Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8

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Elisa Agüero Villalobos
hace 8 años
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1 Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características de un vector para diferenciarlos de un escalar, así como identificar sus componentes, representarlo gráficamente y operar con ellos. Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8. Gráfico 8 En el gráfico 8, notamos que el movimiento de las bolas de billar implica también una dirección y sentido, en posiciones iniciales y trayectorias. Repasando lo visto en semanas anteriores, recordaremos que medir una magnitud física consiste en asignarle un valor numérico. Sin embargo, hay magnitudes a las cuales, a parte de este valor, es necesario darles otras características para poder especificarlas completamente. Como en el caso del juego de billar, existen magnitudes en las que no nos interesa únicamente su valor o módulo, con lo cual quedaría determinada una magnitud escalar, sino que tenemos que saber también la dirección y el sentido, por lo que estaríamos hablando de magnitudes vectoriales. El módulo no es más que la longitud o tamaño del vector, vinculado siempre a un número real positivo. Para hallarlo es preciso conocer el origen y el extremo del vector; la dirección viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene y el sentido se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige. 17 Los vectores se representan gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas y, numéricamente, por dos números (en el plano y por tres (en el espacio. Estos pares o ternas se denominan coordenadas cartesianas del vector.

2 y Gráfico 9 r = ( x, y P r x X Vector de posición del punto P en el plano Un vector es un segmento orientado, la longitud del cual representa su módulo, y el que la dirección y sentido se pueden determinar tanto matemáticamente como geométricamente. Para simbolizar magnitudes vectoriales dibujaremos una flecha sobre el símbolo que representa a la magnitud: v velocidad, a aceleración. En general, cuando se escribe una magnitud vectorial sin flecha, se está haciendo referencia a su módulo. El módulo del vector a se expresa a. Así, por ejemplo, podemos escribir a = 3, b = 4 y c = 5 para indicar que a, b y c tienen módulo 3, 4 y 5, respectivamente. u = u 1 + u Gráfico 10 u 1 v = v 1 + v u u v 1 v v s s t t t 1 s 1 t = t 1 + t s = s 1 + s Conociendo las componentes de un vector v = (v 1,v, podemos calcular su módulo v aplicando el teorema de Pitágoras: v = v 1 + v Este procedimiento para calcular el módulo se puede aplicar tanto si las componentes de v son positivas (ver caso del gráfico 10, como si son negativas. 173

3 Operaciones con vectores Si tenemos una caja sobre una mesa y se le aplica una fuerza horizontal (F 1, nuestra intuicion o experiencia nos dirá que la caja se moverá en la misma dirección y sentido en el que apliquemos la fuerza (figura 1. Si se aplica una fuerza vertical (F suficiente sobre la caja, entonces esta se moverá verticalmente hacia arriba (figura. F 1 F Figura 1 F Figura F 1 Figura 3 Ahora, qué pasará si aplicamos al mismo tiempo ambas fuerzas F 1 y F?, hacia dónde se moverá el objeto?, será posible representar ambas fuerzas por una única, un vector único que sustituya a F 1 y F? (ver figura 3. El vector que sustituye a los dos vectores dados se llama vector resultante. Una de las formas de conseguirlo es por medio de la adición de vectores. Por ejemplo, si dos personas empujan un objeto al mismo lugar, la fuerza resultante será la suma del módulo de las dos fuerzas; pero si estas fuerzas (vectores forman un ángulo, entonces el módulo de la suma no será la suma de sus magnitudes. La solución a este problema se encuentra de varias formas, como se presenta a continuación. Suma de vectores Para sumar dos vectores libres se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro. Método del paralelogramo 174 Consiste en disponer gráficamente los dos vectores, de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, completando un paralelogramo, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores en el extremo del otro (ver gráfico 11. El resultado de la suma es la diagonal del paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

4 Método del triángulo Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. A continuación se une el origen del primer vector con el extremo del segundo. Gráfico 1 a+b a b Método analítico para la suma y diferencia de vectores Gráfico 13 A A + B B X Si se quiere sumar los vectores: w = (-, 5 y v = ( 1, 1 procedemos a representarlos. W V + W Gráfico V X Según la regla del paralelogramo, se cumplió que: v + w = ( 1 + (-, = ( - 1, 6 175

5 Podemos generalizar diciendo que, dados dos vectores libres: a = (a x b = (b x, b y, b z El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma: a + b = (a x + (b x, b y, b z a - b = (a x - (b x, b y, b z ordenando los componentes: a + b = (a x + b x + b y + b z a - b = (a x - b x - b y - b z Producto de un vector por un escalar Si v = (-, 3 y h =, entonces hv = (-, 3 = (-4, 6. Veámoslo gráficamente (gráfico 15. Gráfico 15 V 6 V X El producto de un vector por un escalar es otro vector, cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, y su dirección es igual a la del vector, o contraria a este si el escalar es negativo. Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección, tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar. Sean p un escalar y a un vector, el producto de p por a se representa pa y se realiza multiplicando cada una de las componentes del vector por el escalar; esto es, 176 pa = pa x i + pa y j + pa z k

6 Saber más Para profundizar más sobre los vectores, visita la siguiente dirección web: Si te interesan las operaciones, te recomendamos hacer clic en: Dados los siguientes pares ordenados A = (-,4; B = (3,1; C = (-4,- y D = (,-3, determinar el vector asociado, su módulo. De entrada, es necesario conocer que, para representar vectores en el plano se debe contar con los pares coordenados, los cuales, aparte de ser sus componentes, permiten graficar los vectores; para ello, el vector presenta su origen en el punto (0, 0 y su extremo o punta de flecha en los pares ordenados. Gráfico 16 Cuadrante II (-, 4 y Cuadrante I (3, 1 x (-4, - (, -3 Cuadrante III Cuadrante IV Para este ejercicio tomaremos un par (-,4 y el resto quedan asignados para practicar. Los componentes del vector son: para el eje X = - y para el eje = 4 (ver gráfico 16. Ahora calculamos el módulo o tamaño del vector. Para conocer el módulo de un vector procedemos de la siguiente manera: u = ( u 1, u u = ( u 1, u u = ( u 1, u u = (3, 4 u = = 5 =5 En nuestro caso: a = (- + 4 = 4,47 177

7 Diagramas de cuerpo libre y vectores Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a menudo por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un elemental caso particular de un diagrama de fuerzas. En español, se utiliza muy a menudo la expresión diagrama de fuerzas, como equivalente a diagrama de cuerpo libre, aunque lo correcto sería hablar de diagrama de fuerzas sobre un cuerpo libre o diagrama de fuerzas de sistema aislado. Estos diagramas son una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama facilita la identificación de las fuerzas y momentos que deben tenerse en cuenta para la resolución del problema. Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre, también disponible en la siguiente dirección web: org/wiki/diagrama_de_cuerpo_libre 1. Representa en el plano cartesiano: a Los vectores U = (3,1; V = (1,5; W = (4,0. b Los vectores de posición de los puntos A(1,3; B(5,3; C(6,.. Dados los vectores U = (4,3; V = (-1,4 y W = (5,0, calcula las siguientes sumas: a U + V b W + V c U + W + V 3. Halla las coordenadas de los vectores AB y CD determinados por los puntos A(1,- ; B(3,8; C(-3,5 y D(-1,15. Cómo son estos vectores? 4. El vector AB tiene por coordenadas (4,0 y las coordenadas del punto B son (1,. Halla las coordenadas de A. 178

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