GEOMETRIA ANALITICA PROBLEMARIO. M. en C. JOSÉ CORREA BUCIO ELABORADO POR:

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1 GEOMETRIA ANALITICA PROBLEMARIO ELABORADO POR: SEMESTRE AGOSTO 13 - ENERO 1

2 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 SISTEMA UNIDIMENSIONAL 1.- Localizaremos en un eje de coordenadas los puntos que tienen por coordenadas los números 6 1, 15 5,, 16 3, Encontraremos la longitud del segmento que tiene por etremos a los puntos A 3 1 B. 3.- Localizaremos los puntos A(3 B(-5. Encontraremos la distancia eistente entre los puntos dados..- Calcularemos el valor de la coordenada del punto A si se sabe que el valor de la coordenada del punto B es -5, que la distancia entre los puntos dados es de 3 unidades. Mostraremos en una figura los puntos mencionados. 5.- Los etremos de un segmento se localizan en los puntos A 3 B 1 razón d AP r, en la que el punto P 6, divide al internamente segmento AB. d PB 6.- Los etremos de un segmento se localizan en los puntos A 3 B 1 razón d BP r, en la que el punto P 6 divide internamente al segmento BA. d PA. Calcularemos la. Calcularemos la 7.- Un etremo de un segmento se localiza en el punto de coordenadas -8 su punto medio en el punto de coordenadas 3. Encontraremos la coordenada del otro etremo del segmento. Véase figura 8. Encontraremos la coordenada de los puntos de trisección del punto medio del segmento cuos etremos se localizan en los puntos A 3 B 1. Representaremos gráficamente la situación..- Localizar los puntos A(5 B(-3 encontrar la distancia entre ellos. 1.- Calcular la coordenada del punto A si se conoce que B(-5 la distancia de BA es -3, gráfica analíticamente Encontrar la longitud del segmento AB cuos etremos son: (-3 (-1, hacer gráfica. 1.- Localice los siguientes números en la recta numérica ordene de menor a maor: a 1/6 b 15/16 c /3 d -5/ e - f 1/ 13.- La distancia entre los dos puntos es. Si uno de los puntos es (-, donde se localiza el otro punto, gráfica analíticamente.

3 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Localizar los puntos (-8 (17 encontrar la distancia entre ellos, hacer gráfica 15.- Los etremos de un segmento dirigido son los puntos P 1 ( P (-. Calcular la razón P P/PP 1, en que el punto P(7 divide al segmento. Hacer su representación gráfica Encontrar los puntos de trisección el punto medio del segmento dirigido cuos etremos son los puntos (-7 (-1, Hacer su gráfica correspondiente Un etremo de un segmento dirigido es el punto (-8 su punto medio es (3. Encontrar la coordenada del otro etremo localizarla mediante la gráfica Calcula gráfica analíticamente la abscisa del punto B, si se conocen la abscisa del punto A(8 la distancia entre los dos puntos es igual a Calcula gráfica analíticamente la abscisa del punto B, si se conocen la abscisa del punto A(-5 la distancia entre los dos puntos es igual a..- Calcula la abscisa del punto B, si se conocen la abscisa del punto A(-1 la distancia entre los dos puntos es igual a 5. Hacer su gráfica correspondiente 1.- Calcula la abscisa del punto B, si se conocen la abscisa del punto A(-1 la distancia entre los dos puntos es igual a 8. Hacer su gráfica correspondiente..- Representa en el sistema coordenado lineal los puntos C(- D(5, encuentra analíticamente los puntos de trisección de dicho segmento. SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL 1.- Localizaremos en un plano cartesiano cada uno de los siguientes puntos M 5,,, P 7, 5, Q 5,, R 5, 6, T 5,, U, 3 W, 6..- Describiremos la región del plano cuos puntos, N, satisfacen la desigualdad Trazaremos los polígonos cuos vértices se localizan en los puntos indicados en cada caso. a M 5,, N, P 7, 5 b R 5, 6, T 5,, U, 3 W, 6 c A 7,, Q 5,, B 7, 5, T 5, C 6, 6.- Localizaremos el cuarto vértice del rectángulo sabiendo que los otros tres vértices se localizan en 5, 6, 6 C, 3. Trazaremos el rectángulo mencionado. los puntos A, B 5.- Calcularemos la distancia que eiste entre los puntos A, 5, B, 3 también la longitud del segmento AB., que representa 3

4 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Uno de los etremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 17 es el punto A 1, 11 el otro etremo del segmento es el punto B, punto., si, encontraremos el valor de la abscisa de este 7.- Uno de los etremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a es el punto A, otro etremo del segmento es el punto B, punto., si el, encontraremos el valor de la ordenada de este 8.- Probaremos mediante la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos, si los puntos 3, 5, 7 C 11, son colineales. A, B.- Probaremos mediante la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos, que los puntos A,, B 3, 1 C 1, 6 son los vértices de un triángulo isósceles. Representaremos gráficamente el triángulo. 1.- Probaremos mediante la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos, que los puntos A 3,, B, 3 C, son los vértices de un triángulo rectángulo. Representaremos gráficamente el triángulo Encontraremos el punto que se localiza en el eje de las abscisas que es equidistante a los 1, B, 6. puntos A 1.- Encontraremos las longitudes de las diagonales del cuadrilátero cuos vértices se localizan en los puntos A, 7, B, 6, C 5, 1 D 3,. Representaremos gráficamente el cuadrilátero las diagonales mencionadas Si la base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos A 6, 1 1, B, encontraremos la ordenada del otro vértice sabiendo que la abscisa de este tercer vértice es Se tiene un cuadrado que mide 5 unidades de longitud en cada uno de sus lados, determinaremos las coordenadas de sus vértices, conociendo que uno de sus vértices está en el origen del sistema de coordenadas, otro de sus vértices se localiza en el tercer cuadrante de los dos restantes, uno se encuentra en la parte negativa del eje de las abscisas el otro en la parte negativa del eje de las ordenadas. Encontraremos también la longitud de sus diagonales Localizar en el plano cartesiano mencionar en que cuadrante se localizan los puntos: a M(-5, b N(-, - c O(-7, 5 d Q(-., -.7 e R(/, -3/ f P(13/16, -7/ Representar gráficamente los siguientes puntos: a A(3, ; B(-, 1 C(-5, -

5 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 b P(1, 3; Q(, - R(-6, 6 c L(, ; M(7, - N(-8, 1 d S(-, -3; T(-5, 1 U(, 17.- Describir la región de plano cuos puntos (, satisfacen la desigualdad < < 6, realizando dicha gráfica Describir la región de plano cuos puntos (, satisfacen las dos desigualdades, realizando dicha gráfica. a < < 5 b - < < 1.- Localizar gráficamente los siguientes polígonos, formados por las coordenadas de sus vértices: a A(, 5; B(-3, C(, -5 b A(-, 7; B(-6, -1 C(-, -3 c A(6, -1; B(1, - C(5, -7 d A(, 8; B(-, - C(, - e A(-, ; B(-, -3; C(1, -6 D(, f A(-, -5; B(5, -; C(7, ; D(1, 5 E(-,.- Localizar el cuarto vértice de un rectángulo cuos otros vértices son: A(5, 6, B(-, 6, C(-, Encontrar la distancia entre los puntos cuas coordenadas son: a A(-, 5 B(, -3 b A(, 5/3 B(-3, -3/ c A(, ; B(, - d A(/, -3/; B(17/5, -3/.- Los puntos A(, 5 B(-3, son los etremos del segmento AB. Encontrar la longitud de su proección: a En el eje de las abscisas. b En el eje de las ordenadas. 3.- Uno de los etremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 17 es el punto A (1, -11; si la ordenada del otro etremo es (, encuentra su abscisa. 5

6 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1.- Uno de los etremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a es el punto P (, -; si la abscisa del otro etremo es (, encuentra su ordenada. 5.- Uno de los etremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 1 es el punto B (-3, 6; si la abscisa del otro etremo es (3, encuentra su ordenada. 6.- Uno de los etremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 18 es el punto A (-6, ; si la ordenada del otro etremo es (-1, encuentra su abscisa. 7.- Demuestra mediante la ecuación de la distancia entre dos puntos, que los siguientes puntos son colineales: a A(-3, ; B(5, 7 C(11, b A(1, 1; B(6, -1 C(, -3 c A(-1, -; B(3, -1 C(-, 6 d A(-, ; B(, 6 C(8, Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles gráfica analíticamente: a A(-, ; B(3, 1 C(-1, -6 b A(-, -; B(-5, -1 C(-6, -5 c A(-6, -6; B(-, C(, - d A(-6, ; B(-5, -3 C(-1, -1.- Demuestre que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo rectángulo, gráfica analíticamente: a A(3, ; B(-, -3 C(, - b A(-, -8; B(-6, -1 C(, - c A(3, 5; B(7, C(, - d A(, 5; B(8, -1 C(-, Encuentre el punto que se localiza sobre el eje X es equidistante de los puntos A(1, - B(-, Una circunferencia cuo centro está en (-3, pasa por el punto (,, cuál es su radio? 6

7 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Encuentre las longitudes de las diagonales del cuadrilátero cuos vértices son (1, 7, (, -8, (- 5, -1 (-3, La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (6, 1 (-1,. La abscisa del otro vértice es 3 encuentre la ordenada. 3.- Encuentre las coordenadas del centro de un una circunferencia que pase por los puntos: (1,, (, -3, (-8, -1, encuentre también su radio Con base en un cuadrado que tiene unidades de longitud por lado, determinar las coordenadas de sus vértices si un lado está en el origen dos de sus lados se encuentran sobre los ejes coordenados además el cuarto vértice esta en el cuarto cuadrante. Encontrar la longitud de una de sus diagonales Con base en un cuadrado que tiene 5 unidades de longitud por lado, determinar las coordenadas de sus vértices si un lado está en el origen dos de sus lados se encuentran sobre los ejes coordenados además el cuarto vértice esta en el tercer cuadrante. Encontrar la longitud de una de sus diagonales. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA, UNA RELACIÓN Y PUNTO MEDIO DE ÉSTE. 1.- Si los etremos de un segmento se localizan en los puntos A(7, B(-1, -, encontraremos la razón en la que el punto P(1, - divide al segmento..- Trazaremos el segmento cuos etremos se localizan en los puntos A((-, -1 B(,, determinaremos las coordenadas de su punto medio los valores de las coordenadas del punto P(, que se encuentra a los 5/7 de la distancia de A(-, -1 hacia B(,. 3.- Si AB tiene por etremos A(6,, B(, -, Encontrar graficar el punto P(, tal que la razón r = AP/PB = 1/7..- Trazar el segmento cuos etremos son los puntos A(-, -1 B(, determine los siguiente: a Las coordenadas del punto medio. b Las coordenadas del punto que se encuentra a los 5/7 a partir de A hacia B. 5.- Localizar calcular los puntos de trisección el punto medio del segmento cuos etremos son los puntos (-, 3 (6, Los puntos etremos de un segmento son A(, B(8, -. Localízalos encuentra el punto P(, que divide al segmento en dos partes tales que la razón r = AP/PB = Uno de los etremos de un segmento es el punto (7, 8, su punto medio es (, 3. Calcula localiza el otro etremo. 8.- El punto medio del segmento AB es P(1, el punto A tiene de coordenadas (5, -. Encontrar graficar las coordenadas del punto B. 7

8 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1.- El punto medio del segmento AB es R(, 3 el punto A tiene de coordenadas (6, 11. Encontrar graficar las coordenadas del punto B. 1.- Encontrar las coordenadas del punto P que divida al segmento de etremos P 1 (3, -, P (-, 3 en la relación k = PP 1 /P 1 P = / Si el segmento AB está cortado por el punto P(-3, en la relación AP/AB = k = /5 las coordenadas de A son (7, 5 Encontrar las coordenadas de B. 1.- Calcular localizar las coordenadas del punto P que corta al segmento de etremos A(, - B(7, -1 en la razón r = AP/PB donde: a r = 5 b r = 1/3 c r = 5/ 13.- Los puntos etremo de un segmento son A(, B(8, -. Encontrar el punto P que divide a este segmento en dos partes tales que la razón r = BP/PA = Los etremos de un segmento son los puntos A(7, B(-1, -. Calcular la razón r = AP/PB en que el punto P(1, - divide al segmento El punto A esta a /3 de la distancia de M(6, 5 a N(-3, -6 el punto B se encuentra a la mitad del segmento Q(, 5 con W(-8, -3. Calcular la distancia AB El punto A esta a 3/ de la distancia de M(-7, 7 a N(6, 3 el punto B se encuentra a la mitad del segmento Q(-5, con W(5, -8. Calcular la distancia AB Los vértices de un triángulo son A(3, 8, B(, -1 C(6, -1. Si D es el punto medio del lado BC. Calcular la longitud de la mediana AD Los puntos medios de los lados de un triángulo son (1, 1, (, (, 5. Encontrar las coordenadas de los vértices del triángulo. 1.- Encuentra las coordenadas de un punto P(, que divide al segmento determinado por P 1 (-, 5 P (1, - en la relación r = /3..- Se sabe que el punto P(8, - divide al segmento que se determina por los P 1 (1, -1 P (, en la relación r = ; encuentra las coordenadas de P. 1.- Los etremos del diámetro de una circunferencia son A(3,- B(5, 6; encuentra las coordenadas del centro..- El etremo del diámetro de una circunferencia de centro C(6, - es A(, ; encuentra las coordenadas de B(, del otro etremo. 3.- Determina la ecuación algebraica que epresa el hecho de que el punto P(, equidista de los puntos A(, B(, ; encuentra las coordenadas de dicho punto. 8

9 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1.- Los etremos de un segmento son A(-3, -1 B(5, 7. Encontrar el punto P(, que divide a este segmento en dos partes tales que BP/PA = Dados los puntos medios de los lados de los siguientes triángulos, encuentre las coordenadas de los vértices de cada uno: a (, -3, (5, (-, 1 b (6, -1, (3, 3 (1, -3 c (5, -, (-1, - (3, d (8,, (-, 7 (, Determina las coordenadas del punto P(, que se encuentra a los 5/7 a partir del segmento A(, hacia B(8, Encuentre las coordenadas de los puntos que dividen al segmento determinado por A(, -3 B(-, 7 en cuatro partes iguales. 8.- Encuentre las coordenadas del punto P(, tal que k = AP/AB, para los siguientes casos: a A(, -, B(1, 8; k = 3/ b A(1, 1, B(-, -3; k = c A(-, 1, B(6, ; k = 3/ d A(-, 5, B(1, 1; k = 5/6.- Encuentra las coordenadas del punto P que se halla a 1/3 a partir del punto A(-6, hacia B(, En una recta determinada por los puntos A(, 3 B(6, 5, Cuál debe ser el valor de k si un punto P de la recta tiene de abscisa (15/? 31.- Dados los puntos A(-5, 3, B(7, -; a Encuentre las coordenadas del punto que divide al segmento AB en la razón /3. b Encuentre las coordenadas del punto que divide al segmento AB en la razón 3/ Los vértices de un triángulo son A(-, 8, (6, C(, -. Los puntos medios de AB de AC son B C respectivamente. Demuestre encontrando valores numéricos, que: a B C = ½ BC. b Área AB C = ¼ ABC. 3.- Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo A(8, 6, B(, - C(-, Los vértices de un cuadrilátero son (7,, (-5, -, (3, -8, (-1, 6, Demuestre, calculando los valores numéricos que el perímetro del cuadrilátero formado al unir los puntos medios de los lados, es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original. 3.- Hállese la razón en la cual el punto (, 3 divide al segmento que une (3, 8 con (-1, El punto (5, -1 divide al segmento P 1 P en la razón /3. Si las coordenadas de P 1 son (11, -3 Cuáles son las coordenadas de P? 36.- Los etremos de un segmento son los puntos P 1 (-5, 8 P (3,. Hallar la razón P 1 P : PP 1 en que el punto P(1, divide al segmento. Hacer su representación en el plano.

10 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 PERIMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS 1.- Calcular el perímetro el área de los triángulos: a A(, B(1, C(3, - b A(3, - B(5, C(-7, -3 c A(-, -1 B(-, -6 C(5, d A(, B(-, 1 C(-5, 3 e A(7, 3 B(-, C(6, f A(-1-1 B(, C(, -3 g A(1, B(-, C(, -1/ h A(3, B(-3, - C(1,.- Calcular el perímetro, semiperímetro el área de los siguientes polígonos. a A(-3, 3 B(, C(7, 7 D(-1, 6 b A(-3, -1 B(, 3 C(3, D(, -1 c A(-3, -1 B(, 3 C(3, D(, -1 d A(, 1 B(1, 3 C(-1, 5 D(-5, e A(-3, - B(-7, 1 C(-, 8 D(1, 5 E(6, 3 f A(-5, 1 B(-, 6 C(3, 5 D(7, E(, - g A(-5, 1 B(-, 6 C(3, 5 D(, 7 E(7, F(, En un sistema de coordenadas rectangulares se han dado dos vértices opuestos de un cuadrado B(, 3/ C(1, ½. Determinar localizar los otros dos vértices, calcular el perímetro, semiperímetro área del cuadrado..- El centro de un cuadrado es el punto P(, -1 dos de sus vértices son A(, B(-1, -1. Encontrar dibujar el plano las coordenadas de los otros dos vértices calcular su área. 5.- Los puntos medios de los lados de un triángulo son: (-½, ½, (3, -½ (-3/, -3; encuentra las coordenadas de sus vértices, el área, perímetro semiperímetro. 6.- Encuentra el área del triángulo cuos vértices son A(,, B(1, C(3, -; comprueba el resultado por la formula de Herón para el área del triángulo en función de sus lados. 1

11 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Encuentra el área del triángulo cuos vértices son: A(, -, B(-8, C(5, 3; comprueba el resultado por la formula: (b (h/. 8.- El área de un triángulo cuos vértices son (a, 6, (, a, (, es 8. Encuentre los valores de a..- Los vértices de un triángulo son (, 7, (5, 1, (, 3; su área es 18. Cuál es el valor de? a Si están en sentido contrario que el sentido del reloj; b Si están en el sentido del reloj. 1.- Conociendo que el área del triángulo cuos vértices se localizan en los puntos A(, 7, B(5, 1 C(, 3 es 18, encontraremos los valores de El punto P(, 1 es el centro de un cuadrado que tiene dos de sus vértices en los puntos A(, B(-1, -1. Encontraremos las coordenadas de los otros dos vértices calcularemos el área, el perímetro el semiperímetro del cuadrado. PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA. 1.- Encontraremos la ecuación, en diferentes formas, de la línea recta que pasa por el punto 3 A 5, tiene pendiente m. Graficaremos la línea recta..- Encontraremos la ecuación, en diferentes formas, de la línea recta que pasa por el punto A, 5 tiene un ángulo de inclinación 5º. Graficaremos la línea recta Encontraremos la ecuación, en diferentes formas, de la línea recta que tiene pendiente m 6 ordenada al origen. Graficaremos la línea recta. 5.- Encontraremos la pendiente, el ángulo de inclinación la recta de ecuación general 3 1 además de las coordenadas de los puntos donde dicha línea recta interseca a los ejes de coordenadas. 6.- Encontraremos las medidas de los ángulos que forma la línea recta que pasa por los puntos de coordenadas, 7 1, con la línea recta que pasa por los puntos de coordenadas 6,,. Graficaremos tales rectas en un mismo sistema de coordenadas. 7.- Encontraremos la medida de cada uno de los ángulos interiores del triángulo cuos vértices se localizan en los puntos de coordenadas,, 1, 8, Una línea recta 1 B es paralela a una línea recta. Encontraremos las ecuaciones de estas líneas rectas trazaremos sus gráficas en un mismo sistema de coordenadas. que pasa por los puntos A 5, 3, 7 que pasa por el punto C, 3.- Una línea recta 1 5, B 3, 7 es perpendicular a una línea recta que pasa por el punto C, 3. Encontraremos las ecuaciones de estas líneas rectas trazaremos sus gráficas en un mismo sistema de coordenadas. que pasa por los puntos A 11

12 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Las ecuaciones corresponden a dos líneas rectas oblicuas, encontraremos el punto común (o punto de intersección de tales líneas rectas las graficaremos en un mismo sistema de coordenadas Encontraremos la distancia que eiste entre la línea recta de ecuación 3 1 el punto de coordenadas, Encontraremos el área del triángulo rectángulo formado por partes de los ejes de coordenadas de la línea recta de ecuación general 3 6. Graficaremos la línea recta Encontrar la pendiente el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-3, (7, Trazar la recta que pasa por el punto A(-3, - que tiene una pendiente igual a / Encontrar la pendiente el ángulo de inclinación para las siguientes rectas que se forman con los puntos: a A(-5, - B(7, 5 b A(, 3 B(11, -1 c A(7, 8 B(, 3 d A(7, B(6, Demuestra por medio de las pendientes que los siguientes puntos son colineales. a A(-, 3, B(/3, 1 C(6, -3 b A(7,, B(, - C(-3, 5 c A(-, 7, B(, C(5, -1/ d A(, 7, B(, 3 C(6, Una recta de pendiente (-/3 pasa por el punto A(-, 5; la ordenada de otro punto B de la recta es (1, encuentra su abscisa Una recta de pendiente (-6/5 pasa por el punto P(3, -5 por los puntos A B. Si la ordenada de A es (- la abscisa de B es (-, Cuál es la abscisa de A la ordenada de B? 1.- Determina la pendiente de las siguientes rectas cua inclinación es: a 3π/ b 1º c 6º d π/.- Determina el ángulo de inclinación para las siguientes rectas cua pendiente es: a b.1556 c Traza las siguientes rectas que pasan por el punto dado cua pendiente se indica: a A(6, -; m = -3/ b P(, 1; m = ¾ c R(, -7 m = - d A(, m = -3 1

13 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1.- Demostrar que los puntos A(-, 5, B(, 3, C(3, -1 D(-5, 1 son los vértices de un rectángulo en función de sus pendientes, que el lado AB es paralelo al lado DC AD paralelo a BC que AB es perpendicular a AD como CD a BC. 3.- La recta que pasa por los puntos (-, -6 (6, es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-3, 1 (, -, demuéstralo..- Demuestre que los siguientes puntos dados forman triángulos rectángulos, aplicando teorema de Pitágoras la condición de perpendicularidad: a (-5, -1, (-1, (, - b (-5, -1, (, - (6, c (-3, -5, (-, (5, 1 d (-, (1, 5 (3, -5 e (,, (-5, -1 (-, - f (8, 1, (1, - (6, Averiguar si las recta que pasa por los puntos (3, 7 (-1, -1 con la recta que pasa por los puntos (, 5 (-, -7 son paralelas o perpendiculares. 6.- Averiguar si las recta que pasa por los puntos (3, 7 (-1, -1 con la recta que pasa por los puntos (, -5 (6, -6 son paralelas o perpendiculares. 7.- Demuestre que cada uno de los siguientes conjuntos de cuatro puntos son vértices del paralelogramo ABCD. a A(,, B(6,, C(, 3 D(, 3 b A(-,, B(6,, C(5, -3 D(-3, -1 c A(, -, B(, -6, C(1, -1 D(8, 3 d A(-1,, B(5,, C(8, 7 D(, La recta que pasa por los puntos (, 3 (-6, intersecta a la recta a través de (, (-1, 5, trace en el punto de intersección una recta perpendicular a la primera recta una paralela a la segunda recta que pase por el punto (3, Demostrar que la recta que pasa por los puntos (-, 5 (, 1 es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-1, 1 (3, Una recta L 1 pasa por los puntos (3, (-, 6, otra recta L pasa por el punto (-7, 1 el punto A cua ordenada es -6. Encuentra la abscisa del punto A, sabiendo que L 1 es perpendicular a L. 3.- Demuestre que los cuatro puntos (,, (5, 6, (, (6, 5 son vértices de un rombo que sus diagonales son perpendiculares se cortan en el punto medio Demuestre que los cuatro puntos (,, (7, 3, (6, - (1, -1 son vértices de un cuadrado que sus diagonales son perpendiculares se dividen mutuamente en partes iguales. ECUACIONES DE LA RECTA 1.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto dado tiene la pendiente que se indica: a A(5, m = 3 b Q(, - m = -3/ 13

14 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 c B(-6, 5 m = /3 d R(3, 1 m = -.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto dado tiene el ángulo de inclinación que se indica: a A(7, θ = 6º b Q(, -7 θ = 135º c B(5, - θ = 71º 33 5 d R(-1, -1 θ = 61º Encuentre la ecuación de la recta que tiene la pendiente dada su intersección con el eje Y se indica. a m = -3/5, intersección (-3 b m =, intersección (6/5 c m = -5, intersección ( d m = 1/6, intersección (-8/3.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados: a A(, B(-7, 5 b P(-1, 3 Q(, 6 c R(-3, - S(5, 3 d M(5, - N(, Encuentra la ecuación de la recta cuas intersecciones con los ejes X & Y se indican respectivamente: a A(-5, B(, b P(5/, Q(, 11/ c R(3, S(, 1 d M(7, N(, Una recta que pasa por los puntos P(7, Q(3, -6; encuentra su ecuación en forma canónica. 7.- Una recta de pendiente (-7/ que pasa por el punto A(-, 6; determina su ecuación en la forma general simétrica. 8.- Demuestra que los puntos P(, -6, Q(-3, -1 R(-5, 1 son colineales, encuentra la ecuación de la recta que pasa por dos de estos puntos dados..- Encuentra le área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados la recta cua ecuación es 3-6 =. 1.- Encuentra la pendiente e intersecciones con los ejes coordenados para la recta = Determina los ángulos interiores de los triángulos siguientes cuos vértices son los puntos que a continuación se indican; comprueba los resultados. a A(-,, B(5, -5 C(3, 7 b K(-5, -, L(, - M(1, 6 1

15 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 c P(, 5, Q(-3, - R(, d L(-, 3, M(, N(-3, Determina el ángulo de formado entre las dos rectas = + 1 = Demuestra que las rectas 3 + = = satisfacen la condición de perpendicularidad. 1.- Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a = en su intersección con la recta = 15.- Determinar la distancia absoluta de las siguientes rectas al punto indicado. a 5 13 = al punto A(7, -1 b = al punto C(1, 3 c 3 + = al punto P(5, Determina la distancia dirigida de las siguientes rectas dadas al punto indicado. d = al punto A(3, 5 e = al punto B(-, -3 f - 3 = al punto C(, - g + 8 = al punto Q(6, h 6 = al punto M(, Determina la ecuación de la recta determina los coeficientes de la forma general, que pasa por el punto A(-1, tiene una pendiente igual a (- ½ Encuentre los ángulos del triángulo cuos vértices son: A(-,, B(1, - C(8, Encuéntrese el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos (, 7 (1, - con la que pasa por los puntos (6, (-,..- Demuestra que el triángulo cuos vértices son: A(8, -1, B(-6, 7 C(, -5 tiene un ángulo recto en C. 1.- Demuestra que la recta que pasa por los puntos (-, 3 (6, -1 es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (, (-, Dadas las ecuaciones de dos rectas + = ; = indicar: a Cuál es la pendiente de cada una de ellas. b Presenta las ecuaciones en la forma pendiente ordenada al origen las ecuaciones en forma simétrica. c Graficas de dichas rectas en el mismo plano. 3.- La recta L 1 que pasa por los puntos (5, (-3, -7 es paralela a la recta L que pasa por el punto (, -3 encuentre la ecuación de la recta L grafíquelas. 15

16 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1.- El ángulo que forma la recta + 3 = -6 con la recta que pasa por (, - es 5º. Encontrar su ecuación. 5.- La recta que pasa por el punto P(-3, 5 tiene una pendiente m = -/3; Encontrar graficar una recta paralela a ésta que pase por el punto A(3, Encontrar la recta perpendicular a la recta que pase por el punto B( Dada la siguiente grafica, encuentre el ángulo ABC. 8.- Determinar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 6 8 = =..- Determinar la distancia comprendida entre las rectas + + = =. CIRCUNFERENCIA. 1.- Hallaremos la ecuación ordinaria la ecuación general de la circunferencia cuo centro se 7, 6 B,. localiza en el punto A que pasa por el punto.- Los etremos de un diámetro de una circunferencia se localizan en los puntos, 3 B, 5 A. Hallaremos la ecuación ordinaria la ecuación general de la circunferencia. Graficaremos la circunferencia. 3.- Hallaremos la ecuación ordinaria la ecuación general de una circunferencia cuo centro se 1, 3 B, 6. localiza sobre el eje de las abscisas que pasa por los puntos A 16

17 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1.- Determinaremos la ecuación ordinaria la ecuación general, las coordenadas del centro la medida del radio de la circunferencia que pasa por los puntos de coordenadas,, 3, 6 7,. Graficaremos la circunferencia. 5.- Encontraremos las coordenadas del centro la medida del radio de la circunferencia de ecuación general Graficaremos la circunferencia. 15 correspondiente a una circunferencia. Determinaremos la ecuación de la línea recta tangente a dicha circunferencia en 5 el punto de coordenadas 3,. 6.- Dada la ecuación ordinaria o canónica Encontraremos la ecuación ordinaria la ecuación general de la circunferencia que tiene su centro en el punto de coordenadas, es tangente a la línea recta cua ecuación es Encontraremos la ecuación ordinaria o canónica la ecuación general de la circunferencia que tiene su centro en C 3, es tangente a la línea recta que pasa por los puntos A 1, B, 5. Encontraremos las coordenadas del punto de tangencia. 1.- Los etremos de un diámetro son los puntos A(, 3 B(-, 5. Hallar la ecuación de la curva Hallar la ecuación de la circunferencia cuo centro es el punto (7, -6 que pasa por el punto A(,. 1.- Una circunferencia tiene su centro en el punto C(, es tangente a la recta =. Hallar su ecuación Hallar la ecuación de una circunferencia cuo centro está sobre el eje X que pasa por los puntos A(1, 3 B(, La ecuación de una circunferencia es ( + ( 3 =. Hallar la ecuación de la tangente a esta circunferencia en el punto (6, Hallar el centro el radio de la circunferencia de la ecuación = 16.- Determinar la ecuación, centro radio de la circunferencia que pasa por A(,, B(3, 6 C(7, Determinar la ecuación, centro radio de la circunferencia que pasa por A(1, 1, B(1, 3 C(, Determinar la ecuación, centro radio de la circunferencia que pasa por A(1, 1, B(1, 3 C(-3,

18 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Determinar la ecuación, centro radio de la circunferencia que pasa por A(-,, B(, C(-, -..- Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, - (5, que tiene su centro en la recta representada por la ecuación - + =. 1.- Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia = en el punto A(, 5..- Obtener la ecuación general de la circunferencia de centro (-, 1 que pasa por (5, Obtener la ecuación ordinaria de la circunferencia =..- Encontrar el centro radio graficar la circunferencia cua ecuación es: =. 5.- Encontrar el centro radio graficar la circunferencia cua ecuación es: =. 6.- Encontrar el centro radio graficar la circunferencia cua ecuación es: a =. b =. c =. d =. e =. 7.- Encontrar el centro radio graficar la circunferencia cua ecuación es: =. 8.- Dada la ecuación de la circunferencia ( - + ( - 8 = Determinar la ecuación de la recta tangente a dicha circunferencia en el punto (3, 5/.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia =, en el punto (, Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia + = 5 en el punto (-1, Encontrar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuos vértices son: A(-, 3, B(1, - D(5, Encontrar la ecuación de la circunferencia circunscrita en el triángulo cuos vértices son: A(-3, 6, B(, - D(6, Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas = = su centro se localiza en la recta 7 - = Encontrar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las recta = en el punto P(, 5 su centro se localiza en la recta + =. 18

19 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Determinar la ecuación, centro radio de la circunferencia que pasa por A(6,, B(8, su centro se localiza en la recta = Obtener la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro el punto P(1, es tangente a la recta 3 + = Obtener la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro el punto P(7, -5 es tangente a la recta = Comprobar que la ecuación de la recta + = 1, es tangente a la circunferencia: + - = determinar el punto de tangencia. 3.- Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia = en el punto (6, 3..- Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia = en el punto (1,. 1.- Determinar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones: + + = =..- Determinar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones: + - = =. 3.- Determinar los puntos donde la circunferencia cua ecuación es: =. Corta los ejes de coordenadas..- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(1,, sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación: =. PARÁBOLA 1.- Encontraremos ahora la ecuación ordinaria de una parábola con vértice en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano cuo foco se localiza en el punto F(,..- Una antena parabólica está diseñada de manera que la sección transversal que pasa por su eje de simetría es una parábola cuo foco coincide con el etremo izquierdo del receptor de señales. Si la antena mide 3 metros de ancho en la abertura, su foco está a un metro de su vértice, según se muestra en la figura 7.. a Determinaremos las coordenadas del foco de la parábola respecto de un sistema de coordenadas cartesiano con origen en el vértice de la parábola la parte positiva del eje Y pasando por el foco de ésta. b Hallaremos la ecuación ordinaria de la parábola. c Encontraremos las coordenadas de los etremos de la sección transversal de la antena. 1

20 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 (, 1 (-1.5,.565 (1.5,.565 Figura 7. Corte transversal de una antena parabólica. 3.- El radar es un instrumento que se ha utilizado para localizar objetos distantes mediante ondas de radio su antena tiene forma parabólica, de manera que todas las ondas de radio provenientes del espacio que entren paralelas a su eje focal sean reflejadas (por un principio físico al foco de la antena, según se muestra en la figura 7.3. Si la sección eficaz de la antena del radar está dada por la ecuación = 1, donde, están epresadas en metros, determinaremos la distancia de la base de la antena hasta el foco. (5, Figura 7.3 Corte transversal de un antena de radar..- Encontraremos la ecuación de una parábola que tiene su foco en el punto F(3, que su directriz tenga por ecuación a = o =. 5.- Una manguera situada horizontalmente a una altura de 1.6 metros sobre el suelo arroja agua con una velocidad de 1 m/s. El chorro de agua sigue la forma de una parábola con vértice en (,1.6 cómo se muestra en la figura 7.5. a Encontraremos las coordenadas del punto del piso donde cae el chorro de agua. b Hallaremos la ecuación de la parábola.

21 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 Y X Figura 7.5 Traectoria seguida por un chorro de agua. 6.- Si una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 3 m/s, su posición en la dirección vertical está determinada, en forma aproimada, por la ecuación: 3. Donde es la altura sobre el piso, en metros, en el instante de tiempo. a En qué instante llegará la pelota al punto del cual fue lanzada? b En qué instante alcanza la pelota su máima altura? c Cuál es la altura máima que alcanza la pelota? Figura 7.6 Gráfica posición- tiempo de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba. 7.- Determinaremos la altura de los puntos situados a una distancia de 1 m del punto medio de la base de un arco parabólico de m de altura 36 m de base. Y Figura 7.7 Arco parabólico. X 1

22 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Dada la ecuación ( = 8 (+3, encontraremos los elementos característicos de la parábola correspondiente..- Si se sabe que una parábola tiene su vértice en el punto de coordenadas (, que su foco está en el punto F(,, encontraremos la ecuación de su directriz, las ecuaciones ordinaria general de la parábola, trazaremos su gráfica. 1.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen foco en (3, Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen directriz de la recta 5 = 1.- Hallar la ecuación de la parábola cuos vértice foco son (-, 3 (-1, 3, respectivamente. Hallar también la ecuación de su directriz La directriz de una parábola es la recta 1 =, su foco es el punto (, -3. Hallar su ecuación. 1.- Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz la longitud de su lado recto de la parábola de ecuación: = Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz la longitud de su lado recto de la parábola de ecuación: = Hallar las coordenadas del foco, vértice, ecuación de la directriz, longitud del lado recto de la parábola de ecuación: + = Hallar las coordenadas del foco, vértice, ecuación de la directriz, longitud del lado recto de la parábola de ecuación: = Hallar las coordenadas del foco, vértice, ecuación de la directriz, longitud del lado recto de la parábola de ecuación: 1/8 + =. 1.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen foco (1, Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen directriz + 5 =. 1.- Hallar la ecuación de la parábola cuo vértice es (-, 3 foco (-1, 3. Hallar la ecuación de su directriz..- Una circunferencia de centro (, -1 pasa por el foco de + 16 =. Demostrar que es tangente a la directriz de la parábola. 3.- Determinar la ecuación de la parábola que pasa por (,, (8, - (3, 1..- Determinar la ecuación de la parábola que pasa por (, -, (8, (,.

23 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Una parábola cuo vértice está en el origen cuo eje coincide con el eje X pasa por el punto A(3, 6, determinar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz la longitud de su lado recto. 6.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen foco en (3, 7.- Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen directriz de la recta 5 = 8.- Hallar la ecuación de la parábola cuo vértice foco son (-, 3 (-1, 3, respectivamente. Hallar también la ecuación de la directriz..- La directriz de una parábola es la recta 1 =, su foco es el punto (, -3. Hallar su ecuación. 3.- Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen eje focal sobre el eje de las pasa por el punto (-3, Determinar la ecuación de la parábola con vértice en (, -, su directriz vertical su lado recto es Determinar la ecuación de la parábola cuo eje de simetría es paralelo al eje Y, que pasa por los tres puntos L(-,, M(, 1 N(3, 33.- Determinar la ecuación de la parábola cuo eje de simetría es paralelo al eje X, que pasa por los tres puntos L(-1, 3, M(1, N(-, Determinar la ecuación de la parábola cuo eje de simetría es paralelo al eje X, que pasa por los tres puntos A(3, 3, B(6, 5 C(6, Indicar cuál es la ecuación de la parábola, que tiene su eje focal horizontal, V(,, el lado recto esta a la derecha del origen tiene una longitud de 7 unidades Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz la longitud de su lado recto de la parábola de ecuación: = 37.- Hallar las coordenadas del vértice, del foco, la ecuación de la directriz la longitud de su lado recto de la parábola de ecuación: = ( Determinar la ecuación de la parábola cuo foco esta en (-, - su lado recto une los puntos Q(-, Q (-, Demostrar que la ecuación: = 3 +, es una parábola. Determinar sus elementos graficarla..- Indicar la ecuación de la parábola que tiene las siguientes características: vértice sobre la recta =, foco sobre 3 3 = de directriz = -1. 3

24 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Indicar la ecuación de la parábola que satisface la condición de: F(- 3, -, eje focal = -, longitud del lado recto unidades..- Determinar los puntos donde la recta - =, corta a la parábola cua ecuación es: - + = LA ELIPSE. 1.- Con esta relación obtenida, entre a, b c, procederemos a encontrar las ecuaciones ordinarias o canónicas de la elipse mostrada en la figura 8.1. (, 3 P(, V (-5, F (-, C V(5, F(, (, -3 Figura 8.1 Elipse con centro en el origen eje focal sobre el eje de las abscisas..- La galería de los murmullos, en el edificio del Capitolio en Washington D. C, tiene como techo un domo en forma de elipsoide (superficie formada al girar una elipse sobre uno de los ejes. Un murmullo que se emite en uno de los focos de la galería puede escucharse claramente en el otro foco (una elipse refleja ondas que sales de un foco llegan al otro foco, si la distancia entre los focos es de 8 m la longitud de la sala (eje maor es 5 m. cuál es una ecuación de la elipse a la que pertenece una sección transversal vertical de la galería, que pasa por sus focos?

25 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 Figura 8. gráfica de la ecuación Encontraremos la ecuación ordinaria o canónica de la elipse que se muestra en la figura 8.3. V(, 5 F(, 3 P(, (-, (, F (, -3 V (, -5 Figura 8.3 Elipse con centro en el origen eje focal sobre el eje de las ordenadas.. El diseño de una leva (elemento que gira, de perfil no circular, empleado para transformar el movimiento giratorio en movimiento alternativo lineal para automóvil se programa empleando las ecuaciones generales de una elipse de una circunferencia, las cuales son: Grafica estas Ecuaciones. 5.- El arco de un puente es semielíptico, con eje maor horizontal, la base del arco tiene 3 metros de longitud su parte más alta con respecto al suelo mide 1 metros, según se muestra en la figura 8.5. Determinaremos la altura del arco a 6 metros de ambos lados del centro de la base. Cuál es la ecuación de la elipse formada. 5

26 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 Figura 8.5 Puente semielíptico. 1.- Encontrar las coordenadas de los vértices, focos, longitud del lado recto, eje maor, eje menor, ecentricidad grafica de: a + 81 = 36 b 5 + = 5 c + = 36 d = 6 e + = 36 5 f 1.- Determinar la ecuación de la elipse cuos focos son: a F (,, F (, - ecentricidad /3. b F (,, F ( -, ecentricidad /3 c F ( 5,, F ( -5, ecentricidad 5/ Determinar la ecuación de la elipse sus demás elementos graficarla. Si los vértices son: V ( 7, 1, V ( 1, 1 ecentricidad 1/3..- Determina la ecuación de la elipse cuos vértices focos son: a V ( 5,, V ( -5, F ( 3,, F ( -3, b V (, 7, V (, -7 F (,, F (, - c V (,, V ( -, F ( 3,, F ( -3, 5.- Determina la ecuación de la elipse cuos focos longitud de uno de sus lados rectos es: a F (, 53, F (, -53 L.R. = 5 b F ( 3,, F ( -3, L.R. = c F ( 3/,, F ( -3/, L.R. = / d F ( 3,, F ( -3, L.R. = e F ( -, -, F ( -, -6 L.R. = 6 f F (3, 8, F (3, L.R. = El centro de una elipse es C( -, -1 un vértice es ( 3, -1. Si L.R. =, Encuentra su ecuación demás elementos grafícala. 7.- El centro de una elipse es C( -3,. Si la longitud del semieje maor es la longitud del eje menor es 6. Encuentra su ecuación demás elementos grafícala. 8.- El centro de una elipse es C(, -, el vértice foco de un mismo lado del centro son los puntos (-, - (-1, - respectivamente. Hallar la ecuación demás elementos grafícala..- Los focos de una elipse son los puntos (1, (3,. 6

27 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Determina todos los elemen tos traza la gráfica de las siguientes elipses: 1 7 ( 16 ( 1 16 ( 1 ( ( ( 1 1 ( 8 3 ( 1 ( 18 ( 1 3 ( 36 8 ( 1 ( 1 1 ( g f e d c b a 1.- Hallar la ecuación de la elipse la ecentricidad, si esta tiene centro en el origen uno de sus vértices es (, 7 pasa por el punto ( 5, 1/ Discute si cada una de las siguientes ecuaciones representa o NO una elipse; en caso afirmativo determina sus elementos correspondientes traza su gráfica l k j i h g f e d c b a 1.- Determina la ecuación de la elipse que pasa por los puntos: a A (, ; B ( 1, 1 ; C (, 1 D (, b A ( -8, 3 B ( -, ; C ( 8, -1 D ( 6, Determinar la ecuación de la elipse que tenga como centro C(-, sea tangente a los ejes coordenados. HIPÉRBOLA. 1. El físico Ernest Rutherford, descubrió que cuando se disparan partículas alfa ( hacia el núcleo de un átomo, algunas de ellas son repelidas por el núcleo siguiendo traectorias hiperbólicas. El

28 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 dibujo representa la traectoria de una partícula que se dirige hacia el origen sobre la recta de 1 ecuación llega a 3 unidades de distancia respecto del núcleo. Determinar una ecuación de la traectoria de dicha partícula. Y 6 Núcleo Partícula Alfa X - Figura.1 Partículas alfa..- Un avión de la fuerza Aérea Meicana ejecuta una maniobra a alta velocidad sobre la traectoria descrita por - = 8. Qué tanto se aproima el avión a una ciudad situada en (3,? Y Avión (, Ciudad X - -6 Figura. Avión fuerza aérea. 3.- Para un gas ideal a temperatura constante, la le de Bole enuncia que PV = C, donde P es la presión, V es el volumen C es una constante. Si 5 m 3 de hidrógeno se encuentran bajo una presión de 8 kpa, trazar la gráfica del volumen V contra la presión P, a una temperatura constante..- Un cometa sigue una traectoria hiperbólica con el Sol como foco. Cuando el cometa se encuentra en el punto más cercano al Sol se calcula que se ubica a * 1 8 km del centro del Sol a 6 * 1 8 km del centro de la hipérbola. Determinar una ecuación de la ruta del cometa, si el Sol se encuentra sobre el eje X el centro de la hipérbola está en el punto de coordenadas (,. 8

29 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Hallar las coordenadas de los vértices, focos, longitud de eje transverso conjugado, ecentricidad, longitud del lado recto de las hipérbolas: a c d g i b e f h j El centro de una hipérbola está en el origen, su eje transverso ésta sobre el eje Y. Si un foco es el punto (, 5 la ecentricidad es 3, encuentre la ecuación de la hipérbola la longitud de sus lados rectos. 7.- Hallar la ecuación de la hipérbola sus demás elementos grafícala. Si los vértices focos son: a V ( 3,, V ( -3, F ( 5,, F ( -5, b V (,, V (, - F (, 3, F (, Los etremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos A(, A (, - la longitud de cada lado recto es 8; Determina su ecuación, demás elementos grafícala..- Los etremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos A (, 3 A (, -3 la longitud de cada lado recto es 6. Determina su ecuación, demás elementos grafícala. 1.- Encontrar la ecuación de la hipérbola que pasa por (3, - (7, 6, tiene su centro en el origen el eje transverso coincide con el eje X Determina la ecuación de la hipérbola, sus elementos grafícala. Si sus vértices están en las coordenadas (, ( -, su ecentricidad es 3/. 1.- Determina la ecuación de la hipérbola, sus elementos grafícala. Si sus vértices están en las coordenadas (, 7 (, -7 su ecentricidad es / Los vértices de una hipérbola son (-1, 3, (3, 3 su ecentricidad 3/. Encuentre su ecuación, las coordenadas de sus focos las longitudes de sus ejes transverso conjugado de cada lado recto. 1.- Determina las longitudes de los radios vectores para cada una de las siguientes hipérbolas en el punto indicado:

30 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No. 1 a b c d en P ( 5, 16 en P ( 3, 16 en P (, 6 en P ( 6, 15.- El centro de la hipérbola es C(, - uno de sus vértices es (, -. Si la longitud de su lado recto es 8, encuentra su ecuación demás elementos grafícala Una hipérbola tiene su centro en el punto C( -3,, uno de sus focos en ( -3, 6 uno de sus vértices en ( -3, -1. Determina su ecuación ordinaria general traza su gráfica Encontrar la ecuación de le hipérbola cuos focos son (-1, 1 (5, 1 un vértice en (, Los vértices de una hipérbola son (,, (-, sus focos (3,, (, -3. Encontrar su ecuación, demás elementos grafica. 1.- Los focos de una hipérbola son los puntos (, -, (, -8 la longitud de su eje transverso es igual a. Encuentre su ecuación, la longitud de su lado recto su ecentricidad..- Determinar la ecuación de la hipérbola si los focos son los puntos (3,, (3, - su ecentricidad igual a. 1.- La ecuación de la hipérbola, cuos focos están en los vértices de la elipse / 1 + / 6 = 1 las directrices pasan por los focos de esta elipse..- Dada la ecuación de la hipérbola ( / 16 / 18 = 1, encontrar los elementos graficar dicha curva. 1.- Discute si las siguientes ecuaciones representan o NO una hipérbola; en caso afirmativo, determina sus elementos correspondientes grafícalas. 3

31 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No j i h g f e d c b a COORDENADAS POLARES 1.- Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuas coordenadas polares son (6, 15º..- Determinar las coordenadas polares del punto A cuas coordenadas rectangulares son (-, Graficas los puntos cuas coordenadas polares son: 7, 3, 3, c b a.- Determinar las coordenadas polares de los puntos M, N, P Q que se indican en la figura:

32 GEOMETRIA ANALITICA CBTis No Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cua ecuación es: 1 r 1 sen 6.- Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cua ecuación es: r cos Obtener la ecuación cartesiana de la línea r ( 5 cos θ + 3 sen θ = Transformar la ecuación de la recta 5 + = a la forma polar..- Transfórmese la ecuación + = 6 a coordenadas polares. 1.- Dada la ecuación polar r (3 cos θ =. Obtener la ecuación cartesiana de la curva Dada la ecuación polar r = 5 cos θ. Obtener la ecuación cartesiana de la curva. 1.- Dada la ecuación polar r cos θ - =. Obtener la ecuación cartesiana de la curva Dada la ecuación polar r = sen θ. Obtener la ecuación cartesiana de la curva. 1.- Dada la ecuación polar r = a cos θ. Obtener la ecuación cartesiana de la curva Dada la ecuación polar r r cos θ =. Obtener la ecuación cartesiana de la curva Dada la ecuación polar r cos (θ u = p. Obtener la ecuación cartesiana de la curva Dada la ecuación polar r (1 + sen θ = 8. Obtener la ecuación cartesiana de la curva Transfórmese la ecuación + = 5 a coordenadas polares. 1.- Transfórmese la ecuación + = a coordenadas polares..- Transfórmese la ecuación + = 8 a coordenadas polares. 1.- Transfórmese la ecuación - = a coordenadas polares..- Transfórmese la ecuación 5 + = 8 + a coordenadas polares. 3.- Transfórmese la ecuación cos u + sen u = p a coordenadas polares..- Transfórmese la ecuación = a coordenadas polares. 6.- Transfórmese la ecuación + - = a coordenadas polares. 3

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