ÁLGEBRA LINEAL. EXAMEN EXTRAORDINARIO 2 de julio de 2012 Duración del examen: 3 horas Fecha publicación notas: 11 de julio

Transcripción

1 ÁLGEBRA LINEAL EXAMEN EXTRAORDINARIO 2 de julio de 22 Duración del examen: 3 horas Fecha publicación notas: de julio Fecha revisión examen: 3 de julio Apellidos: Nombre: Grupo: Titulación: ESCRIBA EL APELLIDO Y EL NOMBRE EN TODAS LAS HOJAS. Ejercicio. ( punto) Determina utilizando un sistema de ecuaciones lineales un polinomio p(x) de grado 2 que verifique p() = 2 p(2) = p(3) = 3 Indica si existe un único polinomio verificando estas condiciones. Denotando p(x) = ax 2 + bx + c las condiciones impuestas se pueden escribir como p() = a + b + c = 2 p(2) = 4a + 2b + c = p(3) = 9a + 3b + c = 3 Las equivalencias por filas muestran que la solución al anterior sistema es única y viene dada por Por tanto a = 3 2 b = 2 c = 6 p(x) = 3 2 x2 2 x + 6 es el un único polinomio verificando las condiciones dadas.

2 Ejercicio 2. ( punto) Sea A =. Calcula una base del espacio nulo de A. Se obtiene fácilmente que la forma escalonada reducida de [A ] es Entonces Nul(A) es el conjunto de vectores (x x 2...x 8 ) R 8 que satisfacen x 3 = x 4 x 7 x 8 x 5 = x 6 = o equivalentemente es el conjunto de vectores de la forma x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = x + x 2 + x 4 + x 7 + x 8 con x x 2 x 4 x 7 x 8 R. Por tanto una base de Nul(A) es 2

3 Apellidos: Nombre: Ejercicio 3. Sean A la matriz A = T : R 3 R 3 la aplicación definida por T (x) = Ax y H : R 3 R 3 la aplicación definida por H(x) = T ( T (x) ). a) (5 puntos) Calcula la matriz ( con respecto a la base canónica ) de H La matriz de H(x) = T ( T (x) ) es 2 2 A 2 = 3 2 b) (5 puntos) Calcula la matriz ( con respecto a la base canónica ) de la aplicación inversa de T. Como la matriz de T es A la matriz de la aplicación inversa de T es A. De las equivalencias por filas [A I] = se obtiene que A = 3

4 Ejercicio 4. Sea P 2 = Gen{tt 2 } el conjunto de polinomios de hasta segundo grado en la variable t. Sea T : P 2 R 3 la aplicación lineal que verifica T () = () T (t) = () T (t 2 ) = (2) a) ( punto) Encuentra la matriz A = [T ] E P de la aplicación T respecto de las bases P = {tt 2 } en P 2 y E ( la base canónica ) en R 3. La matriz es la formada por las imágenes bajo T de los vectores de la base P en coordenadas de la base E : A = [ ] [T ()] E [T (t)] E [T (t 2 )] E = 2 b) (.5 puntos) Comprueba que Q = {t (t ) 2 } es base de P 2. P 2 tiene dimensión 3 y Q tiene 3 vectores luego Q será base si es un conjunto linealmente independiente. Esto se puede comprobar usando el isomorfismo de coordenadas y calculando el determinante de la matriz P P Q de los vectores de Q en coordenadas de P : det [ ] [] P [t ] P [(t ) 2 ] P = 2 = Q es base c) ( punto) Calcula la matriz B = [T ] E Q de T respecto de las bases Q en P 2 y E en R 3. Se puede calcular B = [ ] [T ()] E [T (t )] E [T ((t ) 2 )] E utilizando la matriz A = [T ] E P calculada en el apartado a): [T ()] E = [T (t )] E = 2 = [T ((t ) 2 )] E = 2 2 = y entonces B =. También se podría hacer con el siguiente cálculo B = [T ] E Q = [T ] E P P P Q = AP P Q = 2 2 = 4

5 Apellidos: Nombre: Ejercicio 5. Sea T : R 3 R 3 la aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica de R 3 es 3 6 A = a) (.5 puntos) Estudia si la matriz A es diagonalizable. El polinomio caracteristico de A es λ 3 6 p A (λ) = det(a λi) = 6 8 λ 6 = λ(λ 2 3λ + 2) λ de donde se deduce que los autovalores son λ = λ = λ = 2 tres autovalores distintos y por tanto la matriz es diagonalizable. b) (.5 puntos) Encuentra un base de R 3 respecto de la cual la aplicación T admita una representación matricial diagonal. Los vectores propios correspondientes al valor propio λ = son las soluciones (distintas del vector ) del sistema 3 6 x y = z Una solución de este sistema es ( 2). Análogamente solucionando los sistemas x x y = y y = z z obtenemos los vectores propios (3 2 2) y ( ) correspondientes respectivamente a los valores propios λ =. y λ = 2. Por tanto respecto de la base B = {( 2)(3 22)()} el endomorfismo tiene una matriz diagonal 5

6 c) (.5 puntos) Encuentra una matriz P y una matriz diagonal D tal que A = P D P. La base B = {( 2)(3 22)()} calculada en el anterior apartado proporciona la diagonalización 3 3 Entonces Por tanto para se verifica A = P D P. A = A = P = y D = 2 Ejercicio 6. Sea W el espacio de R 3 generado por los vectores v = (34) y w = (25) a) (75 puntos) Calcula u R 3 tal que {vu} sea base ortogonal de W. Utilizando el método de ortogonalización de Gram Schmidt se obtiene u = w Proy Gen(v) w = w v w v 2 v = 3 = b) (75 puntos) Calcula la proyección ortogonal de b = (226) sobre W. Proy W b = b v v 2 v + b u u 2 u = u = u = 2 9 c) (5 puntos) Calcula la distancia de b a W. distancia(bw ) = b ProyW b = (2252 9) = 585 6