RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

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1 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a x + y 5x + y 33 b 7x y 3 Comprueba, en cada caso, la solución. a 3x 5y x + y x y Por tanto: x 6; y 6 6 b 5x + y x y 3 7 x y Por tanto: x 5; y 83 83

2 Cómo crees que sería la solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas según la regla anterior? Pon las fórmulas correspondientes y aplícalas a la resolución de estos sistemas: 3x y + z 0 x + y + z 3 a x + 3z b x y + z y z x y Si tenemos un sistema 3 Ò 3: a x + a y + a 3 z c a x + a y + a 3 z c a 3 x + a 3 y + a 33 z c 3 a a a 3 y llamamos: a a a 3 ; a 3 a 3 a 33 c a a 3 a c a 3 a a c x c a a 3 ; y a c a 3 ; z a a c ; c 3 a 3 a 33 a 3 c 3 a 33 a 3 a 3 c 3 entonces: x x, y y, z z siempre que? 0. Si aplicamos las fórmulas a la resolución de los sistemas propuestos, tenemos que: a 3x y + z 0 x + 3z y z b x ; y 3 0; z Por tanto: x 5; y ; z x + y + z 3 x y + z x y x 8; y ; z Por tanto: x ; y ; z

3 UNIDD Inversa de una matriz Ò a x, y a Obtén, de forma similar, las expresiones de z y de t. Llegarás, así, a la siguiente conclusión: a a a a a z + a t 0 a z + a t Por tanto: 0 a a a a 0 a z ; t a a a a a Comprueba, efectuando el producto, que: I a a a a a a a a 0 a a a a 0 a 0 0 a + a a I 0 0 plica la expresión anterior para calcular M, siendo: M M M 0 3/5 7/0 /5 /5 7 6 Haz los productos M M y M M y comprueba que, en ambos casos, obtienes la matriz unidad. M M 7 3/5 7/0 0 6 /5 /5 0 M 3/5 7/0 7 0 M /5 /5 6 0 Por qué crees que es necesario que el determinante de sea distinto de cero para que una matriz cuadrada tenga inversa? En su obtención, dividimos por. Es necesario que? 0 para que el sistema que obtenemos tenga solución única. 3

4 Página 03. plica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles: 3x y 5 x + 5y 7 x + y + z 7 a x + 3y b x y 0 c 3x y + t x y 3 7x + y x 3y z + t 6 a 3x y 5 x + 3y x y 3 3 3? 0 8 ran ' 0 8 ran ' El sistema es compatible ' 3 3 b x + 5y 7 x y 0 7x + y ' ' 7? 0 8 ran ' 3? ran El sistema es incompatible. c x + y + z 7 3x y + t x 3y z + t ' Calculamos el rango de : 0? 0; 3 0 0; ran Calculamos el rango de ': El sistema es incompatible ran ' 3? ran

5 UNIDD. Siguiendo el mismo proceso que en el ejercicio anterior, averigua si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles: x + 3y z x + 3y z x + y + z 7 a x + z b x + z c 3x y + t y z 0 y z 5 x 3y z + t 3 a x + 3y z 3 3 x + z 0 ' 0 y z Calculamos el rango de : 3 6? 0 y 0 8 ran 0 Calculamos el rango de ': pues la. a y la 3. a columna son iguales 8 ran ' ran El sistema es compatible. Observación: Como la. a columna de ' y la. a son iguales, necesariamente ran ' ran ; es decir, el sistema es compatible. b x + 3y z x + z y z ' Sabemos que ran ver apartado a de este ejercicio. Calculamos el rango de ': El sistema es incompatible. 30? 0 8 ran ' 3? ran c x + y + z 7 3x y + t x 3y z + t ' Sabemos que ran ver apartado c del ejercicio anterior. Calculamos el rango de ': ran ' ran 3 3 El sistema es compatible. 5

6 Página 0. Enuncia la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a x + a y + a 3 z c a x + a y + a 3 z c a 3 x + a 3 y + a 33 z c 3 a a a 3 Si a a a 3? 0 8 ran 3 ran ' a 3 a 3 a 33 Por tanto, el sistema es compatible. Su solución es: x x, y y, z z, siendo x la matriz que resulta de sustituir en la matriz la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes. nálogamente, y y z se obtienen sustituyendo en la columna de los coeficientes de la incógnita correspondiente por la de los términos independientes.. Utilizando la regla de Cramer, resuelve el siguiente sistema: x 3y + 5z x y + z 8 x + y 9 x 3y + 5z x y + z 8 x + y 9 3 5? x 8 7; y 8 ; z Por tanto: x 7, y, z 5 Página Demuestra la regla de Cramer para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Procede de forma análoga a como se ha hecho en esta página. Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: a x + a y + a 3 z c a x + a y + a 3 z c a 3 x + a 3 y + a 33 z c 3 a a a 3, con a a a 3? 0. a 3 a 3 a 33 6

7 UNIDD Hemos de despejar cada una de las incógnitas. Empecemos por la x. Para despejar x, hemos de eliminar y, z. Esto se consigue multiplicando las tres ecuaciones, que llamamos,, 3, por los adjuntos de los coeficientes de la x: 8 a x + a y + a 3 z c 8 a x + a y + a 3 z c a 3 3 x + a 3 3 y + a 33 3 z c 3 3 Sumando, obtenemos una igualdad que vamos a analizar por partes: El coeficiente de la x es: a + a + a 3 3 El coeficiente de la y es: a + a + a nálogamente, se ve que el coeficiente de z es cero. El término independiente es: c + c + c 3 3, que es el determinante de la matriz x que resulta al sustituir en la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes: x c a a 3 c a a 3 c 3 a 3 a 33 Recapitulamos: al efectuar la suma , obtenemos: x + 0y +0z x Puesto que? 0, podemos despejar la x, y obtenemos: x x Para despejar la y habría que multiplicar las ecuaciones,, 3 por,, 3, respectivamente. Y análogamente procederíamos para despejar z, obteniéndose: y, z y z 7

8 Página 07. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x y + 3z x y + 3z a 3x y + z 3 b 3x y + z 3 y + 7z 0 y + 7z 0 x + y 3 3x + y y + z 5 c d x + 6y 3 x + z x +3y 5x y + z 6 a x y + 3z 3 3 3x y + z 3 3 ' 3 3 y + 7z Calculamos el rango de : 0? 0 y 0 8 ran Calculamos el rango de ': la. a y la 3. a columna son iguales 8 ran ' El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la. a ecuación: x y + 3z y + 7z 0 x y 3z y 7z Solución: x + l, y 7l, z l z 8 x y + 3z + 7z 8 y b x y + 3z 3x y + z 3 y + 7z ' Sabemos, por el apartado a, que ran. Calculamos el rango de ': 3 3 0? 0 8 ran ' 3? ran 0 0 El sistema es incompatible. 8

9 UNIDD c x + y 3 y + z 5 x + z 5x y + z 6 0 Como 0? 0 8 ran 3 0 Calculamos el rango de ': ' 0 8 ran ' 3 El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la última ecuación y aplicar la regla de Cramer: x 6 ; y ; z 3 Solución: x, y, z 3 d 3x + y 3 3 x + 6y 3 6 ' 6 3 x +3y 3 3 Como ' 309? 0, entonces ran ' 3? ran. El sistema es incompatible. Página Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y + z 0 x y z 0 a x y + z 0 b x + y + 3z 0 x + y 0 x 5y 9z 0 x +y z 0 x + y + 5z 0 x + y + z 0 c d 3x y t 0 x + y z 0 x y + z t 0 x 6y + 5z 0 a 3x 5y + z 0 x y + z 0 x + y ' ? 0 0 Por tanto, ran 3 n. de incógnitas. El sistema solo tiene la solución trivial: x 0, y 0, z 0 0 9

10 b x y z 0 x + y + 3z 0 x 5y 9z Seleccionamos el menor? 0 8 ran Podemos suprimir la 3. a ecuación y pasar la z al segundo miembro: x y z x + y 3z x z y z Solución: x l, y l, z l c x +y z 0 x + y + z 0 x + y z 0 x 6y + 5z ran 3 n. de incógnitas El sistema solo tiene la solución trivial: x 0, y 0, z 0 d x + y + 5z 0 3x y t 0 x y + z t ? 0 8 ran 3 Para resolverlo, pasamos la t al. miembro: x + y + 5z 0 3x y t x y + z t t t 0 3 t 0 x 7t t 7t t ; y ; t 0 3 t z t Solución: x l, y l, z 0, t l 0

11 UNIDD. Resuelve: x y + 3z 0 x + 3z 0 y + z 0 y t 0 a b x 3y + z 0 x + y + t 0 x + 5y 0 x + y + 3z + t 0 a x y + 3z 0 y + z 0 x 3y + z 0 x + 5y Calculamos el rango de : 0 3 3? 0; 0 0; Por tanto, ran. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de las dos últimas ecuaciones y pasar la z al. miembro: x y 3z y z x 3z + y 3z z 5z y z Solución: x 5l, y l, z l b x + 3z y t ; 0 x + y + t 0 0 x + y + 3z + t ? 0 8 ran 3 < n. de incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la. a ecuación y pasar la t al. miembro: x 3z 0 y t x + y t x 3t z t 3 3 y t x t y t t 3t Solución: x 3l, y l, z l, t l

12 Página 0. Discute y resuelve: x + y + az 0 a ax y x + y + 6z 0 x + y k b kx y 3 5x + 3y 6 a x + y + az 0 ax y x + y + 6z 0 a a 0 a 0 ' a a 5 ± ± 5a a ± 8 a 3 a Si a, queda: 0 ' 0 3? 0 8 ran ? 0 8 ran ' 3? ran 0 El sistema es incompatible. Si a 3/, queda: 3/ 0 ' 3/ 0? 0 8 ran 6 0 3/ 3 0 3/ 0 El sistema es incompatible. 3? 0 8 ran ' 3? ran

13 UNIDD Si a? y a? 3/ 8 ran ran ' n. incógnitas 3, el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: a 0 z a 5a 6 3 a 5a a 0 a 0 a 0 6 a a 6 x ; y ; a 5a 6 a 5a 6 a 5a 6 a 5a 6 6 a a 6 Solución: x, y, z a 5a 6 a 5a 6 3 a 5a 6 b x + y k kx y 3 5x + 3y 6 ' k k k ' 3k ± 0 ± k k k 3 Si k, queda: ' 3 3? 0 8 ran ran ' n. de incógnitas El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 3. a ecuación: x + y x y 3 Sumando: 3x 5 8 x 5; y x 5 3 Solución: x 5, y 3 Si k 5/3, queda: 5/3 ' 5/ /3 8? 0 8 ran ran ' n. de incógnitas 3 3

14 El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 3. a ecuación: 5 x + y 3 5 x y Sumando: x 8 x y x Solución: x, y 3 6 Si k? y k? 5/3 8 ran ' 3? ran, el sistema es incompatible.. Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: a x + y 0 a x + a + y 0 a x + y 0 a x + a + y 0 a a a + a a a + a a 0 a + a 0 a Si a 0, queda: x + y 0 x + y 0 y x. Sistema compatible indeterminado. Solución: x l, y l Si a, queda: y 0 y 0 Sistema compatible indeterminado. Solución: x l, y 0 Si a? 0 y a? 8 ran El sistema tiene solo la solución trivial: x 0, y 0

15 UNIDD Página. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices: 0 3 B 5 3 Calculamos la inversa de la matriz :? 0 8 existe a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t Calculamos la inversa de la matriz B: B 3? 0 8 existe B a ij ÄÄÄ8 dj B ÄÄÄ8 dj B t ÄÄÄ8 dj B t B B 3. Calcula la inversa de estas matrices: B Calculamos la inversa de la matriz : 5? 0 8 existe a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t

16 Calculamos la inversa de la matriz B: B? 0 8 existe B a ij ÄÄÄ8 dj B ÄÄÄ8 dj B t ÄÄÄ8 dj B B t B Página 3. Expresa en forma matricial y resuelve ten en cuenta el ejercicio de la página anterior: x y z 6 x y 7 a x + 3z b x y x + 5y 3z 0 a x y z 6 x + 3z x + 5y 3z 0 x y 5 3 z 0 3 { { X B En el ejercicio de la página hemos calculado X B 8 X B Solución: x 06, y 6, z 36 b x y 7 x 7 x y y 3 { { B X C En el ejercicio de la página hemos calculado B. B X C 8 X B 7 3 C Solución: x, y 5 5 6

17 UNIDD. Expresa en forma matricial y resuelve: x y 3z t 0 x + y 5 y + z y + z a b y + 3z + t z + t 3x y + t t a x y 3z t 0 y + z y + 3z + t 3x y + t 3 x y 0 3 z 3 0 t 3 { { X B Calculamos la inversa de la matriz : 5? 0 8 existe X B 8 X B Solución: x, y 0, z, t 5 b x + y 5 y + z z + t t 0 0 x y 0 0 z t 3 { { B X C En el ejercicio de la página anterior hemos calculado B. 5 8 B X C 8 X B 0 3 C Solución: x 8, y 3, z, t 7

18 Página 9 EJERCICIOS Y PROBLEMS PROPUESTOS PR PRCTICR Estudio y resolución de sistemas. Regla de Cramer plica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles: x y 6 x + y z a x + y b x y 3z 3 c 5x + y 5 x y z 0 x+ y + z x y z x y 7z 0 d x + y + 3z e f y + z 3x + z 5 x+ 3y 0 x + 3y z 3 x 5y + z 0 3x + y z 6 x+ 3y + z x y z x + y + 3z 5 a x y 6 x + y 5x + y 5 6 '. Como 5? 0 y ' 0, tenemos que: ran ran ' n. de incógnitas El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación: x y 6 x + y Sumando: 5x 5 8 x y x 5 Solución:, 5 b x + y z x y 3z 3 x y z 0 ' Tenemos que 0 y que 3? 0 8 ran Como 3 3? 0 8 ran ' 3? ran 0 Por tanto, el sistema es incompatible. 8

19 UNIDD c x + 3y z 3 x 5y + z 0 3x + y z ' Como 3 0 y 7? 0, tenemos que ran. 5 demás, Luego ran ' ran < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación: x +3y z 3 x 5y + z 0 Soluciones: x 3 + l, y l, z 3 + 7l d x y z x + y + 3z ' 3 3x + z Como 0 y 3? 0, tenemos que ran. 3 0 x z 3 3y x + z 5y Como 6? 0 8 ran ' 3? ran Por tanto, el sistema es incompatible. Sumando: x 3 + y z 5y + x 5y y 3 + 7y e x + y + z x y 7z 0 y + z x + 3y 0 Como ' ? 0 y ' 0, tenemos que: ran ran ' n. de incógnitas 3 El sistema es compatible determinado. 9

20 Para resolverlo, podemos prescindir de la. a ecuación. plicamos la regla de Cramer: x y z f Solución: x 3, y, z x + 3y + z x y z x + y + 3z 5 3 ' Como? 0, tenemos que: ran ran ' n. de incógnitas 3 El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: x y z Solución: x 0, y, z 0

21 UNIDD Resuelve los siguientes sistemas aplicando la regla de Cramer: x + y z 8x + y a b x y + z 3x 5y x + y + z 3x y x + y + z c x + y + z 0 d x y 3z 3y + z x y + z 3 x + y z + t x y z + t e x y t f x + y + z t z t 0 a 8x + y 8 ' 8 8? 0 3x 5y x ; y Solución: x, y b x + y z x y + z x + y + z x y z Solución: x, y, z ' 8? 0 3

22 c 3x y x + y + z 0 3y + z 3 0 z 7 7 Solución: x, y 5, z 7 d x + y + z x y 3z x y + z 3 e z Solución: x, y, z x + y z + t x y t z t ' 8? x 5 ; y 5; ' 3 8? x ; y ; ' Tenemos que 0? t 0 0 t + t 0 x 3 t 3 + t ; 0 3

23 UNIDD f 0 t t t + t 0 + t y + t t t ; z t Soluciones: 3 + l, l, l, l x y z + t x + y + z t z + t? 0 + z t + z t 6 z + t x 3; y z + t Soluciones: x 3, y l + μ, z l, t μ 3 Estudia y resuelve estos sistemas, cuando sea posible: 3x + y z 0 x y + z a x + y + z 0 b x + y + z y z x + y z x + y 5 x +y + z 0 x + z 6 c x y d y + z 7 y z x + y + z a 3x + y z 0 x + y + z 0 y z ' 0 3 Como 6? 0, tenemos que: ran ran ' n. de incógnitas 3. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: x ; y ; z 6 6 x y + z t x + y z + t Solución: x, y, z z + t t 3

24 b x y + z x + y + z ' x + y z 3 Como 3 y 0, tenemos que ran. demás, 8? 0. Luego, ran ' 3? ran. Por tanto, el sistema es incompatible. c x +y + z 0 0 x y ' 0 y z Como 0, 0 y? 0, tenemos que: 0 ran ran ' < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Para hallar sus soluciones, podemos prescindir de la. a ecuación y resolverlo en función de y: x y y z Soluciones: l, l, l. d x + y x + z ' y + z x + y + z 3 0 Tenemos que ' 0 y 0? 0. 0 Luego ran ran ' n. de incógnitas 3. El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la. a ecuación: 7 x y z y x 6 8 ; y 3; z Solución: x, y 3, z

25 UNIDD Encuentra el valor de a para que este sistema sea compatible: x + 3y 5 x + y ax + y 3 x + 3y 5 x + y ax + y ' 6 3 ; ' 6 7a 0 8 a ;? 0 a Si a, ran ran ' 8 Sistema compatible. 7 6 Si a?, ran? ran ' 8 Sistema incompatible. 7 5 Resuelve los siguientes sistemas homogéneos: 9x + 3y + z 0 x + y z0 3x y + z 0 a x 3y z0 b 8x + y + z 0 x y + z0 x + y z 0 a x + y z 0 x 3y z 0 x y + z 0 3 Como 0 y 3? 0, entonces, ran. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 3. a ecuación y pasar la z al segundo miembro: x + y z x y z Soluciones: l, l, l 3 3 b 9x + 3y + z 0 3x y + z 0 8x + y + z 0 x + y z 0 Como z z z z z z z x ; y x + y z 0 x y + z 0 x 3y z ? 0, entonces: ran 3 n. de incógnitas El sistema solo tiene la solución trivial: x 0, y 0, z 0 z 3 5

26 Discusión de sistemas mediante determinantes s6 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m: mx + y + z x + y + z m a x + y + z m b x + y + mz m x y + mz x + my + z x + y + 3z 0 x + my + z c x + my + z 0 d x + 3y + z 5 x + 3y + z mx + y + z x + z 3 3x + y + z e f y z x y + mz 5 a mx + y + z x + y + z m x y + mz m 0 Si m, queda: ' m ' m m 3 m m Contradictorias 8 x + y + z x y + z m x + y z 0 x y z m Sistema incompatible. Si m, queda: ' Contradictorias 8 Sistema incompatible. Si m? y m? 8 ran ran ' n. de incógnitas 3 Sistema compatible determinado. b x + y + z m x + y + mz m x + my + z m m m ' m 3 m 3 ± m 0 8 m 3 ± m m 6

27 UNIDD Si m, queda: 0 ' Contradictorias 8 El sistema es incompatible. Si m, queda: '. Las columnas. a, 3. a y. a son iguales. 3 Como? 0 8 ran ' ran < n. de incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Si m? y m? 8 ran ran ' n. de incógnitas 3 Sistema compatible determinado. c x + y + 3z 0 x + my + z 0 x + 3y + z 3 0 m 0 ' 3 3 m m Si m, queda: '. Como y 0? 0, entonces: ran? ran ' 3. Sistema incompatible. Si m?, queda: ran ran ' n. de incógnitas 3 Sistema compatible determinado. d x + my + z x + 3y + z 5 mx + y + z m 3 5 ' m 3 m ± 6 ± m m ± m 3 m 7

28 Si m 3, queda: ' Si m, queda: 3 5 ' 3 Contradictorias 8. La. a y la 3. a fila son iguales. Sistema incompatible. demás,? 0. Luego, ran ran ' < n. de incógnitas. 3 El sistema es compatible indeterminado. Si m? 3 y m? 8 ran ran ' n. de incógnitas 3. Sistema compatible determinado. e x + z 3 3x + y + z y z x y + mz ' 0 m 5 3 FILS ª 3.ª a 0 3.ª 0 m 5.ª. a 0 m ª 5 0.ª. a m 8 3.ª +.ª 0 m m + 7 m 7 8 m 7 8 m 0 8 m 0 demás, 3 9? 0 8 ran 3 0 FILS Si m 8 ran ran ' n. de incógnitas 3. El sistema es compatible determinado. Si m? 8 ran '? ran 3. Sistema incompatible. 8

29 UNIDD m ' 0 m f x + y + z x y + z m x + y z 0 x y z m 3 ' 3m m Eliminando de la 3. a fila, 3? 0 Si m, queda: ' 0 Entonces: ran ran ' n. de incógnitas 3. Sistema compatible determinado. Si m?, queda: 3 ran < ran '. Sistema incompatible. s7 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a: x y + z 0 x + y + z 0 a x + y 3z 0 b ax + z 0 3x y az 0 x y + az 0 ax + y z 0 3x + 3y z 0 c x + y + z 0 d x + y az 0 3x + 0y + z 0 3x + y + 6z 0 a x y + z 0 x + y 3z 0 3x y az a Como es homogéneo, sabemos que ran ran '. 5a a 5 Si a 5 8 Como 5? 0 8 ran ran ' El sistema es compatible indeterminado. Si a? 5 8 Solo tiene la solución trivial 0, 0, 0. 9

30 b x + y + z 0 ax + z 0 x y+ az 0 ' a 0 a Como es homogéneo, sabemos que ran ran '. a ± + a a Si a 3 o a 8 Como? 0 8 ran ran ' 0 El sistema es compatible indeterminado. Si a? 3 y a? 8 ran ran ' 3. Solo existe la solución trivial 0, 0, 0. ± 5 a 3 a c ax + y z 0 x + y + z 0 3x + 0y + z 0 ' a 3 0 Como es homogéneo, sabemos que ran ran '. a a 5 5 Si a 8 Como 3? 0 8 ran ran ' El sistema es compatible indeterminado. 5 Si a? 8 ran ran ' 3. Solo existe la solución trivial 0, 0, 0. d 3x + 3y z 0 x + y az 0 3x + y + 6z 0 ' 3 3 a 3 6 3a a Si a 8 Como 6? 0 8 ran ran ' 3 El sistema es compatible indeterminado. 6 Si a? 8 ran ran ' 3. Solo existe la solución trivial 0, 0,

31 UNIDD s8 Existe algún valor de a para el cual estos sistemas tengan infinitas soluciones?: 3x y 3z a x+ ay 5z x + y+ z x + y + z a b x + y + az a x + ay + z a 3x y 3z x + ay 5z x + y + z 3 3 ' a 5 3 9a a 3 Si a 3, queda: 3 3 ' Como 5 y 3 0, entonces: 3 ran? ran ' 3 8 El sistema es incompatible. Si a 3 8 ran ran ' 3 8 Compatible determinado. Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas soluciones. b x + y + z a x + y + az a x + ay + z a a a ' a 3 a 3 ± a 0 8 a 3 ± a a Si a, queda: ' 0 Contradictorias. El sistema es incompatible. 3

32 Si a, queda: '. Las columnas. a, 3. a y. a son iguales, y? 0; 3 luego, ran ran '. El sistema es compatible indeterminado. Si a? y a? 8 ran ran ' 3 8 Compatible determinado. Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a. Página 0 Matriz inversa 9 Halla la matriz inversa de las siguientes matrices: a M b N 5 a M? 0 8 la matriz M tiene inversa. La calculamos: a ij ÄÄÄ8 dj M ÄÄÄ8 dj M t ÄÄÄ8 dj M t M 5 M 5 ÄÄ8 ÄÄ8 ÄÄ8 M 5 5 es la matriz inversa. b N 6? 0 8 la matriz N tiene inversa. La calculamos: a ij ÄÄÄ8 dj N ÄÄÄ8 dj N t ÄÄÄ8 dj N t N N 5/ ÄÄ8 ÄÄ8 ÄÄ8 N /3 0 5/6 / es la matriz inversa. 3

33 UNIDD s0 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices: B ? 0 8 Existe 0 3 a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t B 0 3? 0 8 Existe B a ij ÄÄÄ8 dj B ÄÄÄ8 dj B t ÄÄÄ8 B dj B t B / 3/ B Utiliza las matrices y B que has calculado en el ejercicio anterior para resolver estas ecuaciones: a X B b XB a X B 8 X B 8 X B X B b XB 8 XBB B 8 X B / 3/ 3/ 7/ X B

34 x 0 s Consideramos la matriz siguiente: 0 3 x a Halla los valores de x para los que tiene inversa. b Calcula, si es posible, para x. a Existe solo cuando? 0. x x? 0 si x? 0 x Luego, existe para todo x? 0. b Para x, tenemos que? 0, luego existe en este caso. La calculamos: a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t / 3/ Forma matricial de un sistema 3 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa: x + y x + y z 3 a y + 3z 0 b x + y + z x + y + z x y 3z x + y x +y + z 3 c y + z d 3y + z x + z 3 x +y +z a x + y y + 3z 0 x + y + z 0 x 0 3 y 0 z 3 { { X B? 0 8 Existe. La calculamos: a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t / 3/

35 UNIDD Luego: X B 8 X B 8 / 3/ 8 X B Por tanto: x, y 0, z 0 b x + y z 3 x 3 x + y + z y x y 3z 3 z 3 { { X B? 0 8 Existe. La calculamos: a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t Luego: X B 8 X B X B Por tanto: x, y, z 0 0 c x + y y + z x + z 3 0 x 0 y 0 z 3 3 { { X B? 0 8 Existe. La calculamos: a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t Luego: X B 8 X B 8 8 X B Por tanto: x, y 3, z 35

36 d x +y + z 3 3y + z x +y +z x y z 3 { { X B 3? 0 8 Existe. La calculamos: a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t Luego: X B 8 X B X B Por tanto: x 0, y, z Escribe en la forma habitual estos sistemas y resuélvelos si es posible: x 3 x a y b 3 0 z 0 y a x + 3y + z x y z 0 l x + 3y l x y l l 3 l l + l l + 3l x ; y 3 + l 3l Solución: x, y, z l 3l b x + y 3x y 0 x y 3 0 Comprobamos si tiene solución: 8? 0 8 ran ' 3? 0 8 ran 3 Como ran? ran ', el sistema es incompatible. 36

37 UNIDD PR RESOLVER s5 Determina los valores de m para los cuales son incompatibles estos sistemas: mx y z m m + x+ y + z 3 a x y + mz m b x + y + mz x + y + z x + my+ z x + y z m c m 6y + 3z 0 m + x + y 3 a mx y z m x y + mz m x + y + z m m ' m m 3 m m m m Si m, queda: ' Contradictorias. El sistema es incompatible. Si m?, es compatible determinado, pues ran ran ' 3. Por tanto, solo es incompatible para m. b m + x + y + z 3 x + y + mz x + my + z ' m 3 m 3 m + 6m mm m Si m 0, queda: 3 0 ' Como y 0, entonces: 0 ran ran ' 8 m + 3 m Compatible indeterminado. m 0 m m 3 37

38 Si m, queda: ' 3 3 Contradictorias 8 Sistema incompatible. Si m 3, queda: 3 3 ' 3 Como 5 y 5, entonces: ran? ran ' 3 8 Sistema incompatible. Si m? 0, m? y m? 3 8 Sistema compatible determinado, pues ran ran ' 3. Por tanto, es incompatible para m y para m 3. c x + y z m m 6y + 3z 0 m + x + y 3 ' m m 0 m m ± + 60 m m ± 8 m 5 m 3 Si m 5, queda: ' 0 3. Como? 0 y 0 0 0, entonces ran ran ' ; el sistema es compatible indeterminado. Si m 3, queda: 7 7 ' Como 0 8 y , entonces ran? ran ' 3. El sistema es incompatible. Si m? 5 y m? 3 8 Sistema compatible determinado, pues ran ran ' 3. Por tanto, es incompatible solo para m 3. 38

39 UNIDD s6 Discute y resuelve según los valores de a: a + x + y + z a + 3 ax + y a a b ax + y a x + ay a ax + 3y + z a + a ax + y a a a ' x + ay a a a 3 a 0 a a Si a, queda: 0 ' 0 El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos: x + y 0 8 y x. Soluciones: x l, y l Si a, queda: ' Las ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible. Si a? y a? 8 ran ran ' n. de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: a a a a a x a + a + a a a + a a a a a + a y a + a a a a + a a Solución: x ; y a + a + a + a + a + a a + b a + x + y + z a + 3 ax + y a ax + 3y + z a + ' a + a + 3 a 0 a a 3 a + 3 a a Si a, queda: 0 ' 0. La. a fila es la 3. a menos la. a. 3 39

40 0? 0; luego, ran ran '. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo podemos prescindir de la 3. a ecuación y poner las otras dos variables en función de y: y + z x + y; z y x + y Soluciones: x + l, y l, z l Si a? 8 ran ran ' 3 8 Compatible determinado. Lo resolvemos: a + 3 a 3 a + a +3 a +3 a +3 a 0 a a 0 x a + 0 ; y 0; a + a + a + a + a + a +3 a a z a + a + a + a + a + Solución: x, y 0, z a a + s7 Discute y resuelve, según los diferentes valores del parámetro a, estos sistemas de ecuaciones: ax + 7y + 0z x + y + z a ax + 8y + 3z b ax x az ay + z 0 a ax + 7y + 0z ax + 8y + 3z x az a 7 0 ' a 8 3 a 0 0 a 3 a a Si a, queda: '. Observamos que la. a y la 3. a columna son iguales. 0 3 demás, 8 8? 0; luego ran ran '. 0 0

41 UNIDD El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la. a ecuación: x +8y 3z 8y 3z z z 8 y 3z x + z Soluciones: + l, 3l, l Si a, queda: ' 8 3. Como 8 8? 0 y 8? 0, ran? ran ' 3. El sistema es incompatible. Si a? y a? 8 ran ran ' n. de incógnitas 3. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: x a a a + a a 0 a 3 y 3 a 3 3a a a a + a a 7 a 8 z a a a a + a a + a 3 Solución: x, y, z + a + a b x + y + z ax ay + z 0 a a 0 Si a 0, queda: ' 0 a a 0 a 0 0 ' 0 a 0 3 a 0 a + a + a 3 + a + a Sistema incompatible la. a ecuación es imposible

42 Si a, queda: ' 0 0. La. a y la 3. a columna son iguales demás,? 0; luego ran ran '. 0 El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la 3. a ecuación: x + y + z x Soluciones:, l, l Si a? 0 y a? 8 ran ran ' n. de incógnitas 3. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 a 0 0 a 0 x a a ; y ; a a a a a a a a a a 0 a 0 a 0 z a a a a a a Solución: x, y, z a a x y x z z 0 0 s8 Discute y resuelve los siguientes sistemas: lx + z 0 m + x +m y z 3 a ly z l b mx y + z x + 3y + z 5 x + my z lx + 3y + z l mx + y + z c x + ly + lz d x + my + m z x + y z x + y + z a lx + z 0 ly z l x + 3y + z 5 l l l ' l + l ll l 0 y l

43 UNIDD Si l 0, queda: ' La. a fila es la. a multiplicada por ? 0; luego ran ran '. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos prescindiendo de la. a ecuación: z 0 z 0; x 5 3y x + 3y + z 5 Soluciones: x 5 3l, y l, z 0 Si l, queda: ' y 0? 0; luego ran < ran ' El sistema es incompatible. Si l?0 y l? : ran ran ' 3. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: l l x l ll + ll + l + 5 l 0 0 l y l +3l ll +3 ll + ll + ll l l l z l ll + ll + l l + l +3 Soluciones: x, y, z l + l + l +3 l + l l + 3

44 b m + x +m y z 3 mx y + z x + my z mm + 0 Si m, queda: ' ' m y? 0; luego ran < ran ' 3. El sistema es incompatible. Si m 0, queda: ' y 0? 0; luego ran < ran ' 3. 0 El sistema es incompatible. Si m? y m? 0: ran ran ' 3. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 3 m m x mm + m + 3 m y mm + m + m 3 m m m z mm + m + mm + m + mm + m + Soluciones: x, y, z mm + m m 0 m m + m 3 m m + mm +

45 UNIDD c lx + 3y + z l x + ly + lz x + y z l +l + 0 ' 3 Si l, queda: 3 '. La. a columna es igual a la. a y la opuesta de la 3. a, 3 y? 0; luego ran ran '. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos prescindiendo de la. a ecuación: x y z x + y z + z + z + z + z + z x + z; y 0 Soluciones: x + l, y 0, z l Si l, queda: 3 '. La. a fila es la suma de las otras dos. 3? 0; luego ran ran '. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos prescindiendo de la. a ecuación: x +y +z x + y z + z x y + z x + y + z x +y z x + y + z z z z + z 3z x + z; y 3z Soluciones: x + l, y 3l, z l l 3 l l l l l 5

46 Si l? y l?: ran ran ' 3. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: l 3 l l l +l + x l +l + l +l + l l l y 0 l +l + l 3 l l z 0 l +l + Solución: x, y 0, z 0 d mx + y + z x + my + m z x + y + z m ' m m 3 m 3 +3m m 0 8 m 0, m, m Si m 0, queda: ' 0 0 y 0? 0; luego ran < ran ' 3. 0 El sistema es incompatible. Si m, queda: ' Ecuaciones contradictorias. El sistema es incompatible. Si m, queda: ' La. a y la. a fila son iguales. 6

47 UNIDD ; luego el sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos: x + y + z x +y +z x + y z x +y z z z 3 + z 3 x + z; z z 6z y 3z Soluciones: x 3 + l, y 3l, z l Si m? 0, m? y m? : ran ran ' El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: m m x 0; m 3 + 3m m m m y m 3 + m + m m 3 + 3m m m 3 + 3m m m m / m ; mm m m m m m m 5m + z mm m mm m m m mm m m + m m m Soluciones: x 0, y, z m m m + m m 7

48 Página s9 Discute los siguientes sistemas en función del parámetro y resuélvelos cuando sean compatibles: ax + y 0 mx + y + z 0 a y + az 0 b x my z x + ay 0 x + y + z 0 kx + ky z x + 3y + z 5 3x ky 0 mx + z 0 c d 5x + ky 0 my z m x + z x y + z 0 a ax + y 0 a 0 0 y + az 0 ' 0 a 0 x + ay 0 a Se trata de un sistema homogéneo, por tanto siempre es compatible. a 3 a 0 8 a 0 Si a 0, queda: ' La. a ecuación es la opuesta de la. a ? 0; luego ran ran '. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos prescindiendo de la. a ecuación: y 0 Cualquier valor de z satisface la ecuación. x 0 Solución: x 0, y 0, z l Si a? 0: ran ran ' 3. El sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial. Solución: x 0, y 0, z 0 b mx + y + z 0 x my z x + y + z 0 ' m + 3m 0 m 0 m 0 3 m m 8

49 UNIDD Si m, queda: ' 0 y? 0; luego ran < ran ' 3. 0 El sistema es incompatible. Si m, queda: ' La. a y la 3. a fila son iguales. 5? 0; luego ran ran ' El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos prescindiendo de la 3. a ecuación: x + y + z 0 x y z z + z z x z z + 3z 3 y z l 3 Soluciones: x, y l, z l Si m? y m? : ran ran ' 3. 5 El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 0 m 0 m m x 0; y ; m + 3m m + 3m m m m 0 x + y z x y + z 0 m 0 m m + z m + 3m m m m Soluciones: x 0, y, z m m z 5 9

50 c kx + ky z 3x ky 0 5x + ky 0 x + z k k 3 k 0 0 ' 5 k ' 0k 0 8 k 0 Si k? 0: Como ran < y ran ', el sistema es incompatible. Si k 0, queda: '. La. a y la 3. a ecuación son equivalentes Podemos eliminar la 3. a ecuación. La matriz ampliada se transforma en: 0 0 B' B 0 Como B 0 y ? 0, ran B < ran B' 3. Por tanto, en cualquier caso, el sistema es incompatible. d x + 3y + z mx + z 0 m 0 0 ' my z m 0 m m x y + z ' m m 0 +7m 0 m 7 Si m? 0 y m? 7: Como ran < y ran ', el sistema es incompatible. Si m 0, queda: '. La. a y la 3. a fila son equivalentes Podemos eliminar la. a ecuación. 50

51 UNIDD La matriz ampliada se transforma en: 3 5 B' B Como B? 0, ran B ran B' 3. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: x ; y ; z Solución: x, y, z 0 Si m 7, queda: '. Como ? 0, ran ' ran El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos prescindiendo de la. a ecuación: x y z Solución: x, y, z 7 0 5

52 0 Escribe las ecuaciones lineales del sistema X B siendo: 3 0 y B 5, y resuélvelo. 0 x X B y 5 0 Multiplicando las matrices del primer término: x y + z 3x + y 5 x + z Resolvemos el sistema: ' { B x y z z Solución: x, y, z 3 3 s Dada, halla una matriz X tal que X. 3 Multiplica dos veces por, una vez por la izquierda y otra por la derecha. Calculamos? 0 8 existe : a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t

53 UNIDD Por tanto: X 8 X s Resuelve la ecuación XB C siendo: 3 3 B C 3 XB C 8 X B B C B 8 X C B Calculamos y B y B 8 existen y B : a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t a ij ÄÄÄ8 dj B ÄÄÄ8 dj B t ÄÄÄ8 dj B t 3 3 B B 3 3 Por tanto: X C B Dadas las matrices: B C D halla la matriz X que verifica B t + CX D. B t + CX D 8 B t + C B t + CX B t + C D 8 8 X B t + C D 3 Sea E B t 0 + C

54 Calculamos E E 6? 0 8 existe E : a ij ÄÄÄ8 dj E ÄÄÄ8 dj E t ÄÄÄ8 dj E t E E Por tanto: X B t + C D E /3 D /3 Halla X tal que 3X B, siendo: B 0 0 3X B 8 X B 3 Calculamos? 0 8 existe : a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t Por tanto: /3 /3 0 X 0 0 /3 / /3 /3 5 Resuelve el siguiente sistema: 0 5 x 3 y + z 0 5 x 7 y Calculamos 6? 0 8 existe : z 3 { { X B a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t

55 UNIDD Por tanto: X B 8 X B x Luego y ; es decir: x, y, z z s6 Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro a y resuélvelo en los casos en que sea compatible: x az x +a +3y + az 0 x +a +3y +a +z a + x az x +a +3y + az 0 x +a +3y +a +z a + a 3 + a + a a ' a + 3 a 0 a +3 a + a + 3 a 3 a a Si a 3, queda: 0 3 ' Como 3 y 7 0 8? 0, entonces ran? ran ' 3. 7 El sistema es incompatible. Si a, queda: ' La. a y la 3. a fila son iguales. demás, 0? 0; luego ran ran ' < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos en este caso. Podemos prescindir de la 3. a ecuación puesto que es igual que la. a : 55

56 x + z x + y +6z 0 y y y x ; z 3 + l Soluciones: x, y l, z Si a, queda: 0 ' Como 0 y 0? 0, entonces ran? ran ' 3. 3 El sistema es incompatible. Si a? 3, a? y a? 8 ran ran ' 3 n. de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 a 0 a + 3 a a + a +3 a + a + 5a +6 x a + 3a + a a + 3a + a a + 3a + a + 3a + a a a 0 a a + a + a 3a 0 y a + 3a + a a + 3a + a a + a 5 a 5 a + 3a + a a + 3a a + 3 a + 0 a +3 0 z a + 5a +6 a + 3a + a a + 3a + a a + 3a + a + 3a + a x +z x +6z y a 6 l + y + a 5 a + a 3 a 5 Soluciones: x, y, z a a + a 3 a 56

57 UNIDD s7 verigua los valores de a para los cuales admiten infinitas soluciones los sistemas siguientes. Obtén todas las soluciones e interpreta geométricamente los resultados obtenidos: x + y + z 3 ax y a x + y + az 5 b x ay a x + y 3z a x + y + z 3 x + y + az 5 x + y 3z 3 ' a a a 9 Si a 9, queda: 3 3 ' 9. Como y 5 0, entonces: ran ran ' < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Lo resolvemos. Podemos prescindir de la 3. a ecuación y pasar la z al. miembro: x + y 3 z x + y 5 9z Soluciones: x + 5l, y 7l, z l Geométricamente, son tres planos que se cortan en una recta. Si a?9 8 ran ran ' n. de incógnitas 3. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: a x a 9 ; a 9 a a y a 8 a 9 ; a 9 a 9 a 9 3 z 3 z 5 9z 5 9z x + 5z; y 7z 3 5 z 0 0. a 9 a 9 Solución: x, y, z 0 Geométricamente, son tres planos que se cortan en el punto,, 0. 57

58 b ax y ' a x ay a a a 3 a a + 0 a Si a, queda: '. Compatible indeterminado. Lo resolvemos: x y 8 x + y. Soluciones: x + l, y l. Geométricamente, son rectas coincidentes se trata de la misma recta. Si a, queda: '. Las ecuaciones son contradictorias. 3 El sistema es incompatible. Geométricamente, son dos rectas paralelas. Si a? y a? 8 ran ran ' n. incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: a a x a a ; a a + a a + a + a a a a a + y a a + a a a + Solución: x, y a + a a + Geométricamente, son dos rectas que se cortan en un punto. s8 Calcula la matriz inversa de cada una de las siguientes matrices para aquellos valores de a que sea posible: a a a 3 a b a a 0 c 0 a a a a 8 a +? 0 para cualquier valor de a. Luego, existe para cualquier valor de a. La calculamos: 58

59 UNIDD a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t a a a a a a + a a a a a + a + 3 a b 8 a? 0 si a? 0. Solo existe si a? 0. a La calculamos en este caso: a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t a a a a a 3 a 3 3 a a a 0 c 8 a a? 0 si a? 0 y a? 0 a Existe solo cuando a? 0 y a?. La calculamos en este caso: a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t 0 a 0 a 0 a 0 a a 0 a 0 a 0 a s9 0 Halla, en función de a, el rango de la matriz 0 a 3 a y calcula, si existe, la matriz inversa en los casos a y a. 0 0 a 3 a 8 a + a ± 6 ± 8 a 0 0 a 3 3? 0 a 0 3 ± a a 3 59

60 Por tanto: Si a o a 3 8 ran Si a? y a? 3 8 ran 3 sí, si a, como 0, no existe. Para a, 8? 0, sí existe. La calculamos en este caso: a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t s30 Halla los valores del parámetro t para los cuales las matrices y B no son regulares y calcula: a si t b B si t 0 0 t 0 t B 0 3 t t 0 a t ± ± 6 + t 0 8 t no es invertible para t ni para t 6. Calculamos para t : a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t 5 3 ± 8 t t b B t 0 t t B no es invertible para t ni para t. 60

61 UNIDD Calculamos B para t : 0 B 0 8 B 3 0 a ij ÄÄÄ8 dj B ÄÄÄ8 dj B t ÄÄÄ8 dj B t B B Página s3 3 Dadas las matrices l y B l 0 0 donde l es cualquier número real: a Encuentra los valores de l para los que B es regular. b Determina los valores de l para los que B es regular. c Dados a y b, números reales cualesquiera, puede ser el siguiente sistema compatible determinado? x a y z b 3 a B l l 0 0 B l 3 ± ± 5 + 3l 0 8 l 3 ± 5 l l B es regular cuando l? y l?. 3 l 3 b B l l 0 l l l 0 B 0 8 B no es regular. + l 3 + l l 6

62 c ' l a ; 3 8 ran ran ' < n. de incógnitas b 3 El sistema es compatible indeterminado, para cualquier valor de a y b. Por tanto, no puede ser compatible determinado. s3 En el supuesto de que exista, calcula una matriz X tal que X B en los siguientes casos: 0 0 a 3 0 y B b y B a? 0 8 Existe. Luego: X B 8 X B 8 X B Calculamos : a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t Por tanto: 9 3 X b Para poder efectuar el producto X B, X debería ser si existiera de dimensión Ò 3. x y z Sea X. a b c Entonces: x + a y + b z + c 0 x y z X x + a y + b z + c a b c 3a 3b 3c 5 3 3a 5 8 a x + a 8 x 3 5 x + a 8 x 8 x No tiene solución. Luego no existe X tal que X B. 3 6

63 UNIDD s33 Dado el sistema: x y + a + bz a S: x + z b x z a 3b a Demuestra que es compatible determinado para cualquier valor de a y b. b Resuélvelo para a b. a x y + a + bz a x + z b x z a 3b ' a + b a 0 b 0 a 3b 3 a + b 0? 0 8 ran ran ' 3 0 El sistema es compatible determinado para cualquier valor de a y b. b Si a b, queda: ' 0, con. 0 3 Lo resolvemos mediante la regla de Cramer: 0 0 x ; y 3 3 ; 0 0 z 3 3 Solución: x, y 3, z 3 63

64 CUESTIONES TEÓRICS s3 s35 En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a 0. Responde razonadamente a las siguientes preguntas: a Puede ser compatible? b Puede tener solución única? c Se puede aplicar la regla de Cramer? a Sí, podría ser compatible indeterminado si ran ran ' < n. de incógnitas. b No, pues al ser ran < n. incógnitas, el sistema no puede ser compatible determinado. c Sí, si es compatible, pasando al. miembro las incógnitas que sea necesario. El rango de la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones y tres incógnitas es igual a 3. Qué puedes decir de su solución? Razona tu respuesta. l ser el sistema homogéneo con 3 incógnitas, tenemos que ran ran ' n. de incógnitas 3. El sistema sería compatible determinado. Por tanto, tendría como solución única la solución trivial 0, 0, 0. s36 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es igual a. Qué rango, como máximo, puede tener la matriz ampliada? Como máximo, la matriz ampliada podrá tener rango. 37 Existe algún valor de a para el cual la matriz a a no tenga inversa? a a a a a a +? 0 para cualquier valor de a. Por tanto, no existe ningún valor de a para el que la matriz dada no tenga inversa. s38 3x y + z 5 Dadas estas ecuaciones: x 3y + z a ñade una ecuación para que el sistema sea incompatible. b ñade una ecuación para que el sistema sea compatible determinado. Justifica en cada caso el procedimiento seguido para añadir la ecuación. a Por ejemplo, 3x y + z contradice la. a ecuación; luego si añadimos esta ecuación, el sistema obtenido sería incompatible. b Por ejemplo, si añadimos la ecuación y 0, como 3? 0, el sistema sería compatible determinado

65 UNIDD s39 s0 Representa matricialmente los sistemas: 3x + y 3x + y 0 S: S': x + y 0 x + y Resuélvelos y averigua si existe alguna relación entre las soluciones obtenidas y la inversa de la matriz 3. Justifica la relación obtenida. SISTEM S SISTEM S' 3 x 3 x 0 y 0 3 y Calculamos la inversa de? 0: a ij ÄÄÄ8 dj ÄÄÄ8 dj t ÄÄÄ8 dj t x y SOLUCIÓN DEL SISTEM S SOLUCIÓN DEL SISTEM S' x y 3 Las soluciones obtenidas son cada una de las columnas de la matriz inversa. Observamos que las matrices de los términos independientes de los dos sistemas son las columnas de la matriz identidad. Por tanto, las incógnitas que hallamos son los elementos de la matriz inversa. Si el rango de la matriz de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es dos, y el de la matriz ampliada, tres, qué interpretaciones geométricas podemos dar a ese sistema? Pon un ejemplo de un sistema de esas características y su interpretación geométrica. Si ran? ran ' 3, el sistema es incompatible. Interpretaciones geométricas posibles: Dos planos paralelos y otro que los corta: 3 Tres planos que se cortan dos a dos, pero sin ningún punto común a los tres: Un ejemplo de cada uno de los dos casos sería: x + y + z x + y + z x + y x + y x + y + z 3 x + y + z 5 : 65

66 s Si dos sistemas de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, X B y X B', tienen una misma matriz de coeficientes, puede ser incompatible uno de los dos sistemas mientras que el otro es compatible determinado? No. Si uno de ellos es compatible determinado es porque ran ran '. Por tanto, si es la misma matriz en los dos sistemas, también en el otro será ran. Luego los dos serían compatibles determinados. s Determina una matriz para que el sistema homogéneo X 0 sea equivalente a la ecuación matricial: x y z 0 0 La ecuación matricial dada la podemos escribir así: x + y + z 0. Si llamamos y X x + y + z 0 entonces: X 0 Por tanto, la matriz que buscamos es. x y z Página 3 PR PROFUNDIZR 3 Estudia y resuelve cuando sea posible: x + y +t 3 ax + z + t 3x y + z t ay + z t a b 5x 3y + z t a ay + z t x + y + z + t az t 0 a x + y + t x y + z t 3 ' 5x 3y + z t a x + y + z + t 5 3 a y 3 3? 0 8 ran 3 La. a columna depende linealmente de las tres primeras. 66

67 UNIDD FILS 0 3.ª ª 3 3.ª. a 0.ª. a 5 3 a a 0 a FILS.ª.ª +. a 3. a +. a a + 3a a Si a 8 ran ran ' 3 < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la. a ecuación y pasar la t al. miembro: x + y 3 t 3x y + z + t x + y + z t 3 t 0 3 t 0 + t 3 + t t t 5 5 t t t t x ; y ; t 3 + t t 8 5t 8 + 5t z Soluciones: x 5 l, y l, z 8 + 5l, t l Si a? 8 ran 3? ran '. El sistema es incompatible. b ax + z + t ay + z t ay + z t az t 0 a 0 0 a ' 0 a 0 0 a 0 3 FILS a 0 a a.ª 0 a a a.ª. a a a 0 a 3. a 0 a 0 0 a a a a a a a 0 0 a 67

68 Si a 0, queda: ' z 8 z 8 t 0 Incompatible Si a? 0 8 ran ran ' n. de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos: 0 a a 0 0 a x a + a a + ; a 3 a a y a ; a 3 a 0 0 a 0 a z a ; a 3 a 3 a a 0 0 a 0 a 0 0 a 0 t a 3 a 3 Soluciones: x a +, y, z, t a a a 3 a 3 Discute los siguientes sistemas: x y + z x + y + z a a x+ 3y z 8 b x + y + az a x + y + az b x + ay + z b a 3 a a a a x y + z x + 3y z 8 x + y + az b ' 3 8 a b 3 5a 0 8 a 0 68

69 UNIDD Si a 0, queda: ' 3 ; 5? 0; 3 8 5b b 8 0 b 3 b 3 Si a 0 y b 8 ran ran ' < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si a 0 y b? 8 ran? ran ' 3. El sistema es incompatible. Si a? 0 8 ran ran ' n. de incógnitas 3. El sistema es compatible determinado, cualquiera que sea el valor de b. b x + y + z a x + y + az a x + ay + z b a a a ' a b 3 a a 0 a a Si a, queda: 0 ' Contradictorias, a no ser que b 0. b Si a y b? 0 8 Sistema incompatible. Si a y b 0, queda: 0 '. La. a fila y la 3. a son iguales. 0? 0 8 ran ran ' < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si a, queda: ' b? 0 8 ran La. a columna y la 3. a son iguales. 69

70 b b 0 8 b Si a y b? 8 ran? ran ' 3. El sistema es incompatible. Si a y b 8 ran ran ' < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si a? y a? 8 ran ran ' 3 n. de incógnitas. El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b. 5 Discute, según los valores de los parámetros, los sistemas siguientes: x 3y + z a ax + y z b a x z b b x + ay b + x + z c x + z b a x 3y + z a x z b x + z c ' 0 c 3 6? 0 8 ran ran ' n. de incógnitas. El sistema es compatible determinado para cualquier valor de a, b y c. b ax + y z b a b x + ay b + ' a 0 b + x + z b 0 b 3 a a 0 Si a, queda: b ' 0 b + 0 b? 0 8 ran b b + 0 b 3 a 0 b a a 3b 0 8 b 0 70

71 UNIDD Si a y b? 0 8 ran? ran ' 3. El sistema es incompatible. Si a y b 0 8 ran ran ' < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si a, queda: b ' 0 b + 0 b? 0 8 ran b b + 0 b 3b b Si a y b? 8 ran? ran ' 3. El sistema es incompatible. Si a y b 8 ran ran ' < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Si a? y a? 8 ran ran ' 3 n. de incógnitas. El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b. 6 Calcula los valores de a y b para los cuales cada uno de estos sistemas tiene infinitas soluciones. Resuélvelos para esos valores: ax + y + z ax + y + z a x + ay + z b b x + y + z b x + y + az x ay + z b a ax + y + z x + ay + z b x + y + az ' a 3 a 3 3a + a a + 0 Si a, queda: b ' 3 a a b a a 7

72 Si a y b 8 ran ran '. El sistema es compatible indeterminado. x + y + z 8 x y z Soluciones: x l μ, y l, z μ Si a y b? 8 El sistema es incompatible. Si a, queda: ' b 3 b 3 8 ran 3b b Si a y b 8 ran ran '. El sistema es compatible indeterminado. x + y z x y z z z 3z x z; 3 3 z z 3z + 3 3z + y + z Soluciones: x l, y + l, z l Si a y b? 8 ran? ran ' 3. El sistema es incompatible. Si a? y a? 8 ran? ran ' n. de incógnitas 3. El sistema es compatible determinado. b ax + y + z a x + y + z b ' b x ay + z b a b 3 a + a 0 a a 7

73 UNIDD Si a, queda: ' b Contradictorias a no ser que b b 8 b 0 b Si a y b? 0 8 El sistema es incompatible. Si a y b 0, queda: ' 0. La. a y 3. a fila son iguales. 0? 0 8 ran ran ' < n. de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. x + y + z x + y + z 0 x + y z x + y z Sumando las dos ecuaciones: y z y z 8 x z y z + z Soluciones: x, y l, z l Si a, queda: ' b b Contradictorias, a no ser que b 8 b Si a y b? 8 El sistema es incompatible. Si a y b, queda: ' La. a fila y la. a son iguales.? 0 8 ran ran ' < n. de incógnitas El sistema es compatible indeterminado. x + y + z x y + z x + y z x y z Sumando las dos ecuaciones: x z 8 x z y z x z + z Soluciones: x l, y, z l Si a? y a? 8 ran ran ' n. de incógnitas El sistema es compatible determinado para cualquier valor de b. 73

74 Página 3 UTOEVLUCIÓN. a Discute, en función de a, el siguiente sistema: b Resuelve el sistema anterior para el caso a. x + ay + z a + x+ ay + z a + x + y + az a + ax + y + z a a x + y + az a + ' ax + y + z a a a 3 a a + a a + a 3 3a + 0 a a + 0 Si a, queda: a a 3 '. El sistema es incompatible. Si a, queda: 0 ' 0 Como 3 y 0, entonces ran ran ' < n. de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. Si a? y a : ran ran ' 3 El sistema es compatible determinado. b Para a, queda: ' 0 y sabemos que 3 7

75 UNIDD El sistema en este caso es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer: 0 x ; 0 y ; 0 z 0 0 Solución: x, y, z 0.. Demuestra que no hay valores de m para los que este sistema no tenga solución. Resuélvelo. x + y + z 3 x + 3y + z 5 x + my + 3z 7 x + y + z 3 x + 3y + z 5 x + my + 3z 7 ' m 0 8 m m Si m : 3 ' La. a columna se obtiene sumando la. a y la 3. a. Luego, ran ran '. El sistema es compatible. En este caso sería compatible indeterminado, pues? 0 8 ran ran '. 3 Lo resolvemos en este caso. Podemos prescindir de la 3. a ecuación: x + y + z 3 x + 3y + z 5 x +y 3 z x + 3y 5 z 3 75

76 3 z 3 z 5 z 3 5 z x + z; y z Soluciones: x + l; y l; z l Si m? : ran ran ' 3 n. de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos en este caso: 7 m x m 0 ; y 0; m m m m m z 8 m m m m m 7 3 Solución: x, y 0, z Por tanto, no hay ningún valor de m para el que el sistema no tenga solución. 3. Determina para qué valores de a existe la matriz inversa de M. Calcula dicha matriz inversa para a, siendo: a M a a La matriz tendrá inversa si su determinante es distinto de 0. a a M a a a 3 + a + a a a 3 + a a a M 0 8 a 3 a 0 8 aa 0 M tiene inversa si a? 0, a? y a? Para a : M M M 3; M 6; M 3 6 M 5; M 6; M 3 M 3 ; M 3 6; M 33 a 0 a a 76

77 UNIDD M ij 8 M ij t 8 M M ij t 6 6 M / 5/ / / / / / /6 /6 Comprobación: / 5/ / 0 0 M M / / / 0 0 / /6 / Halla, en cada caso, la matriz X que verifica la igualdad: a X B b + XB I 3 siendo y B. a X B Multiplicamos por por la izquierda y por por la izquierda: X B I X I B 8 X B I I Calculamos : 3 + ; ; ; 3 8 ij 3 8 ij t ij t X b + X B I 8 B + XB I 8 XB I B Multiplicamos por B por la derecha: XBB I BB 3 8 XI I BB 8 X I BB I Calculamos B : B + 3 B ; B ; B ; B 8 B ij 8 B ij t B B ij t 8 B /3 /3 B /3 /3 3 77

78 Calculamos I B: B 8 I B 0 0 /3 /3 8/3 /3 X 0 /3 /3 /3 /3 5. El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas es 3. Qué rango puede tener la matriz ampliada? En base a ello, cuántas soluciones tendrá el sistema? La matriz ampliada es una matriz cuadrada de orden. Su rango puede ser 3 si ' 0 o si '? 0. Si ran ran ' 3 n. de incógnitas 8 El sistema será compatible determinado. Si ran 3? ran ' 8 El sistema será incompatible. 6. Discute y resuelve el siguiente sistema: x y y + z a x 3z y z Según el teorema de Rouché, el sistema tendrá solución si el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz ampliada son iguales. 0 0 a ' Como la matriz ampliada es de orden, buscamos los valores que anulan su determinante. FILS.ª 0 a.ª 0 a ' 3 3.ª. a 0 3.ª 0 6 a + 3a a 0 8 a Si a 0 0 '

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