AP = A p 1 p 2 p n = Ap 1 Ap 2. λ 1 p 21 λ 2 p 22 λ n p 2n. .. = λ 1 p 1 λ 2 p 2

Transcripción

1 Capítulo 6 Diagonalización 6 Valores y vectores propios 6 Planteamiento del problema Problema general de diagonalización Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial V, nos planteamos el problema de cuándo es posible encontrar una base de V respecto de la cuál la matriz de f sea diagonal Si A es la matriz del operador f con respecto a una determinada base B, el planteamiento anterior es equivalente a preguntarse cuándo existe un cambio de base tal que la matriz del operador en la nueva base B sea diagonal Esa nueva matriz viene dada por P AP, donde P es la matriz de paso de la nueva base B a la base B (Teorema de Semejanza Problema de la diagonalización ortogonal Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial V con producto interior, nos planteamos el problema de cuándo es posible encontrar una base ortonormal de V respecto de la cuál la matriz de f sea diagonal Si V es un espacio con producto interior y las bases son ortonormales entonces se tendrá que P será ortogonal Podemos pues formular los dos problemas anteriores en términos de matrices - Dada una matriz cuadrada A, existe una matriz P inversible tal que P AP sea diagonal? 2- Dada una matriz cuadrada A, existe una matriz ortogonal P tal que P t AP sea diagonal? Definición 42- Se dice que una matriz A cuadrada es diagonalizable si existe una matriz P inversible tal que P AP es diagonal En ese caso se dice que P diagonaliza a la matriz A Si existe una matriz ortogonal P tal que P AP es diagonal, entonces se dice que A es diagonalizable ortogonalmente y que P diagonaliza ortogonalmente a A 62 Valores y vectores propios Supongamos que la matriz A n n es diagonalizable y sea D la matriz diagonal Entonces: P inversible tal que P AP = D o, equivalentemente, P inversible tal que AP = P D Si denotamos por p, p 2,, p n a las columnas de P, las matrices son ( ( AP = A p p 2 p n = Ap Ap 2 Ap n p p 2 p n λ 0 0 λ p λ 2 p 2 λ n p n p 2 p 22 p 2n 0 λ 2 0 P D = = λ p 2 λ 2 p 22 λ n p 2n ( = λ p λ 2 p 2 λ n p n p n p n2 p nn 0 0 λ n λ p n λ 2 p n2 λ n p nn y, como son iguales: Ap i = λ i p i, para todo i =,, n Es decir, han de existir n vectores linealmente independientes p i (P es inversible y n números λ i que lo verifiquen Definición 43- Si A es una matriz de orden n, diremos que λ es un valor propio, valor característico, eigenvalor o autovalor de A si existe algún p IR n, p 0, tal que Ap = λp Del vector p diremos que es un vector propio, vector característico, eigenvector o autovector de A correspondiente al valor propio λ

2 Matemáticas I 62 Diagonalización Del comentario anterior, obtenemos la primera caracterización para la diagonalización de la matriz: Teorema 44- Sea A una matriz de orden n, entonces: A es diagonalizable A tiene n vectores propios linealmente independientes Por lo anterior, se tiene que: A es una matriz diagonalizable P inversible y D diagonal tal que AP = P D P inversible y D diagonal tal que ( Ap Ap 2 Ap n AP = = ( λ p λ 2 p 2 λ n p n = P D existen n vectores linealmente independientes tales que Ap = λ p,, Ap n = λ n p n A tiene n vectores propios linealmente independientes En consecuencia, el problema de la diagonalización se reduce a la busqueda de los vectores propios de la matriz, y comprobar si de entre ellos pueden tomarse n linealmente independientes 62 Diagonalización La primera simplificación de la búsqueda se produce, no sobre los vectores propios, sino sobre los autovalores correspondientes: Teorema 4- Si A es una matriz de orden n, las siguientes proposiciones son equivalentes: a λ es un valor propio de A b El sistema de ecuaciones (λi Ax = 0 tiene soluciones distintas de la trivial c det(λi A = 0 λ es un valor propio de A existe un vector x IR n, x 0, tal que Ax = λx el sistema λx Ax = (λi Ax = 0 tiene soluciones distintas de la trivial λi A = 0 Definición 46- Sea A una matriz de orden n Al polinomio en λ de grado n, P(λ = λi A, se le denomina polinomio característico de la matriz A Si λ un valor propio { de A, llamaremos } espacio característico de A correspondiente a λ al conjunto V (λ = x : (λi Ax = 0 Es decir, V (λ es el conjunto formado por todos los vectores propios de A correspondientes a λ, más el vector cero Así pues, los autovalores son las raices del polinomio carácterístico y los vectores propios, los vectores distintos de cero del espacio característico asociado Observación: V (λ es un subespacio (es el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo y dim V (λ : si λ es valor propio de A, existe x 0 en V (λ, luego lin{x} V (λ y = dim(lin{x} dim V (λ Antes de seguir: en el estudio realizado hasta ahora, hemos buscado la diagonalización de matrices, separándolo del operador lineal que aparece en el planteamiento inicial del problema Sin embargo, todo lo anterior (y lo siguiente es válido y aplicable en los términos del operador Pueden verse los resultados que lo justifican en el Anexo Sigamos, con un ejemplo

3 6 Matemáticas I 62 Diagonalización Ejemplo- Sea A = λi A = los autovalores de A son las raices del polinomio 0 0 λ λ λ = (λ λ λ = (λ 2 (λ + 2 luego λ = y λ 2 = 2 Y sus espacios característicos V ( y V ( 2 serán, respectivamente las soluciones de los sistemas: 3 0 x 0 0 x (I A x = 0 0 y = 0 y (( 2I A x = 3 0 y = z z Como rg(i A = 2, la dim V ( = 3 2 = y rg(( 2I A = 2, la dim V ( 2 = 3 2 = Resolviendo ambos sistemas, V ( = {(0, y, 0 : y IR} = lin{(0,, 0} y V ( 2 = {( 3y, y, 0 : y IR} = lin{( 3,, 0} Como puede comprobarse, los vectores de V ( y V ( 2 verifican la condición A x = λx : t 6t 0 t = t = t 0 t = 2t = ( es decir, que todos los que son distintos de cero son vectores propios Teorema 47- Sean v, v 2,, v k vectores propios de una matriz A asociados a los valores propios λ, λ 2,, λ k respectivamente, siendo λ i λ j, i j Entonces el conjunto de vectores {v, v 2,, v k } es linealmente independiente Corolario 48- Una matriz de orden n con n autovalores distintos, es diagonalizable Si la matriz tiene n autovalores distintos λ, λ 2,, λ n y de cada espacio característico V (λ k podemos tomar un vector propio v k 0, tenemos n vectores propios, v, v 2,, v n que son, por el resultado anterior, linealmente independientes Ejemplo- Sea A 2 = λi A 2 = los autovalores de A 2 son las raices del polinomio 0 0 λ λ λ = (λ λ λ + = (λ (λ + 2(λ + luego λ =, λ 2 = y λ 3 = 2 Y sus espacios característicos V (, V ( y V ( 2 serán, respectivamente las soluciones de (I A 2 x = 0, ( I A 2 x = 0 y ( 2I A 2 x = 0 : 3 0 x 0 x 0 0 x 2 0 y = y = 0 y 0 y = z z z Resolviendolos: V ( = lin{( 3, 6, }, V ( = lin{(0,, 0} y V ( 2 = lin{(,, 0} Luego A 2 P = = con P inversible ( P = 0, por lo que A 2 diagonaliza = t t 0 = P D

4 7 Matemáticas I 62 Diagonalización Proposición 49- Sea A de orden n y λ j un autovalor de A de multiplicidad m j Entonces dim V (λ j m j Ejemplo- Los autovalores de la matriz A (de un ejemplo anterior son: λi A = λ λ λ = (λ λ λ = (λ 2 (λ + 2 luego λ =, con m = 2, y λ 2 = 2, con m 2 = Se tiene pues dim V ( 2 = m y dim V ( 2 = m 2 = dim V ( 2 = y, como rg(i A = 2, la dim V ( = 3 2 = Luego se cumple que = dim V ( < 2 Observación: Los dos resultados anteriores, el Teorema 47 y la Proposición 49, nos dan la clave para la diagonalización Los n vectores propios linealmente independientes sólo pueden obtenerse de los espacios característicos, V (λ i, y de cada uno de ellos sólo pueden obtenerse dim V (λ i vectores linealmente independientes, que a su vez serán linealmente independientes con los de los espacios característicos asociados a otros autovalores Luego podremos conseguir, a lo más, dim V (λ + dim V (λ dim V (λ k Como sabemos que vectores propios linealmente independientes dim V (λ + dim V (λ dim V (λ k m + m m k n la matriz será diagonalizable si las dos desigualdades anteriores son igualdades Es decir, si dim V (λ + dim V (λ dim V (λ k = m + m m k = n Esto es lo que se recoge en el Teorema fundamental de la diagonalización siguiente: Teorema fundamental de la diagonalización 0- Sea A una matriz de orden n Entonces A es diagonalizable si y sólo si se cumplen las condiciones: - El polinomio característico tiene n raices reales Es decir, λi A = (λ λ m (λ λ k m k con m + m m k = n 2- Para cada espacio característico V (λ i, se cumple que dim V (λ i = m i Ejemplo- La matriz A del ejemplo anterior no diagonaliza, pues λ =, con m = 2, y λ 2 = 2, con m 2 =, pero dim V ( + dim V ( 2 = + < m + m 2 = 2 + = 3 Sin embargo la matriz A 3, que damos debajo, si diagonaliza, pues sus autovalores son λ λ λi A 3 = λi = λ = (λ λ = (λ 2 (λ λ luego λ =, con m = 2, y λ 2 = 2, con m 2 = (luego dim V ( 2 y dim V ( 2 = Y dim V ( = 3 rg(i A 3 = 3 rg 0 = 3 = por lo que dim V ( + dim V ( 2 = 2 + = m + m 2 = 2 + = 3 y A 3 diagonaliza

5 8 Matemáticas I 63 Diagonalización ortogonal Además, resolviendo los sistemas, x (I A 3 x = 0 y z = 0 y (( 2I A 3 x = se obtiene que: V ( = lin{(0,, 0, (, 0, } y V ( 2 = lin{( 3,, 0} por lo que A 3 P = 0 = 0 2 = = P D con P inversible ( P = Diagonalización ortogonal Teorema - Sea A una matriz de orden n, entonces son equivalentes: - A es diagonalizable ortogonalmente 2- A tiene un conjunto de n vectores propios ortonormales x y = 0 z Es identica a la del teorema análogo para diagonalización, teniendo en cuenta que P es una matriz ortogonal sus vectores columna forman un conjunto ortonormal Lema 2- Si A es una matriz simétrica, entonces los vectores propios que pertenecen a valores propios distintos son ortogonales Sean λ y λ 2 valores propios distintos de una matriz simétrica A y sean u y v vectores propios correspondientes a λ y λ 2 respectivamente Entonces, son iguales los valores u t Av = u t (Av = u t (λ 2 v = λ 2 u t v u t Av = (u t Av = (u t A t v = (Au t v = (λ u t v = λ u t v luego (λ λ 2 u t v = 0 y como λ λ 2, se tiene que u t v = 0 Teorema fundamental de la diagonalización ortogonal 3- Una matriz A de orden n es diagonalizable ortogonalmente si y sólo si A es simétrica Ejemplo- La matriz A = λi A = λ λ λ , por ser simétrica, diagonaliza ortogonalmante: λ = (λ λ = (λ + 3(λ2 + λ 6 = (λ (λ 2 luego λ = 3, con m = 2, y λ 2 = 2, con m 2 = (luego dim V ( 3 = 2 y dim V (2 = Y resolviendo los sistemas, ( 3I Ax = 0 y (2I Ax = 0, se tiene { ( } {( } 2 V ( 3 = lin{(0,, 0, ( 2, 0, } = lin (0,, 0,, 0, y V (2 = lin{(, 0, 2} = lin 2, 0, por lo que AP = = = = P D con P ortogonal (P P t = I

6 9 Matemáticas I 64 Ejercicios 64 Ejercicios 698 Hallar las ecuaciones características, los valores propios y bases de los espacios característicos de las siguientes matrices: a ( b c ( ( a b 2c a + c 699 Sea T : M 2 2 M 2 2 el operador lineal dado por: T = c d b 2c d Hallar los valores propios de T y bases para los subespacios característicos de T 600 Demostrar que λ = 0 es un valor propio de una matriz A si y sólo si A es no inversible 60 Probar que el término constante del polinomio característico P (λ = λi A de una matriz A de orden n es ( n det(a 602 Demostrar que si λ es un valor propio de A entonces λ 2 es un valor propio de A 2 Demostrar por inducción que, en general, λ n es un valor propio de A n, n IN 603 Estudiar si son o no diagonalizables las siguientes matrices y en caso de que lo sean hallar una matriz P tal que P AP = D con D matriz diagonal: ( a b c Sea T : IR 3 IR 3 el operador lineal T x x 2 x 3 = IR 3 respecto de la cual la matriz de T sea diagonal 2x x 2 x 3 x x 3 x + x 2 + 2x 3 Hallar una base de 60 Sea P [X] el espacio de los polinomios de grado menor o igual a Sea T : P [X] P [X] el operador lineal T (a 0 + a X = a 0 + (6a 0 a X Hallar una base de P [X] respecto de la cual la matriz de T sea diagonal 606 Sea A una matriz de orden n y P una matriz inversible de orden n Demostrar por inducción que (P AP k = P A k P, k IN ( Calcular A 40 siendo A = Estudiar la diagonalizabilidad de la matriz A, dada en función de los parámetros a y b, siendo 0 0 A = 0 a En los casos posibles diagonalizarla 3 0 b 609 Hallar una matriz P que diagonalice ortogonalmente a A y calcular P AP para cada una de las siguientes matrices: a ( b 2 2 c

7 60 Matemáticas I 64 Ejercicios 60 Sea A una matriz de orden n Probar que A y A t tienen los mismos valores propios 6 Sea A una matriz de orden n inversible, demostrar que los valores propios de A son los inversos de los valores propios de A 62 Sea A una matriz de orden n ortogonal, probar que todos los valores propios de A son uno o menos uno 63 Se sabe que (, 0, 0, (,, 0, (0,, 0 y (0, 0, son vectores propios de una matriz de orden 3 y que hay vectores de IR 3 que no lo son Calcular todos los vectores propios de la matriz { un = 3u 64 Se dan las siguientes ecuaciones de recurrencia: n + 3v n Utilizar la diagonalización para calcular u n y v n en función de n, sabiendo que u 0 = v 0 = v n = u n + v n 6 Los dos primeros términos de una sucesión son a 0 = 0 y a = Los términos siguientes se generan a partir de a k = 2a k + a k 2 ; k 2 Hallar a El propietario de una granja para la cría de conejos observó en la reproducción de éstos que: (i Cada pareja adulta (con capacidad reproductora tiene una pareja de conejos cada mes (ii Una pareja recién nacida tarda dos meses en tener la primera descendencia Si partimos de una pareja adulta y siendo a n el número de parejas nacidas en el n-ésimo mes (a 0 = 0, se pide: a Obtener una fórmula recurrente para a n en función de términos anteriores b Probar que a n = (+ n ( n c Calcular, si existe: lím n 2 n a n+ a n 67 Sea el determinante n n de la derecha: a Dar una expresión de D n en función de los determinantes de tamaño menor que n, y b obtener las ecuaciones de recurrencia para hallar su valor D n = Sean A = a b 0 2 c y B = a b 0 c Determinar para qué valores de a, b y c: a Son diagonalizables simultáneamente ambas matrices b Ninguna de las dos es diagonalizable 69 Estudiar para qué valores de a, b y c es diagonalizable la matriz A = 620 Dada la matriz A = c 2a 0 b 0 a 0 2b c a a 0 a a 0, estudiar para qué valores de a y b diagonaliza b 0 2b

8 6 Matemáticas I 64 Ejercicios 62 Sea f: IR 3 IR 3 el operador lineal cuya matriz en la base canónica es: A = m m n m a Determinar para qué valores de m y n existe una base de IR 3 de tal forma que la matriz en esa base sea diagonal En los casos que f sea diagonalizable calcular una base en la cuál la matriz de f sea diagonal b Si n = 0, observando la matriz A y sin hacer ningún cálculo, determinar un valor propio y un vector propio asociado a dicho valor propio, razonando la respuesta a Dada la matriz A = Encontrar para qué valores de los parámetros la matriz b d c e f A es diagonalizable Para dichos valores encontrar las matrices P y D tales que P AP = D, donde D es una matriz diagonal 623 Sean V un espacio vectorial, B = {v, v 2, v 3 } una base de V y f: V V una aplicación 0 lineal tal que la matriz A = 0 es la matriz de f referida a la base B 0 0 { } a Probar, o razonar, que V + = v V : f(v = v y V = subespacios de V Encontrar una base de cada uno de ellos { } v V : f(v = v b Probar que α = y α = son los únicos números reales tales que f(v = αv para algún vector no nulo v V c Diagonaliza la matriz A? Por qué? son