VECTORES EN EL PLANO.
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- María Antonia Carmona Romero
- hace 6 años
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1 VECTORES EN EL PLNO. Introdcción: Magnitdes escalares ectoriales. Ha ciertas magnitdes físicas, tales como la masa, la presión, el olmen, la energía, la temperatra, etc., qe qedan completamente definidas por n número las nidades tilizadas en s medida. este tipo de magnitdes las llamamos magnitdes escalares. Sin embargo, ha otro tipo de magnitdes, tales como la elocidad, la aceleración, la ferza, el campo eléctrico, etc., qe para determinarlas no basta con dar n dato nmérico, sino qe además llean asociadas na dirección n sentido. este tipo de magnitdes las llamaremos magnitdes ectoriales. Las magnitdes ectoriales qedan representadas por n ente matemático qe recibe el nombre de ector. Un ector se representa por n segmento orientado. sí, n ector qeda caracterizado por los sigientes elementos: s longitd o módlo, (siempre positio por definición, s dirección (la de la recta qe lo contiene, s sentido (el qe indica la flecha - Vector fijo de origen, etremo B,. Coordenadas del ector. ( ( Y B (, (, (, - Módlo de n ector fijo. (plicamos el teorema de Pitágoras ( (.- Coordenadas del pnto medio de n segmento B (, M (, (, El pnto medio del segmento es el pnto M,, donde: (,
2 - Vectores eqipolentes. Son ectores qe tienen el mismo módlo, la misma dirección el mismo sentido, pero distinto pnto de aplicación. Los ectores eqipolentes tienen las mismas coordenadas. - Vectores libres. Todos los ectores eqipolentes a no dado definen n ector libre qe, generalmente, lo aplicaremos en el origen de coordenadas. Los ectores libres se denotan así:, ( (, - Módlo de n ector libre. - Vector nitario. Un ector nitario es n ector de módlo nidad. Para hallar n ector nitario qe tenga la misma dirección qe el ector (,, se diiden las coordenadas de entre el módlo de, es n ector nitario.
3 - Operaciones con ectores. Sean, w w, w ( ( dos ectores sea k n nº real: Sma: w (, ( w, w ( w, w Para smar dos ectores se sman componente a componente. Gráficamente la sma de dos ectores iene dada por la "regla del paralelogramo". Se coloca el ector w en el etremo de despés se ne el origen de con el etremo de w. w w Resta: w (, ( w, w ( w, w Para restar dos ectores se restan componente a componente. Gráficamente se obtiene niendo el etremo de w con el etremo de. w w 3
4 Prodcto por n nº real k k, ( k, k ( k.- Combinación lineal de ectores. Se dice qe n ector es combinación lineal de los ectores w si se pede epresar de la forma: w con, R En este caso se dice qe los ectores, w son linealmente dependientes. Por ejemplo: El ector (3, se pede epresar como combinación lineal de los ectores i (, j (, ( 3, 3 (, (, 3i j j i 3i j Nota: En Matemáticas para epresar n ector se tiliza esta notación (3,. Sin embargo, en Física, para nombrar ese mismo ector se pone 3i j.- Vectores linealmente dependientes (paralelos. Dos ectores del plano son linealmente dependientes si tienen la misma dirección, es decir, son paralelos. En este caso ss coordenadas son proporcionales. con R.- Vectores linealmente independientes. Dos ectores del plano son linealmente independientes si: Para entenderlo mejor, dos ectores del plano son linealmente independientes si tienen distinta dirección. 4
5 .- Base de n espacio ectorial. Vamos a llamar espacio ectorial R al conjnto formado por todos los ectores del plano. En el plano calqier conjnto de dos ectores linealmente independientes forma na base del espacio ectorial R. Si, son na base de R calqier ector del plano R se pede epresar de forma única como combinación lineal de los ectores de la base. Por ejemplo, (,,(, es na base de R : Calqier ector w (, se pede epresar de forma única como combinación lineal de los ectores de la base: w (, (, (,.- Prodcto escalar de dos ectores. Epresión analítica del prodcto escalar. El prodcto escalar de dos ectores se define de la forma sigiente: cos El prodcto escalar de dos ectores es igal al prodcto de ss módlos por el coseno del ánglo qe forman. El prodcto escalar de dos ectores es, por tanto, n número real. Epresión analítica del prodcto escalar: (, (, nglo formado por dos ectores. cos cos Interpretación geométrica del prodcto escalar. cos pro 5
6 pro.- Vectores ortogonales (perpendiclares Dos ectores son ortogonales ( se escribe.- Vectores ortonormales. si s prodcto escalar es cero. Dos ectores son ortonormales si son ortogonales nitarios (módlo nidad. 6
7 VECTORES EN EL PLNO. EJERCICIOS RESUELTOS..- Dados los pntos (-, B(, del plano, se pide: a Determina las coordenadas del ector. B (, (, (3, b Determina el módlo del ector. 3 ( 3 c Representa gráficamente el ector. Y B X d Determina n ector nitario en la misma dirección qe el ector. 3, 3 3 e Determina las coordenadas del pnto medio del segmento. (, B( M (,, (, B(, ; ; M (, M B 7
8 .- Obtener las coordenadas del etremo del ector (,5 sabiendo qe esta aplicado en el pnto (,-. B B (, (,5 (,3 3.- Obtener las coordenadas del pnto de aplicación del ector (, 3 sabiendo qe tiene s etremo en el pnto B(-,. B B (, (, 3 ( 3,5 8
9 9 4.- eriga las coordenadas del pnto B, sabiendo qe M(3, es el pnto medio del segmento qe (4,-3., (, (, ( M B ; (3,, ( 3 (4, M B B(,5 5.- Sabiendo qe el ector fijo (3, está aplicado en el pnto (,, determina analítica gráficamente las coordenadas del pnto B. Igal qe el ejercicio nº. M
10 6.- Sabiendo qe (, 3 M (, son las coordenadas del pnto origen pnto medio, respectiamente, de n segmento, determina analítica gráficamente las coordenadas del pnto etremo B. Igal qe el ejercicio nº 4. B M 7.- Dados los ectores a b ( 3, (, a (3, (, (4,, calcla analítica gráficamente: c d b (3, (, (, 3
11 c (3, (6, 4 d (, (, 8. Sabiendo qe los pntos (, ; B(6,6 C(3,9 son tres értices consectios de n paralelogramo, determina las coordenadas del carto értice. C B D
12 D D D D pero como D BC son ectores eqipolentes: D BC (, ( 3,3 (, 4 También se pede hacer hallando el pnto medio del segmento C (Pnto M. Y, despés se halla el pnto D, estableciendo qe M es el pnto medio del segmento BD. 9. Dados los ectores (, (,3, determina: a El módlo de los ectores ( b El prodcto escalar de los ectores,,3 ( 3 3 c El ánglo qe forman los ectores cos cos arc cos 8º 9' 54' ' 5 d Un ector ortogonal a Bscamos n ector w ( a, b tal qe w (, ( a, b a b Damos a a n alor calqiera se halla el correspondiente alor de b Para a se tiene qe b Por tanto, los ectores (, w (, e Un ector ortonormal a son ortogonales. Bscamos n ector z ortogonal a qe sea nitario. El ector w (, es n ector ortogonal a. Diidiéndolo entre s módlo, se obtiene n ector nitario. w 5 z w w, 5 5 ( k, (, 3. Dados los ectores. Determina el alor de k para qe los ectores sean ortogonales. ( k, (,3 k 3 k 3
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Solcionario 4 Vectores TIVIDDES INIILES 4.I. Efectúa las sigientes operaciones: a) (5, 3) (, 4) c) 5(3, ) (, 4) e) (7, 4) (, ) g) (3, 6) 3 (, ) b) (6, 4) (7, ) d) 3(0, ) (0, 3) f) 4(, ) 6(4, ) h) (5, 3)
3.2 EL PRODUCTO ESCALAR Y LAS PROYECCIONES EN R 2
34 CAPÍTULO 3 Vectores en R R 3 ais sqare a=ais; ais([min(a([1,3])),ma(a([,4])),min(a([1,3])),ma(a([,4]))]) % hold off Una ez qe se haa escrito la fnción en n archio con nombre lincomb.m, dé el comando
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