillos Cuerpos Campos De nition Un Cuerpo, también llamado Campo es un conjunto K con dos operaciones + y tales que K es una anillo conmutativo y además todo elemento de K, excepto el cero tiene inverso multiplicativo, Es decir: 1 K es un grupo abeliano con la operación + 2 K f0g es un grupo abeliano con la operación 3 Se cumple la propiedad distributiva de con respecto a +., espacios propios

37 Grupos Anillos Cuerpos Ejemplos Los conjuntos Q, R, y C son Cuerpos con las operaciones de suma y producto usuales. [Z] k es un cuerpo solamente si k es primo. Tarea: 7) Porqué [Z] 4 no es un cuerpo? 8) [Z] 7 sí es un cuerpo. Encuentra los inversos multiplicativos para cada elemento de este cuerpo., espacios propios

38 Introducción Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal De nición de Espacio Vectorial Sea K un cuerpo cuyos elementos llamaremos Escalares y sea V un conjunto cuyos elementos llamaremos Vectores. Sea + una operación en V llamada suma de vectores y sea una operación de K V en V denominada producto vector por escalar. V es un Espacio Vectorial sobre K si: 1 V es un grupo abeliano con la operación +. 2 La operación satisface las siguientes propiedades: 1 1 v = v 8v 2 V, donde 1 es el neutro multiplicativo en K 2 a (v + w) = a v + a w 8a 2 K, 8v, w 2 V 3 (a + b) v = a v + b v 8a, b 2 K, 8v 2 V 4 (ab) v = a (b v) 8a, b 2 K, 8v 2 V, espacios propios

39 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Observación Obsérvese que en un espacio vectorial NO está de nido el producto de vectores., espacios propios

40 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Para averiguar si un conjunto dado es un espacio vectorial se deben checar las 7 propiedades anteriores, es decir, las tres propiedades de la suma de vectores (+) y las cuatro del producto por escalar (). En los siguientes ejemplos de espacios vectoriales se cumplen punto por punto cada una de ellas., espacios propios

41 Ejemplos de Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma y producto usuales., espacios propios

42 Ejemplos de Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma y producto usuales. C es un espacio vectorial sobre R con la suma de números complejos usual y el producto real por complejo., espacios propios

43 Ejemplos de Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma y producto usuales. C es un espacio vectorial sobre R con la suma de números complejos usual y el producto real por complejo. El conjunto R 1n de los vectores renglón con componentes reales, es decir R 1n = f[x 1, x 2,..., x n ] j x 1, x 2,..., x n 2 Rg así como el conjunto R n1 de los vectores columna con componentes reales son espacios vectoriales con las operaciones de suma de vectores y producto por escalar usuales., espacios propios

44 Ejemplos de Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal R es un espacio vectorial sobre sí mismo con la suma y producto usuales. C es un espacio vectorial sobre R con la suma de números complejos usual y el producto real por complejo. El conjunto R 1n de los vectores renglón con componentes reales, es decir R 1n = f[x 1, x 2,..., x n ] j x 1, x 2,..., x n 2 Rg así como el conjunto R n1 de los vectores columna con componentes reales son espacios vectoriales con las operaciones de suma de vectores y producto por escalar usuales. El conjunto R nm de las matrices de n renglones por m columnas con componentes reales es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de matrices y producto por escalar., espacios propios

45 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal En forma similar C nm el conjunto de matrices con componentes complejas es un espacio vectorial sobre el cuerpo C, aunque también lo es sobre R., espacios propios

46 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal En forma similar C nm el conjunto de matrices con componentes complejas es un espacio vectorial sobre el cuerpo C, aunque también lo es sobre R. El conjunto de los polinomios de grado n con coe cientes reales R n [x] son un espacio vectorial con la suma de polinomios y el producto escalar por polinomio., espacios propios

47 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal En forma similar C nm el conjunto de matrices con componentes complejas es un espacio vectorial sobre el cuerpo C, aunque también lo es sobre R. El conjunto de los polinomios de grado n con coe cientes reales R n [x] son un espacio vectorial con la suma de polinomios y el producto escalar por polinomio. El conjunto de las funciones de variable real ff : R! Rg con la suma de funciones de nida como (f + g)(x) = f (x) + g(x) 8x 2 R. y el producto por escalar: (k f ) (x) = kf (x) 8x 2 R., espacios propios

48 Subespacios Introducción Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal De nition Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre el cuerpo K se dice Subespacio del espacio vectorial V si W es en sí mismo un espacio vectorial sobre K, espacios propios

49 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Para veri car si W V es un subespacio del espacio vectorial V sobre K, no es necesario checar las 7 propiedades anteriores, basta solamente con checar las siguientes 3 propiedades: 1 El vector 0 está en W. 2 Si x, y 2 W entonces x + y 2 W 3 Si k 2 K y v 2 W entonces k v 2 W Observación: las propiedades 2 y 3 se pueden reemplazar por: Si x, y 2 W, k 2 R 2 entonces x + ky 2 W, espacios propios

50 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplos Dado un Espacio vectorial V el subconjunto f0g formado exclusivamente por el vector 0 y el propio V son siempre subespacios, por ello se denominan los subespacios triviales de V., espacios propios

51 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplos Dado un Espacio vectorial V el subconjunto f0g formado exclusivamente por el vector 0 y el propio V son siempre subespacios, por ello se denominan los subespacios triviales de V. Sea el espacio vectorial R 2 qué vectores debe contener W R 2 para ser un subespacio no trivial de R 2?, espacios propios

52 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplos Dado un Espacio vectorial V el subconjunto f0g formado exclusivamente por el vector 0 y el propio V son siempre subespacios, por ello se denominan los subespacios triviales de V. Sea el espacio vectorial R 2 qué vectores debe contener W R 2 para ser un subespacio no trivial de R 2? Sea x = [x 1 x 2 ] 6= 0 2 W, por la propiedad 3 kx = [kx 1 kx 2 ] 8k 2 R 2 también debe estar en W por lo tanto W es toda la recta que pasa por el origen en dirección x., espacios propios

53 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Subespacio vectorial W R 2 x 2 x kx x 1 W, espacios propios

54 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Veri car que el conjunto W = f[x 1, x 2 ] j x 1 = 2x 2 g es un subespacio de R 2., espacios propios

55 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Veri car que el conjunto W = f[x 1, x 2 ] j x 1 = 2x 2 g es un subespacio de R 2. La propiedad 1 se cumple, pues el vector cero se puede escribir como 0 = [2(0), 0] 2 W., espacios propios

56 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Veri car que el conjunto W = f[x 1, x 2 ] j x 1 = 2x 2 g es un subespacio de R 2. La propiedad 1 se cumple, pues el vector cero se puede escribir como 0 = [2(0), 0] 2 W. Sean x, y 2 W, es decir, x = [2x 2, x 2 ], y = [2y 2, y 2 ]. Las propiedades 2 y 3 se cumplen, pues z = x + ky = [2z, z], donde z = x 2 + ky 2, espacios propios

57 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Veri car que el conjunto W = f[x 1, x 2 ] j x 1 = 2x 2 g es un subespacio de R 2. La propiedad 1 se cumple, pues el vector cero se puede escribir como 0 = [2(0), 0] 2 W. Sean x, y 2 W, es decir, x = [2x 2, x 2 ], y = [2y 2, y 2 ]. Las propiedades 2 y 3 se cumplen, pues z = x + ky = [2z, z], donde z = x 2 + ky 2 De hecho, W es el conjunto de puntos de la recta que pasa por el origen x 1 = 2x 2, espacios propios

58 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Tarea: 9.- Cual de los siguientes subconjuntos de R 2 es un subespacio de R 2?. En caso de ser subespacio, gra ca la recta que de ne. W 1 = f[x 1, x 2 ] j x 1 = 0g W 2 = f[x 1, x 2 ] j x 1 = x 2 g W 3 = f[x 1, x 2 ] j x 1 = 1 + x 2 g 10.- Veri car las tres propiedades de los subespacios en R 3 para el subconjunto W 4 = f[x 1, x 2, x 3 ] j x 1 = x 2 g. Qué tipo de región de ne en el espacio tridimensional R 3? 11.- Veri car que R 2 [x] se comporta como un subespacio de R 3 [x] checando las tres propiedades., espacios propios

59 Generadores de subespacios: Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Dado un vector no nulo x 2 V siempre podemos generar un subespacio de V formado por todos los múltiplos de x la siguiente manera: W = fkx j k 2 K g. En R n W corresponde a la recta que pasa por el origen en dirección de x. Al subespacio anterior se le llama subespacio de V generado por x y se denota W = spanfxg., espacios propios

60 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal La idea anterior se puede generalizar a cualquier conjunto de vectores: Así, por ejemplo en R 3, el subespacio generado por v 1, v 2 2 R 3 sería el plano que contiene al origen y a ambos vectores, es decir, es el conjunto de vectores de la forma k 1 v 1 + k 2 v 2 donde k 1, k 2 2 R. De nition En general, si fv 1, v 2,..., v n g son vectores de un espacio V sobre el campo K entonces spanfv 1, v 2,..., v n g = fk 1 v 1 + k 2 v k n v n j k 1, k 2,..., k n 2 K g, espacios propios

61 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplos: En R 2 : 1 span es la recta con pendiente unitaria que pasa por 1 el origen, espacios propios

62 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplos: En R 2 : 1 span es la recta con pendiente unitaria que pasa por 1 el origen span,, es todo el espacio R , espacios propios

63 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplos: En R 2 : 1 span es la recta con pendiente unitaria que pasa por 1 el origen span,, es todo el espacio R En R 3 :, espacios propios

64 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplos: En R 2 : 1 span es la recta con pendiente unitaria que pasa por 1 el origen span,, es todo el espacio R En R 8 3 : 2 < span 4 : (1,1,1) = 5 es la recta que pasa por el origen y el punto ;, espacios propios

65 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal En R 3 : 82 < Sea W = span 4 : , = 5. W es el plano que ; contiene los primeros dos ejes cartesianos pues cualquier vector x en ese plano se puede escribir como:, espacios propios

66 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal En R 3 : 82 < Sea W = span 4 : , = 5. W es el plano que ; contiene los primeros dos ejes cartesianos pues cualquier vector x en ese plano se puede escribir como: x x = 4 x 2 5 = x x , espacios propios

67 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal x 3 82 < W = span 4 : , = 5 ; x 1 x W x 2, espacios propios

68 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Tarea: 12.- A 82que 3plano 2 en3 R2 3 corresponde 39 el subespacio < = span 4 0 5, 4 1 5, 4 1 5? Escribe un vector cualquiera en : ; ese plano como una combinación lineal de estos tres vectores, espacios propios

69 Independencia Lineal Introducción Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal El conjunto de vectores fv 1, v 2,..., v n g V se dice Linealmente Independiente si la combinación lineal k 1 v 1 + k 2 v k n v n es el vector cero solamente en el caso trivial, es decir, solo cuando k 1 = k 2 =... = k n = 0. De lo contrario el conjunto se dice Linealmente Dependiente, o simplemente Dependiente., espacios propios

70 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplos: Sean dos vectores v 1, v 2 2 R 2 formemos la combinación lineal k 1 v 1 + k 2 v 2 = 0. Si son dependientes podemos suponer por ejemplo que k 1 6= 0; entonces v 1 = kv 2, donde k = k 2 k 1. Es decir, uno es múltiplo del otro, o lo que es lo mismo: ambos están sobre la misma recta que pasa por el origen., espacios propios

71 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplos: Sean dos vectores v 1, v 2 2 R 2 formemos la combinación lineal k 1 v 1 + k 2 v 2 = 0. Si son dependientes podemos suponer por ejemplo que k 1 6= 0; entonces v 1 = kv 2, donde k = k 2 k 1. Es decir, uno es múltiplo del otro, o lo que es lo mismo: ambos están sobre la misma recta que pasa por el origen. x 2 v 2 v 1 =kv 2 x 1, espacios propios

72 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Sean tres vectores v 1, v 2, v 3 2 R 3 formemos la combinación lineal k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0. Si son dependientes podemos suponer por ejemplo que k 1 6= 0; entonces v 1 = k 2 k k 1 v 3 2 k 1 v 3. Es decir,v 1 2 spanfv 2, v 3 g, o bien, los tres están sobre el mismo plano que contiene al origen., espacios propios

73 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Sean tres vectores v 1, v 2, v 3 2 R 3 formemos la combinación lineal k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = 0. Si son dependientes podemos suponer por ejemplo que k 1 6= 0; entonces v 1 = k 2 k k 1 v 3 2 k 1 v 3. Es decir,v 1 2 spanfv 2, v 3 g, o bien, los tres están sobre el mismo plano que contiene al origen. x 3 x 2 v 1 x 1 span{v 2,v 3 }, espacios propios

74 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: La manera más e ciente de averiguar si un conjunto de vectores fv 1, v 2,..., v k g en R n es linealmente independiente es tomarlos como las de una matriz y averiguar el rango de la matriz con el proceso de eliminación gaussiana., espacios propios

75 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: La manera más e ciente de averiguar si un conjunto de vectores fv 1, v 2,..., v k g en R n es linealmente independiente es tomarlos como las de una matriz y averiguar el rango de la matriz con el proceso de eliminación gaussiana. Por ejemplo, 2 3consideremos el3siguiente conjunto de vectores en R , 4 5 5, , espacios propios

76 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal 2 Formamos la matriz A = operaciones 2 elementales 3 por 2 la A , y aplicamos 3 5, espacios propios

77 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal 2 Formamos la matriz A = operaciones 2 elementales 3 por 2 la A , y aplicamos Por lo tanto, rank(a) = 2 ) Solo dos las de A son Linealmente independientes. 3 5, espacios propios

78 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Tarea: 13.- Averiguar si los vectores , , son Linealmente independientes 14.- En R 2, hallar un vector linealmente independiente al vector En R2 3, hallar 3 un 2 vector 3 linealmente independiente a los 1 1 vectores 4 1 5, , espacios propios

79 Bases y Dimensión Introducción Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Base de un espacio vectorial El conjunto nito fv 1, v 2,..., v n g V se dice que es una Base del espacio vectorial V si: 1 V = spanfv 1, v 2,..., v n g 2 fv 1, v 2,..., v n g es Linealmente Independiente., espacios propios

80 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Observación: El número de vectores de cualquier base de un espacio vectorial es el mismo. De nition Al número de vectores de una base cualquiera de un espacio vectorial se le llama la dimensión del espacio y si este número es nito, se dice que el espacio es de dimensión nita., espacios propios

81 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplos: La base de R n formada 82 por 3 los 2 vectores 3 unitarios >< fe 1, e 2,..., e n g = >:, ,..., 6 0 >= se le llama la >; base canónica de R n. de acuerdo a lo anterior, la dimensión de R n es n., espacios propios

82 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: La base canónica de los polinomios R n [x] es f1, x, x 2,..., x n g : Es evidente que cualquier polinomio se puede escribir como una combinación lineal de elementos de esta base y además es L.I., pues k 0 + k 1 x + k 2 x k n x n es el polinomio nulo solamente si k 0 = k 1 =... = k n = 0., espacios propios

83 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Cual de los siguientes conjuntos de vectores es una base de R 2?, espacios propios

84 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Cual de los siguientes conjuntos de vectores es una base de R 2? 1 1 a),. No son una base porque son L. D. (solo 1 1 generan la recta a 45 o que pasa por el origen), espacios propios

85 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Cual de los siguientes conjuntos de vectores es una base de R 2? 1 1 a),. No son una base porque son L. D. (solo 1 1 generan la recta a 45 o que pasa por el origen) b),,. No son una base pues son 3 vectores y la dimensión de R 2 es 2. (Generan a R 2 pero son L. D.), espacios propios

86 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal 82 < 16.- Veri car que el conjunto 4 : , , = 5 es una ; base de R Veri car que el conjunto f1, 1 + x, 1 + x + x 2 g es una base de R 2 [x], espacios propios

87 Subespacios asociados con matrices Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Dada una matriz A 2 R mn Existen 4 subespacios asociados a ella: El Espacio Fila de A (R A T): es el subespacio de R 1n generado por las las de A. El Espacio Columna de A (R A ): es el subespacio de R m1 generado por las columnas de A. El Núcleo o Espacio Nulo de A (N A ): es el subespacio de R n1 que consta de los vectores x 2 R n1 tales que Ax = 0. El Espacio Nulo Izquierdo de A (N A T): es el subespacio de R m1 que consta de los vectores x 2 R m1 tales que x T A = 0, o bien, A T x = 0., espacios propios

88 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal El espacio la de una matriz A se puede escribir como los vectores la y T 2 R 1n tales que y T = x T A, ya que este producto es una combinación lineal de las de A El espacio columna de una matriz A se puede escribir como los vectores columna y 2 R m1 tales que y = Ax, ya que este producto es una combinación lineal de columnas de A, espacios propios

89 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Escribir el producto Ax como 2 una 3 combinación 2 lineal 3 de x columnas de A, con x = 4 x 2 5, A = =) x x 1 + x 3 Ax = 4 x 2 + 2x 3 5 x 1 + x 3, espacios propios

90 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Escribir el producto Ax como 2 una 3 combinación 2 lineal 3 de x columnas de A, con x = 4 x 2 5, A = =) x Ax = 4 x 1 + x 3 x 2 + 2x 3 x 1 + x es decir, Ax = x x x , espacios propios

91 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Escribir el producto Ax como 2 una 3 combinación 2 lineal 3 de x columnas de A, con x = 4 x 2 5, A = =) x Ax = 4 x 1 + x 3 x 2 + 2x 3 x 1 + x es decir, Ax = x x x 3 4 es decir, Ax de ne el espacio generado por las columnas de A , espacios propios

92 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Encontrar una base del Espacio columna y del espacio nulo de la matriz del ejemplo anterior., espacios propios

93 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Encontrar una base del Espacio columna y del espacio nulo de la matriz del ejemplo anterior < = Solución: R A = span 4 0 5, 4 1 5, : ; 1 0 1, espacios propios

94 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Ejemplo: Encontrar una base del Espacio columna y del espacio nulo de la matriz del ejemplo anterior < = Solución: R A = span 4 0 5, 4 1 5, : ; Pero 82como3 sólo 2 dos 39columnas son L.I., por lo tanto, la base < 1 0 = es: 4 0 5, : ; 1 0, espacios propios

95 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Para 2 N A formamos 3 2 3el sistema 2 3Ax = 0: x x 2 5 = x 3 0, espacios propios

96 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Para 2 N A formamos 3 2 3el sistema 2 3Ax = 0: x x 2 5 = x 3 0 Que 2 en la forma 3 2 reducida 3 2por 3 las es: x x 2 5 = x 3 0, espacios propios

97 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Obtenemos: 82 x 1 = 3 x 3, x 2 = 9 2x 3, x 3 arbitrario, es decir, < x 3 = N A = 4 2x 3 5 j x : 3 2 R ;, x 3, espacios propios

98 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Obtenemos: 82 x 1 = 3 x 3, x 2 = 9 2x 3, x 3 arbitrario, es decir, < x 3 = N A = 4 2x 3 5 j x : 3 2 R ;, x es decir, N A es la recta generada por el vector 4 2 5, el 1 cual es la base buscada., espacios propios

99 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Tarea: Para la matriz A = , y el vector x = 4 escribir el producto x T A como una combinación lineal de las las de A Encontrar una base para el espacio la de A y una base para el espacio nulo izquierdo de A. x 1 x 2 x 3 3 5,, espacios propios

100 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Teorema fundamental del Algebra Lineal: Para cualquier matriz A 2 R mn se cumple lo siguiente: 1 rango de A = M dimensión de R A T = dimensión de R A T = r 2 dimensión de N A T = m r 3 dimensión de N A = n r, espacios propios

101 Subespacios Generación de subespacios. Independencia Lineal Bases y Dimensión Subespacios asociados a matrices Teorema Fundamental del Algebra Lineal Tarea: 20.- Veri car el teorema fundamental del álgebra lineal para la matriz A = , espacios propios

102 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At El problema de valores y vectores propios, también llamados valores y vectores característicos, eigen-valores y eigen-vectores, o autovalores y autovectores surge en diversos campos de aplicación del álgebra lineal, tales como: - Ecuaciones diferenciales - Estabilidad de sistemas lineales - Sistemas eléctricos (componentes simétricas) - Polos y ceros de funciones transferencia - Diagonalización de matrices, espacios propios

103 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At De nition Sea A 2 R nn una matriz cuadrada, se dice que el vector no nulo x 2 R n es un vector propio de A correspondiente al escalar λ llamado valor propio si se cumple que Ax = λx, espacios propios

104 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Observación: Para un vector x en general el producto Ax es otro vector con dirección completamente diferente a x, sin embargo, la de nición de vector propio pide que Ax vaya en la misma dirección de x: x 2 Ax λx x x 1, espacios propios

105 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At En otras palabras, de existir dichos vectores propios, serán aquellos vectores x a los que A no les cambia de dirección al premultiplicarlos., espacios propios

106 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At De la de nición, para que x sea un vector propio de A correspondiente al valor propio λ se requiere que Ax = λx Es decir, x debe satisfacer la ecuación: (λi A)x = 0 En otras palabras, x pertenece al Espacio Nulo de (λi A), espacios propios

107 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At De esta manera el problema de encontrar los valores y vectores propios de A se convierte en el problema de encontrar el espacio nulo de la matriz cuadrada (λi A). Como el espacio nulo de una matriz es un subespacio de R n al espacio nulo de (λi A) se le llama el subespacio propio de A y está formado por puros vectores propios de A., espacios propios

108 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Si la dimensión del espacio nulo de (λi A) es cero el único vector que contiene dicho espacio es el vector cero, el cual por de nición no es un vector propio. Por lo tanto, para que exista algún vector propio de A se requiere que la dimensión del espacio nulo de (λi A) sea diferente de cero, es decir, que la ecuación (λi A)x = 0 tenga una solución no nula, o bien, det(λi A) = 0, espacios propios

109 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At De nition Al determinante det(λi A) se le llama polinomio característico de A y a la ecuación det(λi A) = 0 se le llama ecuación característica de la matriz A. Dada una matriz A de n n, su polinomio característico es de grado n, la ecuación característica deberá tener hasta n soluciones para λ, es decir, habrá hasta n valores propios para cualquier matriz A de n n. Obsérvese que los valores propios pueden ser reales o complejos., espacios propios

110 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A = Solución: , espacios propios

111 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A = Solución: La ecuación característica es , espacios propios

112 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A = Solución: La ecuación característica es λ 4 5 det = 0 2 λ , espacios propios

113 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A = Solución: La ecuación característica es λ 4 5 det = 0 2 λ + 3 es decir, λ 2 λ 2 = (λ + 1)(λ 2) = , espacios propios

114 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Calcular los valores propios de la matriz A = Solución: La ecuación característica es λ 4 5 det = 0 2 λ + 3 es decir, λ 2 λ 2 = (λ + 1)(λ 2) = de donde obtenemos dos valores propios: λ 1 = 1, λ 2 = 2., espacios propios

115 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue:, espacios propios

116 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ 1 = 1 el sistema (λ 1 I A)x = 0 queda, espacios propios

117 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ 1 = 1 el sistema (λ 1 I A)x = 0 queda 5 5 x1 0 = x 2, espacios propios

118 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ 1 = 1 el sistema (λ 1 I A)x = 0 queda 5 5 x1 0 = x 2 de donde los vectores propios tienen la forma k 1 1 T, espacios propios

119 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ 1 = 1 el sistema (λ 1 I A)x = 0 queda 5 5 x1 0 = x 2 de donde los vectores propios tienen la forma k 1 Para λ 2 = 2 el sistema (λ 1 I A)x = 0 queda 1 T, espacios propios

120 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ 1 = 1 el sistema (λ 1 I A)x = 0 queda 5 5 x1 0 = x 2 de donde los vectores propios tienen la forma k 1 Para λ 2 = 2 el sistema (λ 1 I 2 5 x1 0 = x 2 A)x = 0 queda 1 T, espacios propios

121 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Ejemplo: Los vectores propios para la matriz anterior se pueden obtener como sigue: Para λ 1 = 1 el sistema (λ 1 I A)x = 0 queda 5 5 x1 0 = x 2 de donde los vectores propios tienen la forma k 1 Para λ 2 = 2 el sistema (λ 1 I 2 5 x1 0 = x 2 A)x = 0 queda de donde los vectores propios tienen la forma k 5 1 T 2 T, espacios propios

122 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Observación: como los vectores propios correspondientes a un valor propio dado no son únicos, se acostumbra obtener los vectores propios unitarios. Para el ejemplo anterior el vector propio unitario correspondiente al 1 valor propio λ 1 = 1 es p2 1, mientras que para el valor 1 1 propio λ 2, es p , espacios propios

123 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At La suma de los n valores propios de la matriz A es igual a su traza: traza(a) = λ 1 + λ λ n El producto de los n valores propios de la matriz A es igual a su determinante: det(a) = λ 1 λ 2...λ n. Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que det(a) = 0 si y solo si algún valor propio de A es cero. Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los valores de su diagonal., espacios propios

124 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Tarea: 21.- Calcula los valores propios y vectores propios unitarios 0 1 correspondientes para la matriz A =. Veri ca las dos 2 3 primeras propiedades anteriores., espacios propios

125 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Diagonalización De nition Dada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible T, a la operación T 1 AT se le llama transformación de similaridad y a la matriz B = T 1 AT se le llama matriz similar a la matriz A, espacios propios

126 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At La relación de similaridad entre dos matrices se dice que es una relación de equivalencia y cumple con las siguientes propiedades: 1 Propiedad re exiva: Una matriz A es similar a sí misma. 2 Propiedad simétrica: si A es similar a B entonces B es similar a A. 3 Propiedad transitiva: Si A es similar a B y B es similar a C, entonces A es similar a C. Otros ejemplos de relaciones de equivalencia son: La igualdad numérica, la semejanza de triángulos, el paralelismo entre líneas rectas, etc., espacios propios

127 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Tarea: 22.- Veri car las tres propiedades para la relación de similaridad entre matrices de nida como: A similar a B si B = T 1 AT 23.- Dar otro ejemplo de relación de equivalencia., espacios propios

128 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Otras propiedades: Las siguientes características de una matriz A no se alteran bajo una transformación de similaridad: el determinante la traza los valores y vectores propios, espacios propios

129 Diagonalización Solución de ecuaciones diferenciales lineales Cálculo de la matriz exponencial e At Tarea: Para las matrices A = y T = calcula B = T 1 AT. Veri ca las propiedades anteriores para A y B., espacios propios

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