Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

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1 Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 13

2 Capítulo 6 Año Modelo 5 - Opción A Problema ( puntos) Justificar razonadamente que la gráfica de la función f(x) = x 15 + x + 1 corta al eje OX al menos una vez en el intervalo [ 1, 1]. b) Determinar el número exacto de puntos de corte con el eje OX cuando x recorre toda la recta real. La función f(x) = x 15 + x + 1 en los extremos del intervalo [ 1, 1] toma los valores f( 1) = 1 y f(1) = 3, como además la función es continua por el teorema de Bolzano: c [ 1, 1] tal que f(c) =. b) La derivada de la función f (x) = 15x > para cualquier valor de x, luego la función es siempre creciente, luego sólo puede cortar una vez al eje OX, y por el apartado anterior este punto de corte tiene que estar en el intervalo [ 1, 1]. Problema 6.1. ( puntos) (1 punto) Determinar el punto P, contenido en el primer cuadrante, en el que se corta la gráfica de la función f(x) = x y la circunferencia x + y = 8. b) (1 punto) Calcular el área de la región limitada por la recta que une el origen y el punto P hallado en el apartado anterior, y el arco de la curva y = x comprendido entre el origen y el punto P. 131

3 { x y = x + y = 8 = x ± Como piden el punto del primer cuadrante la solución negativa no vale y el punto será (, ). b) La recta que une el origen de coordenadas y el punto (, ) es y = x. Los puntos de corte son S = x = x = x x = = x =, x = ( x x ) ] dx = x3 6 x Área = 3 = 3 u = 4 3 = 3 Problema (3 puntos) ( punto) Discutir según los valores del parámetro λ el sistema λx+ y+ λz = 1 x+ λy z = 1 4x+ 3y+ z = λ 13

4 b) (1 punto) Resolver el sistema anterior en los casos en que sea compatible. λ λ 1 1 λ λ, A = λ +9λ 1 = = λ =, λ = 5 Si λ y λ 5 = A = = Rango(A) =Rango(A) = 3 = no de incógnitas y el sistema es compatible determinado, es decir, tiene solución única. Si λ = : Como el menor = 6 = Rango(A) =. Por otro lado = 15 = Rango(A) = 3 Luego en este caso Rango(A) Rango(A) = sistema incompatible. Si λ = 5 Como el menor / / 1 1 5/ = 3 = Rango(A) =. Por otro lado = 55 = Rango(A) = 3 Luego en este caso Rango(A) Rango(A) = sistema incompatible. 133

5 b) El sistema sólo es compatible cuando λ y λ 5 y A = λ + 9λ 1. Aplicando la regla de Cramer: 1 λ 1 λ 1 λ 3 1 x = λ + 9λ 1 = a 3 1 a 9a + 1 λ 1 λ 4 λ 1 y = λ + 9λ 1 = 6a a 5 a 9a + 1 λ 1 1 λ λ z = λ + 9λ 1 = 14a a3 a 9a + 1 Problema (3 puntos) Dados los puntos A( 1, 1, 1), B(1, 3, 1) y C(1,, 3), hallar las coordenadas de un punto D perteneciente a la recta: r : x 1 = y 1 1 = z 1 de manera que el tetraedro ABCD tenga un volumen igual a. La ecuación paramétrica de la recta es x = 1 + λ y = 1 λ z = 1 + λ D(1 + λ, 1 λ, 1 + λ) AB = (, 4, ), AC = (, 1, ), AD = ( + λ, λ, λ) V = λ λ λ [ AB, AB, AB] = = 4 λ 5 = 1 λ 5 = 1 λ 5 = 1 ( = λ = = D, 9, 13 ) λ 5 = 9 = λ = 9 ( 11 = D, 7, 11 ) 134

6 6.. Modelo 5 - Opción B Problema 6..1 ( puntos) Considerar el siguiente sistema de ecuaciones, en el que a es un parámetro real: Se pide: (1 punto) Discutir el sistema ax+ 4y+ az = a 4x+ ay az = a x y+ z = 1 b) (1 punto) Resolver el sistema para a = 1. a 4 a a 4 a a a , A = a 16 = = a = ±4 Si a ±4 = A = Rango(A) =Rango(A) = 3 = n o de incógnitas y el sistema es compatible determinado, es decir, tiene solución única. Si a = 4: Como el menor menor = 3 = Rango(A) =. Como el = 64 = Rango( A ) = 3 Como Rango(A) Rango(A) = sistema incompatible. Si a = 4: Como el menor menor = 3 = Rango(A) =. Como el = 64 = Rango( A ) = 3 135

7 Como Rango(A) Rango(A) = sistema incompatible. b) Cuando a = 1: x+ 4y+ z = 1 4x+ y z = 1 x y+ z = , A = 15 Aplicando la regla de Cramer: x = = y = = z = = Problema 6.. ( puntos) Sea la matriz: (1 punto) Comprobar que b) (1 punto) Hallar A n. A 3 A = A = A 1 = = = 136

8 A 3 = 3 3 = A A 3 A = 4A 4 = = 4A b) A n = n 1 A Problema 6..3 (3 puntos) Sea la función f(x) = ln(1 + x ), donde ln significa Logaritmo Neperiano. (1 punto) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad y convexidad. b) (1 punto) Dibujar la gráfica de f. c) (1 punto). Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f en sus puntos de inflexión. f (x) = x 1 + x = = x = (, ) (, ) f (x) + f(x) decreciente creciente Luego en el punto (, ) tenemos un Mínimo. f (x) = (1 x ) (1 + x ) = = x = 1, x = 1 (, 1) ( 1, 1) (1, ) f (x) + f(x) convexa cóncava convexa Luego en los puntos ( 1, ln ) y (1, ln ) hay dos puntos de Inflexión. b) Representación gráfica 137

9 c) La tangente en el punto ( 1, ln ) es: m = f ( 1) = 1 = y ln = x + 1 = x + y ln + 1 = La tangente en el punto (1, ln ) es: m = f (1) = 1 = y ln = x 1 = x y + ln 1 = Problema 6..4 (3 puntos) Se considera la recta: r : x = y 4 3 y la familia de rectas dependientes del parámetro m: { 3x y = 8 1m s : y 3z = 7 3m = z 5 ( puntos) Determinar el valor de m para el que las dos rectas r y s se cortan. b) (1 punto) Para el caso de m =, hallar la distancia entre las dos rectas. { { ur = (, 3, ) us = (1, 3, 1) r : s : P P r (, 4, 5) P s (5 5m, 7 3m, ) r P s = (5 5m, 3 3m, 5) 5 5m 3 3m 5 A = 3 = 15(m ) = = m = ( ) 3 Cuando m = el Rango(A) =, y además el Rango = = las dos rectas se cortan. 138

10 b) Si m = las dos rectas se cortan, ya que A y tenemos que { us = (1, 3, 1) s : P s (5, 7, ) d(r, s) = u r, u s, P r P s u r = 3 = 5 u s Junio 5 - Opción A Problema ( puntos) Sea f(x) una función derivable en (, 1) y continua en [, 1], tal que f(1) = y integración por partes para hallar 1 1 xf (x)dx = 1. Utilizar la fórmula de f(x)dx. Hacemos u = x y dv = f (x)dx = du = dx y v = f(x). Aplicando la fórmula de integración por partes udv = uv vdu xf (x)dx = xf(x)] 1 f(x)dx = 1 = f(x)dx = 1 xf(x) ] 1 = 1 f(1) = 1 Problema 6.3. ( puntos) Calcular un polinomio de tercer grado p(x) = ax 3 + bx + cx + d sabiendo que verifica: tiene un máximo relativo en x = 1 tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas (, 1). se verifica que 1 p(x)dx = 5 4 p (x) = 3ax + bx + c = p (1) = 3a + b + c = p (x) = 6ax + b = p () = b = = b = p() = d = 1 139

11 1 p(x)dx = 1 (ax 3 +bx +cx+d)dx = ax4 4 + bx3 3 + cx + dx ] 1 = 5 4 En conclusión, tenemos = a 4 + b 3 + c + d = 5 4 a 4 + c + 1 = 5 = a + c = 1, y 3a + c = = 4 a = 1 5, c = 3 5 = p(x) = 1 5 x x + 1 Problema (3 puntos) Dado el sistema de ecuaciones (m 1)x+ y+ z = 3 mx+ (m 1)y+ 3z = m 1 x+ y+ (m )z = 4 (1,5 punto) Discutirlo según los distintos valores de m. b) (1,5 puntos) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado. Sea la matriz m m m 1 3 m 1 1 m 4 = = A = (m )(m + 1)(m 4) = = m =, m = 1, m = 4 Si m 1 y m y m 4 = A = Rango(A) = 3 =Rango(A) =n o incógnitas luego en este caso el sistema sería compatible determinado. Si m = 1 tenemos , 1 1 = 5 Luego tenemos que Rango(A) =. Ahora calculamos el rango de A, para ello cogemos el determinate =

12 Luego en este caso Rango(A) Rango(A) = el sistema es incompatible. Si m = tenemos , = 1 Luego tenemos que Rango(A) =. Ahora calculamos el rango de A, para ello cogemos el determinate = 4 Luego en este caso Rango(A) Rango(A) = el sistema es incompatible. Si m = 4 tenemos , = 5 Luego tenemos que Rango(A) =. Ahora calculamos el rango de A, que está claro que es dos, ya que la última fila es la resta de las dos anteriores. Luego en este caso Rango(A) =Rango(A) = <n o incógnitas= el sistema es compatible indeterminado. b) Resolvemos este último caso. Por el menor que hemos escogido podemos despreciar la tercera ecuación. x = 5 { { 3x+ y+ z = 3 3x+ y = 3 z 4x+ 3y+ 3z = 7 = 4x+ 3y = 7 3z = y = 9 5 λ z = λ Problema (3 puntos) Dado el punto P (1, 3, 1), se pide: 141

13 (1 punto) Escribir la ecuación que deben verificar los puntos X(x, y, z) cuya distancia a P sea igual a 3. b) ( puntos) Calcular los puntos de la recta x = 3λ y = 1+ λ z = 1 4λ cuya distancia a P es igual 3. Se trata de la ecuación de una esfera (x 1) +(y 3) +(z +1) = 9 = x +y +z x 6y +z + = b) Sustituimos un punto genérico de la recta en la esfera y obtenemos (3λ) + (1 + λ) + (1 4λ) (3λ) 6(1 + λ) + (1 4λ) + = = = 6λ(λ 1) = = λ = 1, λ = Sustituyendo en la recta estos valores tendremos los puntos buscados: Para λ = = (, 1, 1) y para λ = 1 = (3,, 3) Junio 5 - Opción B Problema ( puntos) (1 punto) Resolver el sistema de ecuaciones: { x+ y+ 3z = 1 x+ y z = b) (1 punto) Hallar dos constantes α y β de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación: 5x + y + αz = β, el sistema resultante sea compatible indeterminado. { { x+ y+ 3z = 1 x+ y = 1 3z x+ y z = = x+ y = + z = x = t y = 7 3 t z = t 14

14 b) Para que el sistema siga siendo compatible indeterminado esta última ecuación tiene que ser combinación lineal de las dos anteriores, es decir, si ponemos α β sería a(1,, 3, 1) + b(, 1, 1, ) = (5, 1, α, β) = a = 1, b = 3 = α = 6, β = 5 { a + b = 5 a + b = 1 = Problema 6.4. ( puntos) Hallar una matriz X tal que: ( 3 1 siendo 1 A 1 X B ) ( ) 1 1, B = 1 Primero resolvemos la ecuación matricial: A 1 X B = X AB = X = ABA 1 Ahora calculamos A 1 : A 1 = (Adjt(A))T A ( 1 1 = 3 ) Efectuamos el producto ( ) X = ABA = 1 ( 9 11 ( ) ) ( ) = 6 7 Problema (3 puntos) Calcular los siguientes límites (1,5 puntos) b) (1,5 puntos) ( lím x + x x x) x lím [arctan x (e x ) π ] x 143

15 ( lím x + x x x) = [ ] = x ( x + x ) ( x x x + x + x x) lím x x + x + x x = b) lím x ( ) ( x + x x x) x + x + x x lím x x x x +x x + x = lím x x + x + x x = = x x x = 1 lím [arctan x (e x ) π ] arctan (e x ) π = [ ] = lím x x 1/x lím x e x 1+e x 1 x = lím x x x lím x e x = x e x [ ] 1 + e x = [ ] x = lím x e x = [ = = ] xe x x e x = lím x e x = [ ] = lím x e x = Problema (3 puntos) Dadas las rectas: r : x 1 = y 1 3 = z 1 4 s : x = y 1 = z (1,5 puntos) Hallar la ecuación de la recta t que corta a las dos y es perpendicular a ambas. b) (1,5 puntos) Calcular la mínima distancia entre r y s. r : { ur = (, 3, 4) P r (1, 1, 1) ut = u r u s = s : i j k { us = (1, 1, ) P s ( 1,, ) = (1,, 5) Para la construcción de la recta podemos poner u t = (,, 1), ya que el módulo de este vector no influye. 144

16 Construimos la recta como intersección de dos planos: ut = (,, 1) ut = (,, 1) π 1 : ur = (, 3, 4) π 1 : us = (1, 1, ) P r (1, 1, 1) P s ( 1,, ) π 1 : π : x 1 3 y z 1 1 x y 1 z t : = = 3x 1y + 6z + 1 = = = x + 5y + z 9 = { 3x 1y+ 6z + 1 = x+ 5y+ z 9 = b) [ P r P s, u r, ] u r = = 15 [ P r P s, u r, ] u r d = u r = 15 u s = P r P s = ( 1,, ) (1, 1, 1) = (, 1, 1) 6.5. Septiembre 5 - Opción A Problema ( puntos) Discutir según los valores del parámetro real λ la posición relativa de los planos π 1 : x + z = λ π : 4x + (λ )y + (λ + )z = λ + π 3 : (λ + 1)x (λ + 6)z = λ x+ z = λ 4x+ (λ )y+ (λ + )z = λ + (λ + 1)x (λ + 6)z = λ La matriz asociada a este sistema será 1 1 λ 4 λ λ + λ + (λ + 1) (λ + 6) λ 145

17 A = λ λ + (λ + 1) (λ + 6) = ( λ)(3λ+8) = = λ =, λ = 8 3 Si λ y λ 8 3 = A = el sistema es compatible determinado, el sistema tiene, por tanto, solución única y los tres planos se cortan en un punto. Si λ = tenemos = = 56 El sistema es incompatible, y si comparamos plano a plano tenemos 1 4 = = π 1 y π paralelos = π 1 y π 3 se cortan = π y π 3 se cortan Si λ = 8 3 el sistema es incompatible, ya que Rango(A) = 3, ahora vamos a comparar plano a plano en el sistema de la matriz asociada 1 1 8/3 4 14/3 /3 /3 1/3 1/3 8/ /3 = 1 1/3 8/3 14/3 = π 1 y π se cortan 8/3 = π 1 y π 3 son paralelos 4 1/3 14/3 = π y π 3 se cortan Problema 6.5. ( puntos) Se consideran las rectas { { x y = 3 x z = 4 r : x+ y z =, s : x y = 7 (1 punto) Hallar la recta t, perpendicular a r y a s, que pasa por el origen. b) (1 punto) Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta s con la recta t obtenida en el apartado anterior. ur = r : { { ur = (1, 1, ) us P r (, 3, 3), s : = ( 1,, 1) P s (, 7, 4) i j k 1 1 = (1, 1, ), us = i j k = ( 1,, 1) 146

18 ut = i j k = (3, 1, 1) t : { ut = (3, 1, 1) P t (,, ) x = 3λ = y = λ z = λ b) Sustituimos t en s y tenemos: { 3λ + λ = 4 6λ + λ = 7 = λ = 1 El punto de corte será (3, 1, 1). Problema (3 puntos) Dadas las matrices ( ) ( 1 1, I = 1 1 (1 punto) Hallar dos constantes α y β tales que A = αa + βi. b) (1 punto) Calcular A 5 utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior. c) (1 punto) Hallar todas las matrices X que satisfacen (A X)(A+X) = A X. ) A = ( ), αa + βi = ( α + β α α + β ) { α + β = 1 α = 4 = α =, β = 1 b) A 5 = A A (A I) (4A +I 4AI) (4A 4A+I) 4(A I)A 4A + 8A 4IA 4(A I) + ( ) ( ) 1 1 8(A I) 4A 8A+4I+ 5A 4I = 5 4 = 1 1 ( ) 147

19 c) (A X)(A + X) = A X = A + AX XA + X = A X = AX X = AX = XA Serán todas aquellas matrices X que cumplan AX = XA. ( ) ( ) ( ) ( ) a + c = a = c = 1 a b a b 1 b + d = a + b = a = d = = 1 c d c d 1 c = c d = d Serán las matrices A de la forma ( ) a b a Problema (3 puntos) Dada la función f(x) = 1 x se pide: (1 punto) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto (a, f() para a > b) (1 punto) Hallar los puntos de corte de las recta tangente hallada en el apartado anterior con los ejes coordenados. c) (1 punto) Hallar el valor de a > que hace que las distancias entre los dos puntos hallados en el apartado anterior sea mínima. La recta tangente es f( = 1 a, m = f ( = 1 a y 1 a = 1 (x a ( ) b) Haciendo y = = A(a, ) y haciendo x = = B, a. c) ( ) d( = ( + = a a a d ( = a4 a = = a = 1, a = 1 a Como a > = a = 1 En el intervalo ( 1, 1) la d es negativa y en el (1, + ) es positiva, luego pasa de decrecer a crecer en a = 1 y, por tanto, es un mínimo. 148

20 6.6. Septiembre 5 - Opción B Problema ( puntos) Dada la función f(x) = ln donde ln significa logaritmo neperiano, definida para x > 1, hallar un punto (a, f() tal x 1 que la recta tangente a la gráfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje OX. x f (x) = x 1 x 1 = x x(x 1) = = x = f() = ln 4 1 = ln 4 = ln = (4, ln ) Problema 6.6. ( puntos) Se considera la función f(x) = e x (1 + e x ) (1 punto) Calcular los extremos locales y/o globales de la función f(x). b) (1 punto) Determinar el valor del parámetro a tal que: a f(x)dx = 1 4 b) f (x) = ex (1 e x ) (1 + e x ) 3 = = x = En el intervalo (, ) = f (x) > = la función es creciente en este intervalo. En el intervalo (, + ) = f (x) < = la función es decreciente en este intervalo. Luego en el punto (, f()) = (, 1/4) la función presenta un máximo. a a e x (1 + e x ) dx = 1 4 e x 1 (1 + e x ) dx = t 1 dt = t 1 = e x + C e x ] a (1 + e x ) dx = e x = e a + 1 = 1 4 = e a = 1 4 = 1 + ea = 4 = e a = 3 = a = ln 3 149

21 Problema (3 puntos) Se considera la familia de planos: siendo m un parámetro real. Se pide: mx + (m )y + 3(m + 1)z + (m + 1) = (1 punto) Determinar la recta común a todos los planos de la familia. b) (1 punto) Determinar el plano de esta familia que pasa por el punto P (1, 1, ). c) (1 punto) Determinar el plano de esta familia que es paralelo a la recta: { x z+ 1 = y+ z+ 1 = Basta dar dos valores a m que sean distintos: { m = = y +3z + 1 = m = 1 = x 3y = La intersección de estos dos planos sería la recta pedida, que en forma parámetrica i j k x = 6 + 9λ ur = 3 = (9, 3, ), P r ( 6,, 1) = r : y = 3λ 1 3 z = 1 λ b) Sustituyendo este punto en la familia tenemos m + (m ) + m + 1 = = m = 1 3 El plano buscado será ( ) ( ) ( ) x + 3 y z = = x 5y + 1z + 4 = c) r : ur = P r (1,, 1) i j k = (, 1, 1)

22 Los vectores (m, m, 3m + 3) y (, 1, 1) tienen que ser perpendiculares, luego su producto escalar tiene que ser cero Sustituyendo m m + 3m 3 = = m = ( 6 x+ 1 ) 6 y+3 ( 1 ) z+ ( 1 ) = = x+13y 15z 5 = Problema (3 puntos) Dadas las matrices (1 punto) Hallar A 1. k t k B = b) (1 puntos) Hallar la matriz inversa de B. 1 k t 1 k 1 c) (1 punto) En el caso particular de k =, hallar B 1. A = A k t k k t k = k A 3 = A k A 1 = A 3 A 7 = k t k = b) B 1 = k k t 1 k 1 151

23 c) B 1 t 1 1 B n = B = 1 nt t 1 1 = B 1 = B 3 = 1 1t t