MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

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1 Universidad de ádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTIAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 5 La circunferencia Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa González Montesinos

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3 Índice 1. Ecuación de la circunferencia 1 2. Determinación de una circunferencia 2 3. Intersección de la circunferencia con otra línea Intersección de una circunferencia con una recta Intersección de dos circunferencias Eje radical de dos circunferencias Potencia de un punto respecto de una circunferencia Eje radical de dos circunferencias Ejercicios propuestos 7

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5 Tema Ecuación de la circunferencia Definición 1.1 Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. Y P(x,y) Q r (a, b) x a y b M X Figura 1: ircunferencia de centro (a,b) y radio r. Expliquemos brevemente la definición teniendo en cuenta la figura 1: sea (a,b) el centro. ualquier punto P, Q, M,..., está a la misma distancia equidista de. Esta distancia recibe el nombre de radio, r. Abreviadamente, el lugar geométrico viene dado por el conjunto = { P(x,y) R 2 / d(p,) = r }. (1) Para deducir la ecuación de la circunferencia, expresemos analíticamente (1): d(p,) = (x a) 2 + (y b) 2 = r = (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. (2) Desarrollando la ecuación anterior, se obtiene que usualmente se escribe en la forma x 2 2ax + a 2 + y 2 2by + b 2 = r 2, x 2 + y 2 + Ax + By + = 0, (3) donde A = 2a, B = 2b y = a 2 + b 2 r 2. Nótese que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas, su ecuación viene dada por x 2 + y 2 = r 2.

6 2 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Ejemplo La ecuación de la circunferencia cuyo centro es (1, 2) y cuyo radio es igual a 2 viene dada por (x 1) 2 + (y + 2) 2 = Dada la circunferencia (x+3) 2 +(y 2) 2 = 9, su centro es el punto ( 3,2) y su radio es r = Dada la circunferencia x 2 + y 2 4x + 6y 3 = 0, determinar su centro y su radio. Agrupamos los términos en x e y para expresar la ecuación de la circunferencia como en (2): (x 2 4x) + (y 2 + 6y) = 3. Para obtener el cuadrado de una suma o diferencia en x e y, sumamos y restamos, respectivamente, 4 y 9 a los dos paréntesis: (x 2 4x + 4) 4 + (y 2 + 6y + 9) 9 = 3 = (x 2) 2 + (y + 3) 2 = 16. De este modo, el centro de la circunferencia es (2, 3) y el radio es r = Determinación de una circunferencia Para hallar la ecuación de una circunferencia, se precisan varios datos que irán formulados de forma explícita o implícita en el enunciado del problema. En general, se reducirán a los siguientes: a) Si los datos son las coordenadas del centro, (a,b), y el radio, r, la ecuación es inmediata. b) onocidos tres puntos no alineados de la circunferencia tres puntos no alineados determinan una única circunferencia, bastará sustituir sus coordenadas en (2) o en (3), lo cual nos proporcionará un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplo 2.1 alcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M(1, 4), N(1, 0) y P(3,2). Si : x 2 + y 2 + Ax + By + = 0 es la ecuación de la circunferencia que buscamos, debemos hallar los coeficientes A, B y. Para ello imponemos que los tres puntos pertenezcan a la circunferencia: =. M(1,4) = A + 4B + = 0 N(1,0) = A + 0B + = 0 P(3,2) = A + 2B + = 0 A + 4B + = 17 A + = 1 3A + 2B + = 13 Resolviendo este sistema resulta A = 2, B = 4 y = 1, de modo que la circunferencia pedida es : x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0. Otra forma de resolver el problema consistiría en tener en cuenta que la perpendicular en el punto medio, mediatriz, de cualquier cuerda de la circunferencia pasa por el centro, con lo que bastaría hallar la intersección de las mediatrices de MP y NP, pues se cortan en el centro de la circunferencia. c) Puede ocurrir que los datos sean distintos de los contemplados en los dos casos anteriores. Pero este hecho es sólo aparente, pues un examen cuidadoso del enunciado nos permite reducir cualquier problema a los dos casos precedentes.

7 Tema 5 3 Ejemplo Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto P(1, 2) y tiene su centro en (2,0). Este problema se puede englobar en el caso a), pues d(p,) = = 5 = r. Así, la ecuación de la circunferencia viene dada por : (x 2) 2 + y 2 = alcular la ecuación de una circunferencia de centro (2, 1), sabiendo que es tangente a la recta t : x y + 4 = 0. Éste también queda dentro del caso a), ya que el radio r es perpendicular a la tangente en el punto de contacto véase la figura 2 : r P t Figura 2: La recta tangente, t, a una circunferencia es perpendicular al radio, r, de ésta en el punto, P, de tangencia. d(,t) = ( 1) = 5 2. La circunferencia pedida es pues (x 2) 2 + (y 1) 2 = Intersección de la circunferencia con otra ĺınea Para calcular los puntos de intersección de dos líneas cualesquiera, se resuelve el sistema formado por las ecuaciones correspondientes a dichas líneas. Veámoslo para algunos casos sencillos: 3.1. Intersección de una circunferencia con una recta Se resuelve el siguiente sistema: : x 2 + y 2 + Ax + By + = 0 s : y = mx + n }.

8 4 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Sustituyendo y = mx + n en la primera ecuación, resulta una ecuación de segundo grado en x: ax 2 + bx + c = 0, donde a, b y c son coeficientes conocidos. Esta ecuación podrá tener dos soluciones, una o ninguna, según el valor del discriminante, = b 2 4ac: > 0: secante = 0: tangente < 0: exterior Ejemplo Determinar la posición de la circunferencia (x 2) 2 + (y + 4) 2 = 4 y de la recta x y = 0. { (x 2) Resolviendo el sistema 2 + (y + 4) 2 = 0 x = y, se obtiene la ecuación 2x2 + 4x + 16 = 0, cuyo discriminante es = < 0, por lo que la recta es exterior a la circunferencia. 2. La circunferencia x 2 + y x 7y 60 = 0 y la recta y = 2x 8 se cortan en los puntos P(4,0) y Q(3, 2), como debe comprobar el alumno. ( 3. La recta 2x y 10 = 0 es secante a la circunferencia x 2 + y 5 ) 2 = 125 en los puntos 2 4 P(5 + 30,2 30) y Q(5 30, 2 30), como puede comprobar el alumno Intersección de dos circunferencias Las coordenadas de los puntos comunes han de verificar las ecuaciones de ambas circunferencias, es decir, han de ser solución del sistema x 2 + y 2 } + Ax + By + = 0 x 2 + y 2 + A x + B y +, = 0 que es equivalente al que resulta de sustituir una ecuación por una combinación lineal de las otras: x 2 + y 2 } + Ax + By + = 0 (A A )x + (B B )y +. = 0 La segunda ecuación, que corresponde a la de una recta, se ha obtenido restando las dos ecuaciones del sistema anterior. Así, la intersección de dos circunferencias queda reducida a la intersección de una cualquiera de ellas con la recta que pasa por los puntos comunes, si existen. Ejemplo 3.2 Para determinar la posición de las circunferencias, se restan las dos ecuaciones y obtenemos el sistema equivalente x 2 + y 2 2x 4y + 3 = 0 10y + 10 = 0 { x 2 + y 2 2x 4y + 3 = 0 x 2 + y 2 2x + 6y 7 = 0 que admite dos soluciones, (0,1) y (2,1), que son las coordenadas de los puntos de corte. },

9 Tema Eje radical de dos circunferencias 4.1. Potencia de un punto respecto de una circunferencia La potencia de un punto P respecto de una circunferencia está definida como el valor constante de los productos de las distancias entre dicho punto y los puntos determinados en la circunferencia por cualquier secante que pasa por P, y se denotará por Pot (P). Según la figura 3, Y N (a, b) M A d P(x 0,y 0 ) B X Figura 3: Potencia de un punto respecto de una circunferencia. Pot (P) = PM PN = = PA PB = = ( P A ) ( P + B ) = (d r)(d + r) = d 2 r 2, donde d = P y r es el radio de la circunferencia. omo d 2 = P 2 = (x 0 a) 2 + (y 0 b) 2, se obtiene la expresión analítica de la potencia: o bien Pot (P) = d 2 r 2 = (x 0 a) 2 + (y 0 b) 2 r 2, Pot (P) = x y2 0 + Ax 0 + By 0 +. Nótese que la primera expresión es el resultado de sustituir en el primer miembro de la ecuación de la circunferencia (x a) 2 + (y b) 2 r 2 = 0 las coordenadas del punto P, mientras que la segunda se obtiene sustituyendo dichas coordenadas en la ecuación de la forma x 2 + y 2 + Ax + By + = 0. omo d 2 r 2 0, un punto P(x 0,y 0 ) es exterior, pertenece a la circunferencia o es interior, según se verifique, respectivamente, x y2 0 + Ax 0 + By Ejemplo La potencia de P( 2,3) respecto de la circunferencia : x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0 es Pot (P) = ( 2) ( 2) = 6.

10 6 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas e e Secantes e P Tangentes Exteriores Figura 4: Eje radical de dos circunferencias. 2. Los puntos M(1,4) y N(1,1) están, respectivamente, en la circunferencia y en el interior del círculo, como puede comprobar el alumno Eje radical de dos circunferencias El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ellas, es decir, si y son dos circunferencias, el eje radical está definido por e(, ) = { P R 2 /Pot (P) = Pot (P) }. (4) Si P(x,y) es un punto cualquiera de dicho lugar geométrico, y : x 2 + y 2 + Ax + By + = 0 y : x 2 + y 2 + A x + B y + = 0, en virtud de (4) se tiene que x 2 + y 2 + Ax + By + = x 2 + y 2 + A x + B y +, de donde e(, ) : (A A )x + (B B )y + = 0, (5) esto es, el eje radical de dos circunferencias es una recta. Es más, puede probarse sin ninguna dificultad que el eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une los centros de ambas circunferencias. Dadas dos circunferencias, si éstas son secantes, el eje radical es la recta que une los puntos de corte; si son tangentes, el eje radical es la recta tangente a las dos en su punto de contacto. Si son exteriores, el eje radical se construye del siguiente modo: se traza una circunferencia auxiliar arbitraria que sea secante a ambas circunferencias, se trazan las rectas secantes correspondientes y éstas se cortarán en un punto P; el eje radical es la recta perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias y y que pasa por el punto P. Todo ello puede verse en la figura 4.

11 Tema 5 7 Ejemplo 4.2 El eje radical de las circunferencias : x 2 +y 2 4x+6y 10 = 0 y : x 2 +y 2 +2x 4y 8 = 0 viene dado por e(, ) : 3x 5y + 1 = Ejercicios propuestos (1) Halla las ecuaciones de las circunferencias cuyo centro y radio son: a) (3, 2), r = 4; b) (0,3), r = 3; c) (2,3), r = 1. (2) Determina las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias siguientes: a) x 2 + y 2 4x 6y 12 = 0; b) x 2 + y 2 + 3x + y + 10 = 0; c) 4x 2 + 4y 2 4x + 12y 6 = 0; d) 1 2 x y2 + 3x + y + 5 = 0. (3) alcula la ecuación de la circunferencia que a) tiene su centro en (2, 3) y pasa por el punto (1,4); b) tiene su centro en (2, 3) y es tangente al eje de abscisas; c) tiene su centro en el punto de intersección de las rectas x + 3y + 3 = 0 y x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5; d) tiene su centro en ( 1,4) y es tangente al eje de ordenadas; e) tiene su centro en (2,0) y es tangente a la bisectriz del primer cuadrante; f) tiene su centro en (1,3) y es tangente a la recta 3x + 4y + 10 = 0; g) tiene su centro en la recta 5x 3y 2 = 0 y pasa por los puntos (4,0) y (0,4); h) tiene su centro en la recta x + y = 2 y pasa por los puntos A(2,1) y B( 1,5); i) pasa por el punto ( 2,2) y es tangente a las rectas 4x + 3y 8 = 0 y 4x 3y + 24 = 0; j) tiene por diámetro el segmento AB, con A(2,0) y B( 6,6). (4) Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos a) A(3, 2), B(4,0), (0,5); b) A(1, 1), B( 2, 3), ( 1, 1). (5) Halla las coordenadas de los puntos de intersección, si existen, de la circunferencia x 2 + y 2 4x + 2y 20 = 0 con cada una de las siguientes líneas: a) x + 7y 20 = 0; b) 3x + 4y 27 = 0; c) x + y 10 = 0; d) x 2 + y 2 6x 2y 14 = 0; e) x 2 + y 2 + 6x 4y + 10 = 0.

12 8 Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas (6) Dada la circunferencia x 2 + y 2 6x + 10y 66 = 0, halla las ecuaciones de las tangentes paralelas a la recta 4x 3y + 2 = 0. (7) Dados los puntos de coordenadas (0,2) y (0, 2), se pide: a) Escribir la ecuación general de todas las circunferencias que pasen por esos puntos; b) de estas circunferencias, determinar el centro y el radio de aquella que es tangente a la recta y = 3x + 2. (8) Determina la longitud del segmento de tangente trazado desde el punto (9, 4) a la circunferencia x 2 + y 2 4x 2y 4 = 0. (9) alcula las distancias máxima y mínima del punto (8, 3) a la circunferencia x 2 +y 2 +6x 4y+9 = 0. (10) Halla sobre la circunferencia x 2 + y 2 = 1 el punto más alejado del (1,0) y el punto más cercano al (5,5). (11) Halla las ecuaciones de las tangentes y de las normales, en los puntos de abscisa 2, a las circunferencias a) x 2 + y 2 = 4; b) x 2 + y 2 + 4x + 6y = 12; c) x 2 + y 2 10x 2y = 1. (12) Respecto de las tres circunferencias del ejercicio anterior: a) calcula las potencias de los puntos ( 2,3) y (2, 1), indicando en cada caso sus posiciones respecto al círculo correspondiente; b) halla las ecuaciones de sus ejes radicales, tomadas las circunferencias dos a dos. (13) Demuestra analíticamente que el eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une sus centros. (14) Dadas las circunferencias x 2 + y 2 = 4 y 1 2 x y2 3x 4y = 3, encuentra las coordenadas de un punto que tiene igual potencia respecto de las dos circunferencias, y equidista de los ejes coordenados. (15) Halla las ecuaciones de las circunferencias y el área del círculo correspondiente, si sabemos de cada una que: a) es tangente a la bisectriz del segundo cuadrante y tiene su centro en ( 5,0); b) pasa por el punto (1,4) y es concéntrica con x 2 + y 2 + 6x 4y = 0; c) pasa por el punto (3,0) y es tangente a la circunferencia x 2 +y 2 2x+4y 24 = 0 en el punto (3,3); d) es tangente al eje de abscisas en el punto M(2,0) y a la recta y = x. (16) alcula la longitud de la cuerda: a) determinada por la recta x + 1 = y con la circunferencia x 2 + y 2 = 25; b) determinada por la intersección de las circunferencias siguientes: (x 2) 2 + (y + 1) 2 = 9 y (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 17. (17) alcula el área del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos de intersección de los ejes coordenados con la circunferencia x 2 + y 2 4x 11y 12 = 0.

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