Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales

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1 Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales Estructura del tema. Definiciones básicas Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Teorema de Rouché-Frobenius Métodos de resolución. Método de Cramer. Método de Gauss 0.1. Definiciones básicas Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1 en una o varias incógnitas. Es decir, es una expresión de la forma a 1 x a n x n = b donde los términos a 1,..., a n son números reales conocidos que se llaman coeficientes; el término b es también un número real conocido que se llama término independiente, y por último los símbolos x 1,..., x n se conocen como incógnitas y son a priori desconocidas. Para un número pequeño de incógnitas, será usual también denotarlas por las letras x, y, z, t,... Una solución de una ecuación es una asignación de valores a las incógnitas de forma que se verifique la igualdad. Definición Se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de m ecuaciones lineales en las mismas n incógnitas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x 2 = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m. (1)

2 2 Llamaremos solución del sistema a cada asignación de valores de las incógnitas {x 1 = k 1,..., x n = k n } que sea solución común a todas las ecuaciones del sistema, es decir: que verifique todas las igualdades simultáneamente. Se llama solución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Resolver un sistema es hallar su solución general. Dos sistemas se dice que son sistemas equivalentes si tienen la misma solución general, es decir, si tienen exactamente las mismas soluciones. Para transformar un sistema en otro sistema equivalente podemos realizar las siguientes operaciones elementales: Intercambiar dos ecuaciones. Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Sumar a una ecuación un múltiplo de otra. Eliminar las ecuaciones triviales del tipo 0 = 0, las ecuaciones repetidas o las proporcionales Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma matricial. Por ejemplo, (1) se puede escribir como donde AX = b, a 11 a a 1n A = a 21 a a 2n , X = a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n y b = A la matriz A se le llama matriz del sistema o de coeficientes. El vector X es el vector de incógnitas y el vector b es el vector de los términos independientes. Por último llamamos matriz ampliada a la matriz que se forma cuando añadimos a la matriz del sistema el vector de los términos independientes: a 11 a a 1n b 1 A = (A b) = a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m Como caso particular de sistemas cabe destacar los sistemas homogéneos: Definición Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si su vector de términos independientes es el vector nulo. Observemos que un sistema homogéneo siempre admite la solución trivial {x 1 = 0,..., x n = 0}. b 1 b 2. b m.

3 0.3 Clasificación de sistemas. Teorema de Rouché-Frobenius Clasificación de los sistemas según el número de soluciones. Teorema de Rouché-Frobenius. Atendiendo a la existencia o no de soluciones de un sistema y al número de éstas se da la siguiente clasificación. Definición Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema incompatible si no tiene solución. Por el contrario se dice que es un sistema compatible si tiene alguna solución. En este último caso sólo caben dos posibilidades: o bien el sistema tiene una única solución, y en este caso se dice que es un sistema compatible determinado, o bien tiene infinitas soluciones, llamándose un sistema compatible indeterminado. Como ejemplo, véase que los sistemas homogéneos siempre son compatibles. En consecuencia, la solución general de un sistema compatible determinado consistirá en la única solución posible del sistema mientras que la solución general de un sistema compatible indeterminado vendrá expresada en función de uno o más parámetros. En este último caso, para cada asignación de valores que le demos a los parámetros obtendremos una solución concreta del sistema. Al hecho de decidir si un sistema es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado se le llama comúnmente discutir el sistema. Para discutir un sistema no es necesario resolverlo. Nos basta con estudiar el rango de la matriz del sistema y de la matriz ampliada y aplicar el siguiente resultado. Teorema Teorema de Rouché-Frobenius. Sea AX = b la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales y sea A = (A b) la matriz ampliada del sistema. Entonces, el sistema es compatible si y sólo si rg(a) = rg(a ). En este caso el sistema es compatible determinado si rg(a) coincide con el número de incógnitas, y es compatible indeterminado si rg(a) es menor que el número de incógnitas. Como consecuencias inmediatas del Teorema se tiene que: 1. Un sistema es incompatible si y sólo si rg(a) < rg(a ), ya que por ser A una submatriz de A la otra desigualdad estricta no es nunca posible. 2. Como el número de ecuaciones del sistema coincide con el número de filas de A y el número de incógnitas con el número de columnas, rg(a) siempre es menor o igual que el número de incógnitas del sistema y que el número de ecuaciones. En el caso de un sistema compatible indeterminado sabemos que su solución general depende de parámetros. El número de parámetros necesarios es igual a la diferencia entre el número de incógnitas y el rango de la matriz del sistema: n o de parámetros = n o de incógnitas rg(a).

4 Métodos de resolución Método de Cramer Del Teorema y de las observaciones que le suceden se sigue que si tenemos un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas, el menor número de ecuaciones para que sea compatible determinado es también n. En este caso la matriz del sistema A es cuadrada, y para que rg(a) = n ha de tener determinante no nulo. Es decir, A tiene que ser una matriz regular. Los sistemas que cumplen estas características se denominan sistemas de Cramer: Definición Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es un sistema de Cramer si es un sistema compatible determinado de n ecuaciones con n incógnitas. O equivalentemente, si la matriz del sistema A es una matriz cuadrada regular. Es posible dar la solución de un sistema de Cramer mediante determinantes. De hecho, un sistema de Cramer genérico viene dado por a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x 2 = b a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n, y se puede probar que su solución es b 1 a a 1n b 2 a a 2n b n a n2... a nn x 1 =, x 2 = A a 11 b 1... a 1n a 21 b 2... a 2n a n1 b n... a nn A,..., x n = a 11 a b 1 a 21 a b a n1 a n2... b n A. Obtener la solución de un sistema compatible determinado mediante determinantes es lo que se conoce como método de Cramer. Los principales incovenientes del método de Cramer son: un alto coste computacional, y solamente se puede aplicar a sistemas de Cramer. Sin embargo, siguiendo la filosofía del método de Gauss que hemos expuesto en el Tema?? podemos discutir y resolver simultáneamente cualquier sistema de ecuaciones lineales Método de Gauss Hay una serie de sistemas de ecuaciones lineales muy fáciles de discutir y de resolver, los sistemas escalonados. Definición Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema escalonado si la matriz ampliada es una matriz escalonada por filas tal y como se definió en el Tema??.

5 0.4 Métodos de resolución 5 Si la matriz ampliada del sistema es una matriz escalonada por filas, la matriz del sistema también lo será, y por tanto será inmediato hallar y comparar los rangos de ambas matrices. En consecuencia, gracias al Teorema la discusión del sistema es inmediata. Con respecto a la resolución: Si el sistema es incompatible no hay nada que resolver. Si el sistema es compatible determinado se podrá resolver de forma regresiva: en la última ecuación se despeja la última incógnita y se sustituye en la penúltima ecuación. En esta penúltima ecuación se despeja la penúltima incógnita y se sustituye en la anterior, y así hasta llegar a la primera ecuación dónde despejaremos la primera incógnita. Si el sistema es compatible indeterminado lo resolveremos de modo similar, pero nos quedaran incógnitas libres que no podamos despejar. Estas incógnitas serán los parámetros de la solución general del sistema. El método de Gauss para la resolución de sistemas consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en otro equivalente que sea escalonado, para discutirlo y resolverlo como se acaba de explicar. Para ello, basta con escribir el sistema en forma matricial y aplicarle transformaciones elementales de filas a la matriz ampliada hasta obtener una matriz escalonada por filas. También podemos eliminar las filas nulas, o las que sean iguales o proporcionales. La matriz que obtengamos será la matriz ampliada correspondiente a un sistema equivalente al inicial y escalonado. Si se prefiere se puede hacer el mismo proceso sin escribir el sistema en forma matricial, manipulando directamente las ecuaciones.

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