Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG)

Transcripción

1 PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Matemáticas II º Bachillerato Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) PROPUESTA B EJERCICIO Dada la función Matemáticas II Septiembre 0 Propuesta B calcula los parámetros a, b sabiendo que: f x f x tiene una asíntota oblicua de pendiente ax b x 6 f x tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x 0 Como la pendiente de la asíntota oblicua es m Entonces: ax b f x x 6 ax b a x x x x x x 6x lim lim lim a 4 De este modo, la función queda de la forma Al ser 0 f ' x Entonces f x x un mínimo relativo se tiene que 4x b x 6 f ' 0 0 La derivada de f es: 8x x 6 4x b 6x 48x 8x b 8x 48x b x 6 x 6 x b b f ' b 0 b Resumiendo: si a 4, 0 b, la función f x relativo en el punto de abscisa x 0 4x x 6 tiene una asíntota oblicua de pendiente y un mínimo PROPUESTA B EJERCICIO 3 Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones f x x 3x x y g x Calculemos los puntos donde se cortan ambas gráficas: 3 3 x 0 f x g x x 3x x x 3x x 0 xx 3x 0 x 3x 0 PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Página

2 PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Matemáticas II º Bachillerato Las soluciones de la ecuación de segundo grado x 3x 0 son x, x Por tanto los puntos en los que ambas funciones se cortan tienen abscisas x 0, x, x Estudiemos ahora el signo de f x g x para saber en qué momentos está una gráfica por encima o por debajo de la otra: f x g x x 3 3x x x 3 3x x xx x Entonces: Intervalo,0 0,,, Signo de f x g x Los intervalos que nos interesan son funciones Es decir: 0, y Si x0, f x g x 0 f x g x Si x, f x g x 0 f x g x, pues ambos extremos contienen a los puntos de corte de las Observa que es así en la siguiente figura, donde se representan tanto la función f como la función g : De este modo, el área A encerrada entre las gráficas de ambas funciones, es la suma de otras dos A y A, donde: 4 3 x 3 A f x g xdx x 3x xdx x x x 3 A g x f xdx x 3x xdx x x Por tanto, finalmente, A A A ,5 uds PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Página 0

3 PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Matemáticas II º Bachillerato PROPUESTA B EJERCICIO 3 a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a : b) Resolverlo para el valor de a x y z 0 ax 3z a x ay z a a) La matriz de los coeficientes es A a 0 3, cuyo rango es al menos dos pues el menor a A a a a a a a distinto de cero Además a 4a 6 0 a ampliada es a 3 y a 0 3 es Entonces A 0 a 3 si a 3 o a De este modo concluimos que rango A La matriz 3 si a 3 y a 0 B a 0 3 a, cuyo rango no puede ser mayor que 3 Además ya hemos visto que si a a rango A 3, con lo que podemos concluir que: a, Si a 3 y a, A B compatible determinado (solución única) Estudiemos ahora lo que ocurre si a 3 o a Si a 3, 0 rango rango 3 número de incógnitas, con lo que el sistema es 0 B , que tiene al menos un menor de orden tres distinto de cero: Así pues, en este caso, A B rango rango 3, y el sistema es incompatible (no tiene solución) 0 Si a, B 0 3, cuyo rango es, pues la última fila es suma de las dos primeras (se puede demostrar también comprobando que todos los menores de orden tres son cero) Por tanto, en este caso A B rango rango 3 número de incógnitas, con lo que el sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones) y su grado de libertad es g 3 PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Página 3

4 PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Matemáticas II º Bachillerato b) Para a, podemos eliminar la última ecuación (ya que depende linealmente de la primera y la segunda tal y x y z 0 como se ha visto en el apartado anterior), con lo que el sistema quedará de la forma: x 3z x y y 3 y 5 Llamando z, se tiene que x 3 x 3 x 3 Entonces, para a, las infinitas soluciones dependen del parámetro y son x 3 y 5 z Obsérvese que estas soluciones están sobre una recta De hecho son las ecuaciones paramétricas de una recta,, 0 u 3, 5, que pasa por el punto P y tiene vector director PROPUESTA B EJERCICIO 4 Dado el punto P, 0, 0 y la recta x r y 3, z a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r b) Calcula la distancia de P a r a) Calculemos el plano que contiene a P y es perpendicular a r (véase la figura de la página siguiente) Un vector director de r es u,, 0 Este vector ha de ser perpendicular (normal) al plano, con lo que su ecuación debe ser de la forma x y D 0 Como este plano contiene a P tenemos, sustituyendo, que 0 D 0 D Así, la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a r es x y 0 La intersección de este plano con la recta r será un punto: r M Hallémoslo: M debe ser de la forma M, 3, ya que pertenece a r Además, como M, se deduce que Por tanto el punto es M,, Como r, la recta s que pasa por M y P (puntos contenidos en ) también será perpendicular a r Un vector director de s es 4 MP, 0,0 MP 7, 4, 5 5 Podemos tomar también como vector director uno 5 5 v 7, 4, 5 Así, las ecuaciones paramétricas de la recta s son: proporcional, por ejemplo, x 7 s y 4, z 5 b) Como r y s se cortan perpendicularmente en M, la distancia de P a r, d P, r coincide con la distancia de P a M, d P, M Es decir: PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Página 4

5 PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Matemáticas II º Bachillerato ,, 3, 86 uds d P r d P M MP r P u M, d P, M d P r s PAEG UCLM Septiembre 0 Propuesta B Página 5