Algebra Lineal Tarea No 22: Valores y vectores propios Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)

Transcripción

1 Algebra Lineal Tarea No : Valores y vectores propios a algunos problemas de la tarea (al 9 de junio de 04. Para la matriz A A Indique cuáles vectores son vectores propios: ( ( ( v, v, v 3 3 Recordemos la definición de vector propio:, v 4 ( 0 El vector v es un vector propio de la matriz A si A v es un múltiplo escalar del vector v. Es decir, si existe un escalar k tal que A v k v. Veamos si v es vector propio de A: ( ( 3 Av 3 Ahora veamos si Av 4 es un múltiplo de v 4 : Av 4 ( 4 k ( 0 por tanto, v 4 no es vector propio de A. Para realizar los cálculos en un ambiente de matrices, recordemos que resolver un SEL equivale a determinar si un vector es una combinación lineal de un conjunto de vectores. En particular, determinar si el vector b es un múltiplo escalar del vector a equivale determinar si b es una combinación lineal de a (la constante escalar es el coeficiente de la combinación lineal. Por tanto, determinar si b es un múltiplo escalar del vector a equivale a determinar si el sistema a b es consistente (la constante escalar es la solución del SEL. Los cálculos se realizan en la calculadora como se ilustra en la siguiente figura Ahora veamos si Av es un múltiplo de v : ( ( 3 Av 3 3 v 3 Por tanto, v sí es vector propio de A y está asociado al valor propio 3. Veamos si v es vector propio de A: ( ( 8 Av 3 7 Ahora veamos si Av es un múltiplo de v : ( ( 8 Av k 7 3 Por tanto, v no es vector propio de A. Veamos si v 3 es vector propio de A: ( ( Av 3 Ahora veamos si Av 3 es un múltiplo de v 3 : ( ( Av 3 Por tanto, v 3 sí es un vector propio de A y está asociado al valor propio -. Veamos si v 4 es vector propio de A: ( ( 0 4 Av 4. Indique cuáles de los siguientes valores λ, λ, λ 3, λ 4 son valores propios de la matriz A: A Recordemos la definición de valor propio:

2 Ma09, Tarea No : Valores y vectores propios λ es valor propio de la matriz A si existe un vector x diferente de cero tal que: Es decir, si A x λx (A λ I x A x λi x A x λ x 0 no tiene solución única (tiene soluciones infinitas. Veamos si λ 4 es valor propio de A: 5 ( 3 0 A λ 4 I ( Ninguna variable libre; por tanto, λ 4 no es valor propio de A. En la siguiente figura se ilustran algunos de los cálculos anteriores. Veamos si λ es valor propio de A: formamos la aumentada 5 ( 3 0 A λ, I ( 0 y al reducir obtenemos A λ I 0 rref / 0 Como el sistema tiene una variable libre, el sistema tiene infinitas soluciones: por tanto además de la solución x 0, existen muchos vectores x diferentes del vector cero tales que Ax λ x. Por tanto, λ sí es valor propio de la matriz A. De hecho, podemos encontrar la solución general al sistema anterior: { / 0 x / y {x /y 0 y y Por tanto, todos los vectores propios asociados a λ se obtienen: ( / x y, con y 0 Veamos si λ es valor propio de A: 5 ( 3 0 A λ I ( Como el sistema tiene solución única x 0, por tanto no existe un vector diferente de cero x que cumpla A x λ x. Por tanto, λ no es un vector propio de A. La regla es : λ es valor propio de A si y sólo si al reducir A λ I 0 se tiene al menos una variable libre. Veamos si λ 3 es valor propio de A: 5 ( 3 0 A λ 3 I ( Los vectores son vectores propios de la matriz A Una variable libre; por tanto, λ 3 sí es valor propio de A. Dé en orden los valores propios a los cuales corresponden.

3 Ma09, Tarea No : Valores y vectores propios 3 El valor propio λ al cual está asociado el vector propio v de la matriz A es el escalar que cumple A v λ v es decir, es la solución al SEL v A v. Por consiguiente, para determinar el valor propio al cual está asociado v : v A v rref por consiguiente, v está asociado al valor propio λ 6 de la matriz A. obtener a mano polinomios característicos es una tarea muy laboriosa: si calcular el determinante de una matriz con escalares lo era, cuando la matriz tiene expresiones algebraicas lo es aún más. Si ustede quiere efectuarlos a mano recuerde Para matrices se tiene la fórmula directa ( a b det a d c b c d Para matrices 3 3 se utiliza la regla de Sarrus o llamada a veces el método de lluvia. Para matrices de dimensión mayores, se recomienda utilizar operaciones elementales de renglón para convertir la matriz en una matriz escalonada donde el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Se debe recordar que: Si A Ri Rj B entonces det(a det(b. Y que si A entonces det(a det(b. Ri Ri+c Rj B Obtener el polinomio característico en un ambiente simbólico es un proceso sencillo. La siguiente figura ilustra el cálculo en la TI. 4. Determine el polinomio característico de la matriz 3 0 A Dé, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De ser necesario reporte ceros en los términos faltantes. El polinomio característico de la matriz A se define como p A (t det (A t I Para completar nuestra solución, nos piden la lista de los coeficientes de la variable de mayor expoenente a menor:, 6 8, 0 5. El valor λ 4 es un valor propio de la matriz A Cuáles son su dimensiones geométrica y algebraica? Recuerde que

4 Ma09, Tarea No : Valores y vectores propios 4 La dimensión algebraica del valor propio λ de la matriz A, es el número de veces que aparece repetida λ como raíz del polinomio característico de A. Para determinar la dimensión algebraica de λ 4 como valor propio de A debemos ver cuántas veces es raíz del polinomio característico de A, p p A (t. Este es un proceso algebraico que para hacerlo a mano requiere tener primero el polinomio característico y luego aplicar repetidamente el método de división sintética o regla de Ruffini para verificar si el residuo es cero. En nuestro caso, utilizaremos la calculadora para determinar cuántas veces es raíz de p. el comando permite sustituir en la TI. Habiendo verificado que sea raíz (es decir, obteniendo un cero en la sustitución la quitaremos una vez eliminando el factor (t λ del polinomio. En la siguiente figura se ilustra el cálculo. La dimensión geométrica del valor propio λ de la matriz A es la dimensión del espacio nulo de la matriz A λ I. En términos prácticos, el número de variables libres de la escalonada o reducida de A λ I. Determinar la dimensión geomética de λ 4 como valor propio de A se vuelve un proceso directo. La siguiente figura ilustra el cálculo en la TI. Como queda una variable libre en la reducida de A ( 4 I 0 rref concluimos que λ 4 tiene dimensión geométrica como valor propio de la matriz A En la primera evaluación obtenemos un cero: esto nos dice que es por lo menos una vez raíz de p. La eliminamos como raíz y verificamos si se mantiene como raíz. Al obtener un segundo cero, indica que es por lo menos dos veces raíz de p. Nuevamente, cancelamos el factor y evaluamos el polinomio resultante: obtenemos un valor diferente de cero. Se concluye que λ 4 es dos veces raíz del polinomio característico: es decir, que tiene dimensión algebraica como valor propio de la matriz A. 6. El valor λ 4 es un valor propio de la matriz A Cuál es su dimensión geométrica? A B C 3

5 Ma09, Tarea No : Valores y vectores propios 5 El polinomio característico de la matriz A es p A (t det (A t I t t 64 t + 96 y sus raíces son: λ 4, λ 4 y λ 3 6. Es decir que λ 4 es un valor propio de multiplicidad algebraica. Para calcular la dimensión geométrica determinemos la dimensión del conjunto de soluciones al sistema A x 4 x; para ello determinemos el número de variables libres en el sistema A 4 I 0: A 4 I 0 rref Habiendo una columan sin pivote a la izquierda, concluimos que hay una variable libre; por lo tanto, la dimensión geométrica del valor propio λ 4 de A es