Álgebra Lineal 2015 Práctica 5: Diagonalización.

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1 Álgebra Lineal 2015 Práctica 5: Diagonalización. 1. Sean T (a, b) = (4a b, b+2a), B = {(1, 0), (0, 1)} y C = {(1, 3), (2, 5)}. (a) Hallar la matriz camio de base de B a C, la matriz cambio de base de C a B, comprobar que una es la inversa de la otra. (b) Hallar la matriz que representa T en la base B, la matriz que representa T en la base C. Compruebe el teorema de cambio de base. 2. Sean T transformación lineal de C 2 en C 2 definida por T (x, y) = (y, 0), B la base standar de C 2 y B = {(1, i), ( i, 2)}. (a) Hallar la matriz de T en las bases B, B. (b) Hallar la matriz de T en las bases B, B. (c) Hallar la matriz de T en la base B. (d) Hallar la matriz de T en la base {( i, 2), (1, i)}. (e) Calcule el determinante de la matriz hallada en a). (f) Puede decir cuánto vale el determinante de las matrices del inciso b) al d) sin hacer las cuentas?. Si no puede, calcule y concluya. Justifique su conclusión. 3. Sean V = R 2 [x], W = R[x]. Se define F (p) = (p p(0))/x. (a) Verificar que F es una transformación lineal de V en W. (b) Sea B = {1 + x, x + x 2, x 2 + 1} base de V y C = {1 + x, 1 x} base de W. Encuentre la representación matricial de F en las bases dadas. ( ) Sea M = y T la tranformación lineal T : R 3 4 2x2 R 2x2 definida por T (A) = MA. Hallar la representación de T en la base canónica de R 2x2. 5. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y sea B = {v 1,..., v n } una base de V. Se define la aplicación F B : V K n de la siguiente manera: Si v = n i=1 x iv i, F B (v) = (x 1,..., x n ). Probar que F B es biyectiva. Observar que, teniendo en cuenta que la aplicación F B es tomar coordenadas en la base B, esto nos permite trabajar con coordenadas en una base en el siguiente sentido:

2 (a) {w 1,..., w s } es linealmente independiente en V si y sólo si {F B (w 1 ),..., F B (w s )} es linealmente independiente en K n. (b) {w 1,..., w r } es un sistema de generadores de V si y sólo si {F B (w 1 ),..., F B (w r )} es un sistema de generadores de K n. (c) {w 1,..., w n } es una base de V si y sólo si {F B (w 1 ),..., F B (w n )} es una base de K n. Por ejemplo, para decidir si {x 2 x + 1, x 2 3x + 5, 2x 2 + 2x 3} es una base de R 2 [X], bastará ver si {(1, 1, 1), (1, 3, 5), (2, 2, 3)} es una base de R Sean K un cuerpo, V un K-espacio vectorial y f : V V una transformación K-lineal. Un vector no nulo v V se denomina un vector propio para f si existe un λ K tal que f(v) = λv. En este caso, λ se denomina el valor propio asociado al vector propio v. (a) Mostrar que si u y v son dos vectores propios con el mismo valor propio λ, y k y k son elementos del cuerpo K, entonces el vector ku + k v también es un vector propio con valor propio λ. (b) Concluir que V (λ) := {v V f(v) = λv} es un subespacio de V para todo λ K. (c) Mostrar que si λ y µ son elementos distintos del cuerpo K, entonces V (λ) V (µ) = {0}. (d) Supongamos que V es de dimensión finita y sea B una base ordenada cualquiera de V. Sea A = [f] B, la matriz asociada a f en la base ordenada B, y sea λ una raiz en K del polinomio característico de la matriz A, p A (x) (un valor propio de la matriz A). Mostrar que V (λ) {0}; y por lo tanto λ es un valor propio de la transformación f. (e) Sea v un vector propio de f con valor propio λ. Sea B una base ordenada cualquiera de V. Mostrar que λ es raiz de p A (x), para A = [f] B. 7. Considerar los operadores lineales sobre R n, definidos en la base canonica por las siguientes matrices. Hallar en cada caso los valores propios y los espacios propios(si existen). (a) A = ( )

3 (b) (c) (d) B = C = D = Sea V un K espacio vectorial (a) Explique por qué una matriz 2x2 puede tener a lo más, dos vectores propios linealmente independientes. (b) Construya una matriz 2x2 con sólo un vector propio. 9. Sea V un espacio vectorial n dimensional sobre K. Cuál es el polinomio característico del operador identidad en V?. Cuál es el polinomio minimal para dicho operador?. Cuáles son los polinomios minimal y característico para el operador nulo?. 10. Si A 2 = A cuáles son los posibles valores para los valores propios de A?. 11. Sea C (R) el espacio de las funciones con derivadas contínuas de cualquier orden, y D : C (R) C (R) la aplicación lineal derivada. (a) Vea que e at, con a C fijo, es un autovector para D. Cuál es su autovalor correspondiente? (b) Sea p R[x]. Muestre que e at es un autovector de p(d). Cuál es su autovalor correspondiente? (c) Muestre que el subespacio de las funciones polinomiales P ol C (R) es un subespacio D-invariante. Podría decir si existe algún polinomio que genere un subespacio propio?.

4 12. Sea V = R 3. (a) Descomponer a V como suma directa de subespacios de dimensión 1, llamemoslos W 1, W 2, W 3. (b) Hallar las 3 proyecciones correspondientes P 1, P 2, P 3. (c) Hallar minimal y caracteristico de 2P 1 + πp 2 + 3P 3. (d) Es 2P 1 +πp 2 +3P 3 un operador diagonalizable? Cuáles son sus valores propios? Y sus espacios propios?. 13. Analice si las siguientes matrices son semejantes a una matriz diagonal. (a) (b) A = B = ( Hallar el polinomio minimal de A =, considerado sobre: (a) C, (b) R, (c) Z 3. ) (d) Decir en cada caso si A es o no diagonalizable. 15. Considerar las matrices y A = B =

5 (a) Mostrar que A y B tienen los mismos autovalores. (b) Reducir A y B a la misma matriz diagonal. (c) Explicar porque existe una matriz R tal que R 1 AR = B. (d) Encontrar A Sea una matriz 5x5 sobre C cuyo polinomio característico es p = (x 1)(x 3)(x + 2)(x 2 + 1). Cuánto vale el determinante de la matriz? 17. Muestre que una matriz real simétrica de tamaño 2x2 tiene siempre como valores propios números reales y es diagonalizable. 18. Sea p un polinomio y A un operador lineal. v es un vector propio de p(a) si v es un vector propio de A. cuál es su autovalor asociado? 19. Considere el espacio vectorial de funciones sobre C cuya base son las funciones {1, cos(t), sen(t), cos(2t), sen(2t),..., cos(nt), sen(nt)}. Sea D el operador de diferenciación en este espacio. Halle los valores y vectores propios de D. 20. Sea A una matriz compleja de tamaño nxn, n 1, tal que existe un número natural m para el cual se tiene que A m = I. Demuestre que A es diagonalizable. 21. Sea N de 2x2 matriz compleja tal que N 2 = 0. Probar que N = 0 o N es semejante a ( ) 0 0 A = Muestre que si A K nxn, A n = 0 y A n 1 0 entonces el único valor propio de A es Sean A y B matrices cuadradas. Probar que si A y B son semejantes, entonces ellas tienen el mismo polinomio minimal. Mueste además que el recíproco no siempre es cierto. 24. Sea ϕ : C [ 1, 1] C [ 1, 1] dada por ϕ(f) := (1 x 2 )f 2xf. (a) Probar que ϕ es una transformación R-lineal. Definamos recursivamente las funciones de Legendre (funciones polinómicas) por P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x y (n+1)p n+1 (x) = (2n+1)xP n (x) np n 1 (x), paran 2 Así, se tiene por ejemplo que P 2 (x) = 1 2 (3x2 1), P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x) y P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x + 3).

6 (b) Mostrar que las funciones de Legendre son vectores propios de ϕ. (c) Cuál es el autovalor asociado a cada uno de estos vectores propios? Sea B = {1, x, x 2, x 3, x 4 } C [ 1, 1], y V = {1, x, x 2, x 3, x 4 } el subespacio generado por B. (d) Mostrar que B es una base de V. (e) Mostrar que ϕ(b) B. Sea φ : V V dado por la restricción de ϕ a V. (f) Hallar la matriz de φ en la base ordenada B, y su polinomio característico. (g) Mostrar que C = {P 0, P 1, P 2, P 3, P 4 } es una base de V. (h) Hallar la matriz de φ en la base ordenada C. (i) Cuáles son las raices del polinomio hallado en el inciso (f)?