3a b 6a + 2b = 5. Calcula el valor de 3c d 6c + 2d. a + 2b a a + b a + b a + 2b a a a + b a + 2b. = 9b 2 (a + b)

Transcripción

1 PROBLEMAS RESUELTOS DE DETERMINANTES Determinantes de la selectividad de Andalucía. Determinantes de órdenes, y. Determinantes de orden n. ENUNCIADOS Determinantes de selectividad Antes del.. Se sabe que a b c d a b a + b. Calcula el valor de c d c + d x x x. Resuelve la ecuación x + x x + x x x. Sin desarrollar el determinante, demuestra que a + b a a + b a + b a + b a a a + b a + b b (a + b) a. El determinante a vale cero para a. a Comprueba esta afirmación sin desarrollarlo. Determina todos los valores de a para los que las tres columnas del determinante anterior representan vectores linealmente dependientes. Año. Sabiendo que d e f g h i, calcula los siguientes determinantes: (a) d e f g h i (b) a + b c b d + e f e g + h i h. Considera la matriz A Calcula el determinante de las matrices: A, A y (A ) -. Año t. Considera la matriz A t Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

2 . Sin desarrollarlo, calcula el valor del determinante de la matriz k x + ax k y + ay y enuncia las propiedades que hayas utilizado. k z + az Año. Sean C, C y C las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden cuyo determinante vale. Calcula, indicando las propiedades que utilices: a) El determinante de A. b) El determinante de A -. c) El determinante de A. d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, C-C; C y C. Año x y z. Sabiendo que t u v, calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a) x y z t u v (b) y x z u t v b a c (c) x y z t u v x a y b z c. Denotamos por M t a la matriz transpuesta de una matriz M. a b Sabiendo que A y que det(a), calcula los siguientes determinantes: c d (a) det (A t b a ) y d c (b) Sea I la matriz identidad de orden y sea B una matriz cuadrada tal que B I. Calcula det(b). (c) Sea C una matriz cuadrada tal que C - C t. Puede ser det(c)? Razona la respuesta.. Sabiendo que a a a a a a a a -, Calcula: a (a) a a a a a a (b) a a a a a a a a a a a a (c) a a a a a a a a a a a a Año

3 . Sabiendo que A d e f g h i, calcula: (a) A y A (b) c b a f e d i h g y a b a c d e d f g h g i. Sean F, F, F, las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden, cuyo determinante vale -. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) El determinante de B -. (b) El determinante de (B t ) (B t es la matriz traspuesta de B). Año (c) El determinante de B. (d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, F - F, F, F.. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden cuyos determinantes son A / y B -. Halla: (a) AB t, siendo B t la matriz traspuesta de B. (b) El rango de B. Determinantes de orden, y.. Calcular i i (a) + i + i + i i sena cosa (b) senb cosb senc cosc cosx cosx (c) cosx cosx cosx cosx cosx cosx. Resolver aplicando las propiedades de los determinantes: (a) a x c a a b x b c (b) a x c a a ab b x c (c) a x c x b c

4 a a bc a a. Demostrar, sin desarrollar, la igualdad b b ac b b c c ab c c. Comprueba, utilizando las propiedades de los determinantes, que a + b b + c c + a x + y y + z z + x x y z r + s s + t t + r r s x t y z + t. Demuestra sin desarrollar que x z y + t. x t y + z a b c a a. Demuestra sin desarrollar que b b c a b c c c b a (a + b + c). Sabiendo que los números de tres cifras abc, def y ghi son múltiplos de, demostrar que el determinante d e f g h i. Calcular: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) también es múltiplo de. x + y x x x x x + y x x x x x + y x x x x x + y ab b a ab ab a b ab a ab ab b b ab a ab a c + b + d b a + c + d c a + b + d d a + b + c d a b c d (Este determinante se conoce como determinante a b c d de Vandermonde, de orden ) x y z t r x y z t r x y z t r x y z t r x y z t x y z t x y z t

5 (h) (i) a a a a a x x x x Determinantes de orden n.. Calcular: (a) (b) (c) (d) x x x n x n n n n n n S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S n S n S S S S S S n S n primeros i números naturales. n n n n n n n n n n n n n Siendo Si la suma de los

6 (e) (f) (g) (h) (i) a b a b a b a b a i j i n j.n. Demostrar que el determinante de una matriz de orden mayor que, con todos sus elementos iguales a ±, es siempre un número par.. Cuánto vale el determinante de una matriz antisimétrica de orden impar? Cuánto vale el determinante de una matriz idempotente? Cuánto vale el determinante de una matriz nilpotente? Cuánto vale el determinante de una matriz ortogonal? SOLUCIONES. a b a + b a a + b (abro por la ª columna) c d c + d c c + d b a + b (abro ambos determinantes por la ª columna) d c + d a a a b + c c c d - b a d c - b b (el primero y el último de los d d determinantes son nulos por tener las columnas

7 proporcionales) a b c d b a (permuto las columnas del segundo d c determinante) a b c d + a b (saco factor común en las columnas) c d a b c d + a b c d +. También se puede resolver de otra forma: a b a + b c d c + d (C C+C/) a a + b a b (C C-C) (saco factor común c c + d c d de las columnas) a b c d.. x x x Si hago F F-F, queda x + x x +, que desarrollando por x los adjuntos de la tercera fila da x x x x + x ; saco factor común x de la segunda columna x x x + ; x (x x ; x ( x ), que tiene por soluciones y -.. a + b a a + b a + b a + b a (A la primera columna le sumo las otras dos) a a + b a + b a a + b a + b a + b a + b a (saco factor común a+b, de la primera a + b a + b a + b a a + b columna) (a + b) a + b a (a las ª y ª filas les resto la a a + b a + b a + b ª) (a + b) b b (saco factor común b, de la ª y ª filas) a b b a + b (a+b)b ( a la ª columna le resto la ª) b a + b (el determinante es triangular: su valor será, que es el producto de los elementos de la diagonal) (a+b)b b (a + b). Cambio a por : y observo que la tercera columna es suma de la primera y la segunda. Si una línea es combinación lineal de otras paralelas el

8 determinante vale, y este es el caso. Que las tres columnas sean linealmente dependientes equivale a que el a determinante valga cero: a a a a(a + + a a a a a a(a a(a, si a o a.. (a) El determinante (a) se obtiene del original multiplicando, primero, la ª fila por y, luego, la ª columna por. En consecuencia, su valor es. (b) El determinante (b) se obtiene añadiendo a la ª columna el doble de la segunda (lo que no altera su valor) y, luego, intercambiando la ª y ª columnas (que le cambia el signo), en consecuencia vale -... Como A, A A, A A ( ), (A ) A. A t + t +, que es una función cuadrática con coeficiente líder negativo. Deducimos que el determinante será positivo para los valores comprendidos entre los valores de t que determinan el corte de su gráfica con el eje x. Resolviendo la ecuación t + t +, obtenemos t- y t. El mayor valor se corresponde con el vértice de la parábola, cuya abcisa es t., siendo este valor (.) k x + ax k y + ay k z + az k x k x ax x k y + k y ay k y + a k z k z az z, por tener cada uno de los determinantes columnas iguales. k x x k y y k z z. a) A A. b) A A c) A A. d) Det (C-C; C; C) Det (C; C; C) Det (-C; C; C) (el segundo determinante es, por tener proporcionales las dos primeras

9 columnas) Det (C; C; C) Det (C; C; C) - Det (C; C; C) -.. (a) x y z t u v x y z t u v ( x y z t u v (b) Se obtiene multiplicando la ª columna del determinate original por -, y luego cambiando la segunda y la primera columnas. Así, el nuevo determinante es (-)-. (c) x y z t u v x a y b z c x y z t u v x y z x y z t u v, El primer determinante es nulo, por ser proporcionales las filas ª y ªl. El resultado es -(- ),. (a) A t A t A. ( ( a b c d. b a d c ( b a d c (b) I B B. Luego B. (c) C C C t C. Luego C, con lo que C ±... a) El determinante se obtiene multiplicando la ª fila por y, luego, la ª columna por, así el determinante original queda multiplicado por, valiendo -. b) Se obtiene multiplicando po la ª fila, y cambiándola con la segunda, así el determinante original queda multiplicado por -, valiendo. a a a c) a a a a a a (abro por la segunda fila) a a a a a a a a a a a a - a a a (el segundo determinante es a a a a a a nulo por tener iguales la ª y ª filas). a) A ( ) A. A A

10 b) c b a f e d (saco factor común de la ª fila) i h g (intercambio la ª y ª columnas)- d e f g h i -. c b a f e d i h g a b a c a b a d e d f (abro por la ª columna) d e d - d e f -, ya g h g i g h g g h i que el primer determinante es nulo por tener dos columnas iguales.. (a) B B (b) B t (el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta B. (c) B B. (d) Det(F - F, F, F) Det(F, F, F) + Det( - F, F, F). Det(F, F, F) + -. Det(F, F, F).. Los tres primeros apartados son similares a otros ya vistos. a) AB t A B t A B -. b) Vale, por tener el determinante no nulo.. a. i i + i + i + i i i i + i + i i i + i. + i i (abro por la primera columna) i i i + i i i i i + i i (hago ceros mediante F F-F en el primer determinante, y F F-F en el segundo) i i i i + i + i. + i i i i i la primera columna: i i Ahora desarrollo por i. i i i i i i ( i ( i ( i ( i i ( i ( i ( i ( i i + i ( i i

11 . b. c. a. b. i i + i ( i i + i i + i + i + i + + i sena cosa senb cosb senb cosc + sena cosb + senc cosa senc cosc senb cos a sena cosc senc cosb (transformo productos en sumas) sen(b + c + sen(b c + sen(a + b + sen(a b + sen(c + a + sen(c a sen(b + a sen(b a sen(a + c sen(a c sen(c + b sen(c b) sen(b c + sen(a b + sen(c a sen(b a sen(a c sen(c b) (teniendo en cuenta que senx sen( x, será sen(b a sen(a b, etc. ) sen(b c + sen(a b + sen(c a sen(b c + sen(a b + sen(c a cosx cosx cosx cosx cosx cosxcosx + cosxcosxcosx + cosx cosx cosx cos xcosx cosxcos x cosxcosxcosx cos x cosx(cosxcosx cosxcosx + cosx(cosxcosx cos x + cosxcosx cos x (Ahora transformo los productos en sumas) cosx(cosx + cosx cosx cosx + cosx(cosx + cosx cosx cosx + cosx + cosx cosx cos (elimino los términos opuestos y considero que cos ) cosx(cosx cosx + cosx(cosx + cosx cosxcosx cosxcosx + cosxcosx cosx + cosx cos x+cosx (Volvemos a proceder como antes cos x+cosx cosx + cosx + cosx cos x cos x+cos x + cos x + cos x a x c. Si cambio x por b, resultan iguales la ª y ª filas, luego a b x su valor es cero. Si cambio x por c, serán iguales la ª y ª. Como el determinante es un polinomio de grado, no puede haber más soluciones que las citadas xb y xc. a x c. Si hago xb, queda a ab x común de la ª columna y b de la ª) ab. a ab b (saco a factor c c, por tener a a x

12 .. c. iguales las dos primeras columnas. Si hago xac, queda b a ac c ac. x. Soluciones: xb y xac. a ab ac a ab a a x c. Si hago xb, quedan proporcionales la primera y x b c segunda filas, resultando nulo el valor del determinante. Si hago xa, serán proporcionales las filas ª y ª. Soluciones: xb y x-a. a a b b c c (multiplico por abc la primera columna y compenso dividiendo fuera) abc ª y ª filas, respectivamente) bc a a bc a a abc ac b b ac b b abc ab c c ab c c a + b b + c c + a x + y y + z z + x r + s s + t t + r a b + c c + a x y + z z + x r s + t t + r + abc a a abc b b abc c c (saco factor común, a, b y c, de la ª, (comienzo abriendo por la primera columna) b b + c c + a y y + z z + x s s + t t + r (abro por las segundas columnas) + a a c c + a b b c + c + a x y z + x + x z z + x + y y z + x + y z z + x el tercer r s t + r r t t + r s s t + r s t t + r determinante es nulo, por tener dos columnas iguales, los demás los abro por la tercera columna: a b a a c c a c c b c a x y z + x y x + x z z + x z x + y z z + y z x r s t r s r r t t r t r s t t s t r (El º, º, º y º determinantes son nulos por repetir columnas) b c a x y z + y z x en el último determinante hago dos cambios con la r s t s t r tercera columna y, al permanecer igual el signo, quedará: x y z r s t x y z. r s t x y z r s t +

13 . Otra forma de resolver el ejercicio es: a + b b + c c C + C x + y y + z z r + s s + t t a + b b + c c + a x + y y + z z + x r + s s + t t + r x y z r s t (C C + C C,) (C C + C ; C (teniendo en cuenta que, si multiplico una columna por, también queda multiplicado el determinante) x y z r s t x y z + t x z y + t (sumo a la primera columna las demás) x t y + z x + y + z + t y z + t x + y + z + t z y + t (saco factor común de la primera columna) x + y + z + t t y + z (x + y + z + t) (x + y + z + t) y z + t z y + t t y + z (A la tercera columna le sumo la segunda) y y + z + t z y + z + t (saco factor común de la tercera t y + z + t columna) (x + y + z + t)(y + z + t) iguales el determinante.. y z t por tener dos columnas a b c a a b b c a b (a la primera fila le sumo las otras) c c c b a a + b + c a + b + c a + b + c b b c a b (saco factor común a+b+c de la ª fila) c c c b a (a+b+c) b b c a b (a las columnas ª y ª les quito la ª) c c c b a (a+b+c) b a b c (el determinante es triangular superior) c a b c (a+b+c)(-a-b-c)(-a-b-c)(a + b + c).. a b "abc" Si hacemos C C+C+C, el determinante queda como d e "def" g "gi" y, al ser la última columna múltiplo de tres, también lo será el determinante.

14 . (a la primera columna le sumo las demás) (saco factor común de la ª columna) (a cada fila le quito la primera) (desarrollo por la fila) x + y x x x a. x x + y x x x x x + y x (Sumo el resto de columnas a la x x x x + y x + y x x x x + y x + y x x primera) x + y x x + y x (saco factor común de la x + y x x x + y x x x x + y x x primera columna) (x + y) x x + y x (le resto la x x x + y primera fila a las demás) x x x y (x + y) y (el determinante es triangular) (x + y)y y ab b a ab b. ab a b ab a ab ab b b ab ab a ab + a + b b a ab ab + a + b a b ab ab + a + b ab ab b ab + a + b ab ab a b a ab (a + b). a b ab ab ab b ab ab a b a ab (a + b) a b b a ab b ab a b (desarrollo por C) ab ab b ab a a ab a b b a (a + b) ab b ab a b ab (F F-F) (a + ab b ab a a ab a b b a b) ab b ab a b ab a b (a + b) (a b ) a b b a ab b ab a (C C-C) (a + b) (a b ) a b ab b a b + ab (a + b) (a b )( a b )( a b + ab (a + b) (a b) (a b )( a b ) (a b)

15 c. d. e. a c + b + d b a + c + d c a + b + d d a + b + c saco factor común) a a + c + b + d b (a + c + b + d) c (a + c + b + d) d (a + c + b + d) cuarta columna (a + c + b + d) (a la cuarta columna le sumo la segunda, y saco fuera el factor a+b+c+d de la a b, por tener dos c d columnas iguales. (a cada fila le resto la anterior) (hago suma por diferencia) (F F-F yf F-F) (saco el factor común) (a cada fila se le resta la anterior multiplicada por a, por tener dos filas iguales. d a b c d a b c d b a c a d a b ba c ca d da b b a c c a d d a columna y extraigo factor común) b a c a d a b(b a) c(c a) d(d a) b (b a) c (c a) d (d a) b c d b c d (desarrollo por la primera (b a)(c a)(d a)

16 (Como el determinante es parecido al de (le resto a cada fila la anterior multiplicada por b) (b a)(c a)(d a) c b d b (b a)(c a)(d a) c(c b) b(d b) c b d b c(c b) d(d b) (b a)(c a)(d a) (c b)(d b) c d (b a)(c a)(d a) (c b)(d b)(d c) x y z t r f. x y z t r También es, como el anterior, un determinante x y z t r x y z t r de Vandermonde. Procediendo de manera similar, obtenemos el resultado (r x (t x (z x (y x (r y (t y (z y (r z (t z (r t) g. x y z t x y z t x y z t Vandermonde, procederemos de manera similar: F F-xF; F F-xF; y x z x t x F F-x F) y yx z zx t tx y y x z z x t t x y x z x t x y(y x) z(z x) t(t x) y (y x ) z (z x ) t (t x ) y x z x t x y(y x) z(z x) t(t x) (y x)(z y (y + x)(y x) z (z + x)(z x) t (t + x (t x) x)(t x) x) y z t y (y + x) z (z + x) t (t + x y z t y + y x z + z x t + t x + determinantes, por la tercera fila) (y x)(z x)(t x) y z t y z t (y x)(z x)(t x) y z t + x y z t (y x)(z x)(t (abro en suma de dos y z t y x z x t x y z t y z t

17 Si en el primer determinante del paréntesis, hago F F-yF, F F-y F, z y t y queda z y t y z(z y ) t(t y z(z + y)(z y) t(t + y)(t y) ) (z y)(t y) (z y (t y [t(t + y z(z + y ] z(z + y) t(t + y) EL segundo determinante del paréntesis es de tipo Vandermonde, su valor será x[(z y (t y (t z ] (y x (z x (t x (z y (z y (t y t(t + y z(z + y + x (z y (t y (t z (y x (z x (t x (z y (z y (t y t(t + y z(z + y + x(t z (y x (z x (t x (z y (z y (t y t + ty z zy + x(t z (y x (z x (t x (z y (z y (t y t z + y(t z + x(t z (y x (z x (t x (z y (z y (t y (t + z (t z + (t z (y + x (y x (z x (t x (z y (z y (t y (t z) + (x + y + z + t) h. Como es obvio, para resolver el determinante, conviene conocer las propiedades de los números combinatorios. En particular, utilizaremos la propiedad siguiente: n k n k Demostración: n k n k n! (n!(n k) k!(n k! k!(n k! n k (n! n (n k) k!(n k! n! k!(n k! (n! k!(n k! (n!k k!(n k! (n! (k )!(n (k )! n k Si en el determinante restamos a cada columna la anterior, consideramos la n propiedad anterior, y que, quedará:

18 (desarrollando por la primera columna) que es el determinante original, al que se le ha suprimido la última fila y la última columna. Si procedemos sucesivamente, de la misma manera, llegaremos a que. i. a a a a a x x x x (desarrollo por los adjuntos de la primera columna) a x x x x + a a a a x x x (el primer determinante es triangular)

19 . a a a a a x x + x Éste determinante es semejante al primero, x si procedo de manera análoga, obtendré un resultado igual a a a a a x + a x + x. Reiterando el proceso, se obtiene que a a a a a x x x a x + a x + x + a x + a que nos x x permite interpretar un polinomio como un determinante. a. b. x x x (a cada fila le resto la n x x x primera) x x( x ( n x x ( x. (n x. n n n (a cada fila le resto la primera) n n n n n! n

20 c. d. S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S n S n S S S S S S n S n (n n (n n (n n n(n+) anterior) n n n obtenemos n!! n n n n n n n n n n n n n (A cada fila le quito la También (a cada columna le resto la última) n n n n n n n n n n (desarrollo por los adjuntos de la última fila) n(-n)(-n)(-n.(-)(-) (si cambio de signo a todos los factores, menos el primero, y compenso los n- cambios, me queda, como no!:) ( n. n(n (n.. ( n. n!

21 e. f. (A la primera columna le sumo todas las n n demás) n (saco factor común de la primera n columna) (n-). (A cada fila le resto la primera) (n ) ( ) n.(n-) a b a b a b a (La mejor opción es desarrollar por la a b b a primera columna, porque nos quedan dos determinantes a b a b a triangulares) a + a b a b a b ( n+ a b. b. a n + ( n+. b n b a b

22 g. i j i n j.n h. i. fila le resto la anterior) (F i n n n n (a cada n n n n n n n F i F i ; i. n) (desarrollo por los adjuntos de C) n n última columna) ( n (n ) ) n - (desarrollo por los adjuntos de la ( n+ (n (desarrollo por la primera fila).. El primero de los determinantes que me han quedado, es similar al determinante original, pero de un orden menor, los denominaremos

23 respectivamente como Dn y Dn-. Si vuelvo a desarrollar el segundo determinante por la primera fila, queda: -, siendo el primero Dn-, y el segundo, por tener la primera columna de ceros. Obtenemos así la siguiente ley de recurrencia: Dn Dn-- Dn-. Si observamos los primeros determinantes, vemos que D, D. D D-D. La sucesión de determinantes es,por lo tanto:,,,,.: siendo Dn n+ j. Dn (desarrollo por los adjuntos de C) + El primer determinante es triangular superior, y vale n-, el segundo es semejante a Dn, pero de un orden menor. Tenemos así la ley de recurrencia Dn n- + Dn-. Como D, será: D + D +; D + D + + D + D En general, Dn n-, que es la suma de los n primeros términos de la progresión geométrica de primer término y razón. En consecuencia Dn n -...

24 Si a todas las filas les sumo la primera, en éstas sólo habrá, o -, luego desarrollo por los adjuntos de la primera fila y obtengo un resultado par. Ejemplo: suma de pares par.. Una matriz es antisimétrica si es igual a la opuesta de su traspuesta. Como A A t, tenemos que A A t ( ) n A t ( ) n A A. En consecuencia, el determinante vale. Una matriz es idempotente si es igual a su cuadrado. Como A A, será A A. De otro lado A A, quedando A A, luego A ±. Una matriz A se dice que es nilpotente si existe tal que A k. Tendremos que A k A k : Su determinante será nulo. Una matriz A es ortogonal si su inversa coincide con su traspuesta. Tomando determinantes, se tiene que A A A t A. De ahí que su determinante sea.