EXÁMENES DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO

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1 EXÁMENES DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II CURSO Ejercicio 1º.- Considera las matrices A 1 1 y B a) (1,25 puntos) Encuentra las matrices X e Y tales que X Y = A T y 2X Y = B. b) (1,25 puntos) Calcula la matriz Z que cumple A.Z = B.Z + A. Ejercicio 2º.- Considera los puntos A=(-1,k,3) B=(k+1,0,2) C=(1,2,0) y D=(2,0,1). a) (1 punto) Comprueba si hay algún valor del parámetro k para los que los vectores AB, BC ycd son LD. b) (1 punto) Para k = 1 calcula el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D. c) (0,5 puntos) Para k=1, calcula un vector perpendicular a los vectores AB y AC que sea unitario. Ejercicio 3º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente: x ( m 1)y 2z 1 mx y z m ( 1 m )x 2y z m 1 a) (1,75 punto) Discute, clasifica e interpreta el sistema según los valores del parámetro m. b) (0,75 puntos) Resuelve el sistema, si es posible, para m = 2,.

2 a a a Ejercicio 4º.- Se sabe que el determinante de la matriz A a a a a a a Calcula indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) (1 punto) det (- 2A) det (A -1 ) b) (1,5 puntos) a a a a 7a 7a a 2a 2a y a a 2a 5a a a 2a 5a a a 2a 5a es 3. Ejercicio 5º.- (2,5 puntos) Un estudiante gastó 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50 %, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo. Ejercicio 6º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente: ax 2y z 1 x 2ay z 2 x 2y az 1 a) (1,75 puntos) Discute, clasifica e interpreta el sistema según los valores del parámetro a. b) (0,75 puntos) Para a = - 1, expresa el sistema en forma matricial y resuélvelo matricialmente. b) (-½, -½, -½) Ejercicio 7º.- Considera los vectores u ( 1, 1, 0), v ( 0, 1, 2) y w ( 1 a, 2a, 2 3a ). Halla los valores de a para cada uno de los siguientes casos: a) (1 punto) u, v y w están en el mismo plano. b) (0,5 puntos) w es perpendicular a u y v. c) (1 punto) El volumen del tetraedro que tiene por lados a los vectores u, v y w es 1/6 u 3.

3 Ejercicio 8º.- Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) (1,25 puntos) Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50? Justifica la respuesta. b) (1,25 puntos) Suponiendo que el nº de billetes de 10 es el doble que el nº de billetes de 50, calcula cuántos billetes hay de cada clase. a b c Ejercicio 9º.- Sabiendo que el determinante de la matriz A b d e vale 3, halla el valor de los c e f siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices a) (1 punto) det(a 3 ) det(a -1 ) det(a + A T ) a b c b) (0,75 puntos) c e f c) (0,75 puntos) 2b 2d 2e a b 4a c b d 4b e c e 4c f Ejercicio 10º.- Considera las matrices: A B a) (0,75 puntos) Halla, si existe, A -1 b) (1,25 puntos) Calcula la matriz X que satisface A.X = B T.C. c) (0,5 puntos) Halla el determinante de A 2013.B T.B.(A -1 ) 2013 y C Ejercicio 11º.- Considera la matriz A c) (1,75 puntos) Estudia, según los valores de λ, el rango de la matriz A λi, siendo I la matriz identidad de orden tres. x 0 d) (0,75 puntos) Resuelve el sistema dado por ( A 2I ). y 0 z 0 SOLUC: a) Si λ 2 y λ 3, A λi 0, rango (A - 2λ) = 3 Si λ = 2 0 λ = 3, A. λi = 0, y como hay un menor de orden dos distinto de cero, rango (A - 2λ) = 2 b) Si λ = 3, SCI, (µ, 0, 0)

4 x 2 z 1 y sea la recta s definida por y 2 y 1 z 2 2 a) (1,75 puntos) Comprueba que las rectas r y s se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s. x Ejercicio 12º.- Sea r la recta dada por b) (0,75 puntos) Calcula la distancia entre las rectas r y s. SOLUC: a) x 1 x 1 y 1 3 o y 1 3 z 0 z 0 b) d(r, s) = 3 u Ejercicio 13º.- Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial por AX = B siendo: a x A 1 a 2 a B a X y 1 1 a 2 7 z a) (1,5 puntos) Discútelo según los valores de a. b) (1 punto) Resuélvelo para a = -3 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que x =2. SOLUC: a) Si a 0 y a -3, A 0, rango A = rango A = 3 = nº de incógnitas, SCD Si a = 0, rango A = 2 rango A = 3, SI Si a = -3, rango A = rango A = 2 < nº de incógnitas, SCI b) Si a = 3, SCI, soluciones: (6 λ, λ, -1) Sí existe una solución en la que x = 2. La solución es: (2, 4, -1) Ejercicio 14º.- De los datos recabados en un informe sobre los beneficios obtenidos por las empresas A, B y C el pasado año, se desprende lo siguiente: la empresa B obtiene el mismo beneficio que las empresas A y C juntas. el beneficio de la empresa A es la media aritmética del de las otras dos. c) (1,5 puntos) Determina si se puede hallar el beneficio de cada empresa sabiendo que A ha obtenido el doble que C. d) (1 punto) Calcula el beneficio de cada empresa sabiendo que entre las tres han obtenido un beneficio de 210 millones de euros. SOLUC: a) No es posible, pues sale un SCI cuyas soluciones son: (λ, 2λ, λ) b) La empresa A ganó 70 millones de euros, la empresa B 105 millones de euros y la C 35 millones de euros. Ejercicio 15º.- (2,5 puntos) Determina el punto de la recta r definida por los planos: x1 z y 1 que equidista de 2 3 SOLUC: (-1, -2, -3) π : x y z π : 2 x 3 y z 6

5 Ejercicio 16º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente: x ( m 1)y z 1 my z 0 my mz m a) (1 punto) Discútelo según los valores de m. b) (0,75 puntos) Resuélvelo para m = 0. c) (0,75 puntos) Determina, si existe, el valor de m para el que hay una solución en la que z = 2. Calcula esa solución. SOLUC: a) Si m 0 y a 1, A 0, rango A = rango A = 3 = nº de incógnitas, SCD Si m = 0, rango A = 2 = rango A < nº de incógnitas, SCI Si m = 1, rango A = 2 rango A = 3, SI b) Si m = 0, SCI, soluciones: (1 λ, λ, 0) c) Sí existe una solución en la que z = 2. Esto ocurre para m = 2 y la solución es: (2, -1, 2) Ejercicio 17º.- Considera el punto A = (1, -1, 1) y la recta r dada por x y z 1 2 d) (1,5 puntos) Calcula las coordenadas del punto simétrico de A respecto a la recta r e) (1 punto) Determina la ecuación implícita del plano que contiene a r y pasa por A. 1 1 SOLUC: a) A = (13/5, 11/5, 1) b) z 1 = Ejercicio 18º.- Considera las matrices A y B c) (1,75 puntos) Halla la matriz X que verifica AX + B = 2A d) (0,75 puntos) Calcula B 2 y B X A ( 2A B ) 2I A B SOLUC: a) b) B 2 = I 3 B 2016 = I 3 Ejercicio 19º.- Considera la matriz uno de los siguientes casos: k 1 k A. Determina, si existen, los valores de k en cada 1 k 0 a) (0,75 puntos) rango(a) = 1 b) (0,5 puntos) A tiene inversa c) (0,75 puntos) A 2 = A d) (0,5 puntos) det(a) = -2 SOLUC: a) K = ±1 b) Si K ±1, A 0, Existe A -1 c) K = 1 d) No existe ningún valor de k

6 Ejercicio 20º.- Considera un rectángulo de vértices consecutivos A, B, C y D siendo A =(1, 1, 0) y B = (2, 2, 1). Sabiendo que la recta r contiene a los puntos C y D y que pasa por el origen de coordenadas, se pide: a) (0,75 puntos) Halla unas ecuaciones paramétricas de r. b) (1 punto) Determina las coordenadas de los vértices C y D. c) (0,75 puntos) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C. SOLUC: a) x r : y z b) C = (5/3, 5/3, 5/3) D = (2/3, 2/3, 2/3) c) u 2 Ejercicio 21º.- Considera la matriz A e) (1,5 puntos) Determina, si existen, los valores de λ para los que se cumple que A -1 = 2I - A (I es la matriz identidad de orden 3). f) (1 punto) Determina, si existen, los valores de λ para los que la matriz A + A T no tiene inversa. SOLUC: a) Existen dos posibles valores: λ 1 = 0 y λ 2 = -1 b) Existen dos posibles valores: y Ejercicio 22º.- Considera el plano π de ecuación x + 2y + z = 1 y el punto A = (3, 1, 2) a) (1 punto) Determina el punto del plano π más próximo al punto A. b) (0,75 puntos) Determina la ecuación de un plano π, paralelo a π, que forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área 2 6 u. SOLUC: a) Se trata del punto de coordenadas (2, -1, 1) b) Existen dos planos que cumplen las condiciones impuestas y son: : x 2y z 2 0 y : x 2y z Ejercicio 23º.- Considera el sistema de ecuaciones dado por: ( 3a 1)x 2y 5 a ax y 2 3ax 3y a 5 a) (1,5 puntos) Discútelo según los valores de a. b) (1 punto) Resuélvelo para a = 1 y determina en dicho caso, si existe, una solución en la que x = 4. SOLUC: a) Si a 1, A 0, rango (A ) = 3 rango (A) = 2, SI (se trata de tres rectas del plano XY que no se cortan en un mismo punto) Si a = 1, A = 0, rango (A ) = rango (A) = 1 < número de incógnitas, SCI (se trata de tres rectas del plano XY, iguales) b) Si a = 1, SCI, ( x = 2 λ, y = λ ) que son las ecuaciones paramétricas de una recta del plano XY Sí existe una solución en la que x = 4. Esto ocurre para λ = -2. La solución sería (4, -2)

7 1 Ejercicio 24º.- Considera las matrices A B 1 y C a) (1 punto) Calcula el rango de A.B T + λ.i según los valores de λ (I es la matriz identidad de orden 3). b) (1,5 puntos) Calcula la matriz X que verifica C.X X = 2.I SOLUC: a) Si λ 0, AB T + λi 0, rango (AB T + λ.i) = 3 Si λ = 0, AB T + λi = 0, rango (AB T + λ.i) = 1 (la matriz tiene una fila de ceros y las otras dos filas son proporcionales) b) 1 X ( C I ). 2I Ejercicio 25º.- Considera el punto P = (1, 0, 5) y la recta r dada por y 2z 0 a) (1 punto) Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r. b) (1,5 puntos) Calcula el punto simétrico del punto P respecto a la recta r y halla la distancia entre P y r. x 1 SOLUC: a) 2y + z 5 = 0 b) Punto simétrico: P = (1, -4, -3) d(p, r) = 2 5u Ejercicio 26º.- (2,5 puntos) Considera las matrices A B Calcula la matriz X que verifica A.X.B = C y C SOLUC: X A.C.B x 1 y z 1 Ejercicio 27º.- Considera el plano π: 2x y + nz = 0 y la recta r dada por (m 0) m 4 2 a) (1,25 puntos) Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π. b) (1,25 puntos) Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano π. SOLUC: a) m = -8; n = -1/2 b) m = 4; n = -2 Ejercicio 28º.- Considera el sistema de ecuaciones: a) (1,75 puntos) Discútelo según los valores de a. b) (0,75 puntos) Resuélvelo para a = 2. ax 2y 6z 0 2x ay 4z 2 2x ay 6z a 2 SOLUC: a) Si a ± 2, A 0, rango A = rango A = 3 = nº de incógnitas, SCD

8 Si a = 2, rango A = 2 = rango A < nº de incógnitas, SCI Si a = -2, rango A = 2 rango A = 3, SI b) Si a = 2, SCI, soluciones: (3 λ, λ, -1) Ejercicio 29º.- Sean los puntos A = (1, 1, 1), B = (-1, 2, 0), C = (2, 1, 2) y D = (t, -2, 2). e) (1,25 puntos) Determina el valor de t para que los cuatros puntos estén en el mismo plano. f) (1,25 puntos) Determina la ecuación del plano respecto al cual los A y B sean simétricos. SOLUC: a) t = 5 b) -2x + y z - 1 = 0 x 1 y z 1 Ejercicio 30º.- Considera el punto P = (1, 1, 1) y la recta r definida por a) (2 puntos) Determina el punto simétrico de P respecto a la recta r. b) (0,5 puntos) Halla la distancia entre el punto P y la recta r. SOLUC: a) P = (9/7, -4/7, -22/7) b) 966 d( P,r ) 2, 22 u 14 Ejercicio 31º.- Considera el sistema de ecuaciones lineales siguiente: ( m 2)x y z 1 x y z 1 x my z m a) (1,75 puntos) Discútelo según los valores de m. b) (0,75 puntos) Resuélvelo para m = 1. SOLUC: a) Si m ± 1, A 0, rango A = rango A = 3 = nº de incógnitas, SCD Si m = 1, rango A = 2 = rango A < nº de incógnitas, SCI Si m = -1, rango A = 2 rango A = 3, SI b) Si m = 1, SCI, soluciones: x ; y ; z Ejercicio 32º.- Considera los puntos A = (1, 1, 1), B = (0, -2, 2), C = (-1, 0, 2) y D = (2, -1, 2). f) (1 punto) Calcula el volumen del tetraedro de vértices los puntos A, B, C y D. g) (1,5 puntos) Determina la ecuación de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano que contiene a los puntos A, B y C. x 2 2 x 2 2 SOLUC: a) V = 5/6 u 3 b) r : y 1 ó y 1 z 2 5 z 2 5

9 5 4 2 Ejercicio 33º.- Considera las matrices A B y C e) (1 punto) Halla el valor de la matriz 2.A A 2 f) (1,5 puntos) Resuelve la ecuación B.X.B T C = 2I, donde I es la matriz identidad de orden SOLUC: a) 2 2AA b) 1 T X B.( 2I C ).( B ) 0 1 Ejercicio 34º.- Considera los puntos A = (1, 0, 2) y B = (-1, 2, 4) y la recta r definida por: x2 z1 y d) (1 punto) Halla la ecuación general del plano π paralelo a r y que contiene a los puntos A y B. e) (1,5 puntos) Determina la ecuación del plano π formado por los puntos que equidistan de A y B. SOLUC: a) -2x - 5y + 3z - 4 = 0 b) -x + y + z - 4 = 0 a b Ejercicio 35º.- De la matriz A se sabe que det (A) = 4. Se pide, indicando las propiedades c d utilizadas: 2b 2a a) (1,25 puntos) Halla det (-3.A T ) y det 3d 3c b) (0,75 puntos) Calcula det (A -1.A T ) c) (0,5 puntos) Si B es una matriz cuadrada tal que B 3 = I, siendo I la matriz identidad, halla det(b). SOLUC: a) -3A = 36; 2b 2a 24 3d 3c b) A -1.A T = 1 c) B = 1 Ejercicio 36º.- Considera el sistema de ecuaciones: x 2y 3z 3 2x 3y z 5 a) (1,5 puntos) Calcula el valor de α de manera que al añadir una ecuación de la forma αx + y 7z = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original. b) (1 punto) Calcula las soluciones del sistema dado sabiendo que la suma de las incógnitas vale 4. SOLUC: a) a = 0 b) (25/3, -11/3, -2/3) Ejercicio 37º.- Considera la recta r que pasa por los puntos A = (1, 0, -1), B = (-1, 1, 0). g) (1 punto) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por el punto C = (-2, 3, 2). h) (1,5 puntos) Calcula la distancia de r a s. SOLUC: a) x 2 2 s : y 3 z 2 b) d(r, s) = 3 1/2 u

10 Ejercicio 38º.- (2,5 puntos) Considera las matrices A Determina, si existe, la matriz X que verifica A.X + B = A 2 y B X A ( A B ) A A.B SOLUC: Ejercicio 39º.- Considera la recta definida por x 2y z 3 2x y z 1 a) (1,5 puntos) Determina la ecuación general del plano que contiene a r y pasa por el origen de coordenadas. b) (1 punto) Halla unas ecuaciones paramétricas del plano que corta perpendicularmente a r en el punto (1, 1, 0). SOLUC: a) -5x + 5y - 4z = 0 b) Como bien debes de saber, hay infinitas ecuaciones paramétricas para un plano. Por tanto, cada alumno podría dar una respuesta diferente para este apartado. En cualquier caso la ecuación general del plano es: -x + 3y + 5z 2 = 0. A modo de ejemplo aquí tienes dos ecuaciones paramétricas diferentes: x Si utilizas la ecuación general para obtener unas paramétricas del plano, estas podrían ser: ' : y z 2.- Si utilizas como punto del plano el punto (1, 1, 0) y como vectores directores los vectores normales de los planos que determinan la recta r, las ecuaciones paramétricas del plano serían: x 1 2 ' : y 1 2 z 0