Práctica 1. Espacios vectoriales

Transcripción

1 Práctica 1. Espacios vectoriales 1. Demuestre que R n (C n ) es un espacio vectorial sobre R (C) con la suma y el producto por un escalar usuales. Es C n un R-espacio vectorial con la suma y el producto por un escalar usuales? Compruebe que el conjunto de matrices de orden p q a coeficientes reales (complejos) R p q (C p q ) es un espacio vectorial real (complejo) con la suma y el producto por un escalar usuales. Pruebe que el conjunto de polinomios a coeficientes reales P y el conjunto de funciones continuas a valores reales definidas en el intervalo [a, b], que denotamos C[a, b], son ambos R-espacio vectoriales con la suma y el producto por un escalar usuales. 2. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de los espacios vectoriales que se indican: S = {v R 3 : v =[1+r r 4r] T,r R}. S = {v R 2 : v =[r 2r] T,r 0}. S = {A R 2 2 : A es singular}. S = {A R 3 3 : A es triangular superior} S = {A R 2 2 : A = A} S = {A R 2 2 : A[5 6] T =0}. S = {p P 3 : p(1) = p(2)}. S = {p P 2 : 1 0 p(t)dt =0}. S = {f C[0, 1] : f(0) = f(1) = 0}. S = {f C(R) : [f(x)] 2 = f(x)}. S = {f C(R) : f(x) =f( x)}. 3. Determine si R 3 está generado por los vectores v 1 =[1 12] T, v 2 =[ 1 03] T, v 3 =[0 15] T y v 4 =[3 22] T. Encuentre los valores de k R para que los vectores [1 k 0] T,[1 k 1 k] T y[2 2k 1 k 2 + k +1] T sean linealmente dependientes en R Suponga que A R p q y que b R p. Qué condición debe cumplir b para que el conjunto S = {x R q : Ax = b} sea un subespacio de R q?

2 Empleando la respuesta al item anterior determine cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de los espacios que se indican: S={x R 3 : 2x 1 + x 2 + x 3 =0 x 2 x 1 =0}. S={x R n : x 1 = x 2 = = x r =0}. S={x R 4 : x 1 + x 2 =0 x 1 2x 3 + x 4 =1}. 5. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son linealmente independientes en el espacio vectorial que se indica: {[1 i] T, [i 1] T } en C 2 como R-espacio vectorial y como C-espacio vectorial. {2, 3+t, 2 t 2 } en P. {1, 2+2t, 1 t + t 2, 2 t 2 } en P. {t +1, (t + 2)(t + k), t(t +1)} en P 2, siendo k es una constante arbitraria {,,, } en R Encuentre bases para los siguientes subespacios: S = {x R 4 : x 1 +2x 2 + x 4 =0 2x 1 x 2 + x 4 =0}. S = {p P 3 : p(0) = p(1)}. S = {p P 4 : 1 0 p(t)dt =0}. S = {p P 4 : p es impar}. S = {A R 3 3 : A = A T }. S = {A R 2 2 : tr(a) =0} S = {A R 2 2 : A = A} En cada caso, extienda la base del subespacio que obtuvo a una base del espacio vectorial correspondiente. 7. Encuentre una base del subespacio generado por las matrices ,, y [ ]. 8. Para cada una de las siguientes matrices A, halle bases de los subespacios fundamentales: Col(A), Nul(A), Fil(A) y Nul(A T ). Compare sus dimensiones. Calcule rango(a) y rango(a T ) A =

3 1 1 1 A = A = Sea A K n m (K = R ó C), A =[u 1 u 2 u m ] con u i la i-ésima columna de A. Deducir, a partir del hecho que Ax = x 1 u 1 + x 2 u 2 + x m u m, si x =[x 1 x m ] T, lo siguiente: b Col(A) si y sólo si existe x tal que Ax = b. La ecuaciónax = b tiene a lo sumo una solución si y sólo si las columnas de A son linealmente independientes. La ecuación Ax = b tiene a lo sumo una solución si y sólo si rango(a) =m. La ecuación Ax = 0 admite solución no trivial si y sólo si las columnas de A son linealmente dependientes. La ecuación Ax = b tiene solución para todo b si y sólo si rango(a) =n. La ecuación Ax = b tiene solución si y sólo si A y la matriz ampliada à =[Ab] tienen igual rango. 10. Sean A K n m (K = R ó C), A =[u 1 u 2 u m ] con u i la i-ésima columna de A y B K r n. Explicar, a partir del hecho que BA =[Bu 1 Bu 2 Bu m ], por qué Col(BA) Col(B). Dar ejemplos no triviales (A I,0, B I,0) en los cuales se cumpla la inclusión estricta y otros en donde valga la igualdad. Cuál es la relación entre Nul(BA) y Nul(A)?. 11. Si A es de m n y B es de n p tales que Nul(A) = Col(B), qué se puede decir del producto AB? Sea A = Halle B tal que Nul(B) = Col(A) Sea A =. Halle B tal que Nul(A) = Col(B) Demuestre que S 1 S 2 = R 3 3 con S 1 = {A R 3 3 : A = A T } y S 2 = {A R 3 3 : A = A T }. Es cierta la igualdad precedente en R n n? 13.

4 Determinar si la suma de los siguientes subespacios de R 5, S 1 = gen{[ ] T, [20301] T }, S 2 = gen{[ ] T }, S 3 = gen{[ ] T }, es directa y hallar una base de la misma. Idem anterior pero con S 1 = gen{[ ] T, [2030 1] T }, S 2 = gen{[ ] T }, S 3 = gen{[ ] T }. Suponga que {v 1,v 2 }, {v 3,v 4,v 5 } y {v 6,v 7 } son, respectivamente, bases de los subespacios S 1, S 2 y S 3 de un espacio vectorial V. Demuestre que B = {v 1,v 2,...,v 7 } genera S 1 + S 2 + S 3 y que la suma resulta directa si y sólo si B resulta base. Generalice. 14. Encuentre las coordenadas de v en la base ordenada B en cada uno de los siguientes casos: v = [1 2 3] T y B = {[1 1 0] T ; [1 0 1] T ; [0 1 1] T }. v = a + bt + ct 2 y B = {1+t + t 2 ;1+t; 1}. ( Halle la base B de R 2 tal que [ 2 ) ( 3 ] B = 5 ) ( 3 y[ 4 ) ( 2 ] B = 3 ). 16. Sea B = {v 1 ; v 2 ;...; v n } una base ordenada del K-espacio vectorial (K = R ó C) V y sea T : V K n la aplicación que asigna a cada v V su correspondiente vector de coordenadas en la base B notado [v] B, es decir, T (v) =[v] B. Demuestre lo siguiente: [v + w] B =[v] B +[w] B y[αv] B = α[v] B para todo v, w V y para todo α K. T es biyectiva. {u 1,...,u r } es l.i. en V si y sólo si {[u 1 ] B,...,[u r ] B } es l.i. en K n. Halle la expresión de T Resuelva los ejercicios 6 y 7 trabajando en coordenadas respecto de una base B a elección. 18. Sean E = {e 1 ;...; e n } la base canónica de R n y B = {v 1 ;...; v n } una base ordenada de R n. Cuál es la expresión de la matriz de cambio de coordenadas de la base B a la base E, C BE? 19. Supongamos que B, B y B son tres bases ordenadas del espacio vectorial V. Cómo puede obtenerse C BB a partir de C BB y C B B? 20. Halle la matriz de cambio de bases C BB en los siguientes casos: B = {[1 2 3] T ; [1 0 1] T ; [3 4 6] T } y B = {[1 10] T ;[1 2 3]; [1 1 0] T }. B = {1; t 1; (t 1) 2 } y B = {1; t 2; (t 2) 2 }. 21. Halle el wronskiano de las siguientes funciones y, cuando sea posible, determine si son linealmente independientes:

5 1,x,...,x n e αx,xe αx siendo α R e x,xe x,e x senx, sen(x + π 4 ) e 3x sin(2x),e 3x cos(2x) senh(αx), cosh(αx) siendo α R 1, sen 2 x, cos2x 22. Muestre que el conjunto de funciones {x 2,x x } es linealmente independiente a pesar de que su wronskiano es idénticamente nulo. 23. Sean f 1 y f 2 derivables en cierto intervalo abierto I, g 1 = af 1 +bf 2 y g 2 = cf 1 +df 2 donde a, b, c, d R. Muestre que a c W (g 1,g 2 )(x) = W (f b d 1,f 2 )(x), x I