BLOQUE. Geometría. 5. Vectores en el espacio 6. Espacio afín 7. Espacio métrico 8. La esfera

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1 LOQUE II Geometría 5. Vectores en el espacio. Espacio afín 7. Espacio métrico. La esfera

2 5 Vectores en el espacio. Operaciones con ectores Piensa y calcula Z alcula mentalmente la longitud de la diagonal del ortoedro aplicando el teorema de Pitágoras en el espacio. L = + + = 49 = 7 unidades X Y plica la teoría. alcula el módulo de los siguientes ectores: a) (,4,) b) (, 9, ) c) (4,, 0) d) (,, 4) 4. ados los ectores u(,, 5) y (, 4, ), calcula: a) u b) c) u + d) u a) = = 9 b) = ( ) = c) = 4 + ( ) + 0 = 0 = 5 d) = ( ) + ( ) + 4 =. Se sabe que un ector del espacio es = 4i j + zk etermina los alores posibles de la coordenada z sabiendo que el = = 4 + ( ) + z = z + 0 = 9 z = 9 = ±. alcula un ector unitario en la dirección del ector en los siguientes casos: a) (,,) b) (,, ) a) = b) = 4 u,, u,, ( ) ( ) a) u = (,, 5) = (, 4, 0) b) = (, 4, ) c) u + = (,, 5) + (, 4, ) = (,, ) d) u = (,, 5) (, 4, ) = (4,, ) 5. ados los ectores u (, 4, ), (,5, ) y w (, 0, 5), calcula: a) u + w b) u + w a) u + w = (, 4, ) + (, 5, ) (, 0, 5) = = (9,, 9) b) u + w = (, 4, ) (, 5, ) + (, 0, 5) = = (,, 0). ados los ectores u(,0, ), (,4, ),w (,, ) y x(, 5, 9), calcula el alor de a, b y c para que: x = au + b + cw (, 5, 9) = a(, 0, ) + b(, 4, ) + c(,, ) a + b + c = 4b c = 5 a b + c = 9 ò a =, b =, c = 70 SOLUIONRIO

3 . Problemas de ectores Piensa y calcula Expresa el ector u(,, ) como combinación lineal de los ectores (,, 5) y w (,, ) u = + w (,, ) = (,, 5) + (,, ) plica la teoría 7. ados los puntos (,, ) y (,, ), calcula los ectores siguientes: a) b) Qué relación hay entre los dos ectores? a) ( 4,, ) b) (4,, ) Los ectores son opuestos.. alcula el punto medio del segmento definido por los puntos siguientes: (, 5, ) y (4,, 7) M(5, 4, 5) 9. alcula el baricentro del triángulo cuyos értices son los puntos siguientes: (,, 4), ( 5,, ) y (, 7, 5) 0. alcula el centro de graedad del tetraedo cuyos értices son los puntos siguientes: (,, ), (,, ), (,, 5) y (, 4, ) G(,, ). Las coordenadas de tres értices consecutios de un paralelogramo son: (4, 7, ), (5,, ) y (,, 4) alcula las coordenadas del értice El ector O = O + (,, ) O = (4,7, ) + (,, ) = (,, 5). Estudia si el ector a (, 5, 9) se puede expresar como combinación lineal de u (,,), (4,, ) y w (, 5, ) a = xu + y + zw (, 5, 9) = x(,, ) + y(4,, ) + z(, 5, ) G(,, ) x + 4y z = x + y + 5z = 5 x y + z = 9 ò x =, y =, z = 4. Producto escalar Piensa y calcula u El módulo del ector u mide 4 cm y el módulo del ector mide 5 cm. Si los ectores forman un ángulo de 0, calcula la longitud de la proyección del ector u sobre el ector 4 cm proy u cos 0 = u proy u = u cos 0 proy u = 4 = unidades. 0 5 cm TEM 5. VETORES EN EL ESPIO 7

4 plica la teoría. alcula el producto escalar de los ectores siguientes: a) u(,, 4) y (,5, ) b) u(,0,) y (,, ) a) u = 0 b) u = 5 4. Sea a = y b = 4. Si el ángulo que forman los ectores es 0, calcula: a) a b b) a a c) b b d) ( a + b)( a b) a) a b = 4 cos 0 = b) a a = cos 0 = 9 c) b b = 4 4 cos 0 = d) ( a + b)( a b)= a a a b + b a b b = = 9 = 7 5. alcula la proyección del ector u sobre el ector en los siguientes casos: a) u(,, ) y (,4,) b) u(,,5) y (,, ) u proy u = 4 + a) proy u = = = = = 0,5 unidades. + ( ) b) proy u = = = unidades. + ( ) +. alcula el ángulo que forman los ectores siguientes: a) u(,0,) y (,, ) b) u(,, ) y (,5,) + 0 ( ) + 5 a) cos a = = = ( ) = òa= 4 4' 7" 5 + b) cos a = = + ( ) = òa= 4' 57" alcula el alor de k para que los ectores siguientes sean ortogonales: a) u(5,, k) y (4,, ) b) u(, k, 5) y (,, k) a) u = 0 ò 0 k = 0 ò k = b) u = 0 ò + k 5k = 0 ò k =. alcula un ector unitario ortogonal al ector: (,0, ) Un ector a es:(,0,) = 5 omo debe ser unitario, el ector será: u =, 0, ( 5 5 ) 4. Producto ectorial Piensa y calcula alcula el área del paralelogramo de la figura. = 5 4 sen 0 = 0 cm 0 4 cm 5 cm h 7 SOLUIONRIO

5 plica la teoría 9. alcula el producto ectorial de los siguientes ectores: a) u(,, 4) y (,, ) b) u(4,0, ) y (,, ) i j k a) u Ò = 4 = (, 5, ) i j k b) u Ò = 4 0 = (, 9, 4) 0. ados los ectores u(,,), (,,) y w (,,), calcula: a) (u Ò ) Ò w b) u Ò ( Ò w ) a) u Ò = ( 7,, ) (u Ò ) Ò w = ( 5,, ) b) Ò w = (, 7, 5) u Ò ( Ò w ) = (,, 7). Halla un ector perpendicular a los ectores siguientes: u(,, 0) y (5,, ) u Ò = (,4,7). Sean dos ectores a y b perpendiculares entre sí. Si a = y b = 4, calcula: (a + b) Ò (a b) (a + b) Ò (a b)= aò a a Ò b + b Ò a b Ò b = = b Ò a = b a sen 90 = = 4 = 4. ados los ectores u (,, ) y (,, ),halla: a) u Ò b) (u + ) Ò a) u Ò = (5,,7) b) (u + ) = (7, 0, 5) (u + ) Ò = (0,, 4) 4. Halla el área del paralelogramo definido por los ectores: (,, ) y (,0,) Ò = (,, 4) Área = Ò = 4 unidades cuadradas. 5. alcula el área del triángulo tal que: (,, ), (,, 0) y (,, ) (0,, ) (,, 0) Ò = (,, ) Área = Ò = =, unidades cuadradas. 5. Producto mixto Piensa y calcula alcula el olumen del paralelepípedo de la figura en función de los ángulos a y b 5 cm H b V = H = sen a H = 5 cos b V = 5 sen a cos b = 90 sen a cos b a h cm cm TEM 5. VETORES EN EL ESPIO 7

6 plica la teoría. alcula el producto mixto de los ectores siguientes: a) u(,,), (,, ), w (,, 5) b) u(, 5, 4), ( 4,, ), w (,5, ) a) [u,,w ] = = b) [u,,w ] = 4 = 5 7. etermina si los ectores siguientes son linealmente dependientes o coplanarios: a) u(,, ), (,, ), w (, 9, ) b) u(,,), (,,),w (,, ) a) [u,,w ] = 0 ò u,,w son linealmente dependientes. b) [u,,w ] = 5 ò u,,w son linealmente independientes. 0. alcula el alor de k para que el olumen del paralelepípedo definido por los siguientes ectores: u(,,), (,,) y w (,,k) sea igual a unidades cúbicas. Volumen unidades cúbicas. k = k 4 k 4 = e la igualdad del alor absoluto se obtienen dos igualdades: k 4 = ò k = k 4 = ò k = 4. El olumen de un tetraedro es de 5 unidades cúbicas. Si tres de sus értices se encuentran en los siguientes puntos: (,, ), (, 0, ) y (,, ) halla las coordenadas del értice sabiendo que está en el eje Y. alcula el olumen de un paralelepípedo que tenga cuatro de sus értices en los puntos siguientes: a) (,,),(4,, ),(,,7) y ( 5, 4,) b) (,, ), (5, 5, 4), (,, ) y (4,, ) a) (,, ), (4,0,), ( 7, 7, 7) Volumen = [,, ] = 0 unidades cúbicas. b) (,,), (,, ), (,,) Volumen = [,, ] = unidades cúbicas. 9. alcula el olumen del tetraedro determinado por los puntos: (, 0, 0), (,, 0), (,, ) y (,, ) (0,,0), (0,,), (,,) Volumen = [,, ] = = = 0,7 unidades cúbicas. Volumen 5 unidades cúbicas. El értice es de la forma (0, y, 0). (,, ) (0,, 4) (, y, ) 0 4 y = 4y 4y = 5 ò 4y = 0 e la igualdad del alor absoluto se obtienen dos igualdades: 4y = 0 ò y = 7 El értice es: (0, 7, 0) 4y = 0 ò y = El értice es: (0,, 0) 74 SOLUIONRIO

7 Ejercicios y problemas PU Preguntas tipo test ontesta en tu cuaderno: ados los puntos (,, 0), (,, ) y (,, ) los tres puntos están alineados. Sabiendo que tres de los értices de un paralelogramo son los puntos (,, ), (,, 4) y (,, ), el área del mismo es: los tres puntos no están alineados. 4 unidades cuadradas. En el espacio, tres puntos no pueden estar alineados. unidades cuadradas. 4 + unidades cuadradas. Ninguna de las anteriores es cierta. 4 unidades cuadradas. ados los puntos (,, 0), (,, ) y (,, ), el área del triángulo que determinan es: 4 unidades cuadradas. unidades cuadradas. 7 Sea el punto medio del segmento de extremos P(,, ) y Q(, 0, ). El olumen del tetraedro de értices, (,, ), (,, ) y (, 4, ) es: 5 unidades cúbicas. unidades cuadradas. No forman triángulo. 0 unidades cúbicas. 5 unidades cúbicas. 4 Los ectores a = (,,),b = (0,,) y c = (0,, ) son linealmente dependientes. son linealmente independientes. son paralelos. Ninguna de las anteriores es cierta. ados los puntos (,, ), ( + l,, l) y ( + l, + l, + l), donde l é, los ectores y : unidades cúbicas. Un ector a que tiene la misma dirección que el ector b = (,, ) y que forma con el ector c = (,, ) un paralelogramo de 4 unidades cuadradas de área es: a = (,, ), a = (,, ) a = (,, ), a = (,, ) a = (,, ) Ninguna de las anteriores. son paralelos para l = 0 son paralelos para l = forman un ángulo de 0 para todo alor de l forman un ángulo de 90 para todo alor de l 9 El olumen del paralelepípedo definido por los ectores i, j, k es: unidades cúbicas. unidades cúbicas. unidad cúbica. 5 ados los puntos (,, ), (,, 0) y (,, ), la hipotenusa del triángulo rectángulo de értices, y es igual a: Los puntos, y no forman triángulo rectángulo 0 no existe paralelepípedo. ados los ectores u = (,, a), = (b,, ), los alores de a y b que hacen que los ectores u y sean ortogonales y u = son: a =, b = a =, b = a =, b = a =, b = TEM 5. VETORES EN EL ESPIO 75

8 Ejercicios y problemas. Operaciones con ectores. alcula el módulo de los siguientes ectores: a) (, 4, ) b) ( 4, 5, 0) c) (, 5, ) d) (,, 5) a) = b) = c) = 7 = d) =. Se sabe que un ector del espacio es: = i j + zk etermina los alores posibles de la coordenada z sabiendo que el = 7 a) u + w = (,, ) + (, 4, ) (, 0, ) = = (, 5, ) b) u +w = (,, ) (, 4, ) + (, 0, ) = = (,, 7) 7. ados los ectores u(,0,), (,, ), w (,, 4) yx (4,, 7), calcula el alor de a, b y c para que: x = au + b + cw (4,, 7) = a(, 0, ) + b(,, ) + c(,, 4) a b + c = 4 b c = a + b + 4c = 7 ò a =, b =, c = 4 = 7 + ( ) + z = 7 z + = 49 ò z = = ± 4. alcula un ector unitario en la dirección del ector en los siguientes casos: a) (,, 5) b) (, 4, 0) a) = 0 u,, 5 ( b) = 5 u, 4,0 5 5 ( ) ) 5. ados los ectores u( 5,, ) y (, 4, ), calcula: a) u b) c) u + d) u a) u = ( 5,, ) = ( 5,, 9) b) = (, 4, ) = ( 4,, ) c) u + = ( 5,,) + (, 4, ) = ( 4, 0,) d) u = ( 5,, ) (, 4, ) = ( 7, 7, 0). ados los ectores u (,,), (,4,) y w (, 0, ), calcula: a) u + w b) u +w. Problemas de ectores. alcula el punto medio del segmento definido por los puntos siguientes: (4, 7, 5) y (,, ) M(5, 4, ) 9. alcula el baricentro del triángulo cuyos értices son los puntos siguientes: (,, 5), (,, ) y (,, 7) G(,, ) 40. alcula el centro de graedad del tetraedo cuyos értices son los puntos siguientes: (,, 4), (,, ), (,, 7) y (,, 7) G(,,) 4. Los puntos (,, ), (,, ) y (,, ) son tres értices consecutios de un paralelogramo. Halla las coordenadas del cuarto értice. El ector O = O + (,, ) O = (,, ) + (,, ) = (0,, ) 7 SOLUIONRIO

9 4. omprueba que los ectores u (,,), (,, 0) yw (,, 5) son linealmente dependientes. 0 5 = 0 Los ectores u, y w son linealmente dependientes.. Producto escalar 4. ados los ectores u(,, ) y (,, ) a) calcula el ángulo que forman u y b) calcula la proyección u sobre + ( ) ( ) + a) cos a = = ( ) + ( ) + + ( ) + = ò a = 70 5' " 4 u b) proy u = + ( ) ( ) + proy u = = = + ( ) = = 0,0 unidades. 4 a b = a proy a b a c = a proy a c omo se obsera en el dibujo, proy a b = proy a c.por tanto: a b = a c 4. Prueba que si dos ectores a y b tienen el mismo módulo, entonces (a + b ) (a b ) = 0 a = b Se tiene: (a + b ) (a b )= a a a b + b a b b = = a b = Sean los puntos (, 5, k), (, k, ) y (k, 5, ) los tres értices del triángulo. etermina el alor de k para que el triángulo sea rectángulo en (, k + 5, k) (k, 0, k) Si el triángulo es rectángulo en : ò = 0 (k ) + ( k)( k) = 0 ò k k = 0 k = 0, k = 44. Sean los puntos P(, 0, ), Q(0,, ) y R(0,, 0). Halla la proyección ortogonal del ector PQ sobre el ector PR PQ (,, 4) PR (,, ) proy PR PQ = PQ PR PR proy PQ ( ) + + ( 4) ( ) = = = PR ( ) + + ( ) = =,4 unidades. 4. Producto ectorial 4. ados los ectores u(,,0) y (0,, ), calcula: a) el producto ectorial de u y b) un ector unitario ortogonal a u y c) el área del paralelogramo que tiene por lados los ectores u y a) w = u Ò = (4,, ) b) w 4 = ò ector unitario:,, ( c) Área = u Ò = unidades cuadradas. ) 45. Sean los ectores a,b y c de la figura. educe si son iguales los productos escalares a b y a c c b a 49. alcula el área del triángulo del dibujo. Z Y X TEM 5. VETORES EN EL ESPIO 77

10 Ejercicios y problemas (, 0, 0), (0,, 0) y (0, 0, ) (,, 0), (, 0, ) Ò = (9,9,9) Área = Ò 9 = = 7,79 unidades cuadradas. 50. Halla el área del triángulo cuyos értices son los puntos siguientes: a) (,, ); (,, ) y (, 0, ) b) (, 0, 0), (, 0, ) y (0,, ) 5. Sea a = b = 4 y el ángulo formado por los ectores a y b 0. alcula el área del triángulo construido sobre los ectores a b y a + b Área = (a b ) Ò (a + b ) (a b ) Ò (a + b ) = = a Ò a + a Ò b b Ò a 4b Ò b = a Ò b a Ò b = a b sen 0 = 4 4 = 4 u Área = 4 = u a) (0,, ), (0,, 4) Ò = ( 0, 0, 0) Área = Ò = 5 unidades cuadradas. b) (,0,), (,,) Ò = (, 5, 4) Área = Ò 5 = = =,5 unidades cuadradas. 5. Resuele la siguiente ecuación ectorial: Ò (,, ) = (,,5) sabiendo que = Sea x(x, y, z) x Ò (,, ) = (,,5) i j k x y z = (,,5) Se obtiene el siguiente sistema: que es equialente a y z = x + z = x y = 5 x + z = y + z = omo x = ò x + y + z =, se obtiene el sistema: x + z = y + z = x + y +z = Soluciones: x =, y =, z = 5 5 x =, y =,z = 5. Producto mixto 5. etermina si los ectores siguientes son linealmente dependientes o coplanarios: u(,,), (,, ) y w (, 4, 7) [u,,w ] = = u,,w son linealmente dependientes o coplanarios. 54. ados los ectores u (0,,0), (0,,0) y w (, 0, ), justifica si se cumple la igualdad u ( Ò w ) = 0. Interpreta el resultado. 0 0 u ( Ò w ) = [u,,w ] = 0 0 = 0 0 Los tres ectores son coplanarios o linealmente dependientes. 55. alcula el olumen de un paralelepípedo que tenga cuatro de sus értices en los puntos (0, 0, 0), (0,, ), (, 5, ) y (, 0, ) (0,,), (,5,), (,0,) Volumen = [,, ] = unidades cúbicas. 5. Se consideran los puntos (,, ), (0,, ), (, 0, ) y (,, ). alcula el olumen del tetraedro cuyos értices son los puntos (,, ), (,, ), (,, ) Volumen = [,, 5 5 ] = = =,5 u 7 SOLUIONRIO

11 Para ampliar 57. Sean, y tres puntos del espacio tridimensional que erifican la relación = a) alcula el alor que toma k en la expresión = k b) Si (,, ) y (9,, ), halla las coordenadas del punto que cumple la relación de partida. a) Si =, los dos ectores están en la misma dirección y en sentido opuesto. = + = = 4 = 4 = ò k = 4 4 b) (, 4, ) O = O + = O + 4 O = (,, ) + (,4,) = (,,) 4 5. ados los puntos (,, 5), (,, ) y (0,, ), que son los értices consecutios de un paralelogramo, halla las coordenadas del értice O El ector O = O + (,, ) O = (, 4, 7) + (,, ) = (9, 5, ) (9, 5,) 0. Sean los ectores u(,, ), (, 5, ), w (4,,) y x(4,, 4) a) Se puede expresar w como combinación lineal de u y? Si es así, escribe dicha combinación lineal; y si no es así, explica por qué. b) Se puede expresar x como combinación lineal de u y? Si es así, escribe dicha combinación lineal; y si no es así, explica por qué. c) Son u, y x linealmente independientes? Justifica la respuesta. a) au + b = w a(,,) + b(, 5, ) = (4,,) a + b = 4 a 5b = a b = ò El sistema es incompatible. El ector w es linealmente independiente de los ectores u y b) au + b = x a(,,) + b(, 5, ) = (4,, 4) O El ector O = O + (,, ) O = (,,5) + (,, ) = (0,,) (0,, ) 59. ados los puntos (, 4, 7), ( 5,, ) y (, ), que son tres értices del paralelogramo, halla el cuarto értice,, que es opuesto al értice a + b = 4 a 5b = a b = 4 ò a =, b = 9 El ector x es una combinación lineal de los ectores u y x = u 9 c) Los tres ectores son linealmente dependientes, como se ha demostrado en el apartado anterior.. Escribe el ector b como combinación lineal de los ectores u, yw, siendo: u(,,), (0,,),w (,, ) y b(, 7, 7) TEM 5. VETORES EN EL ESPIO 79

12 Ejercicios y problemas xu + y + zw = b x(,, ) + y(0,, ) + z(,, ) = (, 7, 7) x z = x + y z = 7 x + y + z = 7 ò x =, y =, z =. Expresa el ector a (, 5, 5) como combinación lineal de los ectores u (,,5), (,4,7) y w (,, ) xu + y + zw = a x(,, 5) + y(, 4, 7) + z(,, ) = (, 5, 5) x + y + z = x + 4y z = 5 5x + 7y z = 5 ò x =, y =, z =. ados los ectores u (,,4), (,,) y w (,,),estudia si el ector x (,, 0) depende linealmente de los ectores u,,w au + b + cw = x a(,, 4) + b(,, ) + c(,, ) = (,, 0) Sea w (, y, z) w u ò w u = 0 ò y + z = 0 w ò w = 0 ò y z = 0 Resoliendo el sistema, se tiene: y = 4, z = El ector es: w (, 4, ). alcula un ector unitario que sea ortogonal a los ectores u (,0,) y (,,0) w = u Ò w = u Ò = (, 4, ) w = Un ector unitario es:, 4, ( 7. alcula el área del triángulo en los siguientes casos: a) (,, 4), (, 0, ) y (,, 0) b) (,, ), (0,, ) y (,, ) ) a + b + c = a + b + c = 4a + b + c = 0 ò a =,b =,c = El ector x sí se puede poner como combinación lineal de, u y w 4. etermina los alores del parámetro k para los que los siguientes ectores de : (,,k),(k,,) y (0,0,k) son linealmente independientes. Justifica la respuesta. k k 0 0 k = 0 ò k k = 0 ò k = 0, k = Para los alores k = 0 y k =, el determinante es cero. Por tanto, los ectores son linealmente dependientes. Para los alores k? 0 y k?, los ectores son linealmente independientes. 5. Encuentra un ector w cuya primera componente sea, y que sea perpendicular a los ectores u (,, ) y (0,, ) a) (,, ), (0,0,4) Ò = (, 4, 0) Área = Ò 4 0 = = 0 =, u b) (,, ), (0,, ) Ò = (,, ) Área = Ò = = =, u. alcula el olumen del tetraedro cuyos értices son: a) O(0,0,0),(,0,),(,, ) y (,,0) b) (,, ), (, 4), (4, 0, ) y (,, 7) a) O (, 0, ), O (,, ), O (,, 0) Volumen = [O,O,O 9 ] = =,7 u b) (, 0, ), (,, ), (,, ) Volumen = [,, 5 ] = = 0, u 0 SOLUIONRIO

13 Problemas 9. etermina un ector de sabiendo que cumple las tres condiciones siguientes: a) La suma de sus coordenadas es b) es combinación lineal de los ectores (,, ) y (,, 0) c) Los ectores (, 0, ), (0,, 0) y son linealmente dependientes. (x, y, z) a) x + y + z = x y z b) = 0 ò x + y 4z = 0 0 x y z c) 0 = 0 ò x z = Resoliendo el sistema de las tres ecuaciones: x =, y =, z = 70. os értices consecutios de un paralelogramo son (,, ) y (0,, 0). Si el centro del paralelogramo es E(0, 0, ), se pide: a) las coordenadas de los otros értices. b) el área del paralelogramo. 7. Sabiendo que u = y = 5, halla los posibles alores del parámetro real a para que los ectores u +a y u a sean ortogonales. (u + a ) (u a ) = 0 u u au + a u a = 0 u a = 0 9 5a = 0 a = ±/5 7. Qué ángulo deben formar dos ectores no nulos u y para que ambos tengan el mismo módulo que su diferencia, u? a Si u = = u, el triángulo formado por dichos ectores es equilátero. Luego el ángulo a = 0 u u a) O Los puntos y deben ser simétricos de y con respecto al centro E, respectiamente. Se debe cumplir: O =O + E (,, 0) = E = (,, 0) O =O + = (,, ) + (,, 0) = (,, ) O = O + = E = (0, 4, ) O = O + = (0,, 0) + (0, 4, ) = (0,, ) b) (,, ), (,, ) Ò = (,, 4) Área = Ò = = 4,90 u E 7. alcula los alores de x e y para que el ector (x, y, ) sea ortogonal a los ectores (,, 0) y (, 0, ) (x, y, ) (,, 0) = 0 ò x + y = 0 (x, y, ) (, 0, ) = 0 ò x = 0 Resoliendo el sistema de las dos ecuaciones: x =, y = emuestra que el cuadrilátero con los értices en los puntos (, 5, ), (, 5, 7), (,, ) y (4, 7, ) es un cuadrado. (,, 7) (,, 9) 90 TEM 5. VETORES EN EL ESPIO

14 Ejercicios y problemas Se tiene que cumplir que = y que el ángulo que forman sea 90 = = = 9 + = 0 ò 75. Halla el ángulo a que forman las diagonales y de un paralelogramo si tres értices están en los puntos (,,),(5,, ) y (,, ) a ( 5,, ) (, 9, ) = 0 7 = 0 ò 7. Los puntos (,, ), (,, ) y (,, ) son tres értices consecutios de un paralelogramo. Halla las coordenadas del cuarto értice y calcula el área del paralelogramo. Se calcula el értice : El ector O = O + (,, ) O = (,, ) + (,, ) = (,, ) (,,) ( 5,, ) (, 0, ) 5 ( ) + 0 cos a = = ( 5) + + ( ) ( ) = = a = 0' 7" 7. Halla las coordenadas del ector a(x, y, z), que es perpendicular a los ectores u(,, ) y (,, ) y que a w =, siendo w (,, ) a(x, y, z) a u = 0 ò x + y z = 0 a = 0 ò x y + z = 0 a w = ò x y + z = Resoliendo el sistema: x =, y =, z = O 77. Un cuadrilátero tiene los értices en los puntos (,, ), (, 4, 0), ( 4,, ) y ( 5, 5, ). emuestra que sus diagonales y son perpendiculares entre sí. O Se calcula el értice : El ector O = O + (,, ) O = (,, ) + (,, ) = (0,, ) (0,, ) (,,) (,, ) Área = Ò = u Para profundizar 79. ados los ectores a,b y c tales que a =, b = y c = 4 y a + b + c = 0, calcula la siguiente suma de productos escalares: a b + b c + a c Si se multiplica (a + b + c ) (a + b + c ), se tiene: a) (a + b + c ) (a + b + c ) = 0, ya que a + b + c = 0 b) (a + b + c ) (a + b + c )= = a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + + c b + c c = = a a + b b + c c + a b + a c + b c = = a + b + c + (a b + a c + b c ) = = (a b + a c + b c ) Se tiene: (a b + a c + b c ) = 0 a b + a c + b c = SOLUIONRIO

15 0. Sean u y ectores ortogonales y de módulo. Halla los posibles alores del parámetro real a para que los ectores u + a y u a formen un ángulo de 0 cos 0 = = u a(u ) + a( u) a = u + a(u ) + a( u) + a u a(u ) a( u) + a Teniendo en cuenta que: u u = u = = = u = u = 0 se tiene: a = + a + a = a + a (u + a )(u a ) u + a u a u u + u ( a ) + (a ) u a ( ) (u + a ) (u + a ) (u a ) (u a ) + a = a a = ò a = ± = ±. Sean los puntos (, k, 0); (,, k ) y (,, k) a) omprueba que los tres puntos no están alineados, cualquiera que sea el alor que tome k b) Halla el área del triángulo determinada por los tres puntos. b) Ò = (, 0, 0) Área = Ò = unidad cuadrada.. En el triángulo formado por los értices (,, 5), (4,, 5) y ( 4, 0, ), calcula la longitud de la mediana trazada desde el értice La longitud de la mediana es el módulo del ector M, siendo M el punto medio del lado M(0,, ) M (,, ) M = 7 unidades.. ados los puntos (,, ), (,, ) y (, 0, ), halla las coordenadas de todos los puntos posibles para que formen un paralelogramo. M a) Si los tres puntos estuieran alineados, los ectores y estarían en la misma dirección, es decir, sus coordenadas serían proporcionales: (0, k, k ) (0,, ) k = k k = k + 4 ò = 4 Es una contradicción. Luego los puntos no están alineados. O = O + = (,, ) + (0,, ) = (,, ) O = O + = (,,) + (0,,) = (,,5) O = O + = (,,) + (0,, 4) = (,, ) TEM 5. VETORES EN EL ESPIO

16 Ejercicios y problemas 4. Se considera el tetraedro cuyos értices son los puntos (,0,0),(,,),(,,0) y (0,,). a) alcula el área del triángulo b) alcula el olumen del tetraedro a) (0,,) (,, 0) Área = Ò = 9 u b) (,, ) Volumen = [,, 7 ] = =,7 u 5. alcula el olumen de una pirámide que tiene por base el triángulo y por értice el punto (,, ), siendo (5,0,0),(0,,0) y (0,0, 5) ( 5,, 0) ( 5, 0, 5) (,, ) Volumen = [,, ] = 0/ =,7 u. Los puntos (, 0, ), (,, ) y ( 7,, 5) son los értices consecutios de un paralelogramo a) Halla las coordenadas del értice b) Halla el área del paralelogramo. (,0, ),(,,) y ( 7,,5) a) Se calcula el értice : El ector O = O + ( 0,, 4) O = (, 0, ) + ( 0,, 4) = ( 9,, ) ( 9,,) b) (,,) ( 0,, 4) Área = Ò = 0 = 4,7 u 7. Se consideran los puntos (0, 0, 0), (,, ), (,, ) y (5,, ). alcula el olumen del tetraedro cuyos értices son los puntos. Interpreta el resultado. (No hay errores en los datos). (,,) (,,) (5,,) Área = [,, ] = 0 Los ectores, y son linealmente dependientes, es decir, los cuatro puntos,,, y, están en el mismo plano.. Se consideran los puntos (,, ); (,, ); (,, ) y (0, 0, 0). alcula el olumen del tetraedro cuyos értices son los puntos (,,0) O (0,, ) (,, ) Área = [,, ] = unidades cúbicas. 4 SOLUIONRIO

17 Linux/Windows Windows erie Paso a paso 9. Halla el módulo del ector (,, 5) y representa el ector. Resuelto en el libro del alumnado. 90. Halla el baricentro del triángulo cuyos értices son los puntos (,, 5), ( 5,, ) y (,, 4). Representa el triángulo y el baricentro. Resuelto en el libro del alumnado. 9. alcula el alor de k para que el ector (7, 4, k) sea perpendicular al ector (,, ). Represéntalos. Resuelto en el libro del alumnado. 9. alcula el producto ectorial de los ectores u(,, ) y (4,, 5). Representa los ectores y el producto ectorial. Resuelto en el libro del alumnado. 9. Internet. bre: y elige Matemáticas, curso y tema. Practica 94. ibuja el ector de posición del punto P(,, 4) 95. ados los puntos (, 4, ) y (, 5, ), representa el ector TEM 5. VETORES EN EL ESPIO 5

18 Linux/Windows 9. alcula el centro de graedad del tetraedro cuyos értices son los puntos (,, ), (, 5, ), (, 4, 0) y (,, 7). ibuja el tetraedro y el centro de graedad. 97. Halla el producto escalar de los ectores u (5,, ) y (,, 4) 9. Halla un ector perpendicular a los ectores u (,, ) y (,, 4). Representa los tres ectores. SOLUIONRIO

19 Windows erie 99. Halla y dibuja el área del paralelogramo definido por los ectores (,, 5) y (,, 0). 0. Halla el olumen del tetraedro definido por los puntos (, 0 ), (,, 5), ( 4,, 0), (,, ). ibuja el tetraedro. 00. alcula el producto mixto de los ectores u (,, ), (4,, ) y w(5,, ) TEM 5. VETORES EN EL ESPIO 7

20 Linux/Windows 0. onsidera los ectores u (,, ), (,, a) y w (, 0, 0). etermina los alores de a para que los ectores u + y u w sean ortogonales. 0. ados los ectores u (,, ), (, 5, ) w (4, k, ), calcula el alor de k para que el olumen del paralelepípedo definido por dichos ectores sea igual a unidades cúbicas. SOLUIONRIO

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