ALGEBRA y ALGEBRA II SEGUNDO CUATRIMESTRE 2011 PRÁCTICO 3

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1 ALGEBRA y ALGEBRA II SEGUNDO CUATRIMESTRE 2011 PRÁCTICO 3 Ejercicio 1. Sea V un espacio vectorial. Probar que: (a) Si a es un escalar y v es un vector tales que a.v = 0, entonces a = 0 ó v = 0. (b) Para todo v V, 0.v = 0. (c) Probar que el opuesto de v es único, al que llamamos v. Probar que v = ( 1).v. Ejercicio 2. Determinar si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre R con las operaciones abajo definidas. (a) R n, con α β = α β, y el producto por escalares usual. (b) R 2 con (x, y) (x 1, y 2 ) = (x + x 1, 0), c (x, y) = (cx, 0). (c) R 3 con: (x, y, z) (x, y, z ) = (x + x, y + y 1, z + z ); c (x, y, z) = (cx, cy + 1 c, cz). (d) El conjunto de polinomios, con el producto por escalares (reales) usual, pero con suma p(x) q(x) = p (x) + q (x) (suma de derivadas). (e) El conjunto de polinomios sobre K de grado menor o igual que n con las operaciones usuales de polinomios. Ejercicio 3. Probar que V = {(x 1, x 2,..., x n ) : x i { 1, 1}} con las operaciones definidas a continuación es un espacio vectorial sobre Z 2. (x 1, x 2..., x n ) (y 1, y 2..., y n ) = (x 1 y 1, x 2 y 2,..., x n y n ); c (x 1, x 2,..., x n ) = (x c 1,..., x c n). Ejercicio 4. Sea (V, K,, ) un espacio vectorial y S un conjunto cualquiera. Sea W = V S (el conjunto de funciones de S en V ). Defina la suma de elementos f, g W como la función f +g : S V tal que (f + g)(x) = f(x) g(x) x S, y el producto por escalares como la función c.f : S V tal que (c.f)(x) = c f(x) x V. Probar que (W, K, +,.) es un espacio vectorial. Ejercicio 5. Demostrar que los únicos subespacios de R (como R-espacio vectorial) son el {0} y R. Probar que esto no es cierto si se mira R como Q-espacio vectorial. Ejercicio 6. Sean W 1, W 2 subespacios de un espacio vectorial V. Probar que W 1 W 2 es un subespacio de V si y sólo si W 1 W 2 o bien W 2 W 1. Ejercicio 7. Determinar en cada caso si el conjunto dado es un subespacio vectorial del espacio vectorial dado. (a) C 1 [0, 1] = {f : [0, 1] R : f es derivable}. (b) {f C[0, 1] : f(1) = 1}. (c) {f C[0, 1] : f(1) = 0}. (d) {f C[0, 1] : f(1) 0}. 1

2 (e) {f C[0, 1] : f(1) = f(0)}. (f) {(x 1,..., x n ) R n x 1 = x n }. (g) {(x 1,..., x n ) R n j > 1 : x 1 = x j }. (h) {(x 1,..., x n ) R n x 1 x n = 0}. (i) El conjunto de matrices n x n inversibles. (j) El conjunto de matrices n x n NO inversibles. (k) El conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado par, junto con el polinomio nulo. (l) El conjunto de matrices n x n A tales que AB = BA. (B una matriz n x n fija). (m) {f C[0, 1] : 1 0 f(x)dx = 0}. (n) {f C[0, 1] : 1 0 (f(x))2 dx = 0}. Ejercicio 8. Calcular a, b y c tales que ( 1, 2, 1) = a(1, 1, 1) + b(1, 1, 0) + c(2, 1, 1). Ejercicio 9. Calcular reales a y b tales que 1 + 2i = a(1 + i) + b(1 i). Calcular complejos w y z tales que 1 + 2i = a(1 + i) + b(1 i). Ejercicio 10. En cada caso, determinar si el conjunto indicado es linealmente independiente. (a) {(1, 0, 1); (1, 2, 1); (0, 3, 2)}. (b) {(1, 0, 1); (1, 2, 1); (2, 2, 0)}. (c) {(1, a 1,2,..., a 1,100 ), (0, 1, a 2,3,..., a 2,100 ), (0, 0, 1, a 3,4,..., a 3,100 ),..., (0,..., 0, 1)}. (d) {p n, q n ; n = , p n = 1 + x n, q n = x + x n }. {( ) ( ) ( )} (e),, Ejercicio 11. Dar una base y la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales. (a) W = {(x, y, z) R 3 : z = x + y}. (b) W = {(x, y, z) R 3 : z = y, x = 2y}. (c) W = {(x, y, z, w, u) R 5 : w = x + z, y = x z, u = 2x 3z}. (d) W = {p(x) = a + bx + cx 2 + dx 3 : a + d = b + c}. (e) W = {p(x) R[x] : gr p 3, p (0) = 0}. Ejercicio 12. En cada caso caracterizar con ecuaciones el subespacio vectorial dado por generadores. (a) (1, 0, 3), (0, 1, 2). (b) (1, 2, 0), (0, 1, 1), (2, 3, 1). (c) (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1). (d) 1 + x + x 2, x x 2 + x 3, 1 x, 1 x 2, x x 2, 1 + x 4. Ejercicio 13. Cual es la dimensión de C n cuando se lo considera como R-espacio vectorial?. Ejercicio 14. Calcular la dimensión y exhibir una base de: (a) S = {A R n n : A = A t }. 2

3 (b) S = {A C n n : A = Āt } (considerado como R-subespacio de C n n ). Ejercicio 15. Dar 3 vectores en R 3 que son LD, y tales que dos cualesquiera de ellos son LI. Ejercicio 16. Determinar si cada de los siguientes conjuntos de funciones continuas de R en R son LI. (a) {1, sen(x), cos(x)}. (b) {1, sen 2 (x), cos 2 (x)}. Ejercicio 17. Probar que R mirado como Q-espacio vectorial tiene dimensión infinita. (Una posibilidad es usar un argumento de cardinalidad. Otra forma es usar que e es trascendente.) Ejercicio 18. Encontrar una base del subespacio S de Z 5 7 generado por {(5, 1, 1, 3, 4), (2, 2, 3, 2, 4), (4, 1, 2, 6, 0), (2, 2, 0, 1, 4), (2, 6, 1, 6, 3)} y caracterizarlo como solución de un sistema de ecuaciones. Ejercicio 19. En ejercicio 2 probamos que el conjunto V = R 3 con las operaciones: (x, y, z) (x, y, z ) = (x + x, y + y 1, z + z ) y c (x, y, z) = (cx, cy + 1 c, cz) es un espacio vectorial. (a) Son los vectores (2, 1, 0), (1, 1, 1) y ( 1, 5, 3) LI en V? (b) Probar que {(1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 1)} es una base de V. (Observación: el (0, 0, 0) NO ES el cero de V, por eso puede formar parte de una base). (c) Probar que W = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 1} es un subespacio vectorial de V y dar una base del mismo. Ejercicio 20. Sea F un subcuerpo de K. Supongamos que K tiene dimensión finita como F-espacio vectorial y sea V un K-espacio vectorial. Probar que V tiene dimensión finita como K-espacio vectorial si y solo si V tiene dimensión finita mirado como F-espacio vectorial y en ese caso dim F V = (dim F K).(dim K V ). Ejercicio 21. Sean V = R 6 y sean W 1 y W 2 los siguientes subespacios de V : W 1 = {(u, v, w, x, y, z) : u + v + w = 0, x + y + z = 0}; W 2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4, 5, 6), (1, 0, 1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 0, 0, 0). (a) Determinar W 1 W 2 y describirlo por generadores y con ecuaciones. (b) Determinar W 1 + W 2 y describirlo por generadores y con ecuaciones. (c) Es la suma W 1 + W 2 directa? (d) Dar un complemento de W 1. (e) Dar un complemento de W 2. (f) Decir cuáles de los siguientes vectores están en W 1 W 2 y cuáles en W 1 + W 2 : (1, 1, 2, 2, 1, 1); (0, 0, 0, 1, 0, 1); (1, 1, 1, 0, 0, 0); (3, 0, 0, 1, 1, 3); ( 1, 2, 5, 6, 5, 4). (g) Para los vectores v del punto anterior en W 1 + W 2, hallar w 1 W 1 y w 2 W 2 tales que v = w 1 + w 2. 3

4 EJERCICIOS EXTRA Ejercicio 22. Probar que el axioma de la conmutatividad de la suma en la definición de espacio vectorial puede deducirse de los otros. Ejercicio 23. Considere el siguiente conjunto infinito en R [0,1] : S = { 1 1 x, 1, x, x2,..., x n,...}. Probar que S es un conjunto LI. Explicar porque esto no es una contradicción con el hecho que Ud sabe o va a aprender en Analisis que 1 1 x = 1 + x + x2 + + x n +. Ejercicio 24. Sea {f 1,..., f n } un conjunto LI de funciones pares de R en R (i.e., f(x) = f( x) para todo x) y sea {g 1,..., g m } un conjunto LI de funciones impares de R en R (i.e., f( x) = f(x) para todo x). Probar que {f 1,..., f n, g 1,..., g m } es LI. Ejercicio 25. En cado caso extender los conjuntos dados (LI) a una base de dos maneras distintas. (a) {(1, 2, 0, 0), (1, 0, 1, 0)} R 4. {( ) ( ) ( )} (b),, M 2 2 (R). (c) {x 2x 2, 1 x + x 2, x} {polinomios de grado menor o igual que 3}. Ejercicio 26. En cada caso, según corresponda, dar las coordenadas de los vectores dados respecto a cada una de las bases elegidas en el ejercicio anterior. (a) (1, 1, 1, 1); (1, 2, 3, 4). ( ) ( ) (b) ; (c) 2 + x x 3 ; 1. Ejercicio 27. Sean p i (x), i = 1,..., n polinomios en K[x] tales que sus grados son todos distintos. (a) Probar que {p 1 (x),..., p n (x)} es LI en K[x]. (b) Probar que {1, 1 + x, (1 + x) 2 } es una base del conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2. (c) Probar que el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 2 es generado por {1, 2 + 2x, 1 x + x 2, 2 x 2 } Es ese conjunto una base? Ejercicio 28. Sea V un K-espacio vectorial y α, β y γ vectores LI en V. (a) Probar que si K = R, entonces los vectores α + β, α + γ y β + γ son LI. (b) Mostrar que si K = Z 2, los vectores α + β, α + γ y β + γ no son LI. (c) Encontrar condiciones sobre el cuerpo K para que los vectores α + β, α + γ y β + γ resulten LI. Ejercicio 29. Sea F un subcuerpo de K y sea V un K-espacio vectorial; V es también un F-espacio vectorial. (a) Probar que si {v 1,..., v n } es K-LI, entonces es F-LI. (b) Mostrar que si {v 1,..., v n } es F-LI, no necesariamente es K-LI. 4

5 Ejercicio 30. Probar que para todo n, el conjunto {e λ 1x, e λ 2x, e λ 3x,..., e λ nx } C(R) es linealmente independiente si los λ i son números reales todos distintos. (Ayuda: Una primera ayuda es hacer los casos n = 2, n = 3 primero. En general, plantear la ecuación con la que quieren probar LI, luego derivar esa ecuación y continuar derivando hasta tener n ecuaciones. Evaluarlas en x = 0). 5