1. Operaciones con vectores

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1 1. OPERACIONES CON VECTORES Academia Nakis (Lugones) Resumen Geometría en 3D 1. Operaciones con vectores Sean los vectores W 1 = (a 1, b 1, c 1 ),W 2 = (a 2, b 2, c 2 ),W 3 = (a 3, b 3, c 3 ) 1.1. Producto escalar de dos vectores W 1 W 2 = (a 1, b 1, c 1 ) (a 1, b 1, c 1 ) = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 A partir del producto escalar podemos calcular el ángulo α que forman dos vectores V 1 y V 2 con la fórmula: W 1 W 2 = W 1 W 2 cos(α) 1.2. Producto vectorial de dos vectores W 1 xw 2 = (a 1, b 1, c 1 )x(a 1, b 1, c 1 ) = i j k a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 El vector resultante es perpendicular a ambos y su módulo coincide con el área del paralelogramo que forman W 1 y W 2 Recordar que la coordenada j lleva el signo cambiado al hacer el desarrollo por menores complementarios Producto mixto de tres vectores [W 1, W 2, W 3 ] = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 El número resultante es el volumen del paralelepípedo formado por los 3 vectores.

2 2. ECUACIONES DE LA RECTA Academia Nakis (Lugones) Ecuaciones de la recta Dado un punto (x 0, y 0, z 0 ) y un vector (v 1, v 2, v 3 ) podemos escribir las siguientes ecuaciones de la recta: Ecuación vectorial (x, y, z) = (x 0, y 0, z 0 ) + λ(v 1, v 2, v 3 ) Ecuaciones paramétricas x = x 0 + λ v 1 y = y 0 + λ v 2 z = z 0 + λ v 3 Ecuación contínua x x 0 v 1 = y y 0 v 2 = z z 0 v 3 Ecuaciones implícitas ( o como intersección de dos planos ) Igualando dos a dos las anteriores ecuaciones podemos obtener: { Ax + By + Cz + D = 0 Ex + F y + Gz + H = 0 3. Ecuaciones del plano Veremos únicamente la ecuación implícita, la cual podemos obtener de dos maneras diferentes. Supongamos que conocemos un punto (x 0, y 0, z 0 ) por donde pasa el plano, y dos vectores W 1 = (a 1, b 1, c 1 ),W 2 = (a 2, b 2, c 2 ) pertenecientes al plano Usando el determinante Resolveremos el siguiente determinante: x x 0 y y 0 z z 0 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 Este método tiene el inconveniente de tener que resolver el determinante, lo cual tiene una probabilidad de fallo bastante grande.

3 4. HAZ DE PLANOS Academia Nakis (Lugones) Usando el vector normal n = W 1 xw 2 = (A, B, C) Así la ecuación del plano será Ax + By + Cz + D = 0 de la cual ya conocemos A, B y C y tan solo tenemos que calcular D, sustituyendo en el plano x, y, z por el punto (x 0, y 0, z 0 ) y despejando D. 4. Haz de planos Muchos ejercicios se pueden resolver con un haz de planos. Tenemos dos tipos: Haz de planos paralelos: Se trata de la ecuación de TODOS los planos cuyo vector director es uno dado. En la ecuación nos quedaría la letra D sin saber, que es la que mueve paralelamente a esos planos.( Ejemplo 2x 3y +z +D = 0 ). Esto es muy útil por ejemplo si tenemos que calcular un plano perpendicular a una recta y que pase por un punto. Haz de planos secantes: Se trata de la ecuación de TODOS los planos que se cortan en una misma recta. Se suele hacer con las propias ecuaciones implícitas de esa recta. ( Ejemplo x y + 2z λ(2x + 3y 2z + 1). Esto es muy útil si tenemos que calcular la ecuación de un plano que contenga a una recta y que pase por un punto. 5. Posiciones relativas Si tenemos las ecuaciones implícitas de los planos y/o las rectas podemos formar con ellas las matrices de coeficientes y la ampliada. Sean r y r sus rangos, es decir: r =Rango de la matriz de coeficientes. r =Rango de la matriz ampliada

4 5. POSICIONES RELATIVAS Academia Nakis (Lugones) Posiciones relativas de 2 rectas Si tenemos las ecuaciones implícitas de ambas rectas ( 4 en total ), podemos mirarlo con los rangos de las matrices de coeficientes y la ampliada a través de la siguiente tabla: r r Posición 3 4 Cruzadas 3 3 Secantes 2 3 Paralelas 2 2 Coincidentes También lo podemos hacer comparando sus vectores directores. Podemos distinguir dos casos ( y cada uno de ellos dará 2 opciones más ): Vectores directores proporcionales En este caso, o son paralelas, o son la misma recta. Podemos simplemente coger un punto cualquiera de una de las rectas y ver si ese punto cumple las ecuaciones de la otra, siendo Coincidentes en ese caso, o Paralelas en caso contrario. Vectores directores no proporcionales En este caso, o se cruzan, o se cortan. Una forma rápida de calcularlo es hacer el determinante formado por los vectores directores de cada recta, junto con otro vector que formaremos con un punto de cada recta: Si det = 0 entonces Se Cortan. Si det 0 entonces Se Cruzan Posiciones relativas entre 2 plano Vectores normales proporcionales. Si los vectores normales de ambos planos son (A, B, C) y (A, B, C ): Si A A = B B = C C = D D entonces Son Coincidentes. Si A A = B B = C C D D entonces Son Paralelos. Vectores normales no proporcionales En este caso son Secantes, es decir, se cortan en una recta.

5 5. POSICIONES RELATIVAS Academia Nakis (Lugones) Posiciones relativas de una recta y un plano r r Posición 2 2 Recta contenida en el plano 2 3 Recta y plano paralelos 2 2 Secantes ( se cortan en un punto ) También lo podemos hacer con el producto escalar del vector director de la recta v y el normal del plano n, ya que si es cero sabemos que forman un ángulo de 90 o, con lo que solo podrán ser paralelos o coincidentes. Sea P un punto de la recta. Si v n = 0 y el plano también pasa por P, entonces Recta Contenida en el plano. v n = 0 y el plano no pasa por P, entonces Son Paralelos. v 0 entonces son Secantes Posiciones relativas de 3 planos r r Posición 3 3 Secantes en un punto Planos secantes dos a dos( Tienda de campaña ) 2 3 Dos paralelos y uno secante Planos secantes en una recta (Haz de planos secantes) 2 2 Dos coincidentes y uno secante Paralelos y distintos 2 a 2(Haz de planos paralelos) 1 2 Planos paralelos y dos coincidentes 1 1 Planos coincidentes

6 6. ÁNGULOS Academia Nakis (Lugones) Ángulos Para el cálculo de ángulos usaremos la fórmula del producto escalas de dos vectores: W 1 W 2 = W 1 W 2 cos(α) 6.1. Ángulo que forman dos rectas Cogemos los vectores directores de ambas rectas, y mediante la fórmula anterior calculamos α 6.2. Ángulo que forman dos planos Cogemos los vectores normales de ambos planos, y mediante la fórmula anterior calculamos α 6.3. Ángulo que forman una recta y un plano Cogemos el vector director de la recta y el normal del plano y con la fórmula anterior calculamos 90 α 7. Distancias 7.1. Distancia entre dos puntos Calculamos el módulo del vector que los une Distancia de un punto a un plano Con la fórmula Sea el punto P = (x 0, y 0, z 0 ) y el plano π Ax + By + Cz + D = 0 d(p, π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 Usando una recta perpendicular

7 7. DISTANCIAS Academia Nakis (Lugones) Calculamos una recta que pase por P y cuyo vector director sea el normal del plano (A, B, C). Calculamos el punto de corte Q entre el plano y la recta. Distancia de P a Q Distancia entre dos planos Comprobamos que su posición relativa es planos paralelos distintos. Luego cogemos un punto de uno de los planos y calculamos la distancia al otro con el método anterior Distancia entre un punto P y una recta Lo podemos hacer con el punto genérico, recordando que las coordenadas de ese punto son las paramétricas de la recta. O sino: Plano perpendicular a la recta que pase por el punto ( con el haz de planos paralelos ). Punto de corte Q entre la recta y el plano. Distancia entre los puntos P y Q Distancia entre una recta y un plano Comprobamos que su posición relativa sea de Paralelos no coincidentes.luego cogemos un punto de la recta y aplicamos distancia de punto a plano Distancia entre dos rectas paralelas Cogemos un punto de una de ellas y aplicamos lo anterior Distancia entre dos rectas que se cruzan Lo podemos hacer con la técnica del punto genérico o bien: Calculamos un vector n que obtendremos con el producto vectorial de los vectores directores de ambas rectas. Calculamos un punto P de una de las dos rectas.

8 8. ÁREAS Y VOLÚMENES Academia Nakis (Lugones) Calculamos el plano que pasa por P y cuyo vector normal es n. Este plano es un plano perpendicular a ambas rectas y que contiene a una de ellas, luego el plano y la otra recta son paralelos. aplicamos lo anterior. La ecuación del plano que contiene a la recta la podíamos calcular también haciendo el haz de planos con las ecuaciones implícitas de una de las rectas, y luego sustituyendo el punto en el haz de plano para calcular α. Recordar que si: Ax + By + Cz + D = 0 r haz de planos Ax+By+Cz+D+α(A x+b y+c z+d ) A x + B y + C z + D = 0 8. Áreas y volúmenes Sean 3 vectores u,v y w. Figura Fórmula Paralelogramo formado por u, v uxv 1 Triángulo formado por u, v uxv 2 Volumen del paralelepípedo [u, v, w] 1 Volumen del tetraedro [u, v, w] 6