IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

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1 Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico x Sea f la función definida por f(x) = para x > 0, x (donde ln denota el logaritmo neperiano) ln(x) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f [ 5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e x Sea f la función definida por f(x) = para x > 0, x (donde ln denota el logaritmo neperiano) ln(x) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f [La regla de L Hôpital (L H) nos dice que si las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en un entorno f '( x) f( x) f '( x) de a, f( = g( = 0 y existe lim, entonces lim = lim La regla se puede reiterar, y se puede x 0 g '( x ) x 0gx ( ) x 0g'( x) aplicar si sale 0/0, /, y si el límite tiende a ] Asíntotas verticales (AV) x 0 Como lim f(x) = lim = = 0 = 00 = 0, la función f no tiene AV en x = 0 x 0 + x 0+ ln(x) x Como lim f(x) = lim = = +, la función f tiene AV en x = x + x + + ln(x) 0 x lim f(x) = lim = = -, x x ln(x) 0 Asíntotas horizontales (AH) x Como lim f(x) = lim =, LH ' lim lim x = + x + x + ln(x) = =, la función f no tiene AH en + x + /x x + Asíntotas oblicuas (AO) f(x) La función f tiene una AO y = mx + n, si m = lim y n = lim (f(x) mx) x x x f(x) x m = lim = lim = lim = = 0, la función f no tiene AO en + x x x xln(x) x ln(x) + Como n = lim (f(x) mx) = lim f(x) = +, f tiene una rama parabólica x x Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e Recta tangente en x = e es y - f(e) = f (e)(x e) Recta normal en x = e es y - f(e) = (-/f (e)) (x e) x f(x) =, luego f(e) = e/ = e ln(x) ln(x) - x(/x) ln(x) - f (x) = =,, luego f (e) = ( - )/e = 0 ( ln(x) ) ( ln(x) ) La recta tangente pedida es y (e) = 0 (x e), de donde y = e La recta normal pedida es y (e) = (-/0) (x e), de donde x = e Ejercicio opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico [ 5 puntos] Sea g : (0, + ) R la función definida por g(x) = x + x Determina la primitiva de g cuya gráfica pasa por el punto P(,0) Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable t = x Una primitiva de g es I = G(x) = g(x) dx

2 I = G(x) = g(x) dx = dx Nos dan el cambio t = x, es decir t = x, luego t dt = dx, y sustituyendo x + x t nos queda I = dt, que es una integral racional t + t t t I = dt = dt t + t = {simplifico t } = dt t(t + ) = ln t + + K = {quito el cambio t = x } = t + = I = G(x) = ln x + + K Como G(x) pasa por el punto (,0), tenemos G() = 0, es decir ln + + K = 0, de donde obtenemos K = - ln(), y nuestra primitiva es G(x) = ln x + - ln() Ejercicio 3 opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico - -3 x Sean A = - m m-, B = y X = y m 0 0 z [ 5 puntos] Determina el rango de A según los valores del parámetro m [0 75 puntos] Discute el sistema AX = B según los valores del parámetro m c) [0 5 puntos] Resuelve el sistema AX = B para m = - -3 x Sean A = - m m-, B = y X = y m 0 0 z Determina el rango de A según los valores del parámetro m La matriz A es de orden 3x3, y sabemos que los vectores fila son linealmente independientes si sólo si (sii) el determinante (det ó ) de la matriz M es distinto de cero, en cuyo caso el rango sería 3 Calculamos el determinante desarrollando por el adjunto de la primera fila - -3 Ajuntos A = - m m- tercera = m (m-+3m) 0 + ()(-m +) = 4m m - 4m + = 4m - 6m + m 0 fila Igualando a cero tenemos 0 = 4m - 6m + = m - 3m +, de donde m = y m = / Por tanto si m y m /, A 0 y rango(a) = Si m = tenemos A = En A como - = - + = - 0, tenemos rango(a) = Si m = / tenemos A = - / -3/ / 0 - / En A como = 0 /4 = -/4 0, tenemos rango(a) = / 0 Discute el sistema AX = B según los valores del parámetro m - -3 La matriz de los coeficientes es A = - m m-, y la matriz ampliada es m 0 hemos añadido a la matriz A la matriz columna B - -3, le m 0 0 * A = - m m-

3 Hemos visto en el apartado anterior: - -3 Ajuntos A = - m m- tercera m 0 fila = m (m-+3m) 0 + ()(-m +) = 4m m - 4m + = 4m - 6m + Igualando a cero tenemos 0 = 4m - 6m + = m - 3m +, de donde m = y m = / Por tanto si m y m /, A 0 y rango(a) = 3 = rango (A * ), por tanto el sistema tiene solución única * Si m = tenemos A = - -, y A = - -, En A como - = 0 - = - 0, tenemos rango(a) = 0 En A * como = 0, por tener dos columnas iguales tenemos rango(a*) = Como rango(a) = = rango(a * ) = < nº de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones * Si m = / tenemos A = - / -3/, A = - / -3/ / 0 / / En A como = 0 /4 = -/4 0, tenemos rango(a) = / 0 En A * como - Ajuntos - / tercera / 0 0 fila rango(a * ) = 3, el sistema es incompatible y no tiene solución c) Resuelve el sistema AX = B para m = = (/)(-/) = /4 0, tenemos rango(a*) = 3 Como rango(a) = Por el apartado anterior hemos visto que si m =, rango(a) = rango(a * ) = < nº de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Tomamos sólo dos ecuaciones, las dos últimas, que son con las que hemos formado el menor de A distinto de cero (nos fijamos en las dos últimas filas de la matriz ampliada A * ) -x + y z = x + z = 0 Hacemos z = λ R, con lo cual x = -λ e y = - λ + λ = - λ del sistema (x,y,z) = (-λ, - λ, λ), con λ R Ejercicio 4 opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico Considera los puntos A(,,), B(,0,) y C(3,,0) y el plano π determinado por ellos [ 75 puntos] Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B son simétricos respecto de r [0 75 puntos] Calcula la distancia de A a r Considera los puntos A(,,), B(,0,) y C(3,,0) y el plano π determinado por ellos Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B son simétricos respecto de r Calcula la distancia de A a r Vamos a realizar un pequeño dibujo que nos servirá para los dos apartados 3

4 Al ser A y B son simétricos respecto de r, su punto medio D pertenece a la recta r, D(0,, 3/) Al ser A y B son simétricos respecto de r, el vector director u de r es perpendicular ( ) al vector AB, por tanto u AB = 0 ( es el producto escalar) Como la recta r está contenida en el plano π, el vector director u de r es perpendicular ( ) al vector normal n del plano π, por tanto u n = 0 Al ser A y B son simétricos respecto de r, la distancia del punto A a la recta r, es la mitad de la longitud del segmento AB π es el plano determinado por los puntos A, B y C Un vector normal es el producto vectorial (x) de los vectores AB = (-,-,) y AC = (,0,-) i j k n = ABxAC = - - = i() j(0) + k(4) = (,0,4) Otro vector normal π de es n = (,0,) 0 - La recta r está determinada por el punto D(0,, 3/) y el vector director u = (a,b,c) Como u AB = 0, tenemos (a,b,c) (-,-,) = 0 = -a b + c = 0 Como u n = 0, tenemos (a,b,c) (,0,) = 0 = a c = 0, de donde a = -c Entrando con este valor en la ecuación -a b + c = 0, tenemos -(-c) b + c = 0, de donde b = 5c/ El vector director u de la recta r es u = (a,b,c) = (-c,5c/,c) Como hay infinitos vectores, tomo uno de ellos tomando c =, luego u = (-4,5,) La recta r pedida, tiene de ecuación continua: r x = y - = z - 3/ -4 5 Ya he dicho que la distancia del punto A a la recta r es la mitad del segmento AB, luego: d(a;r) = ( AB )/ = = = ul Opción B Ejercicio opción B, modelo 3 Septiembre 03 específico k Sea f la función definida por f(x) = para x a y x / (x - (x - ) [ punto] Halla a y k sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (0,) y que la recta x = es una asíntota de dicha gráfica [ 5 puntos] Para k = 4 y a =, halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento k Sea f la función definida por f(x) = para x a y x / (x - (x - ) Halla a y k sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (0,) y que la recta x = es una asíntota de dicha gráfica k Como f pasa por (0,) f(0) = (- (- ) = k = a Tenemos f(x) = a (x - (x - ) La recta x = a es una asíntota vertical (AV) de f(x) si lim x a+ [ (f(x) ] = 4

5 Las AV en cocientes de funciones polinómicas suelen ser los números que anulan el denominador, en este caso x = a y x = /, por tanto a =, puesto que x = es una AV Veamos que el límite es infinito: () 4 Nuestra función sería f(x) = = (x - )(x - ) (x - )(x - ) Como lim = = = +, la recta x = es una AV de f x (x - )(x - ) (0 )(4 - ) lim = = = - x (x - )(x - ) (0-)(4 - ) 0 Por tanto a = y k = 4 Para k = 4 y a =, halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento 4 Me están pidiendo la monotonía, que es el estudio de f (x), siendo f(x) = para x y x / (x - )(x - ) f(x) = 4 = 4 (x - )(x - ) x - 5x + 0-4(4x - 5) - 6x + 0 f (x) = = (x - 5x + ) (x - 5x + ) Si f (x) = 0; tenemos 6x + 0 = 0, de donde x = 0/6 = 5/4 = 5, que puede ser el extremo relativo Como f (0) = 0 en (-, 5) {/} Como f (3) = -8 (+) ( 5,+ ) {} (+) > 0, f (x) > 0 en (-, 5) {/}, luego f(x) es estrictamente creciente ( ) < 0, f (x) < 0 en ( 5,+ ) {}, luego f(x) es estrictamente decreciente ( ) en Por definición x = 5/4 = 5 es un máximo relativo de f que vale f(5/4) = 4 (5/4 - )((5/4) - ) Ejercicio opción B, modelo 3 Septiembre 03 específico π / [ 5 puntos] Calcula x sen(x)dx 0 Calculamos primero la integral indefinida I = x sen(x) dx, que es una integral por partes u dv = u v - v du Calculamos primero la integral indefinida = -39/ I = x sen(x) dx = { u = x du = dx; dv = sen(x) dx v = sen(x) dx = (-cos(x))/ } = = x (-cos(x))/ - (-cos(x))/ dx = -(/) x cos(x) + (/) cos(x) dx = -(/) x cos(x) + (/4) sen(x) + K Luego la integral pedida es 0 π/ x sen(x) dx = [ -(/) x cos(x) + (/4) sen(x) + K ] 0 π/ = = ( -(/) (π/) cos(π) + (/4) sen(π) + K ) - ( -(/) (0) cos(0) + (/4) sen(0) + K ) = -(/) (π/) (-) = π/4 Ejercicio 3 opción B, modelo 3 Septiembre 03 específico -3-4 Sean A y B las matrices A = y B = [ 5 puntos] Calcula las matrices X e Y para las que X Y = A y X 3Y = B [ 5 puntos] Halla la matriz Z que verifica B + ZA + B t = 3I (I denota la matriz identidad y B t la matriz traspuesta de B) -3-4 Sean A y B las matrices A = y B =

6 Calcula las matrices X e Y para las que X Y = A y X 3Y = B X Y = A (F F ) 5Y = A B Y = (/5) (A B) X 3Y = B X 3Y = B X = 3 ( (/5) (A B) ) + B = (3/5) (A B) + B = = (3/5)A - (6/5)B + B = (3/5)A - (/5)B = (/5) (3A - B) Las matrices pedidas son: X = (/5) (3A - B) = (/5) 3 - = (/5) + = (/5) = Y = (/5) (A - B) = (/5) - = (/5) + = (/5) = Halla la matriz Z que verifica B + ZA + B t = 3I (I denota la matriz identidad y B t la matriz traspuesta de B) -3 La matriz A = tiene matriz inversa A -, porque det(a) = A = 0-9 = Sabemos que A - = (/ A ) Adj(A t ) A t -3 = ; Adj(A t 5 3 ) = ; luego A - = (/ A ) Adj(A t 5 3 ) = De la expresión B + ZA + B t = 3I, tenemos ZA = 3I B B t Multiplicando los dos miembros de la igualdad ZA = 3I B B t por la inversa A - por la derecha tenemos: ZAA - = (3I B B t )A, de donde Z = (3I B B t )A Z = (3I B B t )A = = = - - = = Ejercicio 4 opción B, modelo 3 Septiembre 03 específico x = - 3λ x + y - = 0 Considera las rectas r y s dadas por r y = 3 + 5λ y s z - 5 = 0 z = λ [ punto] Determina la posición relativa de r y s [ 5 puntos] Calcula la distancia entre r y s x = - 3λ x + y - = 0 Considera las rectas r y s dadas por r y = 3 + 5λ y s z - 5 = 0 z = λ Determina la posición relativa de r y s x = - µ Ponemos la recta s en paramétricas tomando y = µ R, luego s y = µ z = 5 Un punto de r es A(,3,0), y un vector director es u = (-3,5,) Un punto de s es B(,0,5), y un vector director es v = (-,,0) Observamos que los vectores u y v no son proporcionales, por tanto las rectas se cortan o se cruzan AB = (-,-3,5) Si det(ab,u,v) = 0, las rectas se cortan Si det(ab,u,v) 0, las rectas se cruzan Adjuntos Como det(ab,u,v) = -3 5 tercera = (-)(-8) ()(4) = 4 0, luego las rectas se cruzan - 0 fila Calcula la distancia entre r y s Antes de resolver el problema, haremos un pequeño dibujo, y de cada recta tomaremos un punto y un vector director 6

7 De la recta r tomamos el punto A(,3,0) y como vector director el u = (-3,5,) De la recta s tomamos el punto B(,0,5) y como vector director el v = (-,,0) Para el punto A de r tomamos y = 0, de donde x = y z = 4, luego A(,0,4) Sabemos que el volumen del paralelepípedo es el valor absoluto ( ) del producto mixto de tres vectores con origen común ( [AB,u,v] ), pero también es el área de la base (área de un paralelogramo, que es el módulo del producto vectorial de los vectores que lo determinan uxv ) por la altura ( h ), que es la distancia entre las rectas, es decir: Volumen del paralelepípedo = [AB,u,v] = área base h = uxv d(ox,r), de donde la distancia entre las rectas es d(ox,r) = ( [AB,u,v] )/( uxv ) AB = (6,0,0); u = (-3,5,), v = (-,,0) Ya hemos calculado, en el apartado, [AB,u,v] = det(ab,u,v) = -3 5 = 4-0 i j k uxv = -3 5 = i(-) j() + k() = (-,-,), de donde uxv = + + = 6-0 La distancia pedida es d(ox,r) = ( [OA,i,u] )/( ixu ) = = = 5 75 ul

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