TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II 2º Bach. 1

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1 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO 5. LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEINICIÓN Un ector es n segmento orientado. Un ector extremo B. Elementos de n ector: AB qeda determinado por dos pntos, origen A y Módlo de n ector es la distancia entre A y B y se designa por el ector entre barras : AB Dirección del ector es la dirección de la recta en la qe se encentra el ector y la de todas las rectas paralelas a ella. Sentido si a de A a B o de B a A. Igaldad de ectores: Dos ectores son igales si tienen el mismo módlo, dirección y sentido (no necesariamente el mismo origen y el mismo extremo). Todos ellos se llaman representantes de n único ector. Llamaremos representante canónico a aqel ector qe tiene por origen el pnto O. Notación: Los ectores se representan con na flechita encima de na letra:,, w, x, y, z,... o bien mediante no de ss representantes, escribiendo s origen y s extremo con na flecha encima AB, MN, PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO El prodcto de n número k por n ector es otro ector k qe tiene: Módlo: igal al prodcto del módlo de por el alor absolto de k : k k. Dirección: la misma qe la de Sentido: - El de si k > - El del opesto de si k < El prodcto. es igal al ector cero:. Es n ector cyo origen y extremo coinciden y, por tanto, s módlo es cero y carece de dirección y de sentido. El ector -. se designa por y se llama opesto de VECTORES UNITARIOS Los ectores de módlo se llaman ectores nitarios. El ector El ector es n ector nitario de la misma dirección y el mismo sentido qe. - es n ector nitario de la misma dirección qe, pero con sentido opesto.

2 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. SUMA DE DOS VECTORES Dados dos ectores y para smarlos gráficamente hay dos posibilidades: Se sitúa el origen del segndo ector sobre el extremo del primero y el ector sma es el ector qe ne el origen del primero con el extremo del segndo. Se sitúan los dos ectores con origen común. Se forma el paralelogramo qe tiene por lados los dos ectores y la diagonal qe parte del origen de los dos ectores es el ector sma. RESTA DE DOS VECTORES Restar dos ectores es lo mismo qe smar al primer ector el opesto del segndo: + (- ) PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Sma de ectores: - Asociatia: ( + ) + w + ( + w ) - Conmtatia: - Vector nlo: - Vector opesto: (- ) Prodcto de números por ectores - Asociatia: a.(b. ) (a.b). - Distribtia I: (a + b) a + b - Distribtia II: a.( + ) a + a - Prodcto por :. Todas estas propiedades le confieren al conjnto de los ectores la estrctra de espacio ectorial. 5. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dados arios ectores, x, y, z,..., w, y arios números a, b,c,...m, el ector a x + b y + c z m w se llama combinación lineal de los ectores. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Varios ectores se llaman linealmente dependientes si algno de ellos se pede poner como combinación lineal de los demás. Cándo no es así, se llaman linealmente independientes. Ejemplos: - Dos ectores alineados son linealmente dependientes - Dos ectores no alineados son linealmente independientes - Tres ectores coplanarios (están en el mismo plano) son linealmente dependientes. - Tres ectores no coplanarios son linealmente independientes.

3 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. BASE Tres ectores no coplanarios x, y, z son linealmente independientes y, además calqier otro ector del espacio se pede poner como combinación lineal de ellos de ellos de forma única. Por eso decimos qe forman na base: B { x, y, z } Tres ectores no coplanarios calesqiera forman na base del espacio ectorial tridimensional. Si los tres ectores son perpendiclares entre sí, se dice qe forman na base ortogonal. Si además de ser perpendiclares tienen módlo no, se dice qe la base es ortonormal. COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE Dada na base B( x, y, z ), calqier ector,, se pede poner de forma única como na combinación lineal de ss elementos: a x + b y + c z A los números a, b, c se les llama coordenadas de respecto de B. Y se expresa así: (a,b,c) ó (a,b,c) OPERACIONES CON COORDENADAS Sea (,, ) y (,, ) Sma de dos ectores: Las coordenadas del ector + se obtienen smando las coordenadas de con las de : + (,, ) + (,, ) ( +, +, + ) Resta de dos ectores: Las coordenadas del ector - se obtienen restando a las coordenadas de las de : - (,, ) - (,, ) ( -, -, - ) Prodcto de n ector por n número: Las coordenadas del ector k se obtienen mltiplicando por k las coordenadas de : k k.(,, ) (k,k,k ) Combinación lineal de ectores: a + b a(,, ) + b(,, ) (a + b,a + b,a + b )

4 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. EJERCICIOS EJERCICIO : Dados los ectores (,,), (5,,), w(,,) a) Halla el ector + w + w (,,) (5,-,) + (,-,) (-+, +-, -+) (-,,) b) Calcla a y b tales qe a. + bw (,,) a (5,-,) + b(,-,) 5a + b a b a a, b -7 Nota: Como solo hay dos incógnitas (a y b) con dos ecaciones nos aldría pero hay qe comprobar qe se cmplen las tres. Si al comprobar la tercera no lo cmple, no tiene solción. EJERCICIO : Compreba qe no es posible expresar el ector x(,,) como combinación lineal de (,, ) y (,,5). Son linealmente independientes x, y? Intentamos poner x como combinación lineal de y, es decir, hallar a y b tales qe x a + b (,-,) a(,,-) + b(,-,5) a + b Smando la primera y la tercera ecación a b obtenemos qe b /7.Sstityendo en la º a 5/ 7 a + 5b 5 Pero esto comprobando en la ª ecación -. - emos qe no la cmple 7 7 Por tanto no se pede poner x como combinación lineal de Son linealmente independientes x, y, son linealmente independientes. y y? Como x no se pede poner como combinación lineal de EJERCICIO : Cáles de los sigientes ectores tienen la misma dirección? a(,,),b(,,),c(,6, ),d(5, 5,),e(,,5) Nota: Para qe dos ectores tengan la misma dirección, deben ser paralelos, es decir, ss coordenadas proporcionales. a(,,) c(,6, ) d(5, 5,) b (,,) e(,,5)

5 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. 5 EJERCICIO 5 : Halla, en cada caso, todos los alores de m, n y p tales qe m + n + pw Ver si son linealmente independientes a) (,,), (,,), w(,,) m + n + p m(,,) + n(,-,) + p(,,) (,,) n n p m m + p Son linealmente independientes b) (,,), (,,), w(,,) m + n + p n + p m(,-,) + n(,,) + p(,,) (,,) m + n Son la misma ecación, n + p n + p por tanto, en realidad hay ecaciones con incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, p α existen infinitas solciones: n α α R No son linealmente independientes. m α EJERCICIO 6 : Estdia la dependencia e independencia lineal de los sigientes conjntos de ectores Si a b c Linealmente independientes Modo : a + b + cw Si algno es distinto de cero Linealmente dependientes Modo : Ponerlos como filas de na matriz y hacer Gass Si Si algna fila se hace cero, es porqe es combinación lineal de las demás ningna fila se hace cer, es porqe ningna a) (,,), (,,), w(,, ) y son linealmente dependientes es c.l.de las demás y son linealmente independientes + Linealmente independientes b) a(,,),b(,,),c(,, ),d(,,) 8 * 8 Linealmente dependientes.

6 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. 6 EJERCICIO 7 : Determina k para qe los sigientes conjntos de ectores sean linealmente dependientes a) ) w(,6, (,,k),,), (k, Método: Como hay k y el número de filas es igal al número de colmnas, hallar el determinante, igalarlo a cero, resoler la ecación y hacer Casos. 6 k k (-k-k + ) ( + 6k + ) k + k + k - Caso I: Si k - A Linealmente dependientes Caso II : Si k - A Linealmente independientes EJERCICIO 8 : Cáles de los sigientes conjntos de ectores son na base? Una base de R : Tres ectores no nlos y linealmente independientes. A {(,,),(,,),(,,)} Como tenemos ectores no nlos, hacemos Gass para comprobar si son linealmente independientes L. Dependientes No Base B {(,,),(,,),(,,),(,,)} Como tenemos ectores no es na base de R. C {(-,,),(,,-),(,,)} Como tenemos ectores no nlos, hacemos Gass para comprobar si son linealmente independientes L. Independientes Base EJERCICIO 9 : Para qé alores de a el conjnto de ectores S {(,,),(a,,),(,a,)} es na base? Como tenemos ectores no nlos, hacemos el determinante a a ( + + a ) ( + a + ) a a a a Caso I : a R {,} A Linealmente independientes Base Caso II: a A Linealmente dependientes No base Caso III: a A Linealmente dependientes No base

7 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES DEINICIÓN El prodcto escalar de dos ectores y es n número qe reslta de mltiplicar el módlo de cada no de los ectores por el coseno del ánglo qe forman y se designa por. :...cos(, ) y son números positios. Por tanto,. es n número positio o negatio según el ánglo qe forman con : ^ ^ Si (, ) es agdo, cos (, ) >. es positio. ^ ^ Si (, ) es obtso, cos (, ) <. es negatio. PROPIEDAD UNDAMENTAL El prodcto escalar de dos ectores no nlos es cero si y sólo si son perpendiclares: Es decir: si y ;. APLICACIONES Módlo de n ector Ánglo de dos ectores cos(, ).. (pes...cos(, ).cos(º) ) Vector proyección de sobre :... (despejando el coseno de la expresión del prodcto escalar).. cos(, ).. es la longitd del segmento proyección, con signo + o según qe el ánglo sea agdo obtso. Si este número lo mltiplicamos por el ector nitario, se obtiene el ector proyección. OPERACIONES. PROPIEDADES Propiedad conmtatia:.. Propiedad asociatia: a.(. ) (a ). Propiedad distribtia:.( + w ). +. w EXPRESIÓN ANALÍTICA

8 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. 8 Si B( x, y, z ) es na base ortogonal: x. y x. z y. z Si B( x, y, z ) es na base ortonormal : x. y x. z y. z, x. x y. y z. z Si las coordenadas de los ectores y respecto a na base ortonormal son (,, ) y (,, ), entonces el prodcto escalar. adopta la sigiente expresión: Dem :. ( x + y + z ).( x + y + z ).. x. x +.. x. y +. x. z +.. y. x +.. y. y +. y. z +.. z. x +.. z. y +.. z. z APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO ESCALAR Expresión ectorial:... cos (, ) Expresión analítica: MÓDULO DE UN VECTOR Expresión ectorial :. Expresión analítica : + + COSENO DEL ÁNGULO DE DOS VECTORES Expresión ectorial : cos (,. ). Expresión analítica : cos (, ) PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO Expresión ectorial:. Expresión analítica: (,, ) + + CRITERIO DE PERPENDICULARIDAD : + Expresión ectorial:. Expresión analítica:

9 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. 9 EJERCICIOS EJERCICIO : En na base ortonormal tenemos a (,,), b(,5, ), c(,5, ). Calcla: a) a. b (,,).(-,5,-) b) a c) b ( ) ( ) 5 5 a.b d) ang( a, b ) : cos ( a, b ) ang( a, b ) arc cos () 9º a. b.5 e) La proyección de b sobre a : a.b Vector proyección: b a a La proyección: b a 9 EJERCICIO : Dados los ectores los ectores a (, m,) a y y b sean: b (,, m) m a) Paralelos (Componentes proporcionales) m Nota: hay qe comprobar qe se cmplan las dos igaldades a i + mj + k b i + j + mk halla m para qe m - b) Ortogonales ( a.b ) : (,m,).(-,,m)-+m+m m /5 EJERCICIO : Halla la proyección del ector (,,) sobre el ector (,,) Vector proyección:. + ( + + ) La proyección: (,,) 6 (,,) 6 ( 6, 6, 6) EJERCICIO : Son a(,,) y b(,,) ortogonales? Si no lo son, halla el ánglo qe forman? Para qe sean ortogonales s prodcto escalar debe ser cero. a.b (,,).(,-,)-+ No son ortogonales cos ( a, b ) a.b ang( a, b ) arc cos ( ) 8º5,8 b a. EJERCICIO : Compreba qe el ector n ector nitario de la misma dirección qe.,, no es nitario y da las coordenadas de Para qe n ector sea nitario s módlo tiene qe ser no. + + No es nitario. Conertir n ector en nitario: Diidir cada coordenada del ector por s módlo: ±,, ±,,

10 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. 5.5 PRODUCTO VECTORIAL DEINICIÓN El prodcto ectorial de dos ectores, y, es n neo ector x, qe se define del sigiente modo: Si y son linealmente independientes, x es n ector con las sigientes características: - Módlo: x..sen(, ) - Dirección: perpendiclar a y a - Sentido Si (, ) < 8º, hacia arriba Si (, ) > 8º, hacia abajo Tomando el ánglo en sentido positia, es decir, contrario al moimiento de las agjas del reloj. Si y son linealmente dependientes, es decir, si algno de ellos es o si tienen la misma dirección, entonces: x PROPIEDADES No es conmtatio: x - x x En na base ortonormal B( i, j, k ): i x j k, j x k i, k x i j (a ) x a( x ) x (a ) No es asociatio : ( x ) x w x ( x w ) x ( + w ) ( x ) + ( x w ) EXPRESIÓN ANALÍTICA i j k x. i +. j+.k (,,. ) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA El módlo del prodcto ectorial x es igal al área del paralelogramo definido por los ectores y. A x El área de n triánglo de lados y : A APLICACIÓN: x Para obtener n ector perpendiclar a otros dos, y, no alineados, hallaremos x

11 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. EJERCICIOS EJERCICIO 6 : Dados i j + k y i + j + k compreba qe los ectores x y x son opestos y halla s módlo. i j k x ( )i ( + )j + (6 )k ( 5, 5,5) Son opestos i j k x ( + )i ( )j + ( 6)k (5,5, 5) x x Tienen el mismo módlo EJERCICIO 7 : Halla el área del paralelogramo qe forman los ectores a(7,,) y b(,, ) El área del paralelogramo es el módlo de s prodcto ectorial axb i 7 j k ( 8)i ( )j + (8 + )k ( 6,6,9) A axb ,66 EJERCICIO 8 : Halla n ector perpendiclar a (,,) y a (,,) y qe sea nitario. Un ector perpendiclar a dos ectores es s prodcto ectorial y lego conertir en nitario (diidiendo cada componente del ector por el módlo del ector) x i ( )i ( + )j + (6 + )k (,,9) x j k Solción: ±, 9, EJERCICIO 9 : Halla n ector ortogonal a (,,) y a (,,) y cyo módlo sea Un ector perpendiclar a dos ectores es s prodcto ectorial y lego hacemos no paralelo a él (mltiplicando por α) y calclamos α para qe el módlo sea x i j k ( )i ( ) j + ( + )k (,,) Hallamos no paralelo a él: (-α,-α,α) Calclamos α para qe el módlo sea : α + α + α 6α α ± Solción: ±(-,-,)

12 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. 5.7 PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES DEINICIÓN Se llama prodcto mixto de los ectores, y w y se designa por [,, w ].( x w ) (El resltado es n número) EXPRESIÓN ANALÍTICA [,, w ] w w INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA w El módlo del prodcto mixto es el olmen del paralelepípedo de lados los ectores,, w. V [,, w ] El olmen de n tetraedro de lados,, w es: V [ 6,, w ] EJERCICIOS EJERCICIO : Halla [,, w] siendo (,,), (,, ),w(,,) [,, w] ( ) ( + ) 5 EJERCICIO : Calcla el olmen del paralelepípedo determinado por a(,,), b(,7,),c(,, ) El olmen del paralelepípedo es el Valor Absolto del prodcto mixto de los tres ectores [ a,b,c] 7 ( 8 + ) ( ) [ a,b,c]. EJERCICIO : Calcla el alor de m para qe (,,), (,m,) y w(,5, ) sean coplanarios. Tres ectores son coplanarios si s prodcto mixto es cero. [,, w] m ( m ) ( m + + ) m + 8 [,, w] 5 m + 8 m -

13 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. EJERCICIOS REPASO EJERCICIO 5 : Dados a(,, ),b(,,), compreba qe el ector a xb es perpendiclar a a + b y a a b axb i j k ( + )i ( + )j + ( )k (,,) a + b (,, ) + (,,) (,5, ) a b (,, ) (,,) (,, ) Ver qe a xb es perpendiclar a a + b (Prodcto escalar nlo) ( a xb ).( a + b ) (,-,).(,5,-) 6-5- Probado. Ver qe ( a xb ).( a b a xb es perpendiclar a a b (Prodcto escalar nlo) ) (,-,).(,-,-) +- Probado. EJERCICIO 6 : Compreba qe el paralelogramo determinado por los ectores (,,), (,, 6) es rectánglo. Hay qe er qe los ectores son perpendiclares, es decir, qe s prodcto escalar es nlo. (,-,).(,,-6) 6 6 Probado. EJERCICIO 7 : Dado el ector (,, ) halla las coordenadas de los sigientes ectores: a) Unitarios y de la misma dirección qe. b) Paralelo a y de módlo 6. a) Hay qe conertir en nitario (Diidiendo cada componente del ector por s módlo) Hallamos el módlo de : Solción: ±,, ±,, b) Un ector paralelo a, es n ector proporcional a él: (-α,α,-α) Y calclamos α para qe el módlo sea 6: α + α + 6α 6 α 6 α ± Solción ±.,., ± ( 6, 6, 6) EJERCICIO 8 : Halla n ector ortogonal a (,, ) y a (,,) cya tercera componente sea. Para hallar n ector ortogonal a dos ectores calclamos s prodcto ectorial x i j k (6 + )i ( + ) j + (8 )k (, 5,5) La solción es n ector paralelo a (,-5,5) de tercera componente (x,y,) : x, y - (,-,) 5 5 x y

14 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. EJERCICIO 9 : Dados los ectores (,,), (,, ), a + b, Qé relación deben cmplir a y b para qe sea ortogonal al ector (,, )? Calclamos a + b a(,,) + b(,, ) (a, b, b) debe ser ortogonal al ector (,, ), por tanto, s prodcto escalar debe ser cero: (a,b,-b).(,,) ª + b b a b EJERCICIO : Calcla las coordenadas de n ector qe sea ortogonal a (,,) y w(,,) y tal qe [,, w] 9 i Hallamos n ector ortogonal a y a w : xw ( + )i ( )j + ( )k (5,, ) El ector pedido sea paralelo a (5,,-) (5α,α,-α) tal qe cmpla qe [,, w] [,, w] 5α α j k 9 (α + 6α + α) (-6α -5α + α) 8α 9 α ½ 5 Solción:,, α EJERCICIO : a) Obten λ para qe los sigientes ectores sean linealmente dependientes (,,5), (,,7), (,, λ ) Ver A 7 (λ + ) ( 6 + λ) 8λ + 7 λ 7 / 8 5 λ b) Para λ, expresa el ector (7,,5) como combinación lineal de,, a + b + c 7 (7,,5) a (,,5) + b(,,7) + c(,-,) a + b c Resoliendo el sistema por Gass 5a + 7b + c a 8/7, b /7, c 5/ EJERCICIO : a) Determina los alores de a para los qe resltan linealmente dependientes los ectores (-,a,a), (a,-,a) y (a,a,-) a a A a a a a (-8 + a + a ) (-a -a a ) a + 6a a (doble) 8 a

15 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. 5 b) Obten en esos casos na relación de dependencia entre los ectores. m + n Si a : (-,,) m(,-,) + n(,,-) m + n m - n m n (-,,) -(,-,)-(,,-) m n Si a -: (-,-,-) m(-,-,-) + n(-,-,-) m n m+n Sistema m n compatible indeterminado Existen infinitas solciones: n α, m -α. Dándole a α calqier alor, por ejemplo α n, m (-,-,-) (-,-,-)+(-,-,-) EJERCICIO 5 : Dados los ectores (,,), (,, ) halla el conjnto de ectores qe, siendo perpendiclares a, sean coplanrios con y. Perpendiclar a : Prodcto escalar nlo Coplanario con y : Prodcto mixto nlo Llamamos a (x, y, z) al er qe bscamos.a (,-,).(x,y,z) x y + z [,,a] (z + x + 6y) (x y z) -x + 7y + z x y z x y + z Resoliendo el sistema (x,y,z) (-α,-α,α) α R x + 7y + z EJERCICIO 9 : Halla n ector de la misma dirección qe (,,) y tal qe forme con w(,, ) n paralelogramo de área 5. Vector de la misma dirección qe : a( α,-α,α) Qe forme con w n paralelogramo de área 5: a xw 5 i a xw α α α (α α)i ( α + 6α) j + (α α) k (-α,-5α,) j k axw α + 5α 5 5α 65 α ± 5 Solción: a ± ( 5, 5, 5) EJERCICIO : Halla n ector coplanario con a(,,) y b(,,) y ortogonal a c (,,) (x, y, z) coplanario con a y b : Prodcto mixto nlo: x 5y + z (x, y, z) ortogonal a c (,) : Prodcto escalar nlo: x + y x y z

16 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. 6 x 5y + z Resolemos el sistema: (x,y,z) (-α,α,α) α R x + y Como nos piden no dando a α calqier alor distinto de cero, por ejemplo α (-,,) EJERCICIO : Sean a y b tales qe a, b, con áng( a, b ) 6º. Calcla a + b y a b Como no tenemos coordenadas, tenemos qe aplicar la definición ectorial: a + b (a + b).(a + b) a.a + ab + b.b (/ ) a. + a.b.cos ( a, b) + b a b (a b).(a b) a.a ab + b.b 6...(/ ) + a. a.b.cos ( a,b) + b EJERCICIO : De dos ectores y sabemos qe son ortogonales y qe 6,. Calcla + y Como son ortogonales s prodcto escalar es cero. + ( + ).( + ) ( ).( ) EJERCICIO : Calcla el ánglo qe forman a y b sabiendo qe a, b 5, a + b 7 a + b (a + b).(a + b) a.a + ab + b.b a. + a.b.cos( a, b) + b 7 + a.b.cos( a, b) b cos( a, b) cos( a, b) ½ (, b) a. + EJERCICIO : De los ectores y sabemos qe cmplen a(,,) y b(,, ). Halla el ánglo qe forman y + a 5 b a (,,-)-(,-,) (-,5,-)., b a (,-,) -.,,, cos (, ) ang(, ) arc cos ( ) 6º6, 7 a 6º + a y b siendo AUTOEVALUACIÓN

17 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach APLICACIONES DE LOS VECTORES A PROBLEMAS GEOMÉTRICOS COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS Las coordenadas del ector AB se obtienen restándole a las coordenadas del extremo B las del origen A : AB (x,y,z ) (x,y,z ) (x -x,y -y,z -z ) CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS Los pntos A(x,y,z ), B(x,y,z ), C(x,y,z ) están alineados siempre qe los ectores BC tengan la misma dirección. Esto ocrre cando ss coordenadas son proporcionales: x x y y z z x x y y z z AB y PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Las coordenadas del pnto medio, M, de n segmento de extremos A(x,y,z ), B(x,y,z ) son: x + x y + y z + z M,, SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO Para calclar el simétrico A del pnto A respecto del pnto B, solo hay qe tener en centa qe el pnto B es el pnto medio entre A y A. EJEMPLO : Dados los pntos A(,,-), B(,,-). Hallar el ector AB AB B A (,,-) (,,-) (-,,-) EJEMPLO : Sea el ector AB (,-,) y el pnto A(,-,) calclar s extremo. AB B A B A + AB (,-,) + (,-,) (,-,7) EJEMPLO : Sea el segmento de extremos A(,,) y B(-,,). Hallar el pnto medio M,,,, EJERCICIO : Compreba si los pntos A(,-,), B(,,) y C(-,,-) están alineados AB B A (,,) (,-,) (,5,-) AC C A (-,,-) (,-,) (-,,-5) 5 Veamos si son proporcionales: also, no están alineados 5

18 TEMA 5 VECTORES EN EL ESPACIO MATEMÁTICAS II º Bach. 8 EJERCICIO : Hallar dos pntos P y Q tales qe y B(5,,-) AQ AB y AP AQ siendo A(,,) 5 AQ AB Q A (B A) Q (,,) + [( 5,, ) (,, )] (,,) + (,, ),, AP AQ P A (Q A) ,, +,,,, (,,) +,,,,,, P ( ) ( ) EJERCICIO : Halla el simétrico del pnto A(-,,) respecto de M(,-,) + x + y + z,,,, A (,-5,) M ( ) EJERCICIO 5 : Calcla a y b para qe los pntos A(,,-), B(,,-) y C(,a,b) estén alineados. AB B A (,,-) (,,-) (,-,-) AC C A (,a,b) (,,-) (,a-,b+) a 6 a Veamos si son proporcionales: a b + b + b 5