UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA

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1 C u r s o : Matemática Material N 8 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 5 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianas rectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares el punto de intersección se considera como origen. Y (Ordenadas) II Cuadrante B A I Cuadrante III Cuadrante C X (Abscisas) IV Cuadrante OBSERVACIONES Los puntos destacados en la figura son; A = (4, 4), B = (0, 0) C = (-5, -3) Los puntos que están en el eje, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (, 0) Los puntos que están en el eje, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0, ) EJEMPLO. Sean a b números enteros, de modo que a > b. Entonces, el punto D cuas coordenadas son (a b, b a) se ubica en A) el primer cuadrante B) el segundo cuadrante C) el origen del sistema D) el tercer cuadrante E) el cuarto cuadrante

2 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(, ) B(, ), se determina mediante la epresión: d AB = ( ) + ( ) B A 0 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dados los puntos A(, ) B(, ), las coordenadas del punto medio del segmento AB son + m = +, m = B m M A 0 m EJEMPLOS. Cuánto mide el radio de una circunferencia de diámetro AB determinado por los puntos A (-, -5) B (-7, 3)? A) 5 B) C) 0 D) 4 E) 0. En la circunferencia del ejercicio, cuáles son las coordenadas del centro? A) (-8, -) B) (-4, -) C) (-3, -4) D) 7 3 -, - E) 9 -,-

3 PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje, en sentido antihorario, desde el eje hacia la recta) L B m = tg α = BP AP = A α P α RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Sea α el ángulo de inclinación sea m la pendiente de la recta L. Entonces: (α = 0º) si sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si sólo si (m > 0) L L α 0 0 L es paralela al eje L tiene pendiente positiva (α = 90º), si sólo si (m no está definida) (90º < α < 80º) si sólo si m < 0) L L 0 α 0 α L es paralela al eje L tiene pendiente negativa EJEMPLOS. La pendiente de la recta pasa por los puntos A(, -) B(-6, 7) es A) B) C) D) E)

4 . Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente positiva? A) B) C) D) E) 3. Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente 7? A) B) C) D) E) Si los puntos A(, 3), B(3, -) C(a, 8) son colineales, entonces a = A) 5 B) 3 C) D) -3 E) Dados los puntos A(, 5), B(-, -4), C(3, -) D(k, -3), cuánto debe ser el valor de k para que el producto de las pendientes de AB CD sea -? A) -9 B) -3 C) 3 D) 9 E) 5 4

5 ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE La ecuación de la recta que pasa por un punto (, ) cua pendiente es m es = m( ) CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje, llamando n a su ordenada, la ecuación anterior se escribe: Ecuación principal de la recta = m + n n: coeficiente de posición EJEMPLOS. La ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -3) tiene pendiente - 3 es A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) 3 = 0 E) = 0. La ecuación de la recta que pasa por los puntos, -, -3 es A) = 3 B) = C) = D) = 3 6 E) =

6 RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si sólo si sus pendientes son iguales. Sean L L rectas de pendientes m m respectivamente (fig. ). Entonces: L // L si sólo si m = m L L fig. 0 α α RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si sólo si el producto de sus pendientes es -. Sean L L rectas de pendientes m m respectivamente (fig. ). Entonces: L L L si sólo si m m = - L fig. 0 EJEMPLOS. Qué valor debe tener k para que las rectas + k = = 6 sean perpendiculares? A) 0-3 B) 6-5 C) D) E) Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -) es paralela a la recta + 8 = 0? A) = 0 B) + 7 = 0 C) + 6 = 0 D) 6 = 0 E) + 9 = 0 6

7 EJERCICIOS. Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación = 0? A) (5, 6) B) (4, -6) C) (, -) D) (-, -) E) (3, 4). Qué valor debe tener k para que la recta (k ) + (k + ) = 0 pase por el punto (, )? A) B) C) 0 D) - E) - 3. En el gráfico (fig. ), ABCD es un rectángulo en que sus vértices A, B, C D tienen por coordenadas (-, 0), (6, 0), (6, 4) (-, 4), respectivamente. Cuál es el valor de la pendiente de la diagonal AC? A) B) C) D) - E) - D A C B fig. 4. Con respecto a las rectas L, L L 3 de la figura, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La pendiente de L es cero. II) La pendiente de L es positiva. III) La pendiente de L 3 es negativa. L A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 0 L L 3 fig. 7

8 5. En el triángulo ABC (fig. 3), AB // OX. Si m, m m 3 son las pendientes de AB, BC CA, respectivamente, entonces un orden creciente está representado por Y A) m < m < m 3 B) m 3 < m < m C) m < m < m 3 D) m < m 3 < m E) m 3 < m < m C fig. 3 O A B X 6. Cuál de los siguientes gráficos podría representar a la recta = 5? A) B) C) D) E) 7. Si la pendiente de una recta es -3 su coeficiente de posición es, su ecuación general es A) = 0 B) 3 = 0 C) 3 + = 0 D) 3 + = 0 E) 3 = 0 8

9 8. Cuáles son, respectivamente, los valores de la pendiente del coeficiente de posición de la recta = 0? A) -3-6 B) - 3 C) 3 D) E) Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la recta + 3 = 0? I) La recta intersecta al eje en el punto (4, 0). II) La recta intersecta al eje en el punto (0, 6). III) La pendiente de la recta es negativa. A) Sólo III B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 0. El área del triángulo formado por los ejes coordenados la recta de ecuación = es A) 5 B) 6 C) 7,5 D) 0 E). La ecuación de la recta que pasa por el punto (5, ) de pendiente - 3 es A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) + 3 = 0 9

10 . La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-, 4) B(-7, -) es A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 3. Según el gráfico de la figura 4, la ecuación de la recta L es A) + 3 = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 L fig En la figura 5, cuál es la ecuación de la recta L? A) 4 = 0 B) + 4 = 0 C) + 4 = 0 D) = 0 E) + = 0 fig. 5 35º 4 L 5. Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la recta de ecuación = 0? A) B) C) D) E)

11 6. Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuación b = 0? A) La recta paralela al eje que pasa por el punto (b, 0) B) La recta paralela al eje que pasa por el punto (0, b) C) La recta paralela al eje que pasa por el punto (b, 0) D) La recta paralela al eje que pasa por el punto (0, b) E) La recta que pasa por los puntos (0, 0) (b, b) 7. El punto P de ordenada 0 está en la recta cua pendiente es 3 que pasa por el punto A(7, -). Entonces, la abscisa de P es A) B) 9 3 C) 7 D) - E) Dada la recta L: 5 3 = 0, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Una recta perpendicular a L tiene pendiente 3. II) La recta L intersecta al eje de las abscisas en el punto III) Una recta paralela a L tiene pendiente ,. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I II D) Sólo I III E) Sólo II III

12 9. Cuál debe ser el valor de k en la ecuación de la recta 4k + 5 = 0 para que sea paralela a la recta 3 + = 0? A) B) C) D) E) Qué valor debe tener k para que las rectas (3 k) + 5 = = 0 sean perpendiculares? A) B) 4 C) 7 D) 5 E) -5. Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (, -3) que es paralela a la recta que une los puntos (4, ) (-, )? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) 6 0 = 0 E) = 0

13 . Cuál es la ecuación de la recta perpendicular al segmento AB determinado por los puntos A(, 7), B(6, -3) que pasa por el punto medio de éste? A) = 0 B) = 0 C) 5 + = 0 D) = 0 E) = 0 3. Una recta L pasa por el punto (, ) tiene pendiente 3. Si una recta L, perpendicular con L, contiene al punto (6, -), entonces la ordenada del punto donde se cortan L L es A) B) - C) D) 3 E) En una panadería la relación entre el costo de fabricación del pan su precio de venta es lineal. El costo de un kilogramo de pan blanco es de $ 30 se vende en $ 600; un kilogramo de pan dulce tiene un costo de $ 680 se vende en $.050. Si el costo de un kilogramo de pan negro es de $ 340, cuál es su precio de venta? A) $ 637,5 B) $ 65 C) $ 60 D) $ 66 E) $ 55 3

14 5. Respecto a la recta que tiene pendiente - 3 que forma con los ejes coordenados positivos un triángulo de área 48 cm, cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Intersecta al eje de las abscisas en el punto (, 0). II) Tiene coeficiente de posición n = 8. III) Su ecuación es = 0. A) Sólo I B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 6. Se puede determinar la pendiente de una recta L si : () La recta L pasa por el punto (-, 0). () El ángulo formado por la recta L el eje es 45º. A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 7. Se puede determinar la ecuación de una recta si : () Se conoce la pendiente el punto donde la recta corta al eje. () Se conoce la distancia entre dos puntos de ella. A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 4

15 8. La ecuación de la recta L se conoce si : () L es paralela a la recta + 5 = 0. () L pasa por el punto (-, 3). A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 9. Se puede calcular el área del triángulo OAB (fig. 6) formado por la recta L los ejes coordenados, si : () Conocemos las coordenadas del punto A. () Conocemos la pendiente de la recta L. A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional L B O A fig Las rectas L L son perpendiculares si : () L : = -3 + L : 3 = 5 () L 3a -4 -a L A) () por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas, () () D) Cada una por sí sola, () ó () E) Se requiere información adicional 5

16 RESPUESTAS Ejemplos Págs E A B 3 E 4 C E C D 5 E D 6 C D CLAVES PÁG. 7. D 7. C 3. E 9. E 5. E. B 8. D 4. C 0. D 6. B 3. A 9. E 5. D. A 7. A 4. C 0. B 6. D. C 8. C 5. C. B 7. A 3. B 9. C 6. A. E 8. D 4. B 30. D DOMA8 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 6