Curso cero Matemáticas en informática : Sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 lineales -Jordan Curso cero Matemáticas en informática : de ecuaciones lineales Septiembre 2005

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3 lineales -Jordan Se llama ecuación lineal con n incógnitas a a x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b donde a i R son los coeficientes y b R el término independiente. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es a x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b a m x + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m Equivalentemente, el sistema se puede escribir como a a 2 a 3 a n x b a 2 a 22 a 23 a 2n x = b 2. a m a m2 a m3 a mn x n b m y vamos a trabajar con él en esta forma Ax = b.

4 lineales -Jordan Un sistema es homogéneo cuando todos los b i son 0. Se llama sistema incompatible al que no tiene solución. En caso contario, se dice compatible: Si la solución es única, compatible determinado. Si no, tiene infinitas soluciones, y se llama compatible indeterminado. Todo sistema homogéneo es compatible, pues siempre admite la solución x i = 0, i. Dos sistemas son equivalentes si admiten las mismas soluciones. Las operaciones elementales en la matriz ampliada (A b) del sistema dan lugar a sistemas equivalentes. Ejemplo: ( x y = 5 4x + 3y = 5 ) ( F 2 2F x 2y = 0 4x + 3y = 5 ) 4x 2y = 0 5y = 5

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6 lineales -Jordan Método de : (m y n cualesquiera) Operaciones elementales en la matriz ampliada para obtener un sistema equivalente triangular superior A F 2 2F F 3 + F A F F 2 A 8 < : 2x + y z = 6 4x + 5y 5z = 3 2x + 6y 2z = 7 8 < : 2x + y z = 6 3y 3z = 9 4z = 20 Si el sistema es incompatible, obtendremos una matriz de la forma Si el sistema es compatible indeterminado, obtendremos una matriz de la forma (parámetro z) A 2x + y = 6 + z 3y = 9 + 3z x = 9 2 y = 3 + z 9 = ; 9 = ;

7 lineales -Jordan Método de -Jordan: (m y n cualesquiera) Operaciones elementales en la matriz ampliada para obtener un sistema equivalente diagonal A F 2 2F F 3 + F A F F 2 A F F 3 F + 4 F 3 A F 3 F 2 A 8 < No siempre es posible. Por ejemplo para : 2x + y z = 6 4x + 5y 5z = 3 2x + 6y 2z = 7 8 < : 2x + y z = 6 3y 3z = 9 4z = 20 8 < : 2x = 9 3y = 6 4z = 20 9 = ; 9 = ; 9 = ;

8 lineales -Jordan Método de la inversa: (m = n) Para resolver Ax = b, calcular A y obtener x = A b. x 2y + 4z = Para resolver y 2z = 2 2x + 4y 7z = se hace 0 2 = Así x y z = = Recordar que una de las formas de calcular la inversa usaba -Jordan. Observación: Sólo funciona si A tiene inversa (es decir, si det A 0).

9 lineales -Jordan Método de : (m = n) x = Utilizando determinantes, x i = B i det A para i a a 2 b a n B i = a 2 a 22 b 2 a 2n a n a n2 b n a nn { } 5x + 2y = Para resolver se hace x + y = 2 5 = = y = 5 2 = 6 3 = 2

10 lineales -Jordan 2 3 : Resolver, por todos los métodos posibles, el sistema x + y z + t = 2 2x + 3y 4z + 5t = 5 3y + z + 2t = 0 x 4y 3z + 4t = 9 Resolver, por todos los métodos posibles, el sistema x + y z + t = 4 2x 3y 4z + 5t = 0 5y + 5z + 0t = 25 x 4y 3z + 4t = 4 Resolver, por todos los métodos posibles, el sistema x 3y + 4z + 2t = 5 x + 2y 2z + 4t = 3 3x + 4y + 2z + 3t = 5x + 5y + 8z + 8t = 0

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12 lineales -Jordan En la sección anterior vimos que el método de permite decidir si un sistema es compatible o no. El Teorema de afirma: Ax = b compatible rango(a) = rango(a b) De hecho, para n incógnitas: rango(a) rango(a b) Sistema incompatible (S.I.) rango(a) = rango(a b) = r Sistema compatible r = n Determinado (S.C.D.) r < n Indeterminado (S.C.I.) con n r parámetros

13 lineales -Jordan x + 2y + 3z = Discutir el sistema x 2y + 5z = 0 x + 0y 9z = 2 3 rango 2 5 = S.I. 2 3 rango = x + 2y + 3z = Discutir, en función de λ, x 2y + 5z = 0 x + 0y 9z = λ rg rg = λ = { 3 si λ 2 2 si λ = 2 S.I. si λ 2, S.C.I. si λ = 2

14 lineales -Jordan (a) : Aplicar para discutir los siguientes sistemas. En caso de ser compatibles, resolverlos. (b) (c) x + y + z = 4 2x y + z = 5 3x + 2y + 5z = 3 3x 2z = 7 2x + y + z = 5 2x + y z = 5 3x + 2y + z = x + y + 2z = 0 2x y + z + 2t = 5 x + y + z + t = 4 3x + y + z t = 6 6x + y + 3z + 2t = 5

15 lineales -Jordan 2 : Discutir los siguientes sistemas en función del valor del parámetro a: 2x ay + z = (a) 4x + (3 a)y + 2z = 4 + a (b) ax + ay + (a + )z = ax + y + z = x + ay + z = x + y + az = x + y + z = a

16 lineales -Jordan Antes de seguir, intenta resolver los ejercicios propuestos. Una vez que los hayas intentado, podrás comprobar tus resultados con las soluciones que aparecen a continuación.

17 lineales -Jordan 2 Soluciones resolución: Por cualquiera de los métodos, {x = 4, y =, z = 5, t = 4} Sistema compatible indeterminado. Por, {x = + 25t, y = 2 7t, z = + 9t, t = t} 3 Sistema incompatible.

18 lineales -Jordan Soluciones : (a) Sistema compatible determinado, con solución {x =, y = 5, z = 2} (b) Sistema incompatible. (c) Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. {x = + t, y = 5 + t, z = 2 3t, t = t}

19 lineales Soluciones : -Jordan 2 (a) det A = a 2 + 5a + 6 Para a 2, a 3, sistema compatible determinado (porque det A 0 rango máximo). Para a = 2, sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. Para a = 3, sistema incompatible. (b) det(a b) = (a + 3)(a ) 3 Para a 3, a, sistema incompatible. Para a = 3, sistema compatible determinado. Para a =, sistema compatible indeterminado con dos grados de libertad (equivale a x + y + z =, tiene solución x = y z, y = y, z = z).

20 lineales -Jordan Matemáticas Bachillerato 2, Tecnología, Esther Bescós y Zoila Pena, Ed. Oxford, 998. Página sobre el estudio de sistemas de ecuaciones lineales. Dos páginas sobre discusión de sistemas por son ésta y ésta otra.