3.1. Distancia entre dos puntos. Definición 3.1. Sean a, b e, se llama distancia entre los números a y b que se denota por d (a, b), a la cantidad:

Transcripción

1 III. UNIDAD: GEOMETRIA ANALITICA LANA. La Geometría Analítica permite usar los métodos algebraicos en la solución de problemas geométricos, recíprocamente, los métodos de la geometría analítica pueden usarse para obtener una representación geométrica de las ecuaciones funciones. Un concepto fundamental en el que se basa la geometría analítica es el de sistema coordenado, mediante el cual es posible establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano los pares ordenados (a, b) de números reales. La idea de sistema coordenado fue introducida por primera vez por el matemático francés René Descartes en Distancia entre dos puntos. Definición 3.. Sean a, b e, se llama distancia entre los números a b que se denota por d (a, b), a la cantidad: d (a, b) a b ( a b) Ejemplo 3.. Determinar la distancia entre 3. d (, 3) 3 Definición 3.. ( + 3) ( 5) 5 5 Sean dos puntos de la recta real, se llama distancia dirigida de a a la longitud del segmento que une los puntos con signo + o, según si la dirección del segmento que une a los dos puntos es la misma o la opuesta a la dirección positiva del eje real. Se denota por. Nota 3.. i) De la definición se tiene que: ii) Si O i i es la distancia dirigida del origen al punto i, i, entonces: O O (ver Fig.3.) 0 Fig. 3. Notar que es positiva.

2 Ejemplo 3.. Si 6,, entonces 6 8 Si 3,, entonces ( 3) 4 El sistema coordenado que se utiliza comúnmente en Geometría Analítica es el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se obtiene escogiendo dos rectas perpendiculares en el plano, que se intersectan en un punto llamado origen, denotado por 0 como en la Fig. 3. Fig. 3. b (a, b) 0 a Considerando un punto en el plano, al trazar desde una recta perpendicular al eje se obtiene la ABSCISA a de, análogamente al trazar una recta perpendicular desde al eje se obtiene la ORDENADA b de. El par (a, b) se denomina COORDENADAS de. Notar que las coordenadas de Origen 0 son (0, 0). También es importante destacar que frecuentemente el sistema de coordenadas rectangulares tiene la misma unidad de medida en ambos ejes. Teorema 3.. Sean (, ) (, ) dos puntos cualquiera del plano entonces la distancia entre, se que denota d (, ) está dada por: d d (, ) ( ) + ( ) or se trazan perpendiculares a los ejes coordenados siendo C el punto de intersección como lo indica la Fig (, ) 0 (, ) C (, ) Fig Sea d la distancia entre. El triángulo C es rectángulo en C, entonces según el Teorema de itágoras: d C + C, luego: d ( ) + ( ) d ( ) + ( )

3 Ejemplo 3.3. Determinar la distancia entre (, 3) (, ). d ( ) + ( ( 3)) ( 3) Ejemplo 3.4. Verificar que el triángulo con vértices A (, 3), B (5, 7), C (9, 0) es isósceles. d (A, B) ( 5 ) + (7 3) d (B, C) ( 9 5) + (0 7) d (A, C) ( 9 ) + (0 3) Luego d (A, B) d (B, C) entonces en triángulo ABC, es isósceles. División de un segmento en una razón dada. Teorema AB BC, por lo tanto triángulo ABC Si (, ) (, ) son los etremos de un segmento dirigido (, ) de un punto que divide a este segmento en la razón + + ; + + son:, las coordenadas or los puntos,, se trazan perpendiculares a los ejes coordenados, Como se indica en Fig.3.4 (, ) Fig.3.4. (, ) (, ) 0 A (, 0) A (, 0) A (, Las tres rectas paralelas A, A, A determinan segmentos proporcionales sobre las transversales A A (por Teorema de Thales). Luego: A A (i) AA

4 Como A A AA, reemplazando estos valores en (i) se obtiene: En forma análoga se obtiene: Ejemplo 3.5. de donde +, +, Si (, 4) (8, 4) son los puntos etremos del segmento dirigido. Determinar las coordenadas del punto (, ) que divide a este segmento en la razón. Aplicando el Teorema 3. directamente se tiene: ; ( 4) Las coordenadas del punto son (4, ), notar que es punto interior del segmento. 3 Corolario 3.. Las coordenadas del punto medio de un segmento dirigido con (, ) + (, ) son: + ; Como de Teorema 3. se obtiene: Nota 3.. es punto medio de entonces. Reemplazando en las ecuaciones + ; + a) Las razones deben ser consideradas con su signo, a que se está trabajando con distancias dirigidas. b) Es aconsejable, verificar si la razón definida por coincide con la formulada en el Teorema 3., en caso contrario, escribir directamente las coordenadas de las distancias dirigidas involucradas en la nueva razón. or Ejemplo determinar las coordenadas del punto (, ) que divide el segmento cuos etremos son: (, 3) (4, 3), en la razón

5 Sustituendo las coordenadas respectivas se tiene: 4 4. ( 3) or lo tanto (, ) c) Si el punto de división es eterno al segmento dirigido, la razón es negativa. Ejercicios propuestos.. Determinar cuáles de los triángulos cuos vértices son los puntos dados son equiláteros, escálenos o isósceles. a) (0, 5); ( 3, 4); (, ) b) (, 4); ( 4, ); (, ) c) ( 3, ); (, ); (, 5). Es rectángulo el ángulo cuos vértices son (, ); (, ) ( 5, 3)? 3. Calcular en cada caso el perímetro longitud de las diagonales del cuadrilátero ABCD, si: a) A ( 3, 5); B (6, ); C (7, 5); D (, 6) b) A ( 4, 3); B (6, 3); C (3, 9); D (, 6); 4. Demostrar usando la fórmula de distancia que los puntos A (, ); B ( 3, ); C (, ) son colineales, es decir, están sobre una misma recta. 5. Determinar las coordenadas del punto (, ) que divide el segmento de recta de (, ) a (, ) tal que? 5 a) (4, 3); (, 4); b) ( 5, ); (, 4); 3 6. Si el punto (9, ) divide el segmento de recta, (6, 8) a (, ) en la razón 7 3. Encontrar las coordenadas de. 7. Determinar el punto (, ) del segmento que va desde (, 3) hasta (5, 7) que está a 3 de la distancia de a. 8. Los etremos de un segmento son (, 5); (6, 4). Hallar (, ) que Divide este segmento en la razón. 9. Hallar los vértices de un triángulo que tiene los puntos medios de sus lados en (3, ); (5, ) (6, 4);