Definición A.1 (Matrices) Una matriz A es un ordenamiento regular de escalares (recordemos, a 11 a a 1n a 21 a 22...

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1 Anexo A Introducción a las Matrices A Definiciones y teoría básicas Los elementos de las matrices que aparecen en este curso son números o funciones Los designaremos con el apelativo común de escalares Definición A (Matrices Una matriz A es un ordenamiento regular de escalares (recordemos, números o funciones: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a m a m2 a mn Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que su tamaño es m por n (se escribe m n Una matriz n n se llama matriz cuadrada de orden n El término a ij representa el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna de una matriz A de tamaño m n; con ello, una matriz A, m n, se escribe en la forma A = (a ij m n, o simplemente A = (a ij Una matriz A,, es sólo un escalar (un número o una función 93

2 94 Introducción a las Matrices Definición A2 (Igualdad de matrices Dos matrices m n, A y B, son iguales si a ij = b ij para toda i y j Definición A3 (Matriz columna Una matriz columna X es cualquier matriz con n filas y una columna: x x 2 X = = (x i n x n Una matriz columna se llama también vector columna o simplemente vector Definición A4 (Producto de matrices por escalares Si k es un escalar y A una matriz m n, el producto de k por A es una nueva matriz que se define de la siguiente manera: ka ka 2 ka n ka 2 ka 22 a k2n ka = = (ka ij m n, ka m ka m2 a kmn en donde k es un escalar; es decir, un número o una función Ejemplo Productos de matrices por escalares a 5 b e t = = e t 2e t 4e t Es de notar que para toda matriz A, el producto ka es igual al producto Ak, por ejemplo, ( ( ( 2 2e e 3t 3t 2 = 5 5e 3t = e 3t 5 Definición A5 (Suma de matrices La suma de dos matrices m n, A y B, se define como la matriz A + B = (a ij + b ij m n En otras palabras, para sumar dos matrices del mismo tamaño, se suman los elementos correspondientes

3 A Definiciones y teoría básicas 95 Ejemplo 2 Suma de matrices La suma de A = A + B = y B = ( ( = es Ejemplo 3 Matriz expresada en forma de suma de matrices columna La matriz 3t 2 2e t t 2 + 7t 5t 3t 2 2e t t 2 + 7t 5t = 3t 2 t 2 se puede expresar como la suma de tres vectores columna: + 7t 5t + 2e t = 3 t t + La diferencia de dos matrices m n se define en la forma acostumbrada: A B = A + ( B, en donde B = ( B 2 e t Definición A6 (Multiplicación de matrices Sea A una matriz con m filas y n columnas, y B otra con n filas y p columnas El producto AB se define como la siguiente matriz n m p cuyo elemento en la posición (i, j es a ik b kj Es decir, = AB = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn k= b b 2 b p b 2 b 22 b 2p b n b n2 b np = a b + a 2 b a n b n a b p + a 2 b 2p + + a n b np a 2 b + a 22 b a 2n b n a 2 b p + a 22 b 2p + + a 2n b np a m b + a m2 b a mn b n a m b p + a m2 b 2p + + a mn b np ( n = a ik b kj (m p k=

4 96 Introducción a las Matrices Obsérvese con detenimiento la Definición A6 El producto AB = C sólo está definido cuando el número de columnas en la matriz A es igual al número de filas en B El tamaño del producto se puede determinar con A m n B n p = C m p Se debe observar también que los elementos de la i-ésima fila de la matriz producto AB se forman aplicando la definición del producto escalar de la i-ésima fila de A por cada una de las columnas de B En efecto, recordemos que dado dos vectores de n componentes: a = (a, a 2,, a n y b = (b, b 2,, b n, el producto escalar de a por b se define como a b = a b + a 2 b a n b n Así, el elemento de la posición (i, j de AB es a i b j, siendo a i la i-ésima fila de A y b j la j-ésima columna de B Ejemplo 4 Multiplicación de matrices a Si A = b Si A = ( ( 9 2 y B = 6 8 AB = y B = AB =, ( ( ( ( 4 3 2, 5 ( ( ( ( ( ( = ( = En general, la multiplicación de matrices no ( es conmutativa; esto es, AB BA En la 3 53 parte a del Ejémplo 4 obsérvese que BA =, mientras que en la parte b el producto BA no está definido porque en la Definición A6 se pide que el número de filas de la primera matriz, en este caso B, sea el mismo número que el número de columnas de la segunda, en este caso A Cosa que no sucede en el el caso b del Ejemplo 4 Nos interesa mucho el producto de una matriz cuadrada por un vector columna Ejemplo 5 Multiplicación de matrices y vectores El producto de una matriz A, m n, y un vector columna b, n, es un vector ciolumna Ab de tamaño m Así, por ejemplo

5 A Definiciones y teoría básicas 97 a b ( ( x y = = ( 4x + 2y 3x + 8y 2 ( 3 + ( ( ( 3 + ( = 44 9 La matriz Identidad Para un entero positivo n, la matriz n n I n = es la matriz identidad Según la Definición A6, para toda matriz A,n n, AI n = I n A = A También se comprueba con facilidad que si X es una matriz columna n, entonces I n X = X La matriz Cero Una matriz,m n, formada cuyos elementos son todos el número cero se llama matriz cero y se representa con m n ; por ejemplo, ( ( 2 =, 2 2 =, 3 2 = y así sucesivamente Cuando el tamaño de la matriz cero se puede deducir por el contexto, o cuando se ha dado explíictamente con anterioridad, se suele prescrindir del subíndice que indica el tamaño y se ecribe simplemente Por ejemplo, si A y son matrices de m n, entonces A + = + A = A Propiedad asociativa Aunque no lo demostraremos, la multiplicación matricial es asociativa Si A es una matriz m p, B una matriz p r y C una matriz r n, entonces A(BC = (ABC es una matriz de m n El paréntesis indica la prioridad en la operación Así, A(BC significa que multiplicamos primero B y C y entonces hacemos el producto de A por el resultado obtenido al multiplicar B y C Nótese que la asociatividad indica que independeinetmente de la prioridad en las operaciones, el resultado es el mismo

6 98 Introducción a las Matrices Propiedad distributiva Si todos los productos están definidos, la multiplicación es distributiva respecto la suma: A(B + C = AB + AC y (B + CA = BA + CA Determinante de una matriz Con toda matriz cuadrada A, hay un número asociado llamado determinante de la matriz que se representa mediante det A La fórmula general para calcular el determinate de la matriz cuadrada A de orden n es a σ( a 2σ(2 a nσ(n σ donde el sumatorio está extendido a las n! permutaciones σ de los números (, 2,, n Así, si n = 3, las 3! = 6 permutaciones posibles de (, 2, 3 son: (, 2, 3, (, 3, 2, (2,, 3, (2, 3,, (3,, 2 y (3, 2, Por lo tanto, si A es 3 3 entonces det A = a a 22 a 23 + a a 23 a 32 + a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 + a 3 a 22 a 3 Por lo general para matrices cuadradas de tamaño grande el cálculo del determinante es una labor costosa cuando se hace a mano y el uso de ordenadores es aconsejable Los métodos ideados para el cálculo de determinantes mediante ordenadores (métodos numéricos no se basan en la definición, sino en ciertas propiedades de las matrices En este curso sólo habrá que calcular determinantes de matrices de tamaño 3 a lo más Para ello la fórmula de más arriba es suficiente No obstante, hay una fórmula que permite reducir el cálculo del determinante de una matriz n n a la suma de n determinantes de matrices de tamaño (n (n Es la fórmula conocida como desarrollo del determinante por los elementos de una fila y que se debe, aunque con una formulación mucho más general, a Laplace: det A = a i A i + a i2 A i2 + + a in A in en donde A ij = ( i+j det Ãij y Ãij es la matriz que se obtiene de A al quitar la i-ésima fila y la j-esima columna Ejemplo 6 Determinante de una matriz cuadrada Así, si A = det A = det , y desarrollamos det A por los elementos de la primera fila: = 3 det ( ( 2 6 det 4 = 3(2 2 6( (4 + 5 = 8 ( det 2 Si A tiene uns fila (o columna con muchos elementos cero, por nuestra comodidad debemos desarrollar ese determinante por los elementos de esa fila (o columna

7 A Definiciones y teoría básicas 99 Definición A7 (Rango de una matriz - Se define el rango de una matriz A, m n, como el tamaño de la mayor submatriz cuadrada de A con determinante distinto de cero El cálculo del rango de una matriz es una tarea muy costosa cuando se quiere utilizar esta definición De hecho, casi nunca se utiliza Veremos que mediante operaciones elementales por filas se obtiene el rango de una matriz de una manera mucho más sencilla Hay que decir, no obstante, que para matrices muy grandes el cálculo del rango de una matriz es un problema muy complicado, en general Definición A8 (Transpuesta de una matriz La transpuesta de la matriz A = (a ij, m n, es la matriz A T n m representada por A T = a a 2 a m a 2 a 22 a m2 a n a 2n a mn En otras palabras, las filas de A se convierten en las columnas de su traspuesta, A T Ejemplo 7 Transpuesta de una matriz a La transpuesta de A = b Si X = es A T =, entonces X T = ( Definición A9 (Inversa de una matriz Sea A una matriz n n Si existe una matriz B n n tal que AB = BA = I n, en donde I n es la matriz identidad, entonces B es la inversa de A y se representa con B = A Definición A (Matrices no singulares y singulares Sea A una matriz n n Si det A, se dice que A es no singular Si det A =, entonces A es singular

8 2 Introducción a las Matrices El siguiente teorema especifica una condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada de números reales o complejos tenga inversa Teorema A (La no singularidad implica que A tiene una inversa Una matriz de números reales o complejos A n n tiene inversa A si y sólo si A es no singular El teorema que sigue describe un método para hallar la inversa de una matriz no singular Teorema A2 (Fórmula de la inversa de una matriz Sea A una matriz no singular n n, y sea, como más arriba, A ij = ( i+j M ij, donde M ij es el determinante de la matriz de (n (n obtenido al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de A Entonces A = det A (A ij T (A Cada A ij en el Teorema A2 es tan sólo el cofactor (o menor con signo del elemento a ij correspondiente a A Obsérvese que en la fórmula (A se utilizan las transpuesta Para una matriz 2 2 ( a a A = 2 a 2 a 22 se tiene A = a 22, A 2 = a 2, A 2 = a 2 y A 22 = a Entonces A = ( a22 a 2 det A a 2 a Para una matriz no singular 3 3 ( a22 a A = det 23 a 32 a 33 A = T = ( a22 a 2 det A a 2 a a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 ( a2 a, A 2 = det 23 a 3 a 33, etcétera Para calcuar la inversa, trasponemos y llegamos a A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 32 det A A 3 A 23 A 33 Ejemplo 8 Inversa de una matriz 2 2 ( a2 a, A 3 = det 22 a 3 a 32,

9 A Definiciones y teoría básicas 2 Vamos a calcular la inversa de A = ( 4 2 En primer lugar det A = 8 = 2, de modo que A es no singular y por el Teorema A2, A existe De acuerdo con (A, A = ( ( = ( 2 2 No toda matriz cuadrada tiene inversa La matriz A = es singular porque det A = 3 3 ; por consiguiente, A no existe Ejemplo 9 Inversa de una matriz 3 3 Calculemos la inversa de A = Puesto que det A = 2, la matriz dada es no singular Los cofactores correspondientes a los elementos de cada fila de A son ( ( ( 2 2 A = det = A 2 = det = 5 A 3 3 = det = 3 3 ( 2 A 2 = det ( 2 A 3 = det ( 2 = 2 A 22 = det 3 ( 2 = 2 A 32 = det 2 = 2 ( 2 2 A 23 = det 3 = 2 ( 2 2 A 3 = det 2 = 6 = 6 De acuerdo con (A A = = Se puede, y conviene, comprobar que, en efecto, A A = AA = I 3 Dado que la fórmula (A para hallar la inversa de una matriz se basa en el cálculo de determinantes, para hallar la inversa de matrices no singulares de tamaños grandes no se emplea, en la práctica este método Hay otros métodos mucho más eficaces, desde el punto de vista del cálculo, que tienen que ver con la factorización de matrices yq eu pueden

10 22 Introducción a las Matrices encontrarse en cualquier libro de Algebra Lineal Numérica No los discutiremos aquí porque el tamaño de nuestras matrices no será, en la práctica, nunca mayor que 3 Como nuestra meta es utilizar las matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, necesitaremos otras definiciones adicionales: Definición A3 (Derivada de una matriz de funciones Si A(t = (a ij (t es una matriz m n cuyos elementos son funciones diferenciables en un intervalo común, entonces se define la derivada de A(t como la matriz cuyos elementos son las derivadas de los elementos de A(t Es decir: ( da dt (t = daij dt (t (m n Definición A4 (Integral de una matriz de funciones Si A(t = (a ij (t es una matriz m n cuyos elementos son funciones continuas en un intervalo que contiene a t y a t, entonces la integral de A(t es una matriz cuyos elementos son las integrales de los elementos de A(t Es decir: t ( t A(sds = a ij (sds (m n t t En otras palabras, para derivar o integrar una matriz de funciones, tan sólo hay que derivar o integrar cada uno de sus elementos La derivada de una matriz también se representa con A (t Ejemplo Derivada o integral de una matriz Si entonces Y t X (t = X(xds = X(t = (sen 2t d dt d dt (e3t d dt (8t t t e3s ds t sen 2sds (8s ds sen 2t e 3t 8t = = 2 cos 2t 3e 3t 8 2 cos 2t e3t 3 4t 2 t

11 A2 Eliminación de Gauss-Jordan 23 A2 Eliminación de Gauss-Jordan Las matrices son una ayuda insustituible para resolver sistemas algebraicos de ecuaciones lineales Recordemos que éstos son de la forma: a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m (A2 donde m es el número de ecuaciones y n el de incógnitas Si A representa la matriz de los coeficientes en (A2, sabemos que se puede usar la regla de Cramer para resolver el sistema, siempre que m = n y det A Sin embargo, seguir esta regla es prácticamente imposible si el tamaño de A es mayor que 3 El procedimiento que describiremos tiene la ventaja de ser no sólo un método eficiente para manejar sistemas grandes, sino también un método para saber si el sistema (A2 es consistente (es decir, admite alguna solución, y, en su caso, hallar todas las soluciones Definición A5 (Matriz aumentada La matriz aumentada del sistema (A2 es la matriz de m (n + a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 a n a n2 a nn b n b b 2 Si B =, la matriz aumentada de (A2 se expresa como (A/B b m Operaciones elementales por filas Si multiplicamos una de las ecuaciones de un sistema algebraico por un número (distinto de cero, o si sumamos a una ecuación otra multiplicada por un número o si intercambiamos el orden en el que aparecen las ecuaciones, las soluciones del sistema obtenido y del original son las mismas Es decir, los sistemas son equivalentes Las matrices aumentadas de los sistemas obtenidos al realizar estos tres tipos de operaciones se dice que han sido obtenidas al realizar operaciones elementales por filas sobre la matriz aumentada del sistema original Así, las operaciones elementales por filas son las siguientes:

12 24 Introducción a las Matrices i Multiplicación de una fila por una constante distinta de cero ii Intercambio de dos filas cualesquiera iii Suma de un múltiplo constante, distinto de cero, de una fila a cualquier otra fila Métodos de eliminación Uno de los métodos que más utlizamos para resolver sistemas es el llamado método de eliminación (también es famoso el método de sustitución que a veces es útil para sistemas pequeños El método de eliminación consiste, precisamente, en realizar operaciones elementales por filas eligiendo las constantes con buen tino Cuando es aplicado directamente sobre la matriz aumentada del sistema se conoce con el nombre de método de eliminación de Gauss- Jordan Este método consiste en efectuar una sucesión de operaciones elementales por filas hasta llegar a una matriz aumentada que tenga la forma reducida de escalera por filas Ésta es una matriz que tiene la siguiente forma: i El primer elemento distinto de cero en cada fila es ii En las filas consecutivas distintas de cero, el primer elemento en la fila inferior aparece a la derecha del primer en la fila superior iii Las filas formadas únicamente por ceros están en la parte inferior de la matriz iv Una columna que contiene un primer elemento tiene ceros en todos los demás lugares Es decir, la forma de una matriz en forma reducida de escalera por filas sería como sigue: donde los elementos indicados con pueden ser cero o distintos de cero El número de filas que son distintas de cero es, precisamente, el rango de la matriz Ejemplo Forma de escalera por filas

13 A2 Eliminación de Gauss-Jordan 25 Las matrices aumentadas 2 están en la forma escalera por filas y ( En la eliminación de Gauss-Jordan nos detenemos una vez obtenida una matriz aumentada en su forma de escalera reducida por filas Cualesquiera que sean las operaciones que realicemos para llegar a la forma de escalera reducida produce siempre la misma forma reducida Una vez obtenida esta matriz la solución del sistema se obtiene de forma muy sencilla Los s significativos nos aislan unas cuantas incógnitas (tantas como filas distintas de cero haya en la forma reducida que pueden despejarse en función de las demás Enseguida veremos un ejemplo Para facilitar el trabajo introducimos la siguiente notaciuón: : Símbolo R ij cr i cr i + R j Significado Intercambio de las filas i y j Multiplicaión de la i-ésima fila por la constante c, distinta de cero Multiplicaión de la i-ésima fila por c y suma del resultado a la j-ésima fila Ejemplo 2 Solución por eliminación Resolvamos el sistema eliminación de Gauss-Jordan 2x + 6x 2 + x 3 = 7 x + 2x 2 x 3 = 5x + 7x 2 4x 3 = 9 SOLUCIÓN Efectuamos operaciones elementales por filas en la matriz aumentada del sistema para obtener R 2 R R 2+R 3 2R + R 2 5R + R R

14 26 Introducción a las Matrices 2R 2 +R R 3 + R 3 2 R 3 + R Esta matriz ya se encuentra en su forma reducida de escalera por filas El sistema correspondiente es x = x 2 = 3, x 3 = 5 de forma que la solcuión del sistema es x =, x 2 = 3 y x 3 = 5 Ejemplo 3 Eliminación de Gauss-Jordan Resuélvase x + 3y 2z = 7 4x + y + 3z = 5 2x 5y + 7z = 9 SOLUCIÓN Resolveremos este sistema con la eliminación de Gauss-Jordan: R + R 2 2R + R R 2 R R 2 + R R 2 + R 3 Esta es la forma reducida El sistema correspondiente es x + z = 2 y z = Por lo tanto el sistema dado de tres ecuaciones y tres incógnitas equivale a otro de dos ecuaciones y tres incógnitas La solución general del sistema será x = 2 z y = 3 + z Es decir, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones y todas las soluciones se obtienen dando a z valores arbitrarios

15 A3 El problema de los valores propios 27 Si el sistema original fuera x + 3y 2z = 7 4x + y + 3z = 5 2x 5y + 7z = 2 entonces la forma reducida de escalera por filas de la matriz ampliada sería: 2 3 y el sistema correspondiente x + z = 2 y z = 3 = Debido a la tercera ecuación este sistema no tiene solución Es decir el sistema es incompatible En conclusión, el método de eliminación de Gauss-Jordan nos proporciona una forma de conocer si un sistema algebraico de ecuaciones lineales tiene o no solución y, en su caso, todas las soluciones del sistema A3 El problema de los valores propios La resolución analítica de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa en la búsqueda de vectores y valores propios de la matriz del sistema Para sistemas de dimensión pequeña (a lo más 3 la forma más sencilla y rápida de calcular los valores propios es obteniendo las raíces del polinomio característico de la matriz Para sistemas de dimensión mayor que 3 (y muy especialmente, por motivos que sería largo y complicado de explicar, para sistemas de dimensión 5 o más el uso de programas apropiados de ordenador puede ser el único modo de calcular los valores propios de una matriz Una vez obtenidos éstos por el método que sea, la eliminación de Gauss-Jordan sirve para hallar los vectores propios Definición A6 (Valores propios y vectores propios Sea A una matriz n n Se dice que un número λ es un valor propio de A si existe un vector solución v, no cero, del sistema lineal Av = λv (A3 El vector solución v se dice que es un vector propio de A correspondiente al valor propio λ

16 28 Introducción a las Matrices El término híbrído eigenvalor se usa como traducción de la palabra alemana eigenwert que significa valor propio A los valores propios y vectores propios se les llama también valores característicos y vectores característicos, respectivamente Ejemplo 4 Vector propio de una matriz Compruébese que v = es un vector propio de la matriz A = En efecto, al multiplicar Av obtenemos 3 Av = = = ( 2 = ( 2v Por lo tanto Av = ( 2v con lo que 2 es valor propio de A y v vector propio correspondiente al valor propio 2 Si aplicamos las propiedades del álgebra de matrices, podemos expresar la ecuación (A3 en la forma alternativa λv Av = y también (λi n Av = en donde I n es la matriz identidad Si escribimos v en función de sus componentes: v v 2 v =, v n (A4 la ecuación (A4 equivale a (λ a v a 2 v 2 a n v n = a 2 v + (λ a 22 v 2 a 2n v n = a n v a n2 v 2 + (λ a mn v n = (A5

17 A3 El problema de los valores propios 29 Una vez conocido el valor propio λ, el sistema (A5 es un sistema algebraico lineal homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas Es homogéneo porque los términos independientes son todos iguales a cero (es decir, b i =, i =, 2,, n en (A2, y las incógnitas son las componentes de un vector propio correspondiente al valor propio λ Por ser un sistema homogéneo hay siempre un solución obvia (o trivial: v = v 2 = = v n = Pero para que v sea un vector propio, por definición, debe ser distinto de cero Así pues, la solución trivial no nos sirve Ahora bien, se sabe que un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una solución no trivial si y sólo si, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero Así, para hallar una solución v distinta de cero de la ecuación (A5 se debe cumplir det (λi n A = (A6 Al examinar (A6 se ve que el desarrollo del det (λi n A por cofactores da un polinomio de grado n en λ La ecuación (A6 se llama ecuación característica de A Así los valores propios de A son las raíces de la ecuación característica Para hallar un vector propio que corresponda al valor propio λ, se resuelve el sistema de ecuaciones (λi n A v =, aplicando la eliminación de Gauss-Jordan a la matriz aumentada (λi n A n Unos ejemplos pueden servir para clarificar estos conceptos Ejemplo 5 Valores propios y vectores propios Determínense los valores y hállese un vector propio para cada valor propio de 2 A = 6 2 SOLUCIÓN Calculamos el determinante para encontrar la ecuación característica (podemos hacerlo, por ejemplo, usamos los cofacotres de la segunda fila: λ 2 det (λi 3 A = det 6 λ + = λ 3 + λ 2 2λ = 2 λ + Puesto que λ 3 + λ 2 2λ = λ (λ + 4 (λ 3 =, los valores propios son λ =, λ 2 = 4 y λ 3 = 3 Para hallar los vectores propios debemos aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan a (λi 3 A con cada uno de los tres valores propios calculados

18 2 Introducción a las Matrices Para λ =, (I 3 A = R 2 R R 2+R 6R + R 2 R + R Así, el sistema es compatible (debía serlo porque ya hemos visto que det(i 3 A = y tiene infinitas soluciones El método de Gauss-Jordan nos indica que se pueden despejar las incógnitas v y v 2 en función de v 3 Es decir, las soluciones son: v = 3 v 3 y v 2 = 6 3 v 3 La infinitas soluciones del sistema se obtienen dando valores distintos a v 3 Como se nos pide encontrar un vector propio damos a v 3 un valor cualquiera En efecto, cualquier valor de v 3 valdría para obtener un vector propio, pero si queremos que las componentes de este vector sean números enteros podemos escoger v 3 = 3 Así un vector porpio sería: v = 6 3 Procedemos de la misma forma con λ 2 = 4, ( 4I 3 A = R R + R 2 5R + R R 2 La solución general del sistema será: v = v 3 y v 2 = 2v 3 2R 2 + R 8R 2 + R 3 2 Eligiendo v 3 = se obtiene un vector propio correspondiente al valor propio λ 2 = 4: v 2 = 2

19 A3 El problema de los valores propios 2 Por último, cuando λ 3 = 3, la eliminación de Gauss-Jordan da (3I A = operaciones por filas 3 2 Así v = v 3 y v 2 = 3 2 v 3 Escogiendo v 3 = 2 obtenemos un vector propio asociado al valor propio λ = 3: v 3 = Cuando una matriz A de tamaño n n tiene n valores propios distintos, λ, λ 2,, λ n, se puede demostrar que se puede obtener un conjunto de n vectores propios linealmente independientes v, v 2,, v n ; cada uno correspondiente a un valor propio (Que n vectores v, v 2,, v n sean linealmente independientes significa que la única forma de que la suma α v + α 2 v 2 + ( + α n v n sea el vector ( cero es cuando α = α 2 = = α n = Por ejemplo, 2 los vectores v = y v 2 = no son linealmente indepencientes porque además de ( 2 ( ( ( v + v 2 = también 2v + v 2 = Sin embargo,v = y v 2 = si ( son linealmente independientes porque la única forma en que α v + α 2 v 2 = es que α = α 2 = Cuando la ecuación característica tiene raíces repetidas, quizá no sea posible hallar n vectores propios de A linealmente independientes El siguiente ejemplo muestra esta situación Ejemplo 6 Valores propios y vectores propios repetidos Determínense los valores propios y vectores propios de ( 3 4 A = 7 SOLUCIÓN

20 22 Introducción a las Matrices Partimos de la ecuación característica ( λ 3 4 det (λi 2 A = det = λ 2 λ + 25 = (λ 5 2 = λ 7 y vemos que λ = λ 2 = 5 es un valor propio de multiplicidad dos En el caso de una matriz 2 2, no es necesario la eliminación de Gauss-Jordan, se pueden obtener las soluciones mediante inspección directa En este caso, para determinar un vector propio correspondiente a λ = 5, recurriremos al sistema (5I 2 A, en su forma equivalente 2v + 4v 2 = v + 2v 2 = De aquí se deduce que v = 2v 2 De modo que todos los vectores propios correspondientes al valor propio λ = 5 tienen la siguiente forma ( 2v2 v = con v 2 Y no podemos encontrar dos vectores propios linealmente independientes En efecto, si ( ( 2v2 2v v = y v = 2 v 2 v 2 con v 2 v 2 y ambos distintos de cero, entonces v 2v v 2 v = Es decir, hay números α y α 2 distintos de cero tales que α v + α 2 v =, lo que significa que v y v no son linealmente independientes En particular, si escogemos v 2 =, obtenemos un vector propio: ( 2 v = v 2 El siguiente y último ejemplo nos muestra que también puede suceder que haya dos vectores propios linealmente independientes correspondientes a un valor propio repetido Ejemplo 7 Valores propios y vectores propios repetidos Hállense los valores propios y vectores propios de 9 A = 9 9

21 A3 El problema de los valores propios 23 SOLUCIÓN La ecuación característica det (λi 3 A = det λ 9 λ 9 λ 9 = (λ (λ 8 2 = indica que λ = es un valor propio simple (de multiplicidad y λ 2 = λ 3 = 8 es un valor propio de multiplicidad dos Para λ =, la eliminación de Gauss-Jordan da (I 3 A = operaciones por filas Por consiguiente, v = v 3 y v 2 = v 3 Si v 3 =, v = es un vector propio correspondiente al valor propio λ = Cuando λ 2 = 8, (8I 3 A = operaciones por filas En la ecuación v + v 2 + v 3 = podemos despejar una de las incógnitas en función de las otras dos Así, por ejemplo v = v 2 v 3 Podríamos decir que tenemos 2 grados de libertad: dando valores a v 2 y v 3 podemos conseguir dos vectores solución que sean linealmente independientes Por ejemplo, si por una parte optamos por v 2 = y v 3 = y, por otra v 2 = y v 3 =, tenemos que v 2 = son vectores linealmente independientes y v 3 =

22 24 Introducción a las Matrices