5 Semejanza. Las transformaciones que mantienen la forma y las proporciones se llaman semejanzas. Unidad 5: Semejanzas

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1 5 Semejanza 6 Las transformaciones que mantienen la forma y las proporciones se llaman semejanzas. LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD

2 La proporción y la forma Busca en la web El número de oro en el arte y la naturaleza φ ó Leonardo da Vinci

3 Esquema de contenidos Semejanza Semejanza Construcción de triángulos Teorema de Thales Semejanza en triángulos Criterios Semejanza en áreas y volúmenes Semejanza en triángulos rectángulos Aplicaciones Cálculo de distancias

4 Semejanza Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales. Una semejanza transforma una figura en otra figura semejante, y a la razón de proporcionalidad que guardan sus dimensiones se le llama razón de semejanza. Figuras no semejantes Figuras semejantes Figuras no semejantes

5 Construcción de figuras semejantes La forma más sencilla es el método de la proyección. Fijamos un punto O. Trazamos rectas que pasen por O y por los vértices de la figura original. Los vértices de la nueva figura están alineados con O y con los vértices de la original, y sus lados serán paralelos a los de la figura original.

6 Teorema de Thales Comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Thales. Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, y los segmentos de las rectas transversales determinados por las paralelas son proporcionales.

7 Teorema de Thales Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Bastón Pirámide

8 Teorema de Thales Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Rayos del sol Pirámide

9 Teorema de Thales Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Rayos del sol s (sombra bastón) S (sombra pirámide) Pirámide

10 Teorema de Thales Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Rayos del sol H h s (sombra bastón) S (sombra pirámide) Pirámide

11 Teorema de Thales Los rayos del sol inciden paralelamente sobre la Tierra. Los triángulos rectángulos determinados por la altura de la pirámide y su sombra y el triángulo determinado por la altura del bastón y la suya son semejantes. Rayos del sol Podemos establecer la proporción H S = h s H= h S s H h Pirámide s (sombra bastón) S (sombra pirámide)

12 Teorema de Thales Ejemplo: Calcular la medida del segmento x. Ordenamos los datos en la proporción, según el teorema de Thales = x =24 x 120=24x x= =5

13 Aplicaciones del teorema de Thales Dividimos un segmento AB en tres partes iguales. 1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación. 2. Dibujamos sobre ella, a partir de A, 3 segmentos iguales. 3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B, y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones. Por el teorema de Thales, los segmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los dibujados sobre la recta, y por lo tanto, son iguales entre sí.

14 Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes cuando verifican las siguientes condiciones: - Sus lados son proporcionales: - Sus ángulos son iguales: a a ' = b b ' = c c' A= A' B= B ' C= C '

15 Criterios de semejanza de triángulos Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.

16 Criterios de semejanza de triángulos Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. A= A' B= B '

17 Criterios de semejanza de triángulos Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. A= A' B= B ' SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales. a a ' = b b ' = c c'

18 Criterios de semejanza de triángulos Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes. PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. A= A' B= B ' SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales. a a ' = b b ' = c c' TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. A= A' b b' =c c' si

19 Semejanza de triángulos rectángulos Los triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen igual uno de sus ángulos agudos. Cualquier triángulo obtenido trazando una recta perpendicular sobre uno de sus lados es semejante al primero. Si trazamos la altura de un triángulo rectángulo sobre su hipotenusa obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes al primero.

20 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Teorema del cateto El cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de este sobre la hipotenusa. c a = m c c2 =m a b a = n b b2 =n a Teorema de la altura El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos. m h = h n h2 =m n

21 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 3 cm 4 cm

22 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 3 cm 4 cm Por Pitágoras: a 2 = a 2 =25 a= 25=5 cm

23 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 3 cm 4 cm Por Pitágoras: a 2 = a 2 =25 a= 25=5 cm Aplicando el teorema del cateto: 2 2 c 16 = m a 4 = m 5 m= = 3,2cm b = n a = n n = = 1,8cm 5

24 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 3 cm 4 cm Por Pitágoras: a 2 = a 2 =25 a= 25=5 cm Aplicando el teorema del cateto: c b Aplicando el teorema de la altura: = m a 4 = m 5 m = 16= 3,2cm 5 2 = n a 3 = n 5 n = 9= 1,8cm 5 h 2 =m n h 2 =3,2 1,8 h= 5,76=2,4 cm

25 Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos Calcular la altura de la torre. Los triángulos siguientes son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo común. h 6 m 37 m 50 m h 50 = 6 37 h= =8, 12 m Por lo tanto, la altura de la torre es 8,12 metros.

26 Semejanza de áreas y volúmenes Si dos figuras planas son semejantes, con razón de semejanza r, sus áreas serán proporcionales y la razón de la proporción es r 2. A=l l=l 2 A=2l 2l=4 l 2

27 Semejanza de áreas y volúmenes Si dos cuerpos son semejantes, con razón de semejanza r, sus volúmenes serán proporcionales y la razón de la proporción es r 3. V =l l l=l 3 V =2l 2l 2l=2 3 l 3

28 Enlaces de interés Teselar Mosaicos IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

29 Actividad: El teorema de Thales Dirección: En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad del teorema de Tales describen las relaciones que se observan en los segmentos obtenidos al intersectar rectas paralelas Para desarrollarla, con rectas sigue secantes. este enlace. INICIO