La forma algebraica de la ecuación producto cruz es más complicada que la del producto escalar. Para dos vectores 3D y,

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1 Materia: Matemática de 5to Tema: Producto Cruz Marco Teórico Mientras que un producto escalar de dos vectores produce un valor escalar; el producto cruz de los mismos dos vectores produce una cantidad vectorial que tiene una dirección perpendicular a los dos vectores originales. El producto cruz de dos cantidades vectoriales es otro vector cua magnitud varía según el ángulo entre los dos vectores originales. El producto vectorial se refiere a veces como el producto vectorial de dos vectores. La magnitud del producto cruz representa el área del paralelogramo cuos lados se definen por los dos vectores, como se muestra en la siguiente figura. Por lo tanto, el valor máximo para el producto cruz se produce cuando los dos vectores son perpendiculares uno al otro, pero cuando los dos vectores son paralelos entre sí, la magnitud del producto cruz es igual a cero. La forma algebraica de la ecuación producto cruz es más complicada que la del producto escalar. Para dos vectores 3D, Otra forma de describir el proceso es decir que el producto cruz es la multiplicación de un vector por el componente del otro vector que es perpendicular al primer vector. En el siguiente diagrama son dos vectores A B. Una línea perpendicular se ha elaborado radialmente hacia fuera desde B hacia A para crear un triángulo rectángulo con A como la hipotenusa. El componente de los cuales es perpendicular a está dada por A θ pecado para la magnitud del producto vectorial se puede escribir como La dirección del producto cruz es perpendicular al plano definido por los dos vectores cruzados.por ejemplo, el producto cruz de dos vectores en el plano x será paralela al eje z. Esto deja dos direcciones posibles para el producto vectorial, aunque: o. Utilizamos una regla de la mano derecha para indicar la dirección del producto cruz. Coloque el pulgar el dedo índice de la mano derecha con el primer vector a lo largo de su dedo pulgar el segundo vector a lo largo de su dedo índice. Su dedo

2 medio, cuando se extiende perpendicular a la palma, indicará la dirección del producto vectorial de los dos vectores. Como se puede ver en el diagrama anterior, está junto (que subía de la página), mientras que es a lo largo (ir hacia abajo en la página) El vector normal Podemos utilizar el producto cruz la definición del vector unitario para determinar la dirección que es perpendicular a un plano. En general, podemos definir un vector normal, que tiene una magnitud de unidad (es decir, magnitud igual a uno) que es perpendicular a un plano ocupado por un par de vectores, U V. Ejemplo A Calcular el producto vectorial de los dos vectores se muestran a continuación. Solución Utiliza los componentes de los dos vectores para determinar el producto vectorial. Dado que estos dos vectores están en el plano x, sus propios componentes son ambas iguales a 0 el producto vectorial serán paralelas al eje z.

3 Podemos comprobar nuestra respuesta utilizando la versión seno del producto cruz, pero primero tenemos que saber el ángulo entre los dos vectores. Podemos utilizar el producto escalar para encontrar θ, siguiendo el procedimiento que en el primer ejemplo en la sección anterior. En primer lugar utilizar los componentes para encontrar el producto escalar. A continuación encontrará las magnitudes de los dos vectores: A continuación, utiliza estas magnitudes con la versión coseno del producto escalar para encontrar θ. Ahora utiliza el seno de este ángulo las dos magnitudes para determinar el producto cruz: Esta es la misma respuesta que obtuvimos a partir de la notación de componentes, lo cual es bueno. Nosotros usamos la regla de la mano derecha para determinar la dirección del producto vectorial. Si usted pone su pulgar a lo largo del vector A el dedo índice a lo largo del vector B, el dedo medio apuntará a lo largo Ejemplo B El diagrama muestra dos vectores A B que definen un plano que pasa por el origen. Utilizar estos dos vectores para determinar el vector normal a este plano. Y Solución El vector normal se define por

4 En este caso, obtenemos Utiliza la versión del componente de la ecuación de productos cruzs para encontrar los componentes de A continuación, calcular la magnitud del producto cruz, Ejemplo C Determinar el producto cruz de los dos vectores. A continuación, utiliza el producto vectorial para determinar el ángulo entre los dos vectores. Solución Una de las dos maneras de determinar la magnitud del producto vectorial de dos vectores utiliza los componentes de los dos vectores: Ahora podemos usar el producto cruz la segunda definición del producto vectorial para determinar el ángulo entre los dos vectores. Tenemos que calcular las magnitudes de los vectores de la cruz producto.

5 Podemos utilizar el producto escalar de los dos vectores para revisar nuestra solución. Esta respuesta coincide con nuestro valor del producto cruz para dentro de las variaciones de redondeo. Palabras Clave Productos cruz son un corolario del producto punto, calculado como el área de un paralelogramo con los dos vectores componentes como las longitudes de los lados. El vector normal tiene una magnitud de uno, es perpendicular al plano formado por los dos vectores componentes. Ejercicios Resueltos Preguntas 1) Determinar la magnitud del producto vectorial de los dos vectores se muestran a continuación.

6 2) un plano que pasa a través del origen se define por los dos vectores,. Determinar la ecuación de un vector unitario que representa una dirección perpendicular a este plano. 3) Determinar el área de un paralelogramo cuos lados son definidas por los vectores 4) Determinar el producto vectorial de los dos vectores, longitudes medidas en centímetros. 5) Determinar la ecuación para el vector unitario perpendicular al plano definido por los dos vectores 6) Determinar el área del paralelogramo cuos lados se definen por, longitudes medido en milímetros. 7) Determinar la magnitud del producto cruz de estos dos vectores.

7 Soluciones 1) En primer lugar tenemos que identificar los componentes de los dos vectores utilizando los datos recogidos en el gráfico. En este caso, Como podemos ver por los componentes, este vector tiene una magnitud de 4,5 unidades se encuentra en la dirección z. También podemos usar la regla de la mano derecha para ver la dirección del producto cruz. Como se muestra en la figura siguiente, si alineamos el pulgar derecho con MN el índice con el vector de KL, la palma el punto medio-dedo extendido en la dirección z. 2) Para resolver este problema tenemos que utilizar la definición del vector normal,la forma de componentes de la definición del producto vectorial, caso, obtenemos. En este

8 También necesitamos saber la magnitud de este producto cruz Ahora podemos determinar el vector normal 3) El área del paralelogramo cuos lados están definidos por un par de vectores es igual a la magnitud del producto cruz de los dos que encontrar el producto vectorial de los dos vectores: vectores,. Primero tenemos Dado que las longitudes de los dos vectores se midieron en centímetros, el área del paralelogramo es 2,013 cm 2 medido al centímetro cuadrado más cercano. 4) 5) El producto vectorial de dos vectores es siempre perpendicular al plano definido por los dos vectores. La magnitud de este vector está dado por Luego divida el producto cruz por su magnitud para obtener el vector unidad.

9 6) El área del paralelogramo cuos lados están definidos por un par de vectores es igual a la magnitud del producto cruz de los dos que encontrar el producto vectorial de los dos vectores: vectores,. Primero tenemos Dado que las longitudes de los dos vectores se midieron en centímetros, el área del paralelogramo es 2,202 cm 2 medido al centímetro cuadrado más cercano. 7) Ya que sabemos las magnitudes de los dos vectores el ángulo entre ellos, podemos utilizar el ángulo-versión de la ecuación de productos cruz para determinar la magnitud del producto vectorial: Dado que estos dos vectores se encuentran en el plano x, la dirección será paralela al eje z. Ejercicios Calcula los productos cruz: 1. Vectores c = a = 2. Vectores v = u = 3. Vectores f = s = 4. Vectores j = t = 5. Vectores r = v = 6. Vectores e = a = 7. Vectores j = h = 8. Vectores A = g = 9. Vectores j = m =

10 10. Cuál es el producto vectorial de 11. Encuentra un vector ortogonal a ambos 12. Vectores Cuál es el área del paralelogramo formado por tener f como lados adacentes? 13. Cuál es el área del paralelogramo formado por tener como lados adacentes? 14. Cuál es el producto vectorial entre? 15. Vectores Cuál es el producto vectorial entre g?

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