TEMA 4: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.

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1 TEMA 4 Ejercicios / 1 TEMA 4: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES. 1. Tenemos un sistema homogéneo de 5 ecuaciones y 3 incógnitas: a. Es posible que sea incompatible?. Por qué? b. Es posible que sea compatible determinado?. Por qué? c. Es posible que sea compatible indeterminado con grado de indeterminación dos?. Por qué? a. No es posible, porque un sistema homogéneo siempre es compatible. b. Si, porque el rango de la matriz de coeficientes, puede ser 3. c. Si, porque el rango de la matriz de coeficientes puede ser 1 (todas las filas proporcionales), y en tal caso el sistema sería compatible indeterminado, con grado de indeterminación Discute según el valor de a y resuelve en los casos de compatibilidad el sistema siguiente: 8x 2y 4z 4 x 5y 2z 9 4x y 2z a La matriz del sistema será: a Si calculamos el determinante de la matriz de coeficientes, tendremos: Como hay menores 2x2 distintos de cero, el rana 2 (Independientemente del valor del parámetro a) En cuanto al rango de la matriz ampliada: 8 2 Partiendo del menor 0 y orlando, tenemos los menores de orden tres siguientes: 1 5

2 TEMA 4 Ejercicios / a 84 0 a a Luego los casos a discutir serán: Si a 2 rana b 3 rana 2 Si a 2 rana b 2 rana 2 SISTEMA INCOMPATIBLE (SI) SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (SCI) 8 2 Para resolver el sistema en este último caso, como tenemos el menor 42 0, 1 5 eliminamos en el sistema la última ecuación, por ser combinación lineal de las dos primeras, y a z lo tomamos como parámetro en las soluciones. Tenemos: 8x 2y 4z 4 8x 2y 4 4 z x 5y 2z 9 x 5y 9 2 Resolvemos utilizando la regla de Cramer: x y z 3. Discute e indica cómo se resuelve, en los casos en que sea posible, el sistema siguiente según los valores de a x y z a 2 ax 3y z 3a 1 3x ay z 3a 1

3 TEMA 4 Ejercicios / a 2 La matriz del sistema es A b a 3 1 3a 1 3 a 1 3a 1 Empezamos calculando el determinante de la matriz A: A 3 a a a a a 3 Los casos que se presentan son: Si a 3 A 0 rana 3 SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO rana b 3 (SCD). Para resolver utilizamos la regla de Cramer: a a x 3a 1 a 1 a a 2 1 a 3a 1 1 y 3 3a 1 1 a a 2 a 3 3a 1 3 a 3a 1 z a 2 9 Si a 3 13a 4a2 3 a 2 9 4a2 13a 3 a 2 9 9a 18 2a2 a 3 a 2 9 4a 1 a 3 4a 1 a 3 a La matriz ampliada es A b Como podemos crompobar las dos últimas filas son iguales luego a efectos del rango podemos suprimir la tercera fila y comprobamos que: rana 2 rana b 2 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (SCI). Para resolverlo, nos quedamos con las dos primeras ecuaciones del sistema (la tercera es igual a la segunda), y tomamos a z como parámetro. x y z 1 z x y 1 3x 3y z 10 3x 3y 10 Según la regla de Cramer: 1 1 x

4 TEMA 4 Ejercicios / y 6 z Si a La matriz ampliada es: A b Como en la matriz A hay dos columnas iguales (la primera y la segunda), el rango de A es menor de Como por otro lado el menor 0, tenemos que el rana En cuanto a la matriz ampliada, si analizamos el menor de orden , luego rana b Por tanto al ser rana rana b, el sistema es INCOMPATIBLE. 4. En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, det (M)0. Puede tener solución el sistema?. Se puede aplicar la regla de Cramer?. Razona las respuestas. Si M 0, entonces el rango de la matriz M (matriz de coeficientes), no será el máximo, pero el sistema puede ser COMPATIBLE, ya que el rango de la matriz ampliada puede ser igual al rangodelamatrizdecoeficientes. Si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada, pero menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo podemos utilizar la regla de Cramer: Si el valor de los rangos de M y M b es r, entonces existirá en la matriz M, un menor de orden r distinto de cero. Las ecuaciones que no intervienen en este menor, las eliminamos (son combinación lineal de las r ecuaciones del menor), y las incógnitas cuyos coeficientes no estén en el menor de orden r distinto de cero, las tomamos como parámetros. De esta forma el menor de orden r será la matriz de coeficientes, del sistema equivalente al inicial, obtenido por el procedimiento que acabamos de exponer, dicho sistema será de Cramer y por tanto podremos utilizar la regla de Cramer para resolverlo. 5. Discute las soluciones de los siguientes sistemas aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius y resuelve mediante la regla de Cramer cuando sean compatibles:

5 TEMA 4 Ejercicios / 5 a. b. c. x 2y 4z 1 2x y 5z 1 x y z 2 2x 10y 8z 6t 2 x y z t 2 x 15y 12z 9t 0 x 5y z 4 2x y z 1 x 6y 2z 3 4x 9y z 9 x 16y 4z 8 a. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. Solución: x 3, y 0, z 1 b. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Solución: x 3,y 2 3,z 2 2,t 2 2 c. SISTEMA INCOMPATIBLE 6. Dado el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas x 2y z 3 ax a 3y 3z 1 donde a es un parámetro, se pide: a. Estudia si para algún valor de a el sistema es incompatible b. Para cada valor del parámetro a, para el que el sistema sea compatible, escribe la expresión general de todas sus soluciones. La matriz ampliada es: A b a a Si los menores y se anulan a la vez, el rango de la matriz A será 1. Si a a 3 a 3 alguno de los menores es distinto de cero el rango será 2. Como: 1 2 a 3 0 a 3 a a 3 3 1

6 TEMA 4 Ejercicios / a 3 Luego: 3 a 0 a 3 Si a 3 existirán menores de orden dos no nulos, luego el rango de la matriz A será dos y el de la matriz ampliada también (el número de incógnitas 3). El sistema será COMPATIBLE INDETERMINADO y la solución será: x 2y z 3 x 2y 3 z ax a 3y 3z 1 ax a 3y 1 3 x y a 3 a a 1 3 3a 7 a 3 a a a a 3 3a 7 a 3 a 3 1 3a a 3 a 3 3a 7 a 3 1 3a a 3 a 3 z Si a 3 los dos menores de orden dos son nulos, luego el rango de la matriz A es 1. En cuanto a la matriz ampliada el menor formado por las columnas tercera y cuarta es 1 3 distinto de cero Luego el rango de la matriz ampliada es 2. Como rana rana b el sistema es INCOMPATIBLE 7. Discute y resuelve, en los casos en que sea posible, el sistema: x my z m 2 x y mz 2m 1 mx y z m 1 m 1 m 2 La matriz ampliada es A b 1 1 m 2m 1 m 1 1 m Si calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: A 1 1 m 3 m m m m 3 3m 2 0 Para resolver esta ecuación descomponemos en factores el polinomio pm m 3 3m 2y obtenemos m 3 3m 2 m 2m 1 2

7 TEMA 4 Ejercicios / 7 Las soluciones de la ecuación m 2m 1 2 0, son m 2ym 1 Si m 2ym 1 A 0 rana 3 rana b 3 DETERMINADO La solución del sistema en este caso será: m 2 m 1 2m 1 1 m x m 1 1 2m m2 m 3 m 2m 1 2 m 2m m m 1 m y m m 1 4 3m2 m 3 m 2m 1 2 m 2m m m m 1 z m 1 m 2m 4 4m2 2m 3 m 2m 1 2 m 2m 1 2 Si m 2 La matriz ampliada es: A b SISTEMA COMPATIBLE mm 2m 1 m 2m 1 2 m m 1 m 1m 22 m 2 m 2m 1 2 m 1 2m 1m 2m 1 m 2m 1 2 El rango de la matriz A tiene que ser menor de 3 ( A 0). Como el menor , podemos afirmar que rana En cuanto al rango de la matriz ampliada, como , tendremos que rana b 2 Por tanto rana 2 rana b 2 SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Para encontrar la solución en este caso, trabajamos con el sistema equivalente: x 2y z 0 x y 2z 2 Tomando a z como parámetro de la solución z m 1 m 1

8 TEMA 4 Ejercicios / 8 La solución del sistema es: x y z Si m 1 La matriz ampliada es: A b x 2y x y Como las tres filas de la matriz A son proporcionales el rana 1. Como en la matriz ampliada hay dos columnas no proporcionales el rana b 2 Por tanto el sistema es INCOMPATIBLE Discute el siguiente sistema según los valores de m y n x my z m 2x y nz n La matriz del sistema es A b 1 m n m n 1 m 1 1 Si en la matriz A b se anulan los menores y n alguno de ellos es distinto de cero, el rango de A será 2. Como 1 m m 0 m 1 2 el rango de A será 1, y si n n 2 0 n 2

9 TEMA 4 Ejercicios / 9 Tendremos: Si m 1 2 y n 2 La matriz ampliada será A b El rana 1 (las dos filas de A son proporcionales) El rana b 2 (las dos filas de la ampliada no son proporcionales, el menor ) 2 2 Luego SISTEMA INCOMPATIBLE Si m 1 2 En este caso, tanto si n 2comosin 2, tendremos que el rana 2 El rango de la ampliada será por tanto también rana b 2 Luego SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO Si n 2 En este caso, tanto si m 1 2 como si m 1, tendremos que el rana 2 2 El rango de la ampliada será por tanto también rana b 2 Luego SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO 9. Dado el sistema homogéneo 2x my 4z 0 x y 7z 0 mx y 13z 0 Calcula m para que tenga solución distinta de la trivial. Resuelve el sistema para estos valores de m. 10. Halla m para que el sistema lineal homogéneo y 2z 0 3y z 0 my z 0 tenga soluciones distintas de la trivial y resuelve el sistema en ese caso. La matriz ampliada es

10 TEMA 4 Ejercicios / 10 A b m ElrangodeAes2( 0) independientemente del valor de m 3 1 Por tanto, independientemente del valor del parámetro m, el sistema es siempre compatible determinado y la única solución es y z Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema: 2y z a 3x 2z 11 y z 6 2x y 4z a La matriz ampliada es A b a 11 6 a Como rana El rango de la ampliada depende de su determinante a a 12 0 a a Luego: Si a 6 rana b 3 rana SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Resolvemos en tal caso el sistema equivalente al inicial

11 TEMA 4 Ejercicios / 11 La solución es: x y z Si a 6 rana b 4 rana 3 2y z 6 3x 2z 11 y z SISTEMA INCOMPATIBLE 12. Estudia, según los valores de a, el siguiente sistema de ecuaciones: ax y z 1 x ay z 1 x y az Dado el sistema siguiente: kx 2z 0 ky z k x 3y z 5 Halla los valores de k: Para que el sistema sea incompatible. Para que el sistema sea compatible indeterminado. 14. Calcula el valor de a, para que el sistema homogéneo que sigue admita otras soluciones distintas de la trivial:

12 TEMA 4 Ejercicios / 12 a. x ay z 0 x 2y z 0 12x 3y 2z 0 2x 5y 3z 0 b. x y z 0 3x ay z Discute y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x y z 1 a. x 2y 3z 2 x z 5 x y 2 b. x 3y 4 2x 4y 7 x y 1 x z 2 c. x y z t 4 x 2t 1 4x 2y 2z 3t 8 x y z 1 d. x 3y 2 x y z 0 e. x y 0 x 3y 2z 0 a. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. La solución es x 21 2,y 4, z 11 2 b. SISTEMA INCOMPATIBLE c. SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO La solución es x 1 3,y 4 3,z 7 3,t 2 3 d. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO La solución es x 1 2 3,y 1 2,z e. SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

13 TEMA 4 Ejercicios / 13 La solución es x 2,y 2,z 16. Discute en función de k y resuelve en los casos en que sea posible: x y 2z 3 a. kx 5y 4z 1 3x 2y z 1 b. x 2y z k 2 x y kz 2k 1 kx y z k kx y z 1 c. x ky z k x y kz k Determina los valores de a y b que hacen compatible el sistema y calcula la solución x by z 0 x y z 0 2x y z 0 ax 2y 5z 0 Como el sistema es homogéneo, independientemente de a ydeb es siempre compatible La matriz del sistema es A b 1 b a Como el menor 1 0, el rango de A b dependerá de los dos menores 3x3 que 2 1 podemos formar orlando el menor anterior 1 b b 2 1 b 3b 1 0 b

14 TEMA 4 Ejercicios / a a a a 11 0 a 11 2 Si a 11 2 y b 1 rana 2 rana b SISTEMA COMPATIBLE 3 INDETERMINADO Resolvemos el sistema equivalente formado por la 2 a y3 a ecuación x y z 0 z x y 2x y z 0 2x y La solución es: 1 1 x y z Si a 11 2 ó b DETERMINADO La solución es x y z 0 rana 3 rana b SISTEMA COMPATIBLE 1. Determina a para que el sistema sea compatible y calcula la solución 2y z a 3x 2z 11 y z 6 2x y 4z a 2. Determina si el siguiente sistema es compatible o incompatible: x y 5 x z 6 y z 7 x y 2z 13 2x y z 13 2x y z 11

15 TEMA 4 Ejercicios / 15 La matriz ampliada es A b ElrangodelamatrizAes3( ) Para calcular el rango de la matriz ampliada, orlamos sucesivamente este menor con la 4 a columna y las filas 4 a,5 a y6 a, hasta obtener un menor 4x4 distinto de cero: Como existe un menor 4x4 distinto de cero el rango de la matriz ampliada es 4. Por tanto el sistema es INCOMPATIBLE. 3. Discute y resuelve el sistema según los valores de los parámetros x y a 3x y a b x y 4 La matriz ampliada es A b 1 1 a 3 1 a b El rango de A es 2 ya que sus dos columnas son linealmente independientes.

16 TEMA 4 Ejercicios / 16 El rango de la matriz ampliada puede ser 3, depende del valor de su determinante A b 4 3a a b a a b 12 2b 16 0 b 8 Si b 8 rana b 3 Como el rango de A es 2 el sistema será INCOMPATIBLE Si b 8 rana b 2 Como el rango de A es 2 el sistema será COMPATIBLE DETERMINADO Resolvemos el sistema equivalente x y a x y 4 y a 2 2 x a y a La solución es: a 2 2 a 2 2 x y a 2y a 4 x a 2 2 y a Dado el sistema de ecuaciones lineales Determina t de modo que: a. El sistema tenga solución única b. El sistema tenga infinitas soluciones c. El sistema no tenga solución x y 1 ty z 0 x 1 ty tz t 1 5. Discute en función de los parámetros,,v, el sistema de ecuaciones x y 1 y z 1 vx vz 1 La matriz ampliada es 0 A b 0 0 Si calculamos el determinante de A tendremos: 1 1 1

17 TEMA 4 Ejercicios / 17 A 2 Si 0y 0y 0 A 0 rana 3 En tal caso será también rana b 3 Luego SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO Si alguno de los parámetros vale 0, tendremos una ecuación del tipo 0 1luegoSISTEMA INCOMPATIBLE 6. Discute y resuelve cuando sea posible el sistema ax y z 2 x ay z 1 x z 0

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