Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 4: Diagonalización de matrices. Curso

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1 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e Industrial Esp en Hidrología Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4: Diagonaliación de matrices Curso 8-9 Introducción En este tema analiaremos el concepto de matri diagonaliable, su aplicación al álgebra matricial Autovalores autovectores Sea A M n R, una matri cuadrada Decimos que λ R es un autovalor o valor propio de A si existe un vector columna v tal que A v λv El vector v se llama autovector o vector propio asociado al autovalor λ El conjunto de todos los autovectores asociados a un mismo autovalor se llama autoespacio o subespacio propio, se denota por V λ Ejemplo λ es autovalor de la matri A A v, con autovector asociado v v Pero v no es el único autovector asociado a λ Si t R, el vector v t autovector asociado al mismo autovalor: A v t t t De hecho, el autoespacio correspondiente a λ es { V t λ es autovector de A v x, debe verificarse que A v t t }, t R v t En efecto: t t también es un Calculemos los correspondientes autovectores Si x x v es decir x + x

2 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja Resolviendo el sistema se obtiene que x, pero no ha ninguna condición para Por tanto, los autovectores son de la forma Es decir, V, R El conjunto de autovalores de la matri A se llama espectro de A se denota por σa En lo que sigue aprenderemos la técnica necesaria para averiguar si una matri cuadrada posee, en su caso cuántos, autovalores, así como su correspondiente cálculo Comenamos haciendo notar que el hecho de que una matri A M n R posea autovalores autovectores depende de la existencia de soluciones para la igualdad Av λv Pero esta igualdad es equivalente a A λiv, es decir A a λ a a n a a λ a n a n a n a nn λ Este sistema es homogéneo, por lo que para que tenga solución distinta de la trivial v es necesario suficiente que el determinante de la matri del sistema sea cero a λ a a n A a a λ a n a n a n a nn λ El desarrollo del determinante anterior genera un polinomio en λ de grado n, el cual se denota por pλ deta λi, se denomina polinomio característico de la matri A Por lo tanto una matri cuadrada de orden n tiene n autovalores que coinciden con los ceros de su polinomio característico, siempre cuando admitamos que puedan ser complejos los contemos teniendo en cuenta su multiplicidad v v v n Ejemplos Obtener los autovalores autovectores de las matrices siguientes λ A A λi, por lo que el polinomio característico será λ pλ λ λ λ λ 4λ + Los autovalores son las soluciones de λ 4λ+, es decir λ λ, lo que implica que el espectro de A es σa {, } Pasemos ahora a calcular los autovectores

3 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja λ Los autovectores v x son soluciones del sistema x x o lo que es lo mismo { x + x + { de donde obtenemos que x, por lo tanto V x }, x R λ x Al igual que antes, los autovectores v son soluciones del sistema x x es decir { x + x { } luego x, por lo que V x, x R λ A A λi λ λ pλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ + lo que implica que el espectro de A es σa {,, } Pasemos ahora a calcular los autovectores λ Ya vimos en los primeros ejemplos del tema que V, R λ x las soluciones del último sistema son de la forma, x, por lo que V x, x R

4 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja 4 λ por lo que V x + x, R x, Hacemos notar que una matri cuadrada con elementos reales puede tener autovalores complejos nosotros no estudiaremos estos casos λ A A λi λ pλ λ λ λ + λ ±i Diagonaliación En esta sección nos ocuparemos de buscar, cuando sea posible, para una matri cuadrada A dada, otra matri diagonal del mismo orden que comparta con la matri de partida ciertas propiedades Comencemos definiendo el concepto de matrices equivalentes Dos matrices cuadradas A, B M n R se dicen equivalentes si existe una matri cuadrada P M n R con det P tal que A P B P Nótese que dos matrices equivalentes tienen el mismo determinante A P BP P B P B Diremos que una matri cuadrada A es diagonaliable, si es equivalente a una matri diagonal Es decir, existen dos matrices una de ellas diagonal, que denotamos por D, otra con determinante distinto de cero, que denotamos por P, ambas de igual oreden que A; verificándose que A P D P La matri P recibe el nombre de matri de paso, no es única Ejemplo La matri A es diagonaliable, a que es equivalente a la matri diagonal D con matri de paso P En efecto, P, además P DP

5 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja 5 Es conveniente tener una herramienta que nos permita averiguar si una matri dada es o no diagonaliable, en caso afirmativo poder calcular las correspondientes matrices D P Proposición Una matri cuadrada, de orden n, A es diagonaliable si es posible encontrar n autovectores linealmente independientes asociados a A Además estos autovectores colocados por columnas constituen la matri de paso P, la matri diagonal D está compuesta por los autovalores de A Este hecho está garantiado cuando todos los autovalores de A sean reales distintos Ejemplo A En efecto, se tiene P P DP D Vimos que σa {,, }, por tanto A es diagonaliable, con, P, además También podemos tomar como matri diagonal D,,, etc A pero en cada caso hemos de variar las columnas de P de forma que el orden en que aparecen los autovalores en D coincida con el orden de los correspondientes autovectores en P Las matrices P correspondientes a las anteriores serían,, etc Cuando la matri A tenga autovalores con multiplicidad maor que tendremos que comprobar que cada autovalor aporta igual número de autovectores linealmente independientes como su multiplicidad Ejemplos A Es fácil comprobar que σa {,, }, es decir que λ es un autovalor de multiplicidad, con lo que A será diagonaliable en caso de que este autovalor pueda aportar dos autovectores linealmente independientes Si tenemos en cuenta que son autovectores, liealmente independientes asociados a λ, bastará con tomar el autovector asociado a λ, para formar la matri de paso P tener como matri diagonal equivalente con A, D

6 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja 6 Es mu importante hacer notar que no toda matri es diagonaliable Sirva como ejemplo la matri, que tiene a λ como autovalor, de multiplicidad, el cual no puede aportar dos autovectores linealmente independientes 4 Potencias de matrices El cálculo de potencias de una matri cuadrada puede convertirse en algo pesado largo deefectuar Este no es el caso cuando se trata de matrices diagonales Si tomamos, por ejemplo, la matri D a b, c tenemos entonces que a a a D b b b c c c al igual que D D D a b c a b c de hecho se puede demostrar que en general, si n N: a n D n b n c n a b c Vamos a aprovechar la sencille en el cálculo de potencias de matrices diagonales, para simplificar el cálculo de potencias de matrices diagonaliables Sea A P DP Entonces A P DP P DP P D P, A A A P D P P DP, en general A n P D n P Ejemplo Volavamos nuevamente a la matri A por tanto Por ejemplo: A n A P DP n A Sabemos que n + n n n +

7 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja 7 4 Aplicaciones de la diagonaliación Tenemos una viga que está inicialmente deteriorada en un 5% Mediante un proceso catalítico, se consigue que mensualmente se recupere un 4% de la ona deteriorada, aunque se sigue deteriorando un % de la ona sana Cuál es la situación a los meses? Y al cabo de mucho tiempo? Llamemos x n, n a la cantidad de ona sana deteriorada, respectivamente, en el mes n de forma que x n + n total de la viga Entonces: { xn+ 8x n + 4 n n+ x n + 6 n siendo x 75L, 5L, L es el total de la viga longitud, masa, volumen o lo que queramos Usando notación matricial, podemos escribir xn+ 8 4 xn 4 xn n+ 6 n n Si denotamos v n xn n 4, A, podemos escribir que: v n+ n A n v Por tanto, necesitamos conocer las potencias de A, para ello vamos a diagonaliar 4 λ λ λ 7λ + λ ó λ 5 luego σa {, 5} λ x luego podemos tomar como autovector λ 5 { x + x + x x el autovector elegido puede ser Es decir D 5 A n P n 5 n { x + x Teniendo en cuenta que P n + 5 n 5 n n x 5n n 5 n + n, tendremos

8 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja 8 Por lo tanto n xn+ n+ n + 5 n 5 n n 5n n 5 n + n 75L n n 5 + 5n L 5L 5n 5 n L Es decir x n+ n n 5 + 5n L n+ n 5n 5 n L Dado que 5 x n+ [ n ] L n+ [ 5 n ] 5 L Al sustituir n en las últimas igualdades, se obtiene que a los tres meses la cantidad deteriorada de la viga es L, es decir, un % Mientras que para saber la situación después de meses, bastará con sustituir n 9; obteniéndose L, es decir, un % Si queremos conjeturar qué va a ocurrir a largo plao, debemos hacer tender n, con lo que lim x n+ n L ; lim n+ n L Luego, concluimos que con el paso del tiempo como mucho podremmos recuperar las dos terceras partes de la viga 5 Ejercicios Determinar los autovalores los correspondientes autovectores de las siguientes matrices 4 4 a b c d e 5 4 f g h i En el ejercicio anterior, diagonaliar en los casos en que sea posible Hallar los autovalores autovectores de la matri 4 Dada la matri A j , calcular la potencia enésima A n diagonaliar

9 Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja 9 5 Hallar la potencia enésima de la matri a a 6 Dada la matri A, calcular sus autovalores, autovectores A n, siendo a un número real, 7 Dada la matri A, a Calcular los autovalores de A, A A Qué relación ha entre ellos? b Calcular los autovalores de A A Qué observas? 8 El teorema de Cale-Hamilton dice que toda matri cuadrada A satisface su propia ecuación característica Comprobarlo en el caso particular de la matri 4 A Calcular A, A A 4 utiliando dicho resultado 9 Sea pλ el polinomio característico de la matri A 4 4 Demostrar que pa La interacción entre las lechuas las ratas, en un bosque, se puede modeliar mediante la ecuación en diferencias L k+ L k + 4 R k R k+ L k R k donde L k es la cantidad de lechuas en el mes k R k la cantidad de ratas en miles en el mes k Calcular la población de lechuas ratas en cada mes k, sabiendo que L 5 R 4 Un método para estimar los autovalores de una matri es el siguiente: elegimos un vector inicial v, de forma que la maor de sus componentes en valor absoluto sea Calculamos Av, tomamos µ como la maor de las componentes de Av en valor absoluto Ponemos v /µ Av, repetimos el procedimiento Con ello construimos sucesiones {µ k } {v k } Se puede probar entonces que µ k tiende al maor autovalor de A, mientras que v k tiende a un autovector asociado Usar este algoritmo para calcular usando MAPLE por ejemplo el maor autovalor de las matrices: A B, 6 7 tomando v