SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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Manuel Álvarez Peralta
hace 6 años
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1 Método de Gauss SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: x+ y+ 4z= x = (I) 2y+ z= 4 y= ( 2,, ) es la sol ución 3z = 6 z = 2 El sistema (I) tiene la particularidad de que se puede resolver mediante sucesivas sustituciones y recibe el nombre de sistema escalonado. En general, un sistema escalonado es de la forma: ax + a2x2 + a3x3+ L+ anxn = b a22x2 + a23x3+ L+ a2nxn = b2 a33x3+ L+ a3nxn = b3 LLLLLLL donde son cero todos los coeficientes que hay por debajo de la diagonal del sistema: a,a 22,a 33,... El método de Gauss para resolver sistemas lineales consiste en transformar el sistema en otro equivalente que sea escalonado. Las transformaciones de Gauss que se pueden realizar son las siguientes: * Cambiar el orden de las filas o de las columnas. * Multiplicar ecuaciones por números reales. * Sumar a una ecuación una combinación lineal de las otras. * Eliminar ecuaciones que sean combinación lineal de otras. Veamos algunos ejemplos de casos que se pueden presentar : Sistemas Compatibles Determinados x y 2z= Utilizaremos la matriz asociada al sistema consistente en la disposición en filas y columnas de los coeficientes de las incógnitas, junto con los términos independientes, en 2x 3y+ 4z= 4 el mismo orden en que aparecen en el sistema. 5x y+ 3z= 6 Mediante transformaciones en las filas trataremos de transformarla en una matriz escalonada: F 2 M 2 M 2 M F M 4 8 M 6 8 M 6 F2 2F F3 5 3 M M 2 F3+ 4F2 45 M 45 F 5F 3 El sistema asociado a la última matriz es equivalente al de partida y por lo tanto sus soluciones son las mismas, resultando más sencillo resolver éste último. x y 2z= y+ 8z= 6 45z = 45 z = x = 3 la solución es y= 2 ( x, y, z) = ( 32,, ) (La solución existe y es ú nica)

2 2 Sistemas Compatibles Indeterminados x y+ 3z= 4 2x y z= 6 3x 2y+ 2z= 3 M 4 2 M M 3 M 4 7 M 2 7 M 2 3 M 4 7 M 2 M x y+ 3z= 4 y 7z= 2 En el sistema que resulta al final hay más incógnitas que ecuaciones. En este caso concreto nos sobra una incógnita, por ejemplo z. Hagamos z=λ, es decir, z va a ser un parámetro, una variable que va a poder tomar cualquier valor real. x y+ 3λ = 4 x y = 4 3λ x = 2+ 4λ y 7λ = 2 y = 2+ 7λ y = 2+ 7λ la solución es entonces (x,y,z)=(2+4λ,-2+7λ,λ) que no es una solución determinada pues el parámetro λ permite que para cada valor que le asignemos obtengamos una solución diferente. Por lo tanto este sistema tiene infinitas soluciones. Ejemplo x+ y z+ t= 6 M 6 M 6 x+ 3y 2z+ 2t= M M 5 9+ λ µ x+ y z+ t= 6 z=λ, t=µ x + y = 6+ λ µ x = 4y 3z+ 3t= 5 4y = 5+ 3λ 3µ y = λ 3µ 4 9+ λ µ 5+ 3λ 3µ Solución: ( xyzt,,, ) =,, λµ, donde λ y µ son números reales. 4 4 Es una solución indeterminada biparamétrica o con dos grados de libertad. 3 Sistemas Incompatibles 2x y+ 3z= 6 4x 2y+ 6z= 9 x y+ z= M M 9 M M 6 M 3 M En la 2ª ecuación nos queda : z=-3 No existe ningún valor de z que cumpla esta ecuación. Ésta es una ecuación incompatible y el sistema es por lo tanto incompatible. No tiene solución. 2

3 Discusión del método de Gauss Sea S un sistema tal que una vez aplicado el método de Gauss y suprimidas las ecuaciones = (identidades) resulta un sistema escalonado de r ecuaciones y n incógnitas. ax + a2x2 + a3x3+ L+ anxn = b a22x2 + a23x3+ L+ a2nxn = b2 a33x3+ L+ a3nxn = b3 LLLLLLL a) Si en el sistema hay alguna ecuación incompatible (=c), el sistema es incompatible. b) En caso contrario es compatible, pudiendo ser de dos tipos: determinado si r=n indeterminado si r<n En el caso r<n, una incógnita se despeja en función de las demás que serán parámetros. c) Si al aplicar Gauss se obtienen más ecuaciones que incógnitas, se deben comprobar cada una de las soluciones posibles. d) Para sistemas homogéneos (aquellos en que el término independientes de todas las ecuaciones es ), que son siempre compatibles pues (,,..,) siempre es una solución, si quedan m ecuaciones y n incógnitas se tienen los siguientes casos: si m=n el sistema es compatible determinado siendo (,,...,) la única solución. si m<n el sistema es compatible indeterminado. Ejercicios x+ y z= 2 3x y+ 2z= 4 x+ 2y z= 6 sol. C.D. x+ y z= 4 2x 3y+ z= 5 sol. C.I. x+ 2y+ 3z t= x y+ z+ 2t= x+ 5y+ 5z+ 4t= x+ 8y+ 7z 7t= sol. C.I. 5x y+ z t= sol. C.I. 3y+ z 2t= 3

4 Discusión de sistemas dependientes de un parámetro Discutir un sistema dependiente de u parámetro es averiguar el tipo de sistema resultante según los valores que tome el parámetro. Para ello se aplica el método de Gauss de reducción discutiendo el sistema resultante. (Si en algún paso, una fila se debe multiplicar por una expresión dependiente del parámetro, habrá que estudiar, además, el caso en que dicha expresión se anule). Veamos un ejemplo: a) x+ y+ az= x+ y+ az= x+ ay+ z= ( a ) y+ ( a) z= ax + y+ z = 2 ( 2 a a ) z= a En un principio, todo dependerá del coeficiente de z de la última ecuación: -a 2 -a+2= a=,-2 ) si a y a -2 el sistema es C.D. siendo la solución ( xyz,, ) =,, a+ 2 a+ 2 a+ 2 2) si a= el sistema es C.I. con solución biparamétrica (x,y,z)=( λ µ λ µ) con, R 3) si a=-2 el sistema es incompatible. 4) como en uno de los pasos de la reducción multiplicamos la primera fila por -a, consideramos el caso en que a=. Pero este caso ya está considerado en el apartado ). b) 2x 4y+ z= a y+ z= 6 y+ 2z= a 3x 2y= 2 4 a 6 2 a a a a 2 4 a a 26 3a 2 4 a a 2+ 2a 2x 4y+ z= a y+ z= 6 3z= 6+ a = 2+ 2a si -2+2a a 6 entonces el sistema es incompatible. c) si -2+2a= a=6 entonces la última fila se suprime pues es = y queda el sistema 2x 4y+ z= 6 y+ z= 6 que es compatible determinado. 3z = 2 x+ y 6z= 6 x+ y 6z= x 2y+ 6z= 4 y 4z= 3x y+ mz= m + 2 ( m+ 2) z= si m+2= se suprime la última fila (=) y queda el sistema x + y 6 z = que es C.I. y 4z= si m+2 el sistema es C.D. cuya única solución es (,,). Ejercicios a) d) x 3y+ 5z = 2 2x 4y+ 2z= b) 5x y+ 9z= m 3x+ y+ 2z= a ( ax ) + 2y+ z= a e) ax y + z = a x 5y= x+ y+ mz= si k = 3 C.I. 4x 6y+ 2z= c) 3x+ 2y+ 4mz= si k 3 C. D. 5x 4y+ kz= 2x+ y+ 3z= 2 x+ y+ az= a si a = C.I. biparamétrica x+ ay+ z= a si a = -2 Incompatible ax + y+ z = si a,-2 C. D. 4

5 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Discusión e interpretación geométrica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas En el plano afín, la ecuación general de una recta viene dada por la ecuación ax+by=c. Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se traduce en hallar el punto, o los puntos que pertenecen simultáneamente a las rectas cuyas ecuaciones componen el sistema, deduciéndose así la posición relativa de dichas rectas. Podemos encontrar los siguientes casos: a) Sistema Compatible Determinado: las rectas se cortan en un único punto cuyas coordenadas (x,y) son la solución del sistema. b) Sistema Compatible Indeterminado: las rectas se cortan en infinitos puntos, es decir, son coincidentes. c) Sistema Incompatible: las rectas no se cortan en ningún punto y por lo tanto son paralelas. Ejemplos a) 2x y= Incompatible 4x+ 2y= 3 ( rectas paralelas) b) 6 x 2 y= 4 CI.. 3x y= 2 ( rectas coincidentes) c) 2 x+ y= 7 CD.. x y= 2 (se cortan en un punto) Discusión e interpretación geométrica de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas En el espacio afín tridimensional, la ecuación ax+by+cz=d es satisfecha por los puntos (x,y,z) que forman un plano. La resolución de un sistema lineal con tres incógnitas y dos ecuaciones es el estudio de la intersección de dos planos, y se pueden dar los siguientes casos: a) Sistema Compatible Indeterminado con dos parámetros: los planos son coincidentes. b) Sistema Compatible indeterminado con un parámetro: los planos se cortan en una recta. c) sistema Incompatible: los planos son paralelos. Ejemplos 2x 3y+ z= 3x+ y+ 2z= 5 a) ( se cortan en una recta) ( coeficientes no proporcionales) b) x 2y+ z= 4 2x+ 4y 2z= 5 ( paralelos) coeficientes proporcionales té rmino independiente no proporcional c) x y+ 2z= 3x+ 3y 6z= 9 ( coincidentes) ( ecuacionesproporcionales) 5

6 Discusión e interpretación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a + + = x a2y a3z b En este caso se trata de deducir la posición relativa de tres planos. a2x+ a22y+ a23z= b2 a x+ a y+ a z= b a) Sistema Compatible Determinado: los tres planos se cortan en un único punto. Π b) Sistema compatible Indeterminado: ) Solución biparamétrica. Las tres ecuaciones son proporcionales y se reducen a una sola. Los tres planos son coincidentes 2) Solución uniparamétrica, Dos de las ecuaciones son proporcionales y se reducen a una, quedando el sistema con dos ecuaciones. Los tres planos se cortan en una recta. 3) Solución uniparamétrica. No hay proporcionalidad en los coeficientes. Los tres planos forman un haz que contiene a una recta. c) Sistema Incompatible: ) Los coeficientes de las incógnitas son proporcionales. Los planos son paralelos. 2) Los coeficientes de las incógnitas de dos ecuaciones son proporcionales. Dos planos son paralelos y el otro los corta en dos rectas. 3) No hay proporcionalidad en los coeficientes. Los planos se cortan dos a dos en rectas paralelas. Ejercicios 3x y+ 2z= a) x+ 2y z= 3y+ z = 4 b) 3x y+ z= 6x+ 2y 2z= 6 9x 3y+ 3z= 9 c) 2x y+ 3z= 4x 2y+ 6z= 5 2x+ y 3z= 7 d) 2x 3y+ 5z= 4 x 2y+ z= 3 2x+ z= 2 e) 3x+ 2y+ z= 5x + 3y+ 3z = 2 x+ y z= f) x+ 2y= 3x+ y= 4 2x y= 6

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