6. VECTORES Y COORDENADAS

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1 6. VECTORES Y COORDENADAS Página 1

2 Traslaciones. Vectores Sistema de referencia. Coordenadas. Punto medio de un segmento Ecuaciones de rectas. Paralelismo. Distancias Página 2

3 1. TRASLACIONES. VECTORES MOSAICOS Te presentamos a continuación algunos tipos de mosaicos. Observa que en todos ellos hay siempre un motivo mínimo que se repite, de manera que trasladando este motivo en todas direcciones se llena el plano, es decir no quedan huecos entre las piezas, ni montan unas piezas sobre otras. Observa detenidamente cada uno de estos mosaicos. Cómo se han construido?. Podrías diseñarlos haciendo uso de tramas de puntos?. MÓDULOS PLANOS Una trama (cuadrada, isométrica, de hexágonos regulares) es ella misma un mosaico. Estos tres son los únicos mosaicos regulares que existen. Están construidos con polígonos regulares del mismo tipo. Un módulo plano es una figura plana que por sucesivas yuxtaposiciones llena el plano. El cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular son módulos planos. Página 3

4 A partir de un módulo plano pueden obtenerse otros distintos, utilizando para ello el criterio de conservar la superficie del módulo inicial. Los módulos equisuperficiales así obtenidos también llenarán el plano, por hacerlo el módulo inicial. Este proceso es el que se ha seguido para construir algunos de los mosaicos anteriores, como puedes apreciar en las figuras que siguen: Como el triángulo equilátero llena el plano, también lo hará el módulo obtenido. Observa que el área de este módulo es la misma que la del triángulo equilátero inicial. Como el hexágono regular llena el plano, también lo hará el módulo obtenido. Observa que el área de este módulo es la misma que la del hexágono regular inicial. a) Aquí tienes algunos ejemplos de módulos planos. A partir de qué polígonos se han diseñado?. b) Averigua con ayuda de tramas cómo se ha construido el siguiente mosaico: Página 4

5 DISEÑA MOSAICOS Para producir mosaicos, puedes utilizar un método modular, como el anteriormente descrito, o bien hacer uso de un método combinatorio, combinando distintas formas planas para formar el motivo mínimo. Por ejemplo, en este mosaico: el motivo mínimo está formado por el módulo que, a su vez, es combinación de otras dos piezas: Estas dos piezas no llenan el plano separadamente, pero si lo hacen conjuntamente, cuando forman el módulo anterior. Utilizando diferentes tipos de tramas de puntos, construye un mosaico. Puedes hacer uso de un método combinatorio o uno modular. Procura que el resultado sea lo más estético posible. Para ello, te vendrán bien algunas recomendaciones: No abuses de las curvas; No utilices demasiados colores; Usa siempre colores armoniosos. Qué entiendes por armoniosos?. MOSAICOS a) Haciendo uso de distintos tipos de tramas, investiga cómo se han hecho cada uno de los mosaicos que siguen. Busca un motivo mínimo, es decir, la menor porción del plano que por traslaciones sucesivas genere todo el mosaico. En cada uno de ellos, puedes transformar la pieza negra en la pieza blanca? Cómo?. Página 5

6 b) En el siguiente mosaico, qué debes hacer para transformar A en B?. Y para transformar A en C?. Explica detenidamente como lo haces. TRASLACIONES Una traslación queda definida si se conoce la dirección, sentido y longitud de la traslación. Estas tres magnitudes se representan por una flecha, llamada vector de la traslación, cuyo origen y destino indican, respectivamente, las posiciones inicial y final del objeto trasladado. a) A las siguientes figuras aplícales una traslación de vector a y otra de vector 2b. Cuál es el resultado final?. Podemos representar la traslación de vector a por medio de dos números, llamados componentes del vector a: el primero indica cuántas unidades debe desplazarse el objeto en la dirección horizontal (si es positivo a la derecha, si es negativo a la izquierda); el segundo indica cuántas unidades debe desplazarse el objeto en la dirección vertical (si es positivo hacia arriba, si es negativo hacia abajo). b) En la figura hemos efectuado una traslación de vector (3, 2). Aplícale a esta figura una traslación de vector (2, -4), otra de vector (-4, 3) y otra de vector (-2,-3). Cuál es el resultado final?. Página 6

7 MÓDULO DE UN VECTOR Los elementos que definen un vector son: a) Origen: punto de partida de la traslación. b) Extremo: punto de llegada de la traslación. c) Dirección: recta en la que está contenido el vector. d) Sentido: el que va del origen al extremo. e) Módulo: es la longitud del vector, es decir, la distancia entre el origen y el extremo. a) Halla las componentes y el módulo de los siguientes vectores: b) Halla el módulo de los vectores: a=(3, 2), b=( 2, 4), c=(3, 4) y d=( 2, 3). Dibuja dichos vectores. OPERACIONES CON VECTORES a) Suma de vectores Para sumar dos vectores se procede de la siguiente manera: partiendo del extremo del primer vector se dibuja el segundo. El vector suma es aquel que tiene como origen el origen del primero y como extremo el extremo del segundo. Por ejemplo, en la siguiente figura, la suma de los vectores a y b es el vector c. Observa que las componentes de los vectores son a=(1, 2), b=(2, 2), c=(3, 0). Se cumple que las componentes del vector suma son igual a la suma de las componentes de los vectores dados: a + b = (1, 2) + (2, 2) = ( 1 + 2, 2 + ( 2) ) = (3. 0) = c Página 7

8 b) Producto de un número real por un vector Para multiplicar un número por un vector hay que dibujar dicho vector tantas veces como indique el número. El vector resultante tiene el mismo sentido que el inicial, si el número es positivo, y sentido contrario, si el numero es negativo. Las componentes de dicho vector se obtienen multiplicando por el número las componentes del vector inicial. Por ejemplo, en la siguiente figura se muestra el vector 2b: Observa que las componentes de estos vectores son: b=(2, 2) y 2b=(4, 4). Se cumple, por tanto: 2b= 2 (2, 2) =( 2 2, 2 ( 2) ) = (4, 4) Dados los vectores a y b de la siguiente figura, dibuja los vectores 3a, 2b y 3a 2b. Halla el módulo y las componentes de todos los vectores: COMBINACIÓN LINEAL La figura adjunta sugiere que entre los vectores dibujados existe la relación: d= 2a+3b. Qué relación existe entre los vectores a, b y d de la siguiente figura?. Página 8

9 2. SISTEMA DE REFERENCIA. COORDENADAS. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. COORDENADAS Una manera de localizar sin ambigüedad los puntos de un plano consiste en definir un sistema de referencia formado por un punto elegido arbitrariamente (denominado origen del sistema) y dos rectas (denominadas ejes y también arbitrarias) que pasan por el origen. Cada punto del plano queda identificado entonces por dos números (llamados coordenadas del punto). Así, en la siguiente figura, el sistema de referencia está formado por las rectas señaladas en grueso, el origen es el punto O y las coordenadas del punto A son: A=(1, 2). Se suele llamar X al eje horizontal e Y al otro eje. De esta forma, las coordenadas de cualquier punto P se escriben así: P=(x, y). La primera coordenada (x) se llama abcisa y la segunda coordenada (y) se llama ordenada del punto P. Si se cambia el sistema de referencia, es decir, si se subsituyen los ejes (y por tanto el origen) elegidos inicialmente por otros, la pareja de números que identifica cada punto del plano cambia también. Por ejemplo, las coordenadas del punto A anterior se convierten en A=( 2, 4) si utilizamos el sistema de referencia de origen O'. a) Halla, en el sistema de referencia O, las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E. Página 9

10 b) Determina las coordenadas de los puntos O, A, C, D y E cuando se toma como origen el punto B y como ejes las dos rectas que pasan por B. c) Si mantenemos la trama de la figura, qué sistema de referencia ha de utilizarse para que el punto A tenga coordenadas A=(4, 5)?. PUNTOS Y VECTORES a) Sabiendo que el punto A tiene por coordenadas (2, 3) y que el vector AB tiene por componentes (3,5), halla las coordenadas del extremo B. b) Halla las componentes del vector cuyo origen es el punto A=( 3, 1) y cuyo extremo es el punto B=(2,3). PARALELOGRAMO Los puntos A=(2, 1), B=(6, 2) y C=(7, 5) son vértices de un paralelogramo. Halla las coordenadas del cuarto vértice, D. PUNTO MEDIO Consideramos los puntos A=(a, b) y B=(c, d). Si M=(x, y) es el punto medio del segmento AB, 1 entonces se cumple: AM AB. 2 Ahora bien, AM=(x a, y b) y AB=(c a, d b). Por tanto: c a c a a c x a x a x d b d b b d y b y b y a c b d Las coordenadas del punto medio son: M=,, es decir la media aritmética de las 2 2 coordenadas de los extremos. a) Halla el punto medio del segmento AB, siendo A=( 1, 3) y B=(5, 2). b) Halla las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo ABC, si las coordenadas de los vértices son: A=( 2, 3), B=(3, 0) y C=(4, 2). Página 10

11 CUADRILÁTERO Sean A=(1, 1), B=(7, 3), C=(5, 4) y D=(3, 6) los vértices de un cuadrilátero. Halla las coordenadas de los puntos medios de sus lados (M, N, P, Q). Qué figura es el polígono MNPQ?. 3. ECUACIONES DE RECTAS. PARALELISMO. DISTANCIAS. RECTAS a) Cuántas rectas pasan por un punto P?. b) Cuántas rectas tienen la dirección de un vector v?. c) Cuántas rectas pasan por un punto P y tienen la dirección de un vector v?. d) Cuántas rectas pasan por dos puntos concretos, P y Q?. e) Cuántas rectas pasan por un punto P y forman un ángulo con el eje OX?. DIBUJA RECTAS Dibuja en un sistema de referencia cartesiano: a) La recta que forman los puntos cuya primera coordenada es 2. b) La recta que forman los puntos cuya segunda coordenada es 3. c) La recta formada por todos los puntos que tienen la primera coordenada igual a la segunda. d) La recta formada por todos los puntos que verifican que su primera coordenada es igual a la opuesta de la segunda. DETERMINACIÓN DE UNA RECTA La pendiente de una recta es una medida de su inclinación. Decir que una carretera tiene una pendiente M del 10% equivale a decir que subimos una distancia igual al 10% de la que avanzamos, es decir, por cada 100 metros que avanzamos en horizontal, subimos 10 metros. Página 11

12 Con esta información podemos obtener el ángulo de inclinación de la carretera, ya que se cumple: Una recta queda determinada si conocemos: 10 M= tan α 0'10 = INV TAN 0'10 = 5'7º 100 a) Dos puntos A(a, b) y B(c, d) por los que pasa. b) Un punto A(a, b) por el que pasa y un vector de dirección v=(m, n). c) Un punto A(a, b) por el que pasa y su pendiente M. d) Un punto A(a, b) por el que pasa y el ángulo que forma con el eje OX. a) Si el vector de dirección de una recta r es v = (2, 3), calcula la pendiente M de r y el ángulo que forma con el eje OX. b) Si una recta r pasa por los puntos A(2, 5) y B( 3, 1), calcula la pendiente M de r y el ángulo que forma con el eje OX. c) Si la pendiente de una recta r es M=0'25, calcula un vector de dirección de la recta y el ángulo que forma con el eje OX. ECUACIÓN EXPLÍCITA Y ECUACIÓN IMPLÍCITA Podemos representar gráficamente la recta de ecuación y=2x+4 construyendo previamente una tabla de valores. Una vez dibujada la gráfica, podemos considerarla como el perfil de una carretera en la que por cada metro que avanzamos en dirección horizontal, subimos 2 metros en dirección vertical. Por lo tanto, la pendiente de esta recta es M = 2 y el ángulo que forma con el eje horizontal OX es: TAN =2 = INV TAN 2 =63'4º Por otra parte, la distancia del origen de coordenadas O al punto de corte de la recta con el eje OY es igual a 4 y se llama ordenada en el origen de la recta. Página 12

13 La ecuación explícita de la recta es de la forma y = M x + N, siendo M la pendiente de la recta y N la ordenada en el origen. Un vector de dirección de la recta es v = (1, 2). Pero no es el único, ya que los vectores (2, 4), (3,6), (5, 10), ( 2, 4) también tienen la misma dirección que la recta. Una recta tiene infinitos vectores de dirección. A partir de la ecuación explícita y = 2x + 4, podemos obtener la ecuación 2x y + 4 = 0, llamada ecuación implícita o general de la recta. La ecuación general o implícita de una recta es de la forma Ax + By + C = 0. A partir de la ecuación general podemos obtener la ecuación explícita sin más que despejar: A C Ax By C 0 By Ax C y x, B B A C de manera que la pendiente es: M y la ordenada en el origen es: N B B a) Halla la ecuación explícita de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 3). Obtén la pendiente y el ángulo que forma con el eje OX. b) Halla un vector de dirección de la recta, la ordenada en el origen y la ecuación general. c) Halla las ecuaciones explícita e implícita de las siguientes rectas. Determina en cada una de ellas la pendiente, la ordenada en el origen, un vector de dirección y el ángulo que forma con el eje OX. ECUACIONES Halla las ecuaciones de las siguientes rectas: a) Pasa por el punto P(2, 3) y tiene como vector director v=(5, 4). b) Pasa por el punto A( 1, 2) y tiene pendiente 1. c) Pasa por los puntos D(3, 4) y E( 1, 5). TRAYECTORIA En un plano tenemos situados tres puntos, A( 2, 1), B(0, 3) y C(2, 1). Un vehículo se dirige desde el punto A hasta el punto medio de B y C. Pasará por el punto P(0, 1)?. Página 13

14 TRIÁNGULO Dado el triángulo de vértices A( 5, 4), B(4, 1) u C( 1, 2), halla: a) Las ecuaciones de sus tres lados. b) El punto medio del lado AC. c) La ecuación de la mediana del vértice B. EL BILLAR En una mesa de billar de 2'5 metros de largo y 1'5 metros de ancho, tenemos dos bolas A y B situadas a 70 y 20 cm de las bandas la A y a 50 y 30 cm la B. Calcula la ecuación de la trayectoria de A para hacer carambola directa en B. RECTAS PARALELAS Dibuja, en un sistema de referencia cartesiano, las rectas de ecuaciones: a) y=3x 2 b) y=3x c) y=3x+4 d) 6x 2y+4=0 Qué tienen en común y qué las diferencia?. Halla la pendiente y un vector de dirección de cada una de las rectas. Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Dos rectas paralelas tienen vectores de dirección proporcionales. PARALELAS a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 3) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(1, 4) y C(3, 2). b) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto M(3, 5) y es paralela a la recta que pasa por los puntos N(2, 0) y P(1, 1). LA VISTA ENGAÑA Las rectas r y s del dibujo parecen paralelas. Pero lo son realmente?. Página 14

15 PARALELOGRAMO Los puntos A(2, 1), B(5, 3) y C(7. 7) son vértices consecutivos de un paralelogramo. a) Halla las coordenadas del cuarto vértice D. b) Halla las ecuaciones de los cuatro lados. c) Halla las ecuaciones de las dos diagonales. DISTANCIAS La distancia entre dos puntos A(a, b) y B(c, d) es igual al módulo del vector AB. Para obtenerla usamos el teorema de Pitágoras: d(a, B)=d d 2 c a 2 d b 2 d d(a, B) c a 2 d b 2 Calcula la distancia entre los puntos: A(3, 2) y B( 1, 4). PARALELOGRAMO Los puntos A( 1, 2), B(2, 5), C(6, 2) y D son vértices de un paralelogramo ABCD. a) Halla las coordenadas del vértice D opuesto al vértice B. b) Halla las ecuaciones de los cuatro lados y de las dos diagonales. c) Halla las longitudes de los cuatro lados y de las dos diagonales. MEDIANAS Calcula las longitudes de las medianas del triángulo de vértices A( 1, 2), B(2, 2) y C( 1, 1). Página 15