1. Teoría de Conjuntos y Funciones

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1 Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Escuela de Matemática Álgebra I 1. Teoría de Conjuntos y Funciones 1.1. Teoría de Conjuntos 1. Dados los conjuntos A, B y C, demuestre que: a) (A B) c = A c B c b) (A B) c = A c B c c) A B A B = A d) (A B) C = (A C) (B C) e) (A B) C = (A C) (B C) f ) (A B) C = (A C) (B C) g) (A B) C = (A C) (B C) h) A B y C D A C B D i) (A B) C = (A C) (B C) j ) A B = (A B) (A B) k) (A B) C = (A C) (B C) l) A (A B) = A B m) A (B A) = A B n) A B y A C A (B C) ñ) A B = Φ y A B = C A = C B o) P(A B) = P(A) P(B) p) A (B C) = (A B) (A C) q) A (B C) = (A B) (A C) 2. Sea A = {a, b}, B = {2, 3} y C = {3, 4}. Hallar: A (B C), (A B) (A C), A (B C) y (A B) (A C) Relaciones y Funciones 1. Para cada uno de los conjuntos y relaciones que abajo se dan, determine cuales definen relaciones de equivalencia: a) S = {todos los humanos vivos} y a b si a y b tienen un antecesor común. b) S = {todos los humanos vivos} y a b si a y b tienen el mismo padre. 1

2 c) S = {todos los humanos vivos} y a b si a vive a menos de 100 kilómetros de distancia de donde vive b. d) S = R y a b si a = b. 2. En Z se define la relación mediante es una relación de equivalencia? 3. En R 2 se define la relación mediante demuestre que es de equivalencia. 4. En N 2 se define la relación mediante a b a 2 + a = b 2 + b (x, y) (x, y ) y = y (a, b) (a, b ) a + b = b + a demuestre que es de equivalencia y obtenga las clases de equivalencia. 5. En R se define la relación mediante x y x 2 x = y 2 y demuestre que es de equivalencia y obtenga las clases de equivalencia. 6. Sea Q el conjunto de los números racionales y Z el conjunto de los números enteros, demuestre que la siguiente es una relación de equivalencia en Q x y x y Z 7. Decidir y demostrar si las siguientes son funciones. Hallar: dominio y rango. Demostrar o dar un ejemplo si son o no, inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Dibujar la gráfica de f y especificar el conjunto Graf(f). a) f : R [1, ), f(x) = x b) f : Z Q, f(x) = x 1 2 c) f : R R, f(x) = cos(x) d) f : N N, f(n) = 2n + 1 e) f : Z 6 Z 6, f(x) = 3 + x f ) f : R R C, f(a, b) = a + ib g) f : R R, f(x) = x x+1 8. Sea f : A B una función y sean C y D subconjuntos de A. Demuestre que: a) f(c D) = f(c) f(d), b) Si f es inyectiva, entonces f(c D) = f(c) f(d) 2

3 9. Demuestre que si f : A B y g : B C son funciones biyectivas, entonces g f : A C es una función biyectiva y (g f) 1 = f 1 g Sea f : A B una función. Demuestre que f es inyectiva si y sólo si para todo subconjunto C de A se tiene que f 1 (f(c)) = C. 11. Sea f : X Y, A X y B Y. Sabemos que Demostrar: a) A f 1 (f(a)) b) f(f 1 (B)) B f(a) = {f(x) x A} y f 1 (B) = {x X f(x) B} 12. Sea f : X Y una función y sean A y B subconjuntos de Y. Demuestre que: a) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), b) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) c) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) 13. Sea g : A B y f : B C. Decidir si es cierto o falso. En caso de ser cierto demostrar y en caso de ser falso dar un contraejemplo. a) f g sobreyectiva = f sobreyectiva b) f sobreyectiva = f g sobreyectiva c) f g inyectiva = g inyectiva d) g inyectiva = f g inyectiva 1.3. Inducción Demuestre que: 1. n i=1 ( 1 i(i+1)(i+2) ) = n(n+3) 4(n+1)(n+2) 2. n 3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 es divisible por 9 para todo n N. 3. n i=1 i = n(n+1) 2 4. n i=1 i(i+1) = n(n+1)(n Si n N es impar entonces 7 n + 1 es divisible por n n(n+1)(2n+7) i=1 i(i + 2) = 6 3

4 2. Matrices, Operaciones Elementales, Sistemas de Ecuaciones y Matriz Inversa 2.1. Matrices 1. Sea A = 2. Sean A = a) 3A y 2B b) 2C 5A c) A + B d) 2A 3B + 7C e) C A 3B, B =, hallar: FA 3, FA 5, FA 2, CA 1, CA 5 y CA y C = Hallar, f ) Encuentre una matriz D tal que, 2A + B D es la matriz nula de orden ( ) Sean A =, B = , C = 5 3 y D = , hallar si es posible: AB, AC, BC, BA, BD, (BD)C, (CA)B. 4. Sean A una matriz m n y B una matriz n p. Demuestre que: a) (A t ) t = A b) (AB) t = B t A t 5. Sean A y B matrices n n simétricas, demuestre que: a) A + B es simétrica. b) (AB) t = BA 6. Demuestre que para cualquier matriz A, la matriz producto A t A está definida y es una matriz simétrica. 7. Demuestre que toda matriz diagonal es simétrica. 8. Cuáles de las siguientes matrices son antisimétricas? ( ) 1 3 a) 3 0 4

5 b) c) d) e) ( ) ( ) Sean A y B dos matrices n n antisimétricas. Demuestre que A+B es antisimétrica. 10. Si A M n (R), demuestre que toda componente en la diagonal principal de A es cero. 11. Sea A una matriz n n. Demuestre que: a) 1 2 (A + At ) es simétrica. b) 1 2 (A At ) es antisimétrica. 12. Demuestre que cualquier matriz cuadrada se puede escribir de una manera única como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. ( ) a b 13. Encuentre una matriz A = tal que c d ( 2 3 A Matrices Escalón Reducidas ) = ( Para las siguientes matrices halle su matriz escalonada reducida ) (a) (d) (b) (e) (c) (c) Describir todas las matrices escalonadas reducidas de orden

6 3. Sea A una matriz m n y B una matriz n p. Demostrar que las columnas de C = AB son combinaciones lineales de las columnas de A. Si α 1,..., α n son las columnas de A y γ 1,..., γ p son las columnas de C, entonces γ j = n B (k,j) α k k=1 4. Sea ( ) c11 c C = 12 c 21 c 22 una matriz 2 2. Se desea saber si es posible encontrar matrices 2 2, A y B tales que C = AB BA. Demostrar que tales matrices pueden hallarse si sólo si c 11 + c 22 = Sean A, B y C tres matrices, demuestre que si todas las sumas y todos los productos siguientes están definidos, entonces a) A(B + C) = AB + AC b) (A + B)C = AC + BC 2.3. Sistemas de Ecuaciones 1. Hallar todas las soluciones, si existen de los siguientes sistemas de ecuaciones. a) b) c) d) 3x + 6y 6z = 9 2x 5y + 4z = 6 x + 16y 14z = 3 x + y z = 7 4x y + 5z = 4 2x + 2y 3z = 0 2y + 5z = 6 x 2z = 4 2x + 4y = 2 x 1 2x 2 + 2x 3 = 1 2x 1 + 2x 3 = 1 x 1 3x 2 + 4x 3 = 2 6

7 e) x 1 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 2 x 1 + 7x 2 5x 3 x 4 = 3 f ) 2x 1 3x 2 7x 3 + 5x 4 + 2x 5 = 2 x 1 2x 2 4x 3 + 3x 4 + x 5 = 2 2x 1 4x 3 + 2x 4 + x 5 = 3 x 1 5x 2 7x 3 + 6x 4 + 2x 5 = 7 g) x + 2y 4z = 4 2x 4y + 8z = 9 h) x 1 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 3x 1 + 2x 2 2x 4 = 8 4x 2 x 3 x 4 = 1 5x 1 + 3x 3 x 4 = 3 2. Determinar todos los valores de a para que los siguientes sistemas tengan: a) Ninguna solución. b) Solución única. c) Infinitas soluciones. 1) 2) x + y + az = 1 x + ay + z = 1 ax + y + z = 2 x + y + z = a x + y + az = 1 x + ay + z = 1 3. Hallar todas las soluciones del sistema de ecuaciones AX = 3X, para A =

8 4. Considere el sistema, 2x 1 x 2 + 3x 3 = a 3x 1 + x 2 5x 3 = b 5x 1 5x x 3 = c Muestre que es inconsistente si c 2a 3b. 5. Considere el sistema, 6. Sea 2x 1 + 3x 2 x 3 = a x 1 x 2 + 3x 3 = b 3x 1 + 7x 2 5x 3 = c Encuentre las condiciones sobre a,b y c para que el sistema sea inconsistente. Para cuáles Y = y 1 y 2 y 3 A = tiene solución el sistema de ecuaciones AX = Y? 7. Suponga que R y R son matrices 2 3 escalonadas reducidas por filas y que los sistemas RX = 0 y R X = 0 tienen exactamente las mismas soluciones. Demostrar que R = R. 8. Sea A = Hallar matrices elementales E 1, E 2,..., E k, tales que, E k...e 2 E 1 A = I Matriz Inversa 1. Sean A y B matrices n n. Demuestre que: a) Si A es inversible, también lo es A 1 y (A 1 ) 1 = A. b) Si A y B son inversibles, también lo es AB y (AB) 1 = B 1 A Determinar cuáles de las siguientes matrices son inversibles. En caso de que lo sea, hallar la inversa y expresar ambas matrices como un producto de matrices elementales. (a) (b) (c)

9 3. Suponga que A es una matriz 2 1 y B es una matriz 1 2. Demostrar que C = AB no es inversible. 4. Sea A una matriz de orden n. Demostrar que: a) Si A es inversible y AB = 0 para alguna matriz B de orden n, entonces B = 0. b) Si A no es inversible, entonces existe una matriz B 0 de orden n, tal que AB = 0. ( ) a b 5. Sea A = demostrar usando operaciones elementales por filas, que A es c d inversible si y sólo si (ad bd 0). 6. Una matriz A de orden n n, se llama triangular superior si A (i,j) = 0 para i > j, esto es, si todo elemento por debajo de la diagonal principal es cero. Demostrar que una matriz (cuadrada) triangular superior es inversible si y sólo si, cada elemento de su diagonal principal es distinto de cero. 7. Sea A una matriz de orden 5 4. En cada caso, hallar la matriz elemental E tal que, la matriz AE realice la operación elemental por columna: a) Multiplicar la segunda columna de A por 2. b) Sumar tres veces la tercera columna de A a la cuarta columna de A. c) Intercambiar la primera y la tercera columna de A. 8. Llevar la matriz A a su forma normal y encontrar las matrices inversibles P y Q tales que N = PAQ ( ) En el conjunto M n (R) definimos la relación : B A si y solo si B = PAQ donde P y Q son matrices inversibles. Demostrar que es una relación de equivalencia en el conjunto M n (R) y que N es un representante de la clase de A. 10. Sea A M n (R). Demostrar que: A es inversible si y solo si rango(a) = n 3. Espacios Vectoriales 3.1. Definición y Propiedades 1. Explique por qué los conjuntos siguientes no son cuerpos. En cada caso, use la suma y multiplicación usuales: 9

10 a) El conjunto N de los números naturales. b) El conjunto Z de los números Enteros. c) El conjunto R 2 con la suma y multiplicación acostumbradas componente a componente; (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ) y (a, b) (a, b ) = (a a, b b ) 2. Determine si el conjunto dado, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales R. Si no lo es, indique cuales axiomas no se cumplen. a) El conjunto de las matrices reales simétricas de orden n n, bajo la suma y la multiplicación por un escalar usuales. b) El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes reales (P n = {p(x) = a 0 + a 1 x a n x n a i R, 1 i n}). c) El conjunto de las funciones contínuas de valores reales definidas en [0, 1] (C [0, 1]), con f(0) = 0 y f(1) = 0, bajo las operaciones: (f + g)(x) = f(x) + g(x) y (λf)(x) = λ(f(x)). d) R 2 con la suma definida por (x 1, y 1 )+(x 2, y 2 ) = (x 1 +x 2 +1, y 1 +y 2 +1) y el producto por un escalar definido por λ(x 1, y 1 ) = (λ + λx 1 1, λ + λy 1 1). 3. Definamos en R 2 las operaciones (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) λ (x 1, y 1 ) = (λx 1, y 1 ) Es R 2, con estas operaciones, un espacio vectorial? 4. Definamos en R n las operaciones u v = u v, u, v R n λ v = λv, λ R, v R n Las operaciones del segundo miembro son las usuales de R n. Que axiomas de espacio vectorial satisfacen? 5. Demostrar que C es un espacio vectorial sobre R, donde la adición es la adición usual de los complejos y el producto por un escalar es la multiplicación usual de números complejos. 6. Sea V un espacio vectorial sobre R. Sea v V, λ R, 0 el escalar cero y 0 el vector cero. Demostrar que: a) λ 0 = 0 b) 0v = 0 c) λv = 0 λ = 0 o v = 0 d) ( 1)v = v e) (λv) = ( λ)v = λ( v) f ) ( λ)( v) = λv 10

11 7. Considere la ecuación diferencial de segundo orden homogénea y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = 0 Donde a(x) y b(x) son funciones contínuas. Demuestre que el conjunto de soluciones de la ecuación, es un espacio vectorial sobre R bajo las reglas usuales para la suma de funciones y multiplicación por un escalar. 8. Mostrar que en R 3, el vector (6, 2, 7) es combinacin lineal de los vectores u = (2, 1, 3), v = (3, 2, 5) y w = (1, 1, 1). 9. Qué vectores (x, y, z) R 3 son combinación lineal de los vectores u = (1, 1, 1), v = (1, 1, 0) y w = (2, 0, 1)? 10. Sean X e Y subconjuntos finitos de un espacio vectorial V. Pruebe las siguientes proposiciones: a) X Y L(X) L(Y) b) X L(Y) L(X) L(Y) c) L(X) L(X Y) d) L(X) + L(Y) L(X Y) e) X L(X) L(X) + L(Y) f ) X Y L(X) + L(Y) g) L(X Y) L(X) + L(Y) concluya que L(X Y) = L(X) + L(Y) 3.2. Subespacios 1. Determine si los siguientes conjuntos son subespacios de R n a) ( ) a S = { : a 1, b 1, a, b R} b a b b) S = { b 4c : a, b, c R} c) Demuestre que el conjunto W = {(x, y, z) : y = 0} es un subespacio de R 3. d) Demuestre que el conjunto de las funciones continuas sobre el intervalo [0, 1], denotado por C [0, 1], que satisfacen f( 1 ) = 0 es un subespacio de C [0, 1]. Será cierto el mismo resultado para las funciones f que satisfacen f( 1) = 3? Combinaciones Lineales y Subespacios Generados a) Mostrar que en R 3, el vector (6, 2, 7) es combinación lineal de los vectores u = (2, 1, 3), v = (3, 2, 5) y w = (1, 1, 1). b) Qué vectores (x, y, z) R 3 son combinación lineal de los vectores u = (1, 1, 1), v = (1, 1, 0) y w = (2, 0, 1)? 11

12 c) Sean X e Y subconjuntos finitos de un espacio vectorial V. Pruebe las siguientes proposiciones: 1) X Y L(X) L(Y) 2) X L(Y) L(X) L(Y) 3) L(X) L(X Y) 4) L(X) + L(Y) L(X Y) 5) X L(X) L(X) + L(Y) 6) X Y L(X) + L(Y) 7) L(X Y) L(X) + L(Y) concluya que L(X Y) = L(X) + L(Y) d) El plano generado por los puntos cuyas coordenadas en la base canónica son: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1). e) S = {f C [a, b] : b f(x)dx = 0}, con a, b R y a < b. a f ) S = {f C [a, b] : b f(x)dx = 1}, con a, b R y a < b. a 2. Sean v 1 = (1, 1, 2, 1), v 2 = (3, 0, 4, 1), y v 3 = (1, 1, 2, 1). Sea W el subespacio de R 4 generado por v 1, v 2 y v 3. Cuáles de los siguientes vectores están en el subespacio W? a) w = (2, 4, 6, 1) b) w = (3, 1, 4, 4) c) w = (0, 1, 1, 2) d) w = (4, 5, 9, 7) e) w = ( 1, 1, 0, 1) 3. Cual de los siguientes conjuntos genera el espacio vectorial V dado: a) V = P 2 (R); {1 + x + x 2, 1 + 2x + x 2, x} b) V = P 2 (R); {1 x + x 2, 1 + 2x x 2, 1} c) V = R 3 ; (1, 1, 2), (1, 1, 2), (0, 0, 1) ( ) ( ) d) V = M 2 (R); {,, ( 1 0 e) V = M 2 (R); { 1 0 ), ( ), ( ( ) ( 0 0, 3 1 ), ( ) } ) } 4. Halle el subespacio generado por los siguientes subconjuntos de vectores. a) En R 2, S = {(1, 2), (3, 4)} b) En R 3, S = {(1, 1, 2), (1, 1, 2), (0, 0, 1)} c) En R 4, S = {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1)} 5. Sea S 1 y S 2 subconjuntos de un espacio vectorial V. Denotaremos el espacio generado por un subconjunto S de V por < S >. Demostrar que < (S 1 S 2 ) > < S 1 > S 2. Dar un ejemplo donde sean iguales y otro donde sean distintos. 12

13 6. Sea V un espacio vectorial sobre R. Sean S y T subconjuntos de V. Demostrar que: a) S T L(S) L(T) b) L(S T) = L(S) + L(T) c) L(L(S)) = L(S) 7. Determinar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al subespacio de R 3 generado por (1, 2, 1) y (2, 3, 4). a) (4, 7, 6) b) ( 1 2, 1 2, 3 2 ) c) ( 1, 1, 1) 2 d) (2, 9, 5) e) (0, 1 3, 2 3 ) 8. Sea P[x] = {p(x) = a 0 + a 1 x a n x n n N, a i R, 1 i n}, el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales. a) Demuestre que P[x] es un espacio vectorial sobre R. b) Determine cuáles de los siguientes polinomios pertenece al subespacio de P[x] generado por x 3 + 2x 2 + 1, x 2 2 y x 3 + x. 1) x 2 x + 3 2) 4x 3 3x + 5 3) x 5 c) Encontrar el subespacio de P[x] generado por cada uno de los siguientes conjuntos de vectores. 1) {x 2, x(x + 1)} 2) {x + 1, x 2 1} 3) {1, x 2, (x 2) 2 } 3.4. Dependencia e Independencia Lineal 1. Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes o no: a) {(1, 2), ( 1, 3)} R 2 b) {( 3, 2), (1, 10), (4, 5)} R 2 c) {(2, 1, 4), (4, 2, 7)} R 3 d) {( 3, 4, 2), (7, 1, 3), (1, 2, 8)} R 3 e) {(1, 2, 1, 1), (3, 0, 2, 2), (0, 4, 1, 1), (5, 0, 3, 1)} R 4 f ) {1 x, x} P 2 {( ) ( g), ) ( 4 1, 7 5 )} M 2 2 (R) 13

14 2. Determine una condición sobre a, b, c y d, tal que los vectores (a, b) y (c, d) sean linealmente dependientes. 3. Para qué valores de α serán dependientes los siguientes vectores: v 1 = (1, 2, 3), v 2 = (2, 1, 4) y v 3 = (3, α + 1, 4)? 4. Sean v 1,, v n vectores linealmente independientes, en un espacio vectorial V. Probar que si para algunos α i, β j se tiene entonces α i = β i, para todo i α 1 v α n v n = β 1 v β n v n 5. Probar que un conjunto de vectores {v 1, v 2 } es linealmente dependiente si y sólo si los vectores son proporcionales. Es decir, v 1 = λv 2 ó v 2 = µv 1 para algunos λ y µ en R. 6. Probar que si el conjunto B = {v 1, v 2,..., v n } es linealmente independiente y el conjunto B = {v 1, v 2,..., v n, w} es linealmente dependiente, entonces w está en el espacio generado por B. 7. Demostrar que si S es un subconjunto de un espacio vectorial V y 0 S entonces S es linealmente dependiente. 8. Un conjunto de vectores {v 1, v 2,..., v n } es linealmente independiente si y sólo si n λ j v j = 0 λ j = 0, j = 1,..., n j=1 9. Sean u, v y w tres vectores en un espacio vectorial V. Demostrar que si el conjunto {u, v, w} es linealmente independiente entonces {u + v, u v, u 2v + w} y {u + v, u + w, v + w} son linealmente independientes. 10. Sean S S V a) Si S es linealmente dependiente, S es linealmente dependiente? b) Si S es linealmente dependiente, S es linealmente dependiente? c) Si S es linealmente independiente, S es linealmente independiente? d) Si S es linealmente independiente, S es linealmente independiente? e) Sea f 1, f 2 y f 3 funciones reales. Para x 1, x 2 y x 3 números reales, definimos la f 1 (x 1 ) f 1 (x 2 ) f 1 (x 3 ) matriz (f i (x j )) = f 2 (x 1 ) f 2 (x 2 ) f 2 (x 3 ) Demuestre que las funciones f 1, f 2 f 3 (x 1 ) f 3 (x 2 ) f 3 (x 3 ) y f 3 son linealmente independientes, si las filas de la matriz son linealmente independientes. f ) Suponga que f 1, f 2 y f 3 poseen derivadas de segundo orden en algún intervalo (a, b). Se define el (Wronskiano) de estas funciones como: W(f 1, f 2, f 3 )(x) = f 1 (x 1 ) f 1 (x 2 ) f 1 (x 3 ) f 2 (x 1 ) f 2 (x 2 ) f 2 (x 3 ) Demuestre que las funciones f 1, f 2 y f 3 son linealmente f 3 (x 1 ) f 3 (x 2 ) f 3 (x 3 ) independientes, si las filas de la matriz son linealmente independientes. 14

15 g) Sea A M n (R), suponga que los vectores fila de A forman un conjunto linealmente independiente de vectores de R n. Demuestre que A es inversible Bases y Dimensión 1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de vectores es una base para R 2. a) {(1, 0), (0, 1)} b) {(1, 1), (0, 1)} 2. Demostrar que los vectores v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (1, 2, 1) y v 3 = (0, 3, 2) forman una base de R 3. Expresar cada uno de los vectores de la base canónica de R 3 como combinación lineal de los vectores v 1, v 2 y v Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de vectores es una base para R 4, a) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} b) {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), ( 1, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1)} c) {(2, 1, 0, 1), (1, 3, 2, 0), (0, 1, 1, 0), ( 2, 1, 2, 1)} 4. Expresar a (2, 2, 1, 3) como una combinación lineal de los vectores en las diferentes bases del ejercicio anterior. 5. Encontrar una base para el espacio solución del sistema de ecuaciones homogéneo dado: a) b) c) x y = 0 2x + 2y = 0 x 3y + z = 0 2x + 2y 3z = 0 4x 8y + 5z = 0 2x 1 x x 3 x 4 = 0 x x 2 x 5 = 0 9x 1 3x 2 + 6x 3 3x 4 3x 5 = 0 6. Encuentre una base para el conjunto de vectores de R 3 dado por : 15

16 a) El plano 2x y z = 0. b) La recta x 2 = y 2 = z 4 7. Encuentre una base para el espacio vectorial de las matrices diagonales de orden n. (Sugerencia: hágalo primero para n=3) 8. Sean A M m n (R) y V el espacio solución del sistema homogéneo AX = 0. Cuál es la dimensión de V? 9. Demostrar que si W 1 y W 2 son subespacios de V, entonces dimw 1 + dimw 2 = dim(w 1 W 2 ) + dim(w 1 + W 2 ) 10. Demuestre que, si W es un subespacio propio de un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces W es de dimensión finita y dimw < dimv. 11. Demuestre que en un espacio vectorial V de dimensión finita, todo conjunto linealmente independiente es parte de una base. 12. Sea U = (1, 0, 2, 1), (1, 1, 1, 0) y W = (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 3), hallar una base para U W y U + W. 13. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre R. Sean W 1, W 2,..., W s subespacios de V. Demostrar que las siguientes proposiciones son equivalentes: a) V = W 1 + W W s y W i i j W j = 0 b) Cada elemento v en V tiene una única representación de la forma v = w 1 + w w s, con w i W i, para i = 1,..., s c) El cero tiene una representación única de la forma w 1 +w w s con w i W i, para i = 1,..., s. Esto es, 0 = w 1 + w w s w 1 = w 2 =... = w s = 0 d) si B i es una base de W i para i = 1,..., s, entonces B 1 B 2... B s es una base de V. e) V = W 1 + W W s y dimv = dimw 1 + dimw dimw s 14. Sea el espacio de R 5 generado por las filas de la matriz a) Hallar una base de V. b) Qué vectores (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) pertenecen a V? c) Si (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) V. Cuáles son sus coordenadas en la base elegida en (a)? 16

17 15. Cuál es el vector de coordenadas de v 1 y v 2 respecto a las bases dadas? a) B = {(1, 1, 2, 1), (0, 1, 1, 3), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)} base de R 4, v 1 = ( 1, 2, 3, 4) y v 2 = (1, 2, 4, 3) b) B = {1, x, x 2, x 3, x 4, x 5 } base del conjunto de polinomios de grado menor o igual que 5, v 1 = 3+(1+x)x+(2x+x 2 +x 3 )x 2 +x 4 +3x 5 +x 2 y v 2 = x 2 +3x 3 +5x 4 (x+5x 3 x 4 )x 3.6. Suma Directa de Espacios 1. Sea V el espacio de las funciones de R en R. Sea V P el subconjunto de las funciones pares (es decir, f(x) = f( x)) y V I el subconjunto de las funciones impares (es decir, f( x) = f(x)). Demostrar que V P y V I son subespacios de V y que V = V P V I. 2. Sea V = M n (R), sean W 1 el subconjunto de las matrices simétricas y W 2 el subconjunto de las matrices antisimétricas. Demuestre que W 1 y W 2 son subespacios de V y que V = W 1 W Determine si los vectores v 1 = (1124), v 2 = (2152), v 3 = (1 140) y v 4 = (2116) son linealmente independientes en el espacio M 1 4 (R). a) Hallar una base para el subespacio W de M 1 4 (R) generado por estos vectores. b) Encontrar el subespacio W de M 1 4 (R) tal que M 1 4 (R) = W W. El subespacio W se llama Subespacio complementario de W. 4. Sean v 1 = (1121), v 2 = (301 1), v 3 = ( 1101) y v 4 = ( 1252) vectores de M 1 4 (R). a) Hallar una base para el subespacio W de M 1 4 (R) que ellos generan. b) Hallar una base para el subespacio complementario de W. c) Escribir M 1 4 (R) como una suma directa Espacio Cociente 1. Sea A M m n (R) y sea V M n 1 (R) el espacio solución del sistema homogéneo AX = 0. Demostrar que: a) Si v M n 1 (R) entonces el elemento v del espacio vectorial M n 1 (R)/V es el conjunto de soluciones del sistema AX = Av. b) Si b M m 1 (R) entonces el conjunto de soluciones del sistema AX = b es el elemento v del espacio vectorial M n 1 (R)/V, donde v es una solución particular de AX = b. 2. Sea u 0 un vector de R 2. Probar que R 2 / u es el conjunto de todas las rectas paralelas a la recta que determina u en R 2. 17

18 4. Transformaciones Lineales 4.1. Definición y Propiedades 1. Sea V el espacio vectorial de todas las funciones contínuas de R en R. Definimos T : V V por: T(x) = x f(t)dt. Demuestre que T es una transformación lineal Cuáles de las siguientes funciones T : R 2 R 2 son transformaciones lineales? a) T(x, y) = (1 + x, y) b) T(x, y) = (y, x) c) T(x, y) = (x 2, y) d) T(x, y) = (sin(x), y) e) T(x, y) = (x + y, x + y) f ) T(x, y) = 2(x y, x + y) 3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, con base {e 1,..., e n }, sea W un espacio vectorial arbitrario. Sean y 1,..., y n W y para cada x = λ 1 e λ n e n en V, definimos T : V W por, T(x) = λ 1 y λ n y n Demostrar que T es una transformación lineal. 4. Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Probar que si T : V W es una transformación lineal, entonces: T(0) = 0 y T( v) = T(v) v V 5. Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Sean T : V W y S : V W transformaciones lineales y α K. Demuestre que: a) S+T : V W, definida por (S+T)(v) = S(v)+T(v) es una transformación lineal. b) αt : V W, definida por (αt)(v) = α(t(v)) es una transformación lineal. c) Si T es biyectiva, entonces T 1 : W V es una transformación lineal. 6. Sea A M m n (R). Demuestre que la aplicación T : M n 1 M m 1 definida por T(X) = AX, es la transformación lineal cero si y sólo si A = Sea T : R n R n, para el n apropiado, la transformación lineal definida pot T(x) = Ax. Para cada uno de los siguientes casos, describa geométricamente la transformación: ( ) k 0 a) (k R) b) c) 0 k ( k ( ) (k R) ) 1 18

19 d) e) f ) g) ( 0 ) ( ) ( ) cos(α) sen(α) (α R) sen(α) cos(α) cos(α) sen(α) 0 sen(α) cos(α) 0 (α R) Describir explícitamente una transformación lineal T : R 3 R 3 que tenga como imagen el espacio generado por los vectores: (1, 0, 1) y (1, 2, 2). 9. Sea T : R 3 R 3 la transformación lineal definida por T(x, y, z) = (3x, x y, 2x + y + z) a) Es T inversible? Si lo es, hallar T 1. b) Probar que (T 2 I)(T 3I) = Imagen y Kernel 1. Hallar la imagen, rango, espacio nulo y nulidad para la transformación cero y para la identidad en un espacio de dimensión n. 2. Sea T : V W una transformación lineal. Demuestre que el KerT es un subespacio de V y la ImgT es un subespacio de W. 3. Sean V y W espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Probar que la transformación lineal T : V W es inyectiva si y sólo si KerT = {0}. 4. Sea B M n (R). Demostrar que la aplicación T B : M n (R) M n (R) definida por T B (A) = AB BA es una transformación lineal. Encuentre el espacio nulo. 5. Sea T : R 3 R 3 una aplicación definida por: T(x, y, z) = (x y + 2z, 2x + y, x 2y + 2z) a) Probar que T es una transformación lineal. b) Si (a, b, c) R 3. Cuáles son las condiciones sobre a, b y c para que (a, b, c) ImT? c) Cuáles son las condiciones sobre a, b y c para que (a, b, c) KerT? 6. Sea P : M n (R) M n (R) definida por, P(A) = A+AT 2 a) Demostrar que P es una transformación lineal. b) Demostrar que KerP es el espacio de las matrices antisimétricas. c) Hallar la nulidad de P. 19

20 7. Sea V un espacio vectorial de dimensión n y T : V V una transformación lineal. Demostrar que las siguientes proposiciones son equivalentes: a) ImT KerT = {0} b) T(T(v)) = 0 T(v) = 0 8. Sea T : V W una transformación lineal. Sea w W y sea v 0 V tal que T(v 0 ) = w. Demostrar que cualquier solución de la ecuación T(x) = w es de la forma v 0 + u, donde u KerT. 9. Sea T : V W una transformación lineal. Demuestre que dimv = dimkert + dimimt 10. Sea V un espacio vectorial real y T un operador lineal sobre V. Si T 2 = 0. Qué puede decir respecto a la relación entre ImT y kert? Dar un ejemplo de un operador lineal tal que T 2 = 0 pero T Si T es una transformación lineal sobre un espacio vectorial V de dimensión n y rangot = rangot 2, entonces ImT kert = {0}. 12. Si T es una transformación lineal sobre un espacio vectorial V tal que T 2 = T, probar que: a) kert = Im(I T). b) Ker(I T) = ImT. c) KerT ImT = {0}. d) Cada v V puede ser expresado unívocamente en la forma v = v 1 + v 2, donde v 1 kert y v 2 ImT Matriz Asociada a una Transformación Lineal 1. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales T : V W, hallar la matriz asociada en las bases ordenadas B y B de W. Dar una base para ImT y KerT. a) T(x, y) = (3x y, 0), B = B = {(1, 0), (0, 1)} b) T(x, y) = (x, 0), B = {(1, 1), ( 1, 2)} y B = {(1, 3), (2, 1)} c) T(x, y, z) = (x y + z, 2x + 2y 2z, x + y z), B = B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} d) T(x, y, z) = (2x + y + z, y 3z), B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B = {(1, 1), ( 1, 2)} x x e) T y z = y z en las bases canónicas de M 4 1(R) y M 3 1 (R) t t 20

21 2. Sea T : R 3 R 3 la transformación lineal cuya matriz en las bases canónicas es: Encontrar una base para ImT y una base para KerT. Describa explícitamente la Transformación lineal. 3. Dadas las bases odenadas B y B de un espacio vectorial V. Hallar la matriz A (respectivamente A ) de cambio de base de la base B a la base B (respectivamente de la base B a la base B). a) V = R 2, B = {(1, 0), (0, 1)} y B = {(2, 3), (1, 1)} b) V = R 3, B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B = {( 1, 0, 0), (4, 2, 0), (5, 3, 8)} c) V = R 2, B = {(2, 1), (1, 0)} y B = {(2, 1), (1, 1)} 4. Dadas las bases B = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} y B {(1, 0, 1), ( 1, 2, 1), (2, 1, 1)} de R 3, 2 dar la matriz de cambio de base de la base B a la base B. Si 4 1 es la matriz de coordenadas del vector v en la base B, dar la matriz de coordenadas de v en la base B. 5. Sea P 4 el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a cuatro, y T la transformación lineal dada por T(a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) = a 4 x 3 + a 3 x 2 + a 2 x + a 1 Halle la matriz asociada a T en la base canónica de P 4 y calcule el rango de T. 6. Sean S = {2t 2 + t, t 2 + 3, t 2 } y T = {t 2 + 1, t 2, t + 3} bases ordenadas de P 2 = {Polinomios de grado 2}. Sean f(t) = 8t 2 4t + 6 y g(t) = 7t a) Hallar las matrices de coordenadas de f y g respecto a S. b) Hallar la matriz P de cambio de base de la base S a la base T. c) Hallar las matrices de coordenadas de f y g con respecto a T usando P. d) Hallar la matriz Q de cambio de base de la base T a la base S. e) Hallar las matrices de coordenadas de f y g con respecto a S usando Q. 7. Sean U y W espacios vectoriales reales, consideremos el conjunto: U W = {(u, w) u U y w W} a) Demostrar que U W es un espacio vectorial con las operaciones (u 1, w 1 ) + (u 2, w 2 ) = (u 1 + u 2, v 1 + v 2 ) c(u, w) = (cu, cw) 21

22 b) Encontrar una base de U W en términos de una base de U y una base de W. c) Si dimu = n y dimw = m. Cuál es la dimensión de U W? d) Si S y T son subespacios de U y W respectivamente, entonces S T es un subespacio de U W. 8. Sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. Demostrar que la aplicación L : U W V definida por L(u, w) = u w es lineal y usar el ejercicio anterior para probar que: dimu + dimw = dim(u + W) + dim(u W) 9. Encuentre la inversa de la transformación T : R 3 R Isomorfismos T([x 1, x 2, x 3 ] T ) = [ x 1 x 2 + x 3 2x 1 x 1 + x 2 ] T 1. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente. Sea T : V W una transformación lineal. Pruebe que a) Si T es inyectiva entonces n m. b) Si T es sobreyectiva entonces m n. c) Si m = n demostrar que T es inyectiva si y sólo si T es sobreyectiva. 2. Sea T : V W una transformación lineal, la cual es sobre. Demuestre que T es un isomorfismo si y sólo si KerT 3. Sean T 1 : V V y T 2 : V V transformaciones lineales. Demuestre que la composición T 1 T 2 y T 2 T 1 son también transformaciones lineales. 4. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión n y m respectivamente. Demuestre que L(V, W) es isomorfo a M n m (R). 5. Si V y W son espacios vectoriales de dimensión n y T es una transformación lineal de V en W, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: a) T es un isomorfismo. b) La matriz de T en cualquier base es inversible. c) T es invertible. d) El rango de T es n. e) T es sobreyectiva. f ) Si B = {v 1,..., v n } es una base de V, entonces T(B) = {T(v 1 ),..., T(v n )} es una base de W. g) T es inyectiva. 6. Demuestre que T : M m n (R) M n m (R), definida por T(A) = A t es un isomorfismo. 7. Sea B M n (R) inversible. Demuestre que T : M n (R) M n (R) definida por T(A) = AB, es un isomorfismo. 22