Práctica 1. Espacios vectoriales

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Práctica 1. Espacios vectoriales"

Transcripción

1 Práctica 1. Espacios vectoriales 1. Demuestre que R n (C n ) es un espacio vectorial sobre R (C) con la suma y el producto por un escalar usuales. Es C n un R-espacio vectorial con la suma y el producto por un escalar usuales? Compruebe que el conjunto de matrices de orden p q a coeficientes reales (complejos) R p q (C p q ) es un espacio vectorial real (complejo) con la suma y el producto por un escalar usuales. Pruebe que el conjunto de polinomios a coeficientes reales P y el conjunto de funciones continuas a valores reales definidas en el intervalo [a, b], que denotamos C[a, b], son ambos R-espacio vectoriales con la suma y el producto por un escalar usuales. 2. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de los espacios vectoriales que se indican: S = {v R 3 : v =[1+r r 4r] T,r R}. S = {v R 2 : v =[r 2r] T,r 0}. S = {A R 2 2 : A es singular}. S = {A R 3 3 : A es triangular superior} S = {A R 2 2 : A = A} S = {A R 2 2 : A[5 6] T =0}. S = {p P 3 : p(1) = p(2)}. S = {p P 2 : 1 0 p(t)dt =0}. S = {f C[0, 1] : f(0) = f(1) = 0}. S = {f C(R) : [f(x)] 2 = f(x)}. S = {f C(R) : f(x) =f( x)}. 3. Determine si R 3 está generado por los vectores v 1 =[1 12] T, v 2 =[ 1 03] T, v 3 =[0 15] T y v 4 =[3 22] T. Encuentre los valores de k R para que los vectores [1 k 0] T,[1 k 1 k] T y[2 2k 1 k 2 + k +1] T sean linealmente dependientes en R Suponga que A R p q y que b R p. Qué condición debe cumplir b para que el conjunto S = {x R q : Ax = b} sea un subespacio de R q?

2 Empleando la respuesta al item anterior determine cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de los espacios que se indican: S={x R 3 : 2x 1 + x 2 + x 3 =0 x 2 x 1 =0}. S={x R n : x 1 = x 2 = = x r =0}. S={x R 4 : x 1 + x 2 =0 x 1 2x 3 + x 4 =1}. 5. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son linealmente independientes en el espacio vectorial que se indica: {[1 i] T, [i 1] T } en C 2 como R-espacio vectorial y como C-espacio vectorial. {2, 3+t, 2 t 2 } en P. {1, 2+2t, 1 t + t 2, 2 t 2 } en P. {t +1, (t + 2)(t + k), t(t +1)} en P 2, siendo k es una constante arbitraria {,,, } en R Encuentre bases para los siguientes subespacios: S = {x R 4 : x 1 +2x 2 + x 4 =0 2x 1 x 2 + x 4 =0}. S = {p P 3 : p(0) = p(1)}. S = {p P 4 : 1 0 p(t)dt =0}. S = {p P 4 : p es impar}. S = {A R 3 3 : A = A T }. S = {A R 2 2 : tr(a) =0} S = {A R 2 2 : A = A} En cada caso, extienda la base del subespacio que obtuvo a una base del espacio vectorial correspondiente. 7. Encuentre una base del subespacio generado por las matrices ,, y [ ]. 8. Para cada una de las siguientes matrices A, halle bases de los subespacios fundamentales: Col(A), Nul(A), Fil(A) y Nul(A T ). Compare sus dimensiones. Calcule rango(a) y rango(a T ) A =

3 1 1 1 A = A = Sea A K n m (K = R ó C), A =[u 1 u 2 u m ] con u i la i-ésima columna de A. Deducir, a partir del hecho que Ax = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x m u m, si x =[x 1 x m ] T, lo siguiente: b Col(A) si y sólo si existe x tal que Ax = b. La ecuaciónax = b tiene a lo sumo una solución si y sólo si las columnas de A son linealmente independientes. La ecuación Ax = b tiene a lo sumo una solución si y sólo si rango(a) =m. La ecuación Ax = 0 admite solución no trivial si y sólo si las columnas de A son linealmente dependientes. La ecuación Ax = b tiene solución para todo b si y sólo si rango(a) =n. La ecuación Ax = b tiene solución si y sólo si A y la matriz ampliada à =[Ab] tienen igual rango. 10. Sean A K n m (K = R ó C), A =[u 1 u 2 u m ] con u i la i-ésima columna de A y B K r n. Explicar, a partir del hecho que BA =[Bu 1 Bu 2 Bu m ], por qué Col(BA) Col(B). Dar ejemplos no triviales (A I,0, B I,0) en los cuales se cumpla la inclusión estricta y otros en donde valga la igualdad. Cuál es la relación entre Nul(BA) y Nul(A)?. 11. Si A es de m n y B es de n p tales que Nul(A) = Col(B), qué se puede decir del producto AB? Sea A = Halle B tal que Nul(B) = Col(A) Sea A =. Halle B tal que Nul(A) = Col(B) Demuestre que S 1 S 2 = R 3 3 con S 1 = {A R 3 3 : A = A T } y S 2 = {A R 3 3 : A = A T }. Es cierta la igualdad precedente en R n n? 13.

4 Determinar si la suma de los siguientes subespacios de R 5, S 1 = gen{[ ] T, [20301] T }, S 2 = gen{[ ] T }, S 3 = gen{[ ] T }, es directa y hallar una base de la misma. Idem anterior pero con S 1 = gen{[ ] T, [2030 1] T }, S 2 = gen{[ ] T }, S 3 = gen{[ ] T }. Suponga que {v 1,v 2 }, {v 3,v 4,v 5 } y {v 6,v 7 } son, respectivamente, bases de los subespacios S 1, S 2 y S 3 de un espacio vectorial V. Demuestre que B = {v 1,v 2,...,v 7 } genera S 1 + S 2 + S 3 y que la suma resulta directa si y sólo si B resulta base. Generalice. 14. Encuentre las coordenadas de v en la base ordenada B en cada uno de los siguientes casos: v = [1 2 3] T y B = {[1 1 0] T ; [1 0 1] T ; [0 1 1] T }. v = a + bt + ct 2 y B = {1+t + t 2 ;1+t; 1}. ( Halle la base B de R 2 tal que [ 2 ) ( 3 ] B = 5 ) ( 3 y[ 4 ) ( 2 ] B = 3 ). 16. Sea B = {v 1 ; v 2 ;...; v n } una base ordenada del K-espacio vectorial (K = R ó C) V y sea T : V K n la aplicación que asigna a cada v V su correspondiente vector de coordenadas en la base B notado [v] B, es decir, T (v) =[v] B. Demuestre lo siguiente: [v + w] B =[v] B +[w] B y[αv] B = α[v] B para todo v, w V y para todo α K. T es biyectiva. {u 1,...,u r } es l.i. en V si y sólo si {[u 1 ] B,...,[u r ] B } es l.i. en K n. Halle la expresión de T Resuelva los ejercicios 6 y 7 trabajando en coordenadas respecto de una base B a elección. 18. Sean E = {e 1 ;...; e n } la base canónica de R n y B = {v 1 ;...; v n } una base ordenada de R n. Cuál es la expresión de la matriz de cambio de coordenadas de la base B a la base E, C BE? 19. Supongamos que B, B y B son tres bases ordenadas del espacio vectorial V. Cómo puede obtenerse C BB a partir de C BB y C B B? 20. Halle la matriz de cambio de bases C BB en los siguientes casos: B = {[1 2 3] T ; [1 0 1] T ; [3 4 6] T } y B = {[1 10] T ;[1 2 3]; [1 1 0] T }. B = {1; t 1; (t 1) 2 } y B = {1; t 2; (t 2) 2 }. 21. Halle el wronskiano de las siguientes funciones y, cuando sea posible, determine si son linealmente independientes:

5 1,x,...,x n e αx,xe αx siendo α R e x,xe x,e x senx, sen(x + π 4 ) e 3x sin(2x),e 3x cos(2x) senh(αx), cosh(αx) siendo α R 1, sen 2 x, cos2x 22. Muestre que el conjunto de funciones {x 2,x x } es linealmente independiente a pesar de que su wronskiano es idénticamente nulo. 23. Sean f 1 y f 2 derivables en cierto intervalo abierto I, g 1 = af 1 +bf 2 y g 2 = cf 1 +df 2 donde a, b, c, d R. Muestre que a c W (g 1,g 2 )(x) = W (f b d 1,f 2 )(x), x I

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

Tema 2: Espacios Vectoriales

Tema 2: Espacios Vectoriales Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1: 6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

Tema 3: Espacios vectoriales

Tema 3: Espacios vectoriales Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios

Más detalles

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales 1. Estudia cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de R n para el n que corresponda: i) S 1 = {(x, y, z, t) R 4 x + y + z + t = b} siendo

Más detalles

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que

Más detalles

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los

Más detalles

Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal.

Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal. Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx

Más detalles

Tema 4: Aplicaciones lineales

Tema 4: Aplicaciones lineales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 4: Aplicaciones lineales Ejercicios 1 Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones: (a) f : R R 3, definida por f(x, y) =

Más detalles

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR}

Ejemplo 1.2 En el capitulo anterior se demostró que el conjunto. V = IR 2 = {(x, y) : x, y IR} Subespacios Capítulo 1 Definición 1.1 Subespacio Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V K. Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalar

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación

Más detalles

Tema 1: Espacios vectoriales

Tema 1: Espacios vectoriales PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Parte I: Álgebra Primero de Ingeniería Química FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS Departamento de Matemáticas Universidad de Castilla-La Mancha Tema 1: Espacios vectoriales 1 Determina

Más detalles

Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21

Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.

Más detalles

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno:

Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Unidad 3 espacios vectoriales Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Describirá las características de un espacio vectorial. Identiicará las propiedades de los subespacios vectoriales. Ejempliicará

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE

Más detalles

Espacios Vectoriales www.math.com.mx

Espacios Vectoriales www.math.com.mx Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]

Más detalles

Tema 11.- Autovalores y Autovectores.

Tema 11.- Autovalores y Autovectores. Álgebra 004-005 Ingenieros Industriales Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Tema - Autovalores y Autovectores Definición, propiedades e interpretación geométrica La ecuación característica

Más detalles

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: 4 Subespacios 29 b) x 5 [25;5], 5 [;24], z 5 [4;4] Use a 5 2, a 5 / a 5 2 / 2 c) Su propia elección de x,, z /o a 2 a) Elija algunos valores para n m genere tres matrices aleatorias de n m, llamadas X,

Más detalles

Notas de Espacios Vectoriales

Notas de Espacios Vectoriales Notas de Espacios Vectoriales José Luis Mancilla Aguilar Depto. de Matemática, Fac. de Ingeniería, Univ. de Buenos Aires jmancil@fi.uba.ar 1 Propósito El objeto de estas notas es repasar las principales

Más detalles

1. PRODUCTO ESCALAR. ESPACIO EUCLÍDEO

1. PRODUCTO ESCALAR. ESPACIO EUCLÍDEO 1 1. PRODUCTO ESCALAR. ESPACIO EUCLÍDEO Muchos de los fenómenos que se investigan en la geometría utilizan nociones como las de longitud de un vector y ángulo entre vectores. Para introducir estos dos

Más detalles

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios , Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas

Más detalles

Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3

Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas lineales

Matrices, determinantes y sistemas lineales UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Relación de Problemas n o 5 Curso 006-007 Matrices, determinantes y sistemas lineales 8. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule

Más detalles

Espacios vectoriales. Capítulo Espacios vectoriales y subespacios Preliminares

Espacios vectoriales. Capítulo Espacios vectoriales y subespacios Preliminares Capítulo 1 Espacios vectoriales En diversos conjuntos conocidos, por ejemplo los de vectores en el plano o en el espacio (R 2 y R 3 ), o también el de los polinomios (R[X]), sabemos sumar sus elementos

Más detalles

Algebra Lineal y Geometría.

Algebra Lineal y Geometría. Algebra Lineal y Geometría. Unidad n 6: Subespacios Vectoriales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Subespacios Vectoriales. Operaciones con Subespacios: Intersección, unión,

Más detalles

3a b 6a + 2b = 5. Calcula el valor de 3c d 6c + 2d. a + 2b a a + b a + b a + 2b a a a + b a + 2b. = 9b 2 (a + b)

3a b 6a + 2b = 5. Calcula el valor de 3c d 6c + 2d. a + 2b a a + b a + b a + 2b a a a + b a + 2b. = 9b 2 (a + b) PROBLEMAS RESUELTOS DE DETERMINANTES Determinantes de la selectividad de Andalucía. Determinantes de órdenes, y. Determinantes de orden n. ENUNCIADOS Determinantes de selectividad Antes del.. Se sabe que

Más detalles

Espacios vectoriales reales.

Espacios vectoriales reales. Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre

Más detalles

Ecuaciones de la recta en el espacio

Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu

Más detalles

ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; (A ) = A. 2. La inversa de A 1 es A; (A 1 ) 1 = A. 3. (AB) = B A.

ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; (A ) = A. 2. La inversa de A 1 es A; (A 1 ) 1 = A. 3. (AB) = B A. ÁLGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A es A; A = A. 2. La inversa de A 1 es A; A 1 1 = A. 3. AB = B A. 4. Las matrices A A y AA son simétricas. 5. AB 1 = B 1 A 1, si A y B son no singulares. 6. Los escalares

Más detalles

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.

Más detalles

Espacios vectoriales Espacios y subespacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios y subespacios vectoriales Capítulo 3 Espacios vectoriales 3.. Espacios y subespacios vectoriales Definición 3.. Un espacio vectorial ( o lineal ) es un conjunto no vacío V, cuyos elementos se denominan vectores, en el que hay definidas

Más detalles

Apuntes de Álgebra. Publicación Valentín Barros Puertas

Apuntes de Álgebra. Publicación Valentín Barros Puertas Apuntes de Álgebra Publicación 0.0.1 Valentín Barros Puertas 16 de January de 2015 Índice general 1. Tema 1 2 1.1. Cuerpo.................................................. 2 1.2. Matriz..................................................

Más detalles

7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes constantes

7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes constantes 7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes constantes La ecuación lineal homogénea de coecientes constantes de orden n es: donde a 1, a 2,..., a n son constantes. a n y (n) + a n 1 y n

Más detalles

Autovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas

Autovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas Autovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas Autovalores y autovectores.propiedades Sea V un espacio vectorial sobre K y f End(V ). Fijada una base de V, existirá una matriz cuadrada A,

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES 1. Introducción: 1.1 Grupo Abeliano 1. Cuerpo. Estructura de espacio vectorial 3. Propiedades 4. Subespacio vectorial 5. Combinación lineal de vectores 5.1 Propiedades 6. Dependencia e independencia lineal

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES Ejercicio 1 Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para. Ejercicio 2 Siendo I la matriz identidad de orden

Más detalles

Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291)

Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291) Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291) I. Combinación Lineal Definición: Sean v 1, v 2, v 3,, v n vectores en el espacio vectorial V. Entonces cualquier

Más detalles

Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas

Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas En los ejercicios 1, 2, 8 y 9 se utilizará que si G = {g 1,...,g n } es un conjunto finito y * una operación interna definida en G, podemos utilizar

Más detalles

Problemas de Espacios Vectoriales

Problemas de Espacios Vectoriales Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en

Más detalles

MMAF: Espacios normados y espacios de Banach

MMAF: Espacios normados y espacios de Banach MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Licenciatura en Estadística R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Curso 2011/2012 Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto de elementos sobre el

Más detalles

Aplicaciones lineales

Aplicaciones lineales Capítulo 4 Aplicaciones lineales 4.1. Introduccción a las aplicaciones lineales En el capítulo anterior encontramos la aplicación de coordenadas x [x] B que asignaba, dada una base del espacio vectorial,

Más detalles

Tema II: Aplicaciones lineales

Tema II: Aplicaciones lineales Definiciones y ejemplos. Matriz asociada a una aplicación lineal. Núcleo e imagen. Cambios de base. Espacio vectorial cociente.teoremas de isomorfía. El espacio de las aplicaciones lineales. Ejemplos de

Más detalles

Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II 2º Bachillerato. La igualdad de matrices 3x3 equivale a 9 ecuaciones escalares: { a 3=5.

Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II 2º Bachillerato. La igualdad de matrices 3x3 equivale a 9 ecuaciones escalares: { a 3=5. Ejercicios resueltos 1. MATRICES 1.1. Introducción 1. Halla el valor de a, b y c para que las matrices A= 2 a 3 7 b 1 0 6 4 5 y B= 2 5 7 5 1 0 c 1 4 5 sean iguales. La igualdad de matrices 3x3 equivale

Más detalles

Introducción a los espacios vectoriales

Introducción a los espacios vectoriales 1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A xcos(x)+b sen(x) Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Sabiendo que lím x 0 x 3 es finito, calcula b y el valor del límite. Ejercicio 2.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x(x

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico x Sea f la función definida por f(x) = para x > 0, x (donde ln denota el logaritmo neperiano) ln(x) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas

Más detalles

ALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República

ALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República ALN Repaso matrices In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República Definiciones básicas - Vectores Definiciones básicas - Vectores Construcciones Producto interno: ( x, y n i x y i i ' α Producto

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 del 010 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida como f(x)= a.sen(x)+ bx + cx + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica

Más detalles

Resumen de Teoría de Matrices

Resumen de Teoría de Matrices Resumen de Teoría de Matrices Rubén Alexis Sáez Morcillo Ana Isabel Martínez Domínguez 1 de Octubre de 2004 1. Matrices. Generalidades. Definición 1.1. Se llama matriz de orden m n sobre un cuerpo K a

Más detalles

Ejercicios de Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 2008

Ejercicios de Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 2008 Ejercicios de Matrices, determinantes sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra 8 - Dado el sistema de ecuaciones lineales 5 (a) ['5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [ punto] Resuélvelo

Más detalles

Complementos de Análisis. Año 2016

Complementos de Análisis. Año 2016 Complementos de Análisis. Año 2016 Práctica 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 1 Modelando con ecuaciones diferenciales Modelar con ecuaciones diferenciales las siguientes situaciones. Intentar resolver

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales Problemas teóricos Muchos de estos problemas me los han enseñado mis colegas: profesores Flor de María Correa Romero, Carlos Domínguez Albino, Sergio González Govea, Myriam Rosalía

Más detalles

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial

4.1 El espacio dual de un espacio vectorial Capítulo 4 Espacio dual Una de las situaciones en donde se aplica la teoría de espacios vectoriales es cuando se trabaja con espacios de funciones, como vimos al final del capítulo anterior. En este capítulo

Más detalles

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales

Matemáticas I: Hoja 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Matemáticas I: Hoa 3 Espacios vectoriales y subespacios vectoriales Eercicio 1. Demostrar que los vectores v 1, v 2, v 3, v 4 expresados en la base canónica forman una base. Dar las coordenadas del vector

Más detalles

Matrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =

Matrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A = Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES MATEMÁTICA I - - Capítulo 8 ------------------------------------------------------------------------------------ ESPACIOS VECTORIALES.. Espacios Vectoriales y Subespacios... Definición. Un espacio vectorial

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales.

Tema 4.- Espacios vectoriales. Transformaciones lineales. Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química Matemáticas I - Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 4- Espacios vectoriales Transformaciones lineales

Más detalles

Descomposición en valores singulares Notas para los cursos 21 y 22 (J.L. Mancilla Aguilar)

Descomposición en valores singulares Notas para los cursos 21 y 22 (J.L. Mancilla Aguilar) Valores Singulares Descomposición en valores singulares Notas para los cursos y (JL Mancilla Aguilar) Tanto los valores singulares como la descomposición en valores singulares de una matriz son conceptos

Más detalles

Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales.

Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales. Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx

Más detalles

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades: CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES JUNIO 06/07. a) Calcula el rango de la matriz A según los valores del parámetro a 3 a A = 4 6 8 3 6 9 b)

Más detalles

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial.

y λu = Idea. Podemos sumar vectores y multiplicar por un escalar. El resultado vuelve a ser un vector Definición de espacio vectorial. Espacios vectoriales Espacios y subespacios R n es el conjunto de todos los vectores columna con n componentes. Además R n es un espacio vectorial. Ejemplo Dados dos vectores de R por ejemplo u = 5 v =

Más detalles

DETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76

DETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76 UNIDAD 3 DETERMINANTE Página 76 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 2x + 3y 29 5x 3y 8 4x + y

Más detalles

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5 DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno

Más detalles

Capitulo VI: Funciones.

Capitulo VI: Funciones. Funciones o Aplicaciones: Capitulo VI: Funciones. Ejemplo de función: Sean: A = {, 2, 3 } B = { a, b, c, d, e } F = { (;a) (2;b) (3;e) } es una función de A en B, porque a cada elemento de A, le corresponde

Más detalles

(L. S. I. P. I.) Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO. Espacios Vectoriales

(L. S. I. P. I.) Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO. Espacios Vectoriales ÁLGEBRA II (L.S.I P.I.) Guía de Trabajos Prácticos Nº ÁLGEBRA II (L. S. I. P. I.) Guíía de Trabajjos Prácttiicos Nºº Espacios Vectoriales.- Dados los vectores u v w r = s = verifique gráficamente: u v

Más detalles

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )

Esta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n ) Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder

Más detalles

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría

Espacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría 6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre 015 ax + b [ 5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno

Más detalles

Ejercicios tipo final

Ejercicios tipo final Ejercicios tipo final En la primera parte pondremos los enunciados de los ejercicios, en la segunda algunas sugerencias y en la tercera se encuentran las resoluciones 1 Ejercicios 1 Si A R 3x2, B R 2x1

Más detalles

Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen

Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen Guía. Álgebra II. Examen parcial III. Transformaciones lineales. Teoremas los más importantes cuyas demostraciones se pueden incluir en el examen 1. Teorema de la representación matricial de una transformación

Más detalles

Transformaciones lineales

Transformaciones lineales Capítulo 3 Transformaciones lineales Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Álgebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

Tema 4. Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto)

Tema 4. Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto) Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Vectores 75 Espacios vectoriales Tema 4 Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto) Definición de espacio vectorial Un

Más detalles

como el número real que resulta del producto matricial y se nota por:

como el número real que resulta del producto matricial y se nota por: Espacio euclídeo 2 2. ESPACIO EUCLÍDEO 2.. PRODUCTO ESCALAR En el espacio vectorial se define el producto escalar de dos vectores y como el número real que resulta del producto matricial y se nota por:,

Más detalles

Espacios Vectoriales. Espacio vectorial

Espacios Vectoriales. Espacio vectorial Espacios Vectoriales Espacio vectorial En Matemática, los conjuntos tienen un particular interés debido a la naturaleza o a la aplicación que se les da. Estas dos características están presentes en un

Más detalles

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades:

Nota 1. Los determinantes de orden superior a 3 se calculan aplicando las siguientes propiedades: Capítulo 1 DETERMINANTES Definición 1 (Matriz traspuesta) Llamaremos matriz traspuesta de A = (a ij ) a la matriz A t = (a ji ); es decir la matriz que consiste en poner las filas de A como columnas Definición

Más detalles

COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS. Libro de Ejercicios de Matemáticas Empresariales II

COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS. Libro de Ejercicios de Matemáticas Empresariales II COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS Libro de Ejercicios de Matemáticas Empresariales II Manuel León Navarro 2 Capítulo 1 Ejercicios lección 1 1. Sea el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

Tema III. Espacios vectoriales

Tema III. Espacios vectoriales Tema III. Espacios vectoriales 1. Espacios vectoriales 2. Dependencia e independencia lineal 3. Sistemas generadores. Bases 4. Cambio de base 5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones. 6. Interpretación geométrica

Más detalles

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21 Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

Más detalles

PAIEP. Complemento Ortogonal

PAIEP. Complemento Ortogonal Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Complemento Ortogonal Veamos ahora una aplicación de los vectores ortogonales a la caracterización de subespacios

Más detalles

2.1. Estructura algebraica de espacio vectorial

2.1. Estructura algebraica de espacio vectorial Tema 2 Espacios vectoriales de dimensión finita 21 Estructura algebraica de espacio vectorial Los vectores libres en el plano son el sustento geométrico del concepto de espacio vectorial Se trata de segmentos

Más detalles

Funciones reales. Números complejos

Funciones reales. Números complejos Funciones reales. Números complejos Funciones reales 1. Encuentra todos los números reales x que verifican: a) (x 1)(x 3) > 1 b) x + 1 > 1 1 x c) x 1 + x + 1 < 1 d) 5 < x 2 14x + 5 < 26 2. Si la gráfica

Más detalles

Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión.

Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión. Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión. Algebra I I Relación de problemas 3. Espacios vectoriales. 1.-Estudiar si los siguientes conjuntos forman o

Más detalles

Subespacios vectoriales en R n

Subespacios vectoriales en R n Subespacios vectoriales en R n Víctor Domínguez Octubre 2011 1. Introducción Con estas notas resumimos los conceptos fundamentales del tema 3 que, en pocas palabras, se puede resumir en técnicas de manejo

Más detalles

Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia

Valores y vectores propios de una matriz. Juan-Miguel Gracia Juan-Miguel Gracia Índice 1 Valores propios 2 Polinomio característico 3 Independencia lineal 4 Valores propios simples 5 Diagonalización de matrices 2 / 28 B. Valores y vectores propios Definiciones.-

Más detalles

Álgebra Lineal, Ejercicios

Álgebra Lineal, Ejercicios Álgebra Lineal, Ejercicios MATRICES 1 Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal Sea G el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n con traza nula

Más detalles

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas

Más detalles

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.

Estos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones. TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento

Más detalles