6 La semejanza en el plano

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Andrés Salinas Murillo
hace 7 años
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1 TIVIS MPLIIÓN 6 La semejanza en el plano 1. alcla las medidas de los segmentos,, z, t en la sigiente figra, sabiendo qe las medidas de los segmentos conocidos están epresadas en metros. 4 G z t. ibja n heágono reglar, tomando como vértices los pntos medios de ss lados, traza n nevo heágono. Son semejantes ambos heágonos? ál es la razón de semejanza entre ambas figras? Si el primero tiene 6 cm de lado, calcla el área del segndo heágono.. emestra qe en calqier rectánglo se peden determinar tres triánglos semejantes 1, como indica la figra, trazando desde n vértice la perpendiclar a la diagonal opesta. asándote en ello, calcla las longitdes,, z del rectánglo de la figra n el triánglo rectánglo rectánglo en, cos catetos miden, respectivamente, 6 8 m, se traza la altra desde se traza na paralela al cateto, qe corta en al otro cateto. alcla el perímetro el área del trapecio de vértices. 4 z 5. n el rectánglo, cos lados miden 4 cm 10 cm, se traza na paralela a la diagonal. Sabiendo qe 4 cm, cánto miden el perímetro el área del trapecio? 6. n n triánglo isósceles, cos lados igales miden 10 cm el lado básico mide 1 cm, se inscribe n rectánglo G centrado respecto a la altra del triánglo, como indica la figra. alcla las medidas de los lados del rectánglo para qe s perímetro sea de 0 centímetros. M G N 7. n el triánglo, rectánglo en, se constre el trapecio tal qe los lados tienen la misma medida,. alcla el perímetro del trapecio, teniendo en centa las medidas de los segmentos 7m 6 m. 7 m 6 m Gass 4. o SO - Opción ctividades de ampliación

2 SOLUIONS 1. Por el teorema de Tales: G G ; ; ; t t t 10 9 ; ; ; z G z 6. Son semejantes por tener ' igales ss ánglos interiores (10). Si L a p son el ' ' lado la apotema del dado, O aplicando el teorema de Pitágoras al triánglo rectán- ' ' glo O: ' L a p L S área es S L a p 187 omo el lado del heágono inscrito es L a p,la L 6 razón de semejanza es k. L 7 l área S del heágono inscrito es: S 6 S S 70,14 cm S 7 4. n efecto, r r determinados por dos paralelas na secante r r de lados perpendiclares. n el triánglo 1: 4 5. Por semejanza, en los triánglos 1 : 4 5 ; ;, cm; z 4 z,4 cm Por semejanza, en los triánglos 1 : 4 5 ; ; 1,8 cm z 4. n : ;,6 8; 6,4 4,8 Por semejanza:, se tiene 4,8 6 4,8,6,84;,88 l perímetro es: P 16, m ( ) l área es: S 14,17 m 5. n el triánglo : 6 cm, sean, cm z. Por la semejanza de los triánglos : z ,4; z 10,4 l perímetro del trapecio es: P 56,8 cm l área es: 1 1 S S S 100,8 cm 6. Los triánglos M N son semejantes por estar M M en posición de Tales: N N Por otro lado: N N cm llamando, MN, de la relación de 8 4(6 ) Tales, se tiene: 8 6 Teniendo en centa qe el perímetro es 0 cm: 8(6 ) { ; 4} Los lados del rectánglo miden 6 cm 4 cm. 7. Los triánglos están en posición de Tales:, ca única sol ción posible es 18 m. Por otro lado: ,59 l perímetro es: p ,59 de valor aproimado 78,59 m. ctividades de ampliación Gass 4. o SO - Opción

3 PROPUSTS VLUIÓN 6 La semejanza en el plano RITRIOS TIVIS. Reconocer figras semejantes calclar la razón de semejanza entre ss magnitdes: lados, perímetros áreas. 1. alcla las medidas de los segmentos,, z en la sigiente figra. ántas solciones ha? z 4 6. Las diagonales de n rombo miden 1 16 cm, respectivamente. Halla el área de otro rombo semejante de 100 cm de perímetro.. onocer el teorema de Tales aplicarlo para representar pntos qe determinan segmentos de razones dadas.. ibja sobre na recta 4 pntos,, de modo qe se verifiqen las sigientes razones: 5. Qé teorema tilizas para hacerlo?. plicar los criterios de semejanza de triánglos en la resolción de problemas. 4. Para determinar la altra de n objeto, na persona de 1,70 m de altra sitúa n espejo en el selo entre ella el objeto, de forma qe todos ellos, objeto, espejo persona, qedan en n mismo plano. Si el espejo dista 10 m del objeto m de la persona, qé altra tiene el objeto?. onocer los teoremas relativos a los triánglos rectánglos aplicarlos para resolver problemas. 5. n el triánglo rectánglo de la figra, calcla el cateto b, la altra h, correspondiente al vértice, el área. a h b 1 7. onocer los teoremas relativos a los triánglos calesqiera aplicarlos en la solción de problemas. 6. alcla el lado b la altra h del triánglo de la figra. Se trata de n triánglo rectánglo? b h Resolver problemas geométricos en los qe incida la semejanza. 7. La bhardilla de na casa es el trapecio de la figra. Se desea colocar el marco de na ventana G rectanglar de 18 metros de perímetro. Halla las dimensiones del marco. G m 4,5 m 1,5 m Gass 4. o SO - Opción Propestas de evalación

4 SOLUIONS 1. Por el teorema de Tales: 4 6 Por la semejanza de los triánglos : z z 4 10 Para cada valor de se obtiene n valor de z. Ha infinitas solciones.. Sean 8, d 6 las semidiagonales del rombo dado, d las del rombo semejante, s lado, k la razón de semejanza, S el área pedida. Se tiene: k 8k d k d 6k d 10k 0cm k, k100 d15cm S d 600 cm. ibjamos na recta, r, marcamos en ella n pnto,. Por este pnto, trazamos otra recta, r. Sobre r llevamos 5 segmentos de igal longitd, en ella los pntos,. Trazando tres paralelas por, se obtienen los pntos,, qe cmplen con las condiciones del problema. ' ' r r' ' fectivamente, aplicando el teorema de Tales: Por tanto: Si P es la persona, O el objeto, el espejo, ip rp. P 1,7 i r 10 Por la semejanza de los triánglos P O, podemos escribir: O P O 10 1,70 l objeto mide 8,50 m. O O 8,50 5. Se aplica el teorema de la altra para hallar h: La altra h mide 18 cm. h 1 7; h 18 Se aplica el teorema de Pitágoras al triánglo H: c ,6 b 18 7,45 l cateto b mide,45 cm. (1 7)18 Área: S 51 l área mide 51 cm. 6. Se aplica el teorema del cateto: b ; b 11 l lado b mide 11 cm. Teorema de Pitágoras: h 5 1 l triánglo no es rectánglo: Sean e las dimensiones del marco. l lado se calcla por el teorema de Pitágoras: ( 1,5) 4,5 4,74 son semejantes, lego ss bases son proporcionales: 1,5 ; ; 4,5,1 e la condición del perímetro: 18; 6,88 Las dimensiones del marco son:,1 m6,88m Propestas de evalación Gass 4. o SO - Opción

5 TIVIS RURZO 6 La semejanza en el plano 1. ibja sobre na recta tres pntos,, de forma qe los segmentos tengan na razón igal a. n qé teorema te basas para la constrcción?. Un padre s hijo contemplan na torre de 45 metros de altra. l padre tiene na altra de 1,80 m proecta na sombra de 50 cm. l hijo proecta na sombra de 0 cm. Se pide: a) Qé altra tiene el hijo? b) ánto mide la sombra qe proecta la torre en ese momento del día?. Se ha hecho na fotocopia, redcida al 40 %, de n plano en el qe aparece dibjado n rectánglo. omo el dibjo aparece m peqeño, se ha hecho na ampliación de la fotocopia del plano al 150 %, de modo qe en ella los lados del rectánglo miden cm 4 cm. alcla el área del rectánglo original qe aparece en el plano. 4. n n papel rectanglar de centímetros se dibja n rectánglo semejante al contorno del papel centrado respecto a los lados, ca área es de 400 cm. qé distancia de los bordes del papel qedan los lados del rectánglo? 5. Las bases de n trapecio isósceles miden 18 cm 0 cm, la altra, 6 cm. alcla la altra del triánglo qe tiene como lados la base menor del trapecio las prolongaciones de ss lados no paralelos. 6. La base de n triánglo isósceles mide 6 cm, la altra correspondiente a no de los lados igales mide 4 cm. Halla el área del triánglo el área de otro semejante tal qe la razón de semejanza respecto del anterior sea de 1,. 7. La figra mestra parte de la estrctra del entramado de la nave de na fábrica. on las medidas qe se dan, en metros, determina la altra de la misma Para medir la capacidad de n pozo cilíndrico, n agricltor introdce n palo recto de 9,5 m de largo, según se indica en la figra, de forma qe la parte qe sobresale mide 1,5 m, el etremo del palo,, está sitado a 1 m del selo. alcla cántos litros es capaz de almacenar el pozo. 1,5 1 8 h Gass 4. o SO - Opción ctividades de referzo

6 SOLUIONS 1. ibjamos r r. Trazamos sobre r. Las paralelas, por, cortan a r en, a respectivamente. Por el ' teorema de Tales, se tiene:. Sean P, H T las altras del padre, el hijo P la torre, respectivamente, S P, S H S T S P T las longitdes de ss respectivas sombras, en centímetros. Por semejanza: P H T 180 H SP SH ST 50 0 ST H 108 cm; S T 1 50 cm. Sean L L las longitdes, en centímetros, del objeto original de la última fotocopia, S S ss respectivas sperficies. Se tiene: L S 0,4 1,5 0,6; 0,6 0,6 L S 1 S 0,6 S 4, cm 4. Sean S S las sperficies de la hoja de papel del rectánglo, respectivamente. S razón es: S 90 60,5, por tanto: S 400 a b,5 1,5 a b a 60 cm; b 40 cm. S T a' a l estar centrados, las separaciones son: a a b b 15 cm; 10 cm r' ' H b r S H b' 5. Los triánglos rectánglos están 15 en posición de Tales. Se 9 tiene: cm, qe es la medida de la altra. 6. plicando el teorema de Pitágoras al triánglo rectánglo : 9. l área S del triánglo pede calclarse de dos formas: S 9 16, 4,0 cm 4,0 4 S área vale S 8,05 cm.lárea del otro triánglo es: S 8,05 1, 11,59 cm 7. Tomando los triánglos, semejantes, por estar en posición de Tales, se pede escribir: m Los triánglos rectánglos son semejantes. Si h es la profndidad del pozo, se tiene: h 8 h 5, m 1 1,5 l diámetro del pozo es: 8 h 5,96 m l volmen es: V h 148,64 m litros ctividades de referzo Gass 4. o SO - Opción

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